Método Simbólico. Versus. Método Diagramas de Euler. Diagramas de Venn

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1 IV Método Sibólico Versus Método Diagraas de Euler E Diagraas de Venn

2 Método Sibólico Versus Método Diagraas de Euler e Diagraas de Venn Para eplicar o que é o Método Sibólico e e que aspecto difere dos outros étodos, realiza-se as seguintes coparações, entre o étodo de diagraas de Euler ( ), à base de círculos, o étodo de diagraas de Venn ( conteporâneo de Lewis Carroll) tabé trabalha co círculos, segue-se então a apresentação do Método de Lewis Carroll. A sua grande diferença co os restantes é representar sob ua área fechada u espaço infinito. Conclui-se co o estudo de u silogiso pelos vários étodos. 1. Método de Diagraas de Euler Prieiraente representa-se apenas proposições por diagraas. Nos círculos be conhecidos de Euler, supõe-se cada ua conter ua classe, e o Diagraa consiste e dois círculos, os quais eibe as relações, coo as inclusões eclusões eistentes entre as duas classes. Então o Diagraa aqui dado, Eibe duas classes, cujos atributos e estão tão relacionados u co o outro e que as seguintes proposições são todas siultaneaente verdadeiras: - Todo é, Nenhu é não-, Algu é, Alguns são não-, Alguns não- são não-, e certaente as Converses das quatro últias. Seelhanteente, co este Diagraa As proposições seguintes são verdadeiras: - Todo é, Nenhu é não-, Algu é, Alguns são não-, Alguns não- são não-, e certaente as Converses das quatro últias. Seelhanteente, co este Diagraa As proposições seguintes são verdadeiras: - Todo é não-, Todo é não-, Nenhu é, Alguns são não-, Alguns são não-, Alguns não- são não, e certaente as Converses das quatro últias. Seelhanteente, co este Diagraa As proposições seguintes são verdadeiras: - Alguns são, Alguns são não-, Alguns não- são, Alguns não- são não-, e certaente as Converses das quatro últias

3 Nota-se que todos os diagraas de Euler assegura Alguns não- são não-. Por vezes isso pode não ser verdade!!! Agora para representar todo o é, o prieiro destes diagraas seria suficiente. Seelhanteente para representar Nenhu é o terceiro serve. Mas para representar qualquer Proposição Particular, pelo enos três diagraas seria necessários (co o intuito de incluir todos estes casos possíveis), para Alguns não- são não-, todos os quatro. 2. Método de Diagraas de Venn Representa-se não- por. Venn e o seu Método de Diagraas são u bo avanço para o étodo desenvolvido por Lewis Carroll. Usa o terceiro Diagraa para representar qualquer relação desejada entre e, siplesente co ua sobra no copartiento conhecido por estar vazio, e colocando u ais nu que se saiba estar ocupado. No entanto ele representa as 3 proposições Alguns são, Nenhu é, e todo é, coo se segue, + Será visto que das quatro Classes, cujo conjunto peculiar de atributos são,, e, apenas três são providenciados e copartientos fechados, enquanto que ao quarto é peritido o resto do plano infinito. Este arranjo iria envolver-nos e sérios probleas, ao tentar representar Nenhu é. Venn ua vez encontrou esta árdua tarefa; as evitou-a, de ua aneira de estre, co ua siples nota Não se irá dar ao trabalho de sobrear o eterior deste diagraa. Para representar duas proposições (contendo u tero cou) juntas, será preciso u diagraa de três-letras. Este é o único usado pelo Venn. Aqui novaente só se vê sete copartientos fechados, para acoodar as oito classes cujo conjunto peculiar de atributos é,,... Para quatro teros Venn diz, o diagraa ais siples e siétrico parece que produz o efeito de quatro círculos interceptados uns nos outros de ua aneira desejada. Isto, no entanto, providencia apenas 15 copartientos fechados. b c a d

4 Para cinco-letras, o diagraa ais siples que sugere, Venn diz é coo este c b d a e (a pequena elipse ao centro é para ser considerada coo ua porção do eterior de c; isto, é estas quatro coponentes de porções estão dentro de b e d as não é parte de c). Te de se aditir que tal diagraa não é assi tão siples de desenhar coo aquilo que deseja ser; as depois considera-se a alternativa: se algué decidir trabalhar co cinco teros e todas as suas cobinações tarefa escrita desagradável pois estão 32 cobinações envolvidas. Este diagraa dá 32 copartientos fechados. Para seis-letras, Venn sugere que se passe a usar dois diagraas, coo o anterior, u co a parte-f, e outra parte-não-f, e todas as outras cobinações. Isto ele disse, dará as 64 subdivisões desejadas Isto no entanto só nos dá 62 copartientos fechados, ua área infinita, das quais duas classes a b c d e f e a b c d e f, teria de partilhar entre elas. Para alé das 4-letras Venn não vai. 3. Método de Diagraas de Lewis Carroll O seu étodo de diagraas difere do de Venn por ter copartientos separados assegurados para as várias Classes, e e arcar estes copartientos ou coo ocupados ou vazios; as a diferença está no seu étodo assegurar ua área fechada para o Universo de Discurso, para que a classe, a qual sendo u espaço infinito, é subitaente encolhido nua célula liitada coo qualquer outra classe! Lewis Carroll usa rectângulos e vez de figuras de linhas curvas e, arca ua célula ocupada co u I (significando que pelo enos está lá ua coisa nela), e ua célula vazia co u 0 (significando que não há coisas nela). Para duas-letras Lewis Carroll usa este diagraa, Na etade Norte é atribuída a e a etade Sul para não-, o Oeste a e o Este a. No entanto no Noroeste conté a classe- e a Nordeste a classe- e assi continuava-se... Para três-letras, Lewis Carroll subdivide estas quatro células, desenhando u quadrado ao eio, o qual Lewis Carroll atribui a, a fronteira de fora é atribuída a. Assi tê-se oito células que são precisas para acoodar as oito classes, cujos conjuntos peculiar de atributos são,, etc

5 Este últio diagraa é o ais copleo que Lewis Carroll usa na Parte Eleentar da sua Lógica Sibólica 3. No entanto, descreveu uns ais copleos, coo por eeplo. Para quatro-letras (a qualquer a, b, c, d) ele usa este diagraa; a e. Atribuindo à etade Norte a (e o resto do diagraa a a ) à etade Oeste a b, ao rectângulo horizontal a c, e ao rectângulo vertical a d. Tê-se então 16 células. Para cinco-letras (acrescenta-se e), ele subdivide as 16 células do diagraa anterior traçando porções oblíquas, atribuindo a todas as porções de cia a e, e todas as porções de baio Aqui, Lewis Carroll adite que perde a vantage e ter a classe-e ao eso tepo, Coo as outras 4 classes ainda são fáceis de encontrar; e a operação de a apagar é de perto a ais fácil de apagar e relação às outras classes, tê-se agora 32 células. Para seis-letras (acrescentando-se h, pois Lewis Carroll evita letras co cauda) substitui as oblíquas por cruzes à direita, atribuindo às quatro porções, nas quais as 16 células estão agora divididas e ais 4 classes eh, eh, e h, e h. Tê-se agora 64 células. Para sete-letras (acrescenta-se k), Lewis Carroll acrescenta à cruz u pequeno quadrado no interior. Todos estes 16 pequenos quadrados estão atribuídos à classe k, e todo o eterior classe-k ; As oito pequenas células (as quais 16 fora divididas) estão atribuídas respectivaente às 8 classes ehk, ehk,etc... tê-se agora 128 células. Para oito-letras (acrescentando l), coloca-se e cada ua das 16 células, o rectângulo quadriculado, a qual é ua cópia reduzida de todo o diagraa; e tal coo as 16 células largas de todo o diagraa estão atribuídas às 16 classes abcd e abcd,..., então as pequenas 16 células de cada rectângulo quadriculado, é atribuída às classes ehkl, ehkl,... No entanto o rectângulo quadriculado, no canto noroeste serve para acoodar 16 classes abc d ehkl, abc d ehkl,... 3 A obra Lógica Sibólica é abordada na parte II deste trabalho

6 Este diagraa octoliteral conté 256 células. Para nove-letras, Lewis Carroll coloca dois diagraas octoliterais lado a lado, atribuindo u deles a e ao outro a. Tê-se então 512 células. Finalente, para dez-letras, Lewis Carroll arranja quatro diagraas octoliterais coo o acia, nu quadrado, atribuindo as quatro classes n, n, n, n. Tê-se agora 1024 células. 4. U silogiso pelos vários étodos A elhor aneira de eibir as diferenças entre estes étodos será de resolver silogisos, toar u eeplo e concreto e resolvendo por cada étodo. Toe-se o eeplo: Nenhu filósofo é conceituado; Alguas pessoas conceituadas não são jogadoras. Alguas pessoas, que não são jogadores, não são filósofos. (1) Solução pelo étodo ordinal Estas preissas, coo elas estão, não dão conclusão, visto estare abas negativas. Se por Perutação ou Obversão, escreve-se a preissa enor, então Alguas pessoas conceituadas são não jogadores, Pode-se obter ua conclusão e Fresison, ve Nenhu filósofo é conceituado; Alguas pessoas conceituadas são não-jogadores. Alguns não jogadores são não filósofos Isto pode ser provado por redução Ferio, ve: Nenhua pessoa conceituada é filósofa: Alguns não jogadores são conceituados. Alguns não jogadores são não filósofos. A validade do Ferio segue directaente do Aioa De Oni et Nullo. (2) Representação sibólica Antes de continuar, é necessário traduzir este silogiso para a fora abstracta. Toe-se pessoas coo universo de Discurso = filósofos = conceituados = jogadores

7 O silogiso pode ser escrito coo, Nenhu é ; Alguns são. Alguns são. (3) Solução pelo étodo de Euler A preissa aior requer apenas u diagraa, ve, A enor requer três, ve 2 A cobinação da aior co a enor, de todas as aneiras possíveis, requer 9, ve: Fig. 1 e 2 ve, Fig. 1 e 3 ve, Fig. 1 e 4 ve, Deste grupo (Fig.5 até 13) te-se, não considerando, para encontrar a relação de e. Ao eainar encontra-se que as fig. 5, 10, 13 epressão a relação interna de útua eclusão. E que a fig. 7 epressa coincidência e, as fig. 8 e 12 epressa total inclusão de e. Na fig. 9 epressa total inclusão de e Tê-se então 5 Diagraas Bilaterais de e, ve Onde a única proposição representada por todas elas é alguns não- são não-, isto é, Alguas pessoas, que não são jogadores, são não filósofos u resultado que Euler teria dificilente considerado válido, visto que ele vê coo assuido que a proposição desta fora é sepre verdade!

8 (4) Solução pelo étodo de Diagraas de Venn A próia solução foi educadaente suplicada a Lewis Carroll pelo Venn. A preissa enor declara que alguns dos constituintes e tê de ser assegurados, arca-se esses constituintes co ua cruz. A aior declara que todo o te de ser destruído; apaga-se. Depois, coo alguns são para ser salvos, te de ser claraente. Isto é, lá deve eistir ; ou, eliinando,. Alguns são, ou Alguns não-jogadores são não filósofos. (5) Solução pelo étodo de Diagraas de Lewis Carroll A prieira preissa assegura que nenhu eiste, então arca-se o copartiento- coo vazio, colocando u 0 e cada ua das suas células I A segunda assegura que alguns eiste: logo arca-se o copartiento- coo ocupado, colocando u I na sua única célula acessível. A única inforação que isto dá, relativaente a e a, é que o copartiento está ocupado, isto é, Algu eiste. No entanto Algu é, isto é, Alguas pessoas, que são não filósofos, são não jogadores

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