ESTUDOS DE CAPACIDADE PARA DADOS NÃO-NORMAIS

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1 ESTUDOS DE CAPACIDADE PARA DADOS NÃO-NORMAIS Alberto Wuderler Raos Deartaeto de Egeharia de Produção - EPUSP Caia Postal 6548 São Paulo SP Brasil Abstract: This aer resets a ethod for calculatig caability idees whe data fro rocess is o-oral. It also itroduces the Johso syste of curves for data fittig ad shows how the idees eed to be adated for this case. At the ed, a colete eale is give for a ore colete uderstadig. Key-words: rocess caability, o-oral data, Johso syste of curves.. INTRODUÇÃO Os estudos de caacidade (ou caabilidade, do iglês caability) tê or objetivo básico avaliar se u deteriado rocesso cosegue gerar rodutos que ateda às esecificações de egeharia. Resuidaete, a etodologia cosiste e obter ua aostra de rodutos fabricados e codições orais de oeração, avaliar a estabilidade estatística do rocesso ediate o erego de gráficos de cotrole e, a seguir, deteriar a caacidade do rocesso gerar rodutos cofores. Ebora de uso cou o eio idustrial, tais estudos são realiados uitas vees e situações ode os dados ão deostra aderêcia co a distribuição de robabilidade oral. Algus softwares estatísticos, tais coo Miitab, Statistica e Alied Stats areseta a oção do erego da faília de curvas de Johso. Cotudo, oucas essoas fora do eio acadêico estão failiariadas co esta

2 ossibilidade e, ortato, este artigo discute e areseta os seus detalhes. Para aior facilidade de etedieto, u eelo coleto é ostrado.

3 . ÍNDICES DE CAPACIDADE TRADICIONAIS A avaliação da caacidade do rocesso costua ser realiada ediate o calculo de ídices de caacidade. Eiste ua grade variedade destes ídices, segudo BOTHE (997). Etretato, dois ídices são ais freqüeteete utiliados: C e Ck, cofore FINLEY (99). O rieiro ídice, cohecido coo C, é defiido coo sedo a raão etre a tolerâcia de egeharia e a disersão do rocesso, ateaticaete: LSE LIE C () 6. σ ode: LSE - liite suerior da esecificação LIE - liite iferior da esecificação σ - desvio-adrão do rocesso (oulação) Coo o desvio-adrão do rocesso (σ) é descohecido, utilia-se ua estiativa ( σˆ ) calculada a artir das aostras obtidas, ou seja LSE LIE Ĉ () 6.ˆ σ O ídice C coara a variabilidade total eritida ao roduto (ou tolerâcia de esecificação) co a variação do rocesso (tabé chaada de tolerâcia atural). Assi, ara o rocesso ser cosiderado caa, o ídice C deve ser igual ou aior do que, o que equivale a dier que elo eos 99,73% dos rodutos serão cofores, aditido-se a distribuição oral válida ara a variabilidade dos valores idividuais e a édia do rocesso cetraliada a esecificação. Itrisecaete, este ídice adite que a édia da áquia ode ser facilete ajustada e, ortato, soete a tolerâcia de egeharia (que é a distâcia etre o liite suerior e o iferior da esecificação) é coarada co a disersão total. Esta é sere a elhor codição ossível ara o estudo, daí o or quê do ídice ser habitualete chaado de caacidade otecial. O outro ídice, cohecido or Ck, é defiido coo Ck íio {Ci, Cs} (3)

4 ode Ci é calculado ediate µ LIE Ci (4) 3. σ Coo µ e σ são geralete descohecidos, usa-se as estiativas da édia (µˆ ) e do desvio-adrão (σˆ ) do rocesso. Daí segue que u estiador de Ci é forecido or µ ˆ LIE Ĉ i (5) 3.ˆ σ Aalogaete, defie-se o ídice Cs coo sedo LSE µ Cs (6) 3. σ e, eregado-se as estiativas da édia e desvio-adrão do rocesso, u estiador de (6) é dado or LSE µ ˆ Ĉ s (7) 3.ˆ σ Ck é recoedado os casos de esecificações uilaterais, ode ieiste LIE ou LSE, ou quado a édia do rocesso ão ode ser cetraliada a esecificação or roblea de egeharia ou devido a u elevado custo de alteração ou ajuste. No ídice Ck, alé de avaliar-se a variabilidade total eritida às eças co a tolerâcia atural de fabricação, verifica-se, tabé, a osição do rocesso e relação aos liites (suerior e iferior) da esecificação. Assi, o valor de Ck deve ser igual ou suerior a ara o rocesso ser cosiderado caa. Este ídice é, tabé, cohecido elo oe de caacidade de áquia. 3. ÍNDICES DE CAPACIDADE PARA DADOS NÃO NORMAIS Quado os valores idividuais ão ais areseta distribuição oral, a iterretação dos ídices tradicioais C e Ck ão é ais válida.

5 Nesta situação, ara haver equivalêcia e teros de área co a distribuição oral (99,73%), ode-se usar os ercetis 0,35 (P I ) e 99,865 (P S ) da outra distribuição, e calcular-se os ídices de caacidade através de: LSE LIE Ĉ* (8) P - S P I e Ĉ k* i{ĉi*,ĉs*}, co Md LIE Ĉi* (9) Md - P I ou aida LSE Md Ĉs* (0) P - Md S ode Md é a ediaa (ou ercetil 50,000). Para avaliação destes três últios ídices, eiste três alterativas, segudo PYZDEK (99a,.40): a) Obter ua distribuição de robabilidade que reresete satisfatoriaete o feôeo (uso de distribuições ão-orais); b) Ajustar ua curva eírica sobre o cojuto de dados; c) Trabalhar se assuir ehua distribuição dos dados (odelo ãoaraétrico). No rieiro caso, há realete ua odelage do rocesso, ou seja, co base o cohecieto de seu coortaeto (e teros de variação), selecioa-se u odelo robabilístico adequado e, daí e diate, adite-se que este seja válido o futuro. No segudo caso, erega-se u ajuste eírico de curvas, se cosiderar a diâica do rocesso, seja or falta de cohecieto sobre o rocesso, seja or iviabilidade e obter u odelo robabilístico adequado à sua odelage. No últio caso, ehua distribuição de robabilidade é assuida a riori, buscado-se cotorar as dificuldades das alterativas ateriores. Obviaete, elo eosto ates, sere é referível utiliar a rieira alterativa, as, a rática, é uito ouco rovável que se teha u cohecieto

6 adequado sobre o rocesso ou roduto, que tore ossível justificar orque ua certa distribuição de robabilidade é ais adequada ara reresetar o feôeo estudado do que outra qualquer. 4. USO DE DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS Ua ossibilidade ara se resolver o roblea das distribuições ão-orais é aquela e que se ajusta ua distribuição eírica aos dados obtidos do rocesso. Aós o ajuste desta curva, ode-se calcular a orcetage de ites acia do áio e abaio do íio da esecificação e trasforá-los e Ĉ e Ĉk equivaletes. U étodo de realiar este ajuste é o sistea de JOHNSON (949). Este areseta alguas vatages, cofore FARNUM (997), e relação a outras foras desevolvidas ateriorete (Gra-Charlie ou Pearso): a) o sistea de curvas de Johso cobre ua vasta gaa de diferetes foras de distribuições, aior do que as disoíveis os outros sisteas sedo, ortato, ais fleível; b) o ecaiso ara seleção da faília de curvas ais adequada aos dados é ais siles que os deais casos, esecialete cosiderado-se os aerfeiçoaetos feitos or SLIFKER; SHAPIRO (980), que substituíra o uso dos oetos aostrais, quatidades irecisas e co altos viéses, ela utiliação de ercetis; c) este sistea erite que as robabilidades (áreas sobre as curvas ajustadas) seja calculadas a artir do siles uso de tabelas da distribuição oral adroiada, ediate trasforações adequadas das fuções; d) o sistea de Johso já se ecotra disoível e diversos softwares estatísticos do ercado. 5. CURVAS DE JOHNSON O sistea de curvas de Johso é basicaete costituído or três diferetes faílias de distribuições, geradas a artir de trasforações da seguite fora geérica: γ ηk i(; ω, κ) ()

7 ode é a variável oral adroiada (ou reduida), e η, γ, ω e κ são arâetros esecíficos ara cada faília. E fução do tio de faília selecioada o ajuste, Johso roôs os seguites tios de fuções: Faília S U, ou seja, ão liitada (do iglês, ubouded), quado a variável ão ossui u valor íio ou áio, odedo variar livreete etre e. Nesta situação, a fução roosta é do tio: κ k (, ω, κ) seh () ω Faília S B, ou seja, liitada (do iglês, bouded), ara aquelas distribuições as quais a variável assue valores etre (κ, κω). A fução roosta ara este caso é do tio: κ k (, ω, κ) l (3) ω κ Faília S L, ou seja, logoral, cuja fução roosta é do tio: κ k 3 (, ω, κ) l (4) ω Basicaete, eiste 5 grades etaas a alicação da etodologia de ajuste de curvas de Johso, cofore aresetadas a Figura. 5. Estiação dos Percetis da Aostra A rieira etaa é escolher qual detre as três faílias de curvas é ais adequada o ajuste aos dados. Isto é feito ediate a obteção de certos ercetis da aostra e do cálculo de ua fução discriiadora. Iicialete, é reciso escolher u valor arbitrário de 0<<. Segudo SLIFKER; SHAPIRO (980), idealete o valor de deve ser róio a 0,5, já que isto colocará a quatidade ± 3 ão uito distate a cauda da distribuição selecioada, evitado-se obter estiativas ouco cofiáveis. A seguir, deteria-se as

8 robabilidades acuuladas Φ ( 3), Φ(-), Φ()e Φ(3) associadas a estes quatro úeros ( 3, -, e 3), ediate o uso de ua tabela oral adroiada. ESTIMAR PERCENTIS CALCULAR FUNÇÃO DISCRIMINADORA ESTIMAR PARÂMETROS h, g, w, k CALCULAR PROPORÇÃO NÃO CONFORME CALCULAR ÍNDICES DE CAPACIDADE Figura Metodologia ara ajuste de curvas de Johso. 5. Cálculo da Fução Discriiadora Prosseguido-se co o étodo, as robabilidades acuuladas são eregadas ara se ecotrar os ercetis da aostra, resectivaete, -3, -, e 3, o que costua requerer iterolações o seu cálculo. Calcula-se, etão, a fução discriiadora: (5) ode

9 3 (6) 3 (7) (8). Se / >, a faília S U deve ser a escolhida. Se / <, S B é a elhor oção e, se /, etão S L deve ser referida. 5.3 Estiação dos Parâetros Ua ve selecioada a faília de curvas ais adequada ao cojuto de dados eistete, a etaa seguite cosiste e estiar os arâetros desta. a) Faília S U : esta faília os quatro arâetros são estiados através de cosh η (9) η γ / sih (0) / / ω () κ () b) Faília S B : esta faília os arâetros são estiados ediate as fórulas / cosh η (3)

10 η γ / 4 sih (4) / 4 ω (5) λ κ (6) c) Faília S L : esta últia, as estiativas dos arâetros são obtidas através de η l (7) η γ / l * (8) κ (9) 5.4 Cálculo da Proorção Não Cofore A artir das estiativas dos arâetros, obtidas através das fórulas 9 a 9 ateriores e, tabé, ediate o uso das trasforações ara cada faília de curvas ara covertê-las e distribuição oral, é ossível ecotrar-se as áreas rocuradas, cofore idicado a tabela abaio.

11 Faília S U Tabela Trasforações ara faílias S U, S B e S L. Trasforação γ ηseh κ ω (30) S B κ γ ηl ω κ S L γ * ηl( κ) (3) (3) 5.5 Cálculo de Ídices de Caacidade Cofore eosto ateriorete, quado a distribuição ão ais é oral, a fora de calcular os ídices de caacidade ecessita ser odificada, ou seja, eregase os ídices de caacidade odificados de (8) a (0). 6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO Os dados da Tabela abaio fora retirados de FARNUM (997,.33) e já estão aresetados ordeados ara facilitar a sua aiulação. Tabela Dados ara eelo de alicação 6,3 6,8 9,3 0,4,,6,,5,5,6,9 3, 3, 3,3 3,3 3,5 3,5 3,9 4,0 4,4 4,8 4,8 5, 5,4 5,7 5,8 5,9 6, 6,3 6,5 6,5 6,7 6,9 7,0 7, 7,7 7,8 7,9 8,0 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,4 8,4 8,7 8,7 8,8 9, 9,3 9,3 9,5 9,6 9,7 9,7 9,9 0, 0,3 0,6 0,6 0,7 0,8,4,5,9,0,0,,3,6,7,9 3,0 3,3 3,3 3,5 4,0 4, 4,7 5,0 5, 5,5 5,5 5,7 5,9 6,0 6, 9,3 9,4 9,6 9,6 9,8 9,9 9,9 3,4 34,0 34,9 40,6 Ua aálise reliiar destes dados, feita através do histograa aresetado a Figura, revela que a distribuição oral ão é adequada à reresetação da

12 variabilidade dos dados. De fato, o teste de Aderso-Darlig alicado a estes dados forece A 0,688, que corresode a ua robabilidade de 0,070 (ou 7%) de que esta estatística seja suerior ao seu valor crítico. FREQÜÊNCIA < 9.73 (3.6,6.59] (0.0,3.45] (6.88,30.3] (33.74,37.7] (9.73,3.6] (6.59,0.0] (3.45,6.88] (30.3,33.74] > 37.7 Figura Histograa dos dados da Tabela 6. Seleção da Faília de Curvas Vaos selecioar o valor de 0,54, siilarete ao roosto or SLIFKER; SHAPIRO (980,.40). Este valor ostra-se etreaete adequado, ua ve que: Φ(-3) Φ(-,57) 0,058 Φ(-) Φ(-0,54) 0,300 Φ(3) Φ(0,54) 0,700 Φ() Φ(,57) 0,94

13 Visado reduir o viés a estiação dos ercetis, ode-se eregar a seguite fórula (COSTA NETO, 977,. 35): i.φ(.) ½ ode é o taaho da aostra disoível de dados e Φ(.) é a robabilidade oral acuulada. Coseqüeteete obté-se, cofore a Tabela 3 Tabela 3 Percetis ara os dados F i 0, (0,058) ½ 6,3,78 0, (0,300) ½ 30,5 6,50 0, (0,700) ½ 70,5,0 0,94 00.(0,94) ½ 94,7 9,87 Para calcular a fução discriiadora é ecessário ates se obter: 3 9,87,0 7,67 3 6,50,78 4,7,0 6,50 5,70 e, ortato, /,4 o que ilica que a faília a ser selecioada é a S U. 6. Estiação dos Parâetros da Faília S U Eregado-se as fórulas (9) a () vistas ateriorete, resulta e η,59, γ -,767, ω 0,86, κ 0, Cálculo das Probabilidades Aditido-se que os liites (iferior e suerior) de esecificação seja resectivaete 5 e 40, ve que:

14 e I γ ηseh LIE κ,767,59.seh ω 5 0,94 3,09 0,86 LSE κ 40 0,94 ZS γ ηseh,767,59.seh,55 ω 0,86 Desta fora, a orcetage estiada de ites ão-cofores será: e P(X< LIE) P( < I ) P( < -3,09) 0,000 P(X > LSE) P( > S ) P( >,55) 0, Cálculo dos Ídices de Caacidade A artir dos arâetros estiados ateriorete, ode-se calcular os ídices de caacidade, defiidos de (8) a (0). Cotudo, ates é ecessário ecotrar-se os ercetis 0,35 e 99,865 (P I e P S ): γ 3 P I κ ωseh 5,49 η e γ 3 P S κ ωseh 46,044 η Portato: Ĉ* LSE P S LIE P I ,044 5,49 0,86 e Ĉi* Md LIE Md P I 8, ,950 5,49,03 e

15 LSE Md Ĉs* P Md S 40 8,950 0,777 46,0448,950 resultado e { Ĉi*, Ĉs *} 0, 777 Ĉ k* i 7. CONCLUSÕES A coleidade ara lidar co os dados ode ão se ode assuir a distribuição oral é uito aior. Isto fa co que uitos estudos de caacidade seja feitos de fora equivocada, se cosideração das odificações ertietes os ídices ou, etão, que fique relegados a u segudo lao, e fução da dificuldade itríseca eistete estas situações. Os softwares estatísticos hoje eistetes ara o trataeto dos dados roveietes de u rocesso estável, oré ão co distribuição oral, e geral tê-se cocetrado ais a fora de cálculo de ídices Ĉ * e Ĉ k * equivalete àqueles ara distribuições orais. A faília das curvas de Johso te sido freqüeteete eregada estas situações e forece resultados que, aualete seria de difícil realiação e virtude da quatidade de cálculos evolvida. Co a evolução dos softwares, esera-se que ovas alterativas esteja disoíveis àqueles que são resosáveis ela oitoração e elhoria de rocessos de aufatura ou trasacioais, tal coo é o caso das eresas que adota a etodologia Seis Siga. 8. BIBLIOGRAFIA BOTHE, D.R. Measurig rocess caability. New York, McGraw-Hill, 997. COSTA NETO, P. L. O. Estatística. São Paulo, Edgard Blücher, 977. FARNUM, N. R. Usig Johso curves to describe o-oral rocess data. Quality Egieerig, Moticello, v. 9,., , 997

16 FINLEY, J.C. What is caability? or What is C ad Ck? I: ASQC QUALITY CONGRESS TRANSACTIONS, 46 th, Nashville, 99. Proceedigs. Milwaukee, ASQC,.86-9, 99. JOHNSON, N. L. Systes of frequecy curves geerated by ethods of traslatio. Bioetrika, Lodo, v.36,.49-76, 949. PYZDEK, T. Process caability aalysis usig ersoal couters. Quality Egieerig, Moticello, v.4,.3, , 99. SLIFKER, J.F.; SHAPIRO, S.S. The Johso syste: selectio ad araeter estiatio. Techoetrics, Aleadria, v.,.,.39-46, 980.

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