10: Equações Diferenciais Parciais(EDP's)

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1 : Eqações Difereiais PariaisEDP's Uma EDP é ma eqação evolvedo das o mais variáveis idepedees yz... e derivadas pariais de ma fção variável depedee yz... Eemplos: k k F se se + e d b y y a y α

2 Classifiação das EDP's A ordem de ma EDP é dada pela derivada parial de maior ordem qe oorre a eqação. Uma EDP é dia liear se é de primeiro gra em m e em odas as sas derivadas pariais qe oorrem a eqação aso orário é dia ão liear. Eemplos a y y se y Ordem iear ; b +se Ordem Não liear ; α Ordem iear ; d Δ Ordem iear ; e Δ f Ordem iear.

3 Codições de Cooro Em EDP's o espaço das variáveis idepedees é mlidimesioal: proramos solções defiidas em m abero Ω. É aral sbsiir os eremos do iervalo aso pelo bordo Ω da região Ω. Qado impomos odições sobre o valor da solção e de sas derivadas o bordo da região emos m problema de valores de ooro o simplesmee problema de ooro. Eoramos mias vezes odições do ipo α + β f Ω ode α e β são osaes dadas f é ma fção dada em derivada de a direção ormal a. Ω e Ω No aso β a odição é oheida omo Codição de Dirihle; No aso α emos ma Codição de Nema. é a

4 Codições Iiiais Em EDP's emos mais de ma variável idepedee por eemplo e qado fiamos ma das variáveis por eemplo e impor o valor da solção e de sas derivadas pariais em relação à variável fia omo fção das oras variáveis. O problema orrespodee é m Problema de Cahy o de Valor Iiial. Por eemplo: ode f e g são fções dadas. f g Qado emos m problema em qe são imposas odições de ooro e odições iiiais eles são hamados de Problemas Misos.

5 .: Problemas de Valores de Cooro para Froeiras om Dois Poos Em mios problemas físios imporaes eisem das o mais variáveis idepedees de modo qe o modelo maemáio orrespodee evolve eqações difereiais pariais. Nese apílo raa de m méodo imporae ara se eqações difereiais pariais oheido omo separação de variáveis. Esseialmee é a sbsiição da eqação difereial parial por m ojo de eqações difereiais ordiárias qe em qe ser resolvidas sjeias a odições iiiais o de ooro. Já vimos aeriormee a base maemáia eessária agora veremos o méodo de separação de variáveis qe será sado para resolver diversos problemas ligados à odção de alor à propagação de odas e à eoria do poeial.

6 Problema de Valor de Cooro Uma eqação difereial e ma odição de ooro apropriada formam m problema de valores de ooro om dois poos. Um eemplo ípio é: y + p y + q y g eqação difereial PVC > odição y α y de ooro y β y Se a fção g em valor lo para odo e se os valores y e y ambém são los eão o problema é dio homogêeo aso orário o problema é ão homogêeo. Para resolver o PVC preisamos eorar ma fção y φ qe saisfaz a eqação difereial o iervalo α < < β e qe em os valores espeifiados y e y os eremos do iervalo.

7 Eemplo Cosidere o PVC y + y y y π A solção geral da eqação difereial é y os + si A primeira odição de ooro reqer qe. Para a segda odição de ooro obemos os π + si π o π Assim a solção do PVC é y os o π si Esse eemplo ilsra o aso de m problema de valores de ooro ão-homogêeo om ma úia solção..76

8 Eemplo Cosidere o problema de valor de ooro y + y y y π a a > arbirário A solção geral desa eqação difereial é y os + si A primeira odição de ooro reqer qe eqao a segda reqer - a. Assim ão eise solção para a. Agora se a - eise ma ifiidades de solções da forma: y os + si arbirário Esse eemplo ilsra o fao de qe m PVC ão-homogêeo pode ão er solção e ambém qe sob odições espeiais pode er ma ifiidades de solções..

9 Problema de valores de ooro ão-homogêeo e o orrespodee problema homogêeo. O orrespodedo o PVC ão-homogêeo y + p y + q y g y α y y β y ao aso do problema homogêeo assoiado y + p y + q y y α y β Observe qe ese problema em solção y para odo idepedee dos oefiiees p e q. Essa solção é hamada mias vezes de solção rivial e raramee é de ieresse. O qe qeremos saber em geral é se o problema em oras solções ão-las.

10 Eemplo 3 Cosidere o problema de valores de ooro y + y y y π Como o Eemplo a solção geral é y os + si A primeira odição reqer qe. Para a segda odição ós emos. Assim a úia solção do PVC é y. Esse eemplo ilsra o fao de qe m problema de valores de ooro homogêea pode er somee a solção rivial y.

11 Eemplo 4 Cosidere o problema de valores de ooro y + y y y π Como o Eemplo a solção geral é y os + si A primeira odição reqer qe eqao a segda odição de ooro é saisfeia idepedee do valor de. Assim eise ma ifiidades de solções da forma y si arbirário Esse eemplo ilsra qe m problema de valores de ooro homogêeo pode er ma ifiidade de solções

12 Problemas de Aovalores de 8 O problema de aovalor A λ. Noe qe é ma solção para odo λ mas para eros λ hamados de aovalores eisem solções ão-las hamadas de aoveores. A siação é semelhae para problemas de valores de ooro. Cosidere o problema de valores de ooro y + λ y y y π Ese é o mesmo problema qe o Eemplo 3 se λ e o mesmo problema omo o Eemplo 4 se λ. Assim o PVC aima possi somee a solção rivial para λ e para o oro aso solção ão rivial para λ.

13 Aovalores e Aofções de 8 Cosidere o segie PVC y + λ y y y π Tem somee solção rivial om λ e em para o oro aso solção ão rivial para λ. Por eesão da ermiologia para sisemas lieares os valores de λ para o qal as solções ão riviais oorrem hamamos de aovalores e as solções ão riviais são hamadas de aofções. Assim λ é m aovalor do PVC e λ ão é. Além disso qalqer mliplo ão lo de se é ma aofção orrespodee ao aovalor λ.

14 Problema de Valores de Cooro para λ > 3 de 8 Vamos agora prorar oros aovalores e aofções de y + λ y y y π Cosideremos separadamee os asos λ < λ e λ >. Spoha primeiro qe λ >. Para eviar o apareimeo de siais de raízes qadradas seja λ µ ode µ >. Nosso PVC é eão y + µ y y y π A solção geral é y os µ + si µ A primeira odição de ooro reqer eqao a segda é saisfeia idepedee de oado qe µ 3.

15 Aovalores e aofções para λ > 4 de 8 Temos λ µ e µ. Porao os aovalores de são y + λ y y y π λ λ 4 λ 9 λ 3 Com as segies aofções orrespodees y ode a si y a a a a si y3 3 si 3 si são osaes a y a arbirárias. A esolha de ada osae pode se obemos assim y si y si y 3 si 3 y si

16 Problema de Valores de Cooro para λ < 5 de 8 Spoha agora λ < e seja λ -µ ode µ >. Eão osso problema de valor de ooro ora-se y µ y y y π A solção geral é y osh µ + sih µ Nós esolhemos oshµ e sihµ em vez de e µ e e -µ por oveiêia e apliado as odições de ooro. A primeira odição de ooro reqer qe e para a segda odição de ooro emos. Assim a úia solção é y e porao ão há aovalores egaivo para ese problema.

17 Problema de Valores de Cooro para λ 6 de 8 Agora spoha λ. eão osso problema ora-se y y y π A solção geral é y + A primeira odição de ooro reqer qe e para a segda odição ós emos. Assim a úia solção é y e λ ão é m aovalor para ese problema.

18 Aovalores reais 7 de 8 Assim só emos aovalores reais de y + λ y y y π são da forma λ om aofções orrespodees proporioais a y si y si y 3 si 3 y si Eise a possibilidade de aovalores ompleos mas em parilar para o PVC pode ser mosrado qe ão eise aovalores ompleos. Uma das propriedades úeis dessa lasse é qe odos os aovalores são reais.

19 Problema de Valores de Cooro em [ ] 8 de 8 Vamos osiderar PVC em iervalos da forma [ ]: y + λ y y y Se ós ormarmos λ µ µ > omo aes a solção geral é y os µ + si µ A primeira odição de ooro reqer e a segda reqer µ π / idepedee do valor de. Assim omo aes os aovalores e aofções são λ π / y siπ / ode as aofções y esão deermiadas a meos de ma osae mlipliaiva.

20 .5: Separação de Variaveis; Codção de Calor em ma Barra As eqações difereiais pariais básias de odção de alor propagação de odas e eoria do poeial qe vamos disir esão assoiadas a rês ipos disios de feômeos: proessos de difsão proessos osilaórios e proessos idepedees do empo o esaioários. Coseqeemee elas são de imporâia fdameal em mios ramos da físia e de grade sigifiâia do poo de visa da maemáia. As EDP's ja eoria esá melhor desevolvida e jas apliações são mais sigifiaivas e variadas são as eqações lieares de segda ordem. Todas essas eqações podem ser lassifiada em rês ipos: A eqação de alor a eqação de oda e a eqação do poeial.

21 Codção de alor em ma Barra: Cosiderações de 6 Cosidere m problema de odção de alor em ma barra de seção rea iforme feia om maerial homogêeo. Esolha o eio dos de modo a formar o eio da barra de modo qe e orrespodem às eremidades da barra. Spoha qe os lados da barra esão perfeiamee isolados de modo qe ão há rasmissão de alor ai. Assmiremos qe as dimesões da seção rea são ão peqeas qe a emperara pode ser osiderada osae em qalqer seção rea. Eão só depede da oordeada aial e do isae.

22 Eqação da odção do alor de 6 A variação da emperara a barra é goverada pela eqação da odção do alor e é da forma α < < > ode α é ma osae oheida omo difsividade érmia. O parâmero α depede somee do maerial do qal a barra foi feia e é defiida por α κ/ρs ode κ é a odividade érmia ρ é a desidade e s é o alor espeífio do maerial da barra. A idade de α são omprimeo /empo. Veja Tabela.5. para valores ípios de α.

23 Codção de alor: Codições Iiiais e Cooro 3 de 6 Além disso vamos spor qe a disribição iiial de emperara a barra é dada por: f ode f é ma fção dada. Fialmee spomos qe as eremidades da barra são maidas a emperara fias: a emperara T em e T em. Agora vamos osiderar somee o aso T T mais a free vermos o aso geral e omo redzi-lo a ese aso. Assim emos as odições de ooro >

24 Problema da odção de alor 4 de 6 Assim o problema fdameal da odção do alor é eorar qe saisfaz α < < > > f Com respeio a variável empo ese é m problema de valor iiial; é dada ma odição iiial e a eqação difereial deermia o qe aoee depois. Com respeio a variável espaial ese é m problema de valor de ooro; as odições de ooro são imposas em ada eremidade da barra e a eqação difereial desreve a evolção da emperara o iervalo ere elas.

25 Codção de alor: Problema de Cooro 5 de 6 De oro poo de visa podemos osiderar o problema omo sedo m problema de valores de ooro o plao. Nese aso prora-se a solção qe saisfaz a eqação do alor a faia semi-ifiia < < > sjeia à odição de qe em qe assmir m valor dado em ada poo da froeira dessa faia. α < < > > f

26 Codção do Calor: Eqação iear Homogêea 6 de 6 O problema da Codção de Calor α < < > > f é liear. A eqação difereial e as odições de ooro são ambém homogêeas. Isso sgere qe podemos abordar o problema prorado solções da eqação difereial e das odições de ooro fazedo depois ma sperposição para saisfazer a odição iiial.

27 Méodo de Separação de Variáveis de 7 Nosso objeivo é prorar solções ão riviais da eqação difereial e odições de ooro. Assmiremos qe a solção possi a forma X T Sbsiido dada aima a eqação difereial Obemos α o α X T X T X T X α T

28 Eqações Difereiais Ordiárias de 7 Temos X T X α T Noe qe o lado esqerdo só depede de e o lado direio de. Assim para qe esa eqação seja válida em < < > é eessário qe ambos os lados da eqação seja igal a ma mesma osae hamamos de -λ. Eão X T X + λ X λ X α T T + α λ T Assim a eqação difereial parial é sbsiída por das eqações difereiais ordiárias.

29 Codições de Cooro 3 de 7 embre-se osso problema origial é α < < f > > Sbsiido XT as odições de ooro em X T Como esamos ieressados em solções ão riviais pedimos X ma vez qe T para >. Aalogamee X. Temos porao o segie problema de valor de ooro X + λ X X X

30 Aovalores e aofções 4 de 7 Assim X + λ X X X Porao as úias solções ão riviais para o problema de valor de ooro são as aofções si π / 3 X assoiadas aos aovalores λ π / 3 Com eses valores para λ a solção para a eqação de primeira ordem T + α λ T é π α / T k e k osae.

31 Solções Fdameais 5 de 7 Assim ossas solções fdameais são da forma π α / e si π / 3 ode desprezamos as osaes arbirárias de proporioalidade. As fções são hamadas às vezes solções fdameais do problema de odção de alor. Resa apeas saisfazer a odição iiial f embre-se de qe resolvemos mias vezes problemas de valor iiial formado ombiações lieares de m ojo fdameal de solções e esolhedo depois os oefiiees qe saisfazem as odições iiiais. Aqi emos m úmero ifiio de solções fdameais..

32 Coefiiees de Forier 6 de 7 Nossas solções fdameais são embrado da odição iiial Porao assmimos qe ode são omadas al qe as odições iiiais são saizfeias: Esolhedo os oefiiees para ma série de Forier de seos. 3 / si / e π π α f / / si e π π α / si f π

33 Solção 7 de 7 Porao a solção do problema da odção do alor é dado por ode / / si e π π α d f / si π f > > < < α

34 Eemplo : Problema da Codção do Calor de 6 Eore a emperara em qalqer isae em ma barra de meal om 5 m de omprimeo isolada os lados a ma emperara iforme iiialmee de C em oda a barra e jas eremidades são maidas a C para odo >. Ese problema de odção de alor em a forma α 5 < < < < 5 5 > >

35 Eemplo : Solção de 6 A solção do osso problema de odção de alor é ode 4 5 Assim 5 si e f si 8 π π α /5 si π / 5 5 π / d si π / 5 4 π 5 π / 5 d os π e π α 5 si 8 / π 5 π d ímpar par

36 Eemplo : Covergêia Rápida 3 de 6 Assim a emperara ao logo da barra é dado por π α 8 π 5 e si π 5 O faor epoeial om poêia egaiva em ada ermo da série faz om qe ela ovirja rapidamee eeo para valores peqeos de o α. Porao reslados preisos podem ser obidos sado-se apeas algs poos ermos da série. Para apresear reslados qaiaivos ome em segdos; eão α em idade em m /se. Se esolhermos α isso orrespode a ma barra feia om m maerial jas propriedades érmias esão ere o obre e o almíio veja Tabela.5..

37 Eemplo : Gráfio da Temperara 4 de 6 O gráfio mosra a disribição de emperara a barra em diversos isaes diferees empos.fig. à esqerda. Observe qe a emperara vai dimiido sempre à medida qe a barra perde alor pelas eremidades. O modo o qal a emperara deai em m deermiado poo a barra fig. à direia ode aparee o gráfio da emperara em fção do empo para algs poos seleioados a barra.

38 Eemplo : Gráfio de 5 de 6 O gráfio ridimesioal de verss e. Observe qe obemos os gráfios aeriores fazedo a ierseção da sperfíie abaio om plaos ode o são osaes. A peqea odlação em resla da ilização de apeas m úmero fiio de ermos a série qe represea e da overgêia lea da série para.

39 Eemplo: Tempo em qe a emperara aige C 6 de 6 embrado qe a solção do osso problema é π α 8 π 5 e si π 5 Spoha qe qeiramos deermiar o empo τ para o qal a barra ieira aiga a emperara de C. Devido à simeria da disribição da emperara iiial e das odições de froeira o poo mais qee da barras é o ero Assimτ é deermiado resolvedo 5 para. Usado só o primeiro ermo da série de Forier aima obemos τ 5 l π π 8 / 8 se

40 .6: Oros problemas de odção de alor Na seção.5 osideramos o problema de odção de alor om solção Nese eságio esa é ma solção formal foi obida sem a jsifiaiva rigorosa dos proessos de limies evolvidos. Eqao ais jsifiaivas esão além do osso alae veremos eras araerísias a segir. f > > < < α d f e / / si / si π π π α

41 Solção Formal Uma vez obida a série e π α / si π / Pode ser mosrado qe em < < > a série overge para ma fção oía qe e pode ser allada por difereiação da série ermo a ermo e qe a eqação da odção de alor é efeivamee saisfeia. O argmeo depede de ada ermo edo m faor epoeial egaiva reslado a rápida overgêia da série. Um oro argmeo mosra qe saisfaz o limie e odições iiiais e porao a solção formal é jsifiado.

42 Codção do alor omo m proesso de savização Embora a disribição iiial de emperara f saisfaz as odições do Teorema.3. eorema de overgêia de Forier é oía por pares e porao pode ser desoía. No eao a solção é oia para valores arbirariamee peqeos de >. Iso ilsra o fao de qe a odção de alor é m proesso difsivo qe isaaeamee saviza qaisqer desoiidades qe podem esar presees a disribição da emperara iiial f.

43 Difsão do Calor Fialmee omo a disribição da emperara iiial f é limiada sege da eqação f si π / d Qe os oefiiees são ambém limiados. Assim apreseça do faor epoeial om poêia egaiva em ada ermo da série garae qe π α / Idepede das odições iiiais. lim e si π /

44 Codições de Cooro Não-Homogêeas de 5 Cosideremos agora o problema de odção de alor om odições de ooro ão homogêeas: Resolveremos ese problema redzido-o a m problema om odições de ooro homogêeas. A éia para redzir ese problema para o aso homogêea é sgerido por m argmeo físio al omo apresearemos a segir. f T T > > < < α

45 Disribição da emperara esado esaioário de 5 Depois de mio empo i.e. om aeipamos qe será alaçada ma disribição de emperara esaioária v a qal idepede do empo e das odições iiiais. Como v em qe saisfazer a eqação de odção do alor α < < emos v < < Além disso v deve saisfazer as odições de alor v T T v Resolvedo para v obemos v + T T T

46 Disribição da Temperara Trasiee 3 de 5 Reorado ao problema origial earemos epressar omo a soma da emperara do esado esaioário de disribiçãov e ora disribição rasiee de emperara w. Assim Uma vez qe em ma epressão para v eoramos w. Primeiro devemos eorar o valor de w omo sege. Sbsiido v + w em α obemos α w w om v v. A segir w saisfaz as odições de ooro e iiiais. w v + v f v w T T v w T T v w

47 Solção Trasiee 4 de 5 Porao o Problema de Valor de Cooro para w é ode A solção dese problema é feia omo a seção aerior ode v f w w w w w > > < < α / / si e w π π α d T T T f / si π T T T v +

48 Solção Não Homogêea 5 de 5 O osso problema valor de ooro origial é ão homogêeo Assim a solção v + w é dado por ode + + / / si e T T T π π α d T T T f / si π f T T > > < < α

49 Eemplo : Problema de Codção de Calor Não- Homogêeo de 3 Cosidere o problema de odção de alor ão homogêeo < < 3 > < < 3 A emperara do esado esaioário daisfaz v'' e as odições de ooro v e v3 5. Assim v +. A disribição de emperara rasiee w saisfaz o problema de odção de alor homogêeo > α w w w w < < 3 > w3 > [ 6 ] [ + ] 4 3 3

50 Eemplo : Solção de 3 A solção ão homogêea é dada pela disribição da emperara do esado esaioário v e a disribição da emperara rasiee w. Assim ode + + e π /3 si π / si π / 3 d

51 Eemplo : Gráfio da Solção 3 de 3 A figra abaio mosra m gráfio da disribição de emperara iiial 6 a disribição de emperara fial v + e disribição da emperara em dois empos iermédios. Noe-se qe a emperara iermédia saisfaz as odições de ooro em qalqer empo >. Qado amea o efeio das odições de ooro move-se gradalmee a parir das eremidades da barra em direção ao se ero.

52 Barra om Eremidades Isoladas de Spohamos agora qe as eremidades da barra esão isoladas de modo qe ão há rasferêia de alor aravés delas. Pode ser mosrado ver Apêdie A dese apílo qe a aa de flo de alor aravés de ma seção rasversal é proporioal à aa de variação da emperara a direção. Assim o aso de asêia de flo de alor o problema é da forma α < < f > > Ese problema pode ser resolvido sado o méodo de separação de variáveis.

53 Méodo de Separação de Variáveis de Assmiremos qe X T Sbsiido a eqação difereial α obemos o α X X X T X T α T T λ X T ode λ é ma osae. A segir osidere as odições de ooro. + + α λ X λ T

54 Do problema origial α Codições de Cooro 3 de < < f Sbsiido XT as odições de ooro X T Como esamos ieressados em solções ão riviais pedimos X' em vez de T para >. Aalogamee X'. Temos porao o segie problema de valor de ooro > > X + λ X X X

55 Problema de Valor de Cooro para λ < 4 de Assim devemos resolver o problema de Cooro X + λ X X X Pode ser demosrado qe as solções ão riviais eisem apeas se λ é real. Spoha λ < e seja λ µ ode µ é real e posiivo. Eão ossa eqação ora-se X µ X X X ja solção geral é X k sih µ + k osh µ Nese aso as odições de froeira reqerem k k e porao a úia solção é a rivial. Porao λ ão pode ser egaiva.

56 Problema de Valor de Cooro para λ 5 de Nosso Problema de Cooro é X + λ X X X Spoha λ. Eão ossa eqação ora-se X X X ja solção geral é X k + k A parir das odições de froeira k e k ão é deermiado. Daí λ é m aovalor om aofção X. Além disso a parir da eqação abaio T k 3 om k 3 osae. T + α λ T Sege-se qe C ode C k k 3 é ma osae.

57 Problema de Valor de Cooro para λ > 6 de Nosso Problema de Cooro é X + λ X X X Spoha λ > e seja λ µ ode µ é real e posiivo. Eão a ossa eqação ora-se X + µ X X X ja solção geral é X k si µ k os µ + Nese aso as odições de froeira aima eige k eqao k é arbirário desde qe µ π /. Assim ossos aovalores e aofções são λ π / X osπ /

58 Solções Fdameais 7 de Para aovalores λ π / a eqação Tem solção Combiado odos esses reslados emos as segies solções fdameais para o osso problema origial: ode as osaes arbirárias de proporioalidade foram omiidas. + T T λ α osae. / k e k T π α / os / e π π α

59 Codições Iiiais 8 de Como ao a eqação difereial qao as odições de ooro são lieares e homogêeas qalqer ombiação liear fiia de solções fdameais as saisfazem. Vamos spor qe isso ambém é verdade para ma ombiação liear ifiia overgee de solções fdameais. Assim para qe as odições iiiais sejam saisfeias assmimos f + / / os e π π α

60 Codições Iiiais 9 de Assim para qe as odições iiiais sejam saisfeias f assmimos π α / + e os π / ode são esolhidos de modo qe a odição iiial é saisfeia: f + os π / Assim omado os oefiiees para a série de Forier de osseos: π / f os d

61 Solção de Porao a solção para o problema de odção de alor para ma barra om os eremos isolados é dado por ode f > > < < α + / / os e π π α d f / os π

62 Ierpreação Físia de A solção do osso Problema de Codçao de Calor π α / + e os π / pode ser osiderada omo a soma da disribição de emperara do esado esaioário dado por / qe é idepedee do empo e ma solção rasiória dada por série qe ede a om. Fisiamee ós esperamos qe o proesso de odção de alor irá gradalmee iformizar a disribição de emperara a barra. Observe qe o valor médio da disribição de emperara iiial é f d

63 Eemplo : Problema de Codção de Calor de 4 Eore a emperara em ma barra meália om 5 m omprimeo isolada ao as eremidades qao os lados ja disribição iiial de emperara é para < < 5. Ese problema de odção de alor em a forma α < < < < > >

64 Eemplo : Solção de 4 A solção do osso problema de odção de alor é π α / 5 + os / 5 e π ode Assim d 5 os / π π / 5 d ímpar par 5 π π / π α /5 e os 5 35

65 Eemplo : Covergêia Rápida 3 de 4 A emperara ao logo da barra é dada por 5 π α /5 e os π / 5 π 35 O faor epoeial egaivo em ada ermo faz om qe a série ovirja rapidamee eeo para peqeos valores de o α. Porao reslados aproimados podem geralmee ser obidos sado apeas algs ermos da série.. A fim de apresear os reslados qaiaivos ome medidos em segdos; eão α possi idades m /se. Se omarmos α por oveiêia eão a barra é eia de m maerial jas propriedades siam-se ere o obre e almíio Tabela.5..

66 Eemplo : Gráfio da Temperara 4 de 4 O gráfio da disribição de emperara a barra é apreseado abaio para vários empos. Observa-se qe à medida qe amea o empo a disribição de emperara ao logo da barra é savizada para o valor médio.5 da disribição de emperara iiial < < 5.

67 Problemas Mais Gerais de O méodo de separação de variáveis podem ambém ser sados para resolver os problemas de odção de alor om as odições de ooro diferees dos disidos esa seção. Por eemplo a eremidade esqerda da barra pode ser maido a ma emperara T fio eqao a ora eremidade é isolada. Nese aso as odições de ooro são T > O primeiro passo é o de redzir as odições espeífias para aqelas homogêeos sbraido a solção do esado esaioário. O problema reslae é resolvido por m proedimeo praiamee idêio ao dos problemas aeriormee osiderados.

68 Problemas Mais Gerais de Um oro ipo de odição de limie oorre qado a aa de flo de alor aravés da eremidade da barra é proporioal à emperara. as odições de ooro ese aso êm a forma h + h > ode h e h são osaes ão egaivas. Se apliarmos o méodo de separação de variáveis para o problema da odção de alor om as odições de froeira aima emos X + λ X X h X X + h X Como aes somee para eros valores ão egaivos de λ qe origiam solções fdameais qe podem eão ser sobreposas de modo a formar ma solção geral qe saisfaz a odição iiial.

69 .7: A Eqação da Oda: Vibrações de ma Corda Elásia Uma segda eqação difereial parial qe oorre om freqêia em maemáia apliada é a eqação de oda. Algma forma dessa eqação o ma geeralização qase qe ieviavelmee aparee em qalqer aálise maemáia de feômeos evolvedo a propagação de odas em m meio oío. Esdos de odas aúsias odas de ága odas eleromagéias e odas sísmias baseiam-se odos essa eqação. Talvez a maeira mais simples de visalizar esa siação oorre a ivesigação de vibrações meâias.. Nesa seção osso foo é em vibrações de ma orda elásia. Pode-se pesar essa orda elásia omo sedo ma orda de violio o m eseio o possivelmee m abo de força.

70 Cordas Vibrado: Sposições de 5 Spoha qe m fio elásio de omprimeo é firmemee esiado ere dois spores o mesmo ível horizoal. De modo qe o eio dos eseja ao logo da orda e seja e as eremidades da orda. Spoha qe a orda é oloada em movimeo de modo qe vibra em m plao verial e deoe por o desloameo verial da orda o poo o isae. Desprezados os efeios de amoreimeo omo a resisêia do ar e a amplide do movimeo ão é mio grade.

71 Eqação da Oda de 5 Parido desas sposições a vibração das ordas é goverada pela eqação de oda idimesioal qe em a forma a < < > O oefiiee osae a é dado por a T /ρ ode T é a esãoforça a orda ρ é a massa por idade de omprimeo do maerial da orda. Eão a em idades de omprimeo/empo. Mosra-se qe a é a veloidade de propagação das odas ao logo da orda.

72 Eqação da Oda: Codições de Cooro e Iiial 3 de 5 Assmiremos qe as eremidades permaeem fias Como a eqação difereial é de segda ordem em relação a é razoável desrever das odições iiiais: a posição iiial e a veloidade iiia: f g ode f e g são fções dadas. Para qe esas odições possam ser osisees pedimos f f g g

73 Problema da Eqação da Oda 4 de 5 Assim o Problema da Oda é a < f < > g Esse é m problema de valor iiial a variável emporal e m problema de valores de ooro a variável espaial. De oro poo de visa ambém pode ser osiderado omo m problema de valores de ooro a faia semi-ifiia << > o plao. São imposas ma odição em ada poo dos lados semi-ifiios e das odições em ada poo da base.

74 Problema da Eqação da Oda 5 de 5 A eqação da oda modela m úmero grade de oros problemas odlaórios além das vibrações rasversas de ma orda elásia. Por eemplobasa ierprear a fção e a osae a apropriadamee para se er problemas qe raam de odas em m oeao odas aúsias o eleromagéias a amosfera o odas elásia em m orpo sólido. Se o problema iver mais de ma dimesão espaial sigifiaiva eão a eqação em qe ser ligeiramee geeralizada:d + yy a Esa eqação pode ser sada para desrever o movimeo de ma pele de ambor fias om ooro adeqado e odições iiiais.

75 Desloameo Iiial Não lo de 9 Spoha primeiro qe a orda é desloada em relação a sa posição de eqilíbrio e sola depois o isae om veloidade la para vibrar livremee. O desloameo verial em qe saisfazer a < < > f ode f é ma fção dada qe desreve a ofigração da orda em. Nós saremos o méodo de separação de variáveis para ober a solção dese problema.

76 Méodo Separação de Variáveis de 9 Spodo qe X T Sbsiido a eqação obemos a a X T X T o X X T a T λ ode λ é ma osae. X T + + λ X a λ T

77 Codições de Cooro 3 de 9 embrado qe o problema de vibrações é a < < f > Sbsiido XT a segda odição iiial em eoramos qe X T T Aalogamee a odição de ooro reqer X X : X T X T Temos porao o segie problema de valor de ooro em : X + λ X X X

78 Aovalores e aofções 4 de 9 Ese problema êm solção ão-rivial se e somee se ivermos as aofções X si π / 3 assoiadas om os aovalores λ π / 3 Usado os valores de λ a solção para a eqação é T + a λ T T k os π a / + k si π a / ode k k são osaes. Como T' k e ode a T k os π /

79 Solções Fdameais 5 de 9 Assim ossas solções fdameais em a forma si π / os π a / 3 ode ós omiimos as osaes de proporioalidade. Para saisfazer as odições iiiais assmimos f π / os π a / ode são esolhidas de al forma qe faisfazem as odições iiiais: si f si π π / f si / d

80 Solção 6 de 9 Porao a solção do problema de vibrações a < < > f é dado por ode si π / os π a / f si π / d

81 Freqêia Naral 7 de 9 Nossa solção é si π / os π a / Para valores fios de a epressão si π / os π a / é periódia o empo om período T /a ela represea m movimeo vibraório da orda om freqêia π a /. As qaidades λ a π a / for são as freqêias arais da orda iso é freqêias as qais a orda vibra livremee.

82 Modo Naral 8 de 9 Nossa solção é Para m valor fiado de o faor si π / os π a / si π / represea o desloameo padrão qe oorre a orda ao vibrar a freqêia dada. Cada padrão de desloameo é hamado m modo aral de vibração e periódio a variável espaial. O período espaial / é hamado o omprimeo de oda do modo de freqêia π a / para.

83 Gráfio dos Modos Narais 9 de 9 Assim os aovalores π / do problema de vibrações são proporioais aos qadrados das freqêias arais e as aofções seπ / dão os modos arais. Os rês primeiros modos arais esão esborçados abaio. O movimeo oal da orda é ma ombiação dos modos arais de vibração e ambém ma fção periódia o empo om período /a.

84 Eemplo : Problema da Corda vibrae de 5 Cosidere o Problema da orda vibrae da forma 4 < < 3 > ode f 3 f / 3 / < 3 3

85 Eemplo : Solção de 5 A solção de osso problema da orda vibrae é ode si π / 3 os π / 3 si si π / 3 π Assim 3 π / 3 d + si π / 3 3 d 9 π π / 3 si π / 3 os π / si 3

86 Eemplo : Desloameo Padrão 3 de 5 O gráfio abaio para valores fios de mosra o desloameo padrão da orda para diferees empos. Noe qe o desloameo iiial máimo é posiivo e oorre para eqao em 5 meio período mais arde o desloameo máimo é egaivo e oorre em. A orda eão refaz se movimeo e vola à ofigração origial em 3.

87 Eemplo : Comporameo espaial ao logo do empo 4 de 5 O gráfio abaio de para valores fios de mosra o omporameo dos poos da orda 5 e om o avaço do empo. Os gráfios ofirmam qe o movimeo é periódio om período 3. Observe ambém qe ada poo ierior a orda fia parado drae m erço de ada período.

88 Eemplo : Gráfio de 5 de 5 Gráfio ridimesioal de em fção de e.

89 Jsifiaiva da Solção de Nesa fase a solção para o problema da orda vibrae é ode si π / os π a / f si π / d é somee ma solção formal para garair qe de fao represea a solção do problema dado é eessário qe se esdo mais a fdo. Por eqao al jsifiaiva esá além do osso alae ós só disiremos eras araerísias do argmeo aqi.

90 Solção Formal das Derivadas Pariais de É eador para ear jsifiar a solção sbsiido si π / os π a / a eqação difereial e as odições de ooro e iiiais. No eao ao allar formalmee por eemplo emos π si π / os π a / Devido ao faor o merador a séries pode ão overgir. Isso pode sigifiar ão eessariamee qe a série de esá iorrea mas qe ão pode ser sada para allar e.

91 Comparação das Solções Formais 3 de Uma difereça básia ere a solção da eqação da oda si e da eqação do alor e π / os π a / π α / si π / É a preseça dos ermos epoeiais egaivos a segda o qal se aproima de zero rapidamee e assegra a overgêia da solção em série e de sas derivadas. Em orase as solções da séries da eqação da oda oém somee ermos osilaórios qe ão deai om o resimeo de.

92 Forma Aleraiva para Validação da Solção 4 de Eise ma forma aleraiva para validar ossa solção si π / os π a / idireamee. Nós ambém gaharemos iformação adiioal sobre a esrra da solção. Vamos mosrar primeiro qe a solção é eqivalee a [ h a + h ] + a ode h é a eesão periódia ímpar de f: f h h + h f < <

93 Epressão Aleraiva para Solção 5 de Como h é ma eesão ímpar de f ela possi ma série de seos de Forier h si π / f si π / d Eão sado a ideidade rigooméria si A ± B si Aos B ± os Asi B obemos h a h + a Usado esas eqações obém-se [ si π / os π a / os π / si π a / ] [ si π / os π a / + os π / si π a / ] π / os π a / [ h a + h a ] si +

94 Coiidade da f 6 de Assim h a + h + a < > ode [ ] f h h + h f < < Eão é oía em < < > desde qe h seja oía o iervalo -. Iso reqer qe f seja oía o iervalo origial [ ]. Além disso lembre-se qe as odições de ompaibilidade o problema orda vibrae reqerem f f. Assim h h h - ambém.

95 Coiidade da f ' e f '' 7 de Temos > ode [ h a + h + a ] < f h h + h f < < Noe qe é das vezes oiamee difereiável om respeio a qalqer ma das variáveis de < < > desde qe h seja das vezes oiamee difereiável em -. Iso reqer qe f ' e f '' seja oía em [ ].

96 Temos ode Codições os eremos para f '' 8 de [ h a + h + a ] < > f h h + h f < < Assmido qe h é das vezes oiamee difereiável em -. Como h'' é a eesão ímpar de f '' emos qe f '' e f ''. Desde qe h' seja a eesão par de f ' ão são eessárias odições adiioais sobre f '.

97 Solção da Eqação da Oda 9 de Temos h a + h + a < > ode [ ] f h h + h f < < Desde qe odas esas odições forem saisfeias e podem ser alladas pelas formlas aima para e h. Pode-se eão mosrar qe esas derivadas saisfazem a eqação de oda e as odições de ooro e iiiais são saisfeias. Assim é ma solção para o problema da orda vibrae ode si π π / os π a / f si / d

98 Efeios da desoiidades iiiais de Se algmas das odições eiadas aeriormee ão forem saisfeias eão ão vai ser difereiável em algs poos da faia semi-ifiia < < e > e assim é ma solção da eqação de oda apeas em m seido m ao resrio. Uma oseqêia físia imporae dessa observação é qe se o dado iiial f em algma desoiidade ela será preservada a solção drae odo o empo. Em orase em problemas de odção de alor desoiidades iiiais são imediaamee savizados.

99 Problema Geral para a Corda Elásia f de 6 Spoha qe a orda é oloada em movimeo a parir de sa posição de eqilíbrio om ma veloidade iiial dada. Eão o desloameo verial saisfaz a < < > g ode g é a veloidade iiial da orda o poo. Usaremos o Méodo Separação de Variáveis para eorar a solção dese problema.

100 Méodo Separação de Variáveis de 6 Tomado X T Temos das eqações difereiais X + λ X T + a λ T A odição de ooro pede qe X X eão X + λ X X X Para ermos solções ão riviais os aovalores e aofções para ese problema são λ π / X si π / 3 Eão T saisfaz T + a π / T

101 Codições de Cooro 3 de 6 embre qe as odições iiiais são g Sbsiido XT a primeira desas odições X T T Porao T saisfaz T + a π / T T om solção T k os π a / + k si π a / ode k k são osaes. omo T sege qe k e porao a T k si π /

102 Solções Fdameais 4 de 6 Assim ossas solções fdameais são da forma si π / si π a / 3 ode omiimos as osaes. Para saisfazer a odição iiial assmimos g k π / si π a / ode k são esolhidos al qe as odições iiiais são saisfeias. k si

103 Codição Iiial 5 de 6 Assim ode k são esolhidos al qe as odições iiiais são verifiadas: Por isso o / si / si a k k π π / si k a g π π d g k a / si π π d g a k / si π π

104 Solção 6 de 6 Porao a solção do problema da orda vibrae é dado por ode / si / si a π π g a > < < d g a / si π π

105 Problema Geral para a Corda Elásia de 3 Spoha qe a orda é posa em movimeo a parir de ma posição iiial geral om ma deermiada veloidade. Eão o desloameo verial saisfaz a < < > f g ode f é a posição iiial e g é a veloidade iiial da orda o poo. Podemos sar o Méodo Separação de Variáveis para ober a solção. No eao é imporae observar qe ele ambém pode ser resolvido somado-se simplesmee as das solções obidas aeriormee.

106 Problemas em Separados de 3 Seja v saisfazedo e seja w saisfazedo Eão v + w saisfaz o problema geral v f v v v v v a > < < g w w w w w w a > < < g f a > < <

107 Sperposição 3 de 3 Eão v + w saisfaz o problema geral ode Esa é ma ora apliação do priípio da sobreposição d g a k a k w d f a v / si / si / si / si / os / si π π π π π π π g f a > < <

108 .8: Eqação de aplae Uma das eqações difereiais pariais mais imporaes qe oorrem em maemáia apliada é a Eqação de aplae. Em das dimesões esa eqação é da forma + yy e em rês dimesão + yy + zz Por eemplo o problema de odção de alor em das dimesões a emperara y saisfaz a eqação difereial α + yy ode α é a difsividade érmia. Se eisir m esado esaioário eão é ma fção somee de e y e a derivada em relação a desaparee.

109 Eqação do Poeial A fção poeial de ma paríla livre o espaço sob a ação apeas de forças graviaioais saisfaz a eqação + yy ode a eqação de aplae é oheida Eqação do Poeial. Em elasiidade os desloameos qe oorrem qado ma barra perfeiamee elásia é orida são desrios em ermos da fção de deformação qe ambém saisfaz a eqação + yy Vamos oerar a eqação de aplae o aso bidimesioal.

110 Codições de Cooro de 4 Como ão eise depedêia o empo os problemas meioados + yy ão eisem odições iiiais a serem saisfeias pelas solções. No eao elas saisfazem eras odições de ooro em ma rva o sperfíie qe mara a froeira da região a qal a eqação difereial vai ser resolvida. Como a eqação de aplae é de segda ordem paree razoável esperar qe sejam eessárias das odições de ooro para deermiar ompleamee a solção. Isso ão oorre omo veremos a segir.

111 Codições de Cooro de 4 embrado da odção de alor em ma barra: α < < > T T f Noe qe foi eessário presrever ma odição em ada eremo da barra iso é ma odição para ada poo do ooro. Geeralizado esa observação para problemas mlidimesioal é aral presrever ma odição para em ada poo da froeira de ma região a qal a solção é prorada. >

112 Tipos oms de odições de ooro 3 de 4 A odição de ooro mais omm oorre qado é espeifiado o valor de em ada poo a froeira. Em ermos do problema de odção de alor isso orrespode a desrever a emperara a froeira. Em algs problemas é dado o valor da derivada o aa de variação de a direção ormal à froeira. Por eemplo a odição sobre m orpo ermiamee isolado é desse ipo. É possível a oorrêia de odições de ooro mais ompliadas por eemplo pode ser espeifiado em pare da froeira e sa derivada ormal espeifiada a ora pare.

113 Codições de Dirihle e Nema 4 de 4 O problema de eorar ma solção da eqação de aplae om valores de dados a froeira é oheido omo m Problema de Dirihle. O problema de eorar ma solção da eqação de aplae se os valores da derivada ormal de são dados a froeira é oheido omo m Problema de Nema. Os problemas de Dirihler e Nema ambém são oheidos omo o primeiro e o segdo problemas de valores de ooro da eoria do poeial respeivamee. Eisêia e iidade da solção da eqação de aplae sob esas odições de ooro podem ser mosrados desde qe a forma do ooro e as fções qe apareem as odições de ooro saisfazer eras odições bem fraas.

114 Problema Dirihle para m Reâglo de 8 Cosidere o segie problema de Dirihle em m reâglo: + < < a < y < b yy b < < a y a y f y y b ode f é ma fção dada y b.

115 Méodo Separação de Variáveis de 8 Assmido y X Y y Sbsiido-o a eqação difereial + yy obemos o X Y + X Y X X Y Y λ X Y + λ X λ Y ode λ é ma osae.

116 Codições de Cooro 3 de 8 Problema de Dirihle é Sbsiido y XYy as odições de ooro homogêeo eoramos < < < < b Y a b Y X b Y a Y X X b y y Y X y b y y f y a y a b b y a yy < < < < < < +

117 Aovalores e aofções 4 de 8 Obemos eão das eqações difereiais ordiárias: X λ X X ; Y + λ Y Y Y b Como vimos aeriormee sege qe λ π / b Y y si π y / b 3 Com eses valores para λ a solção para a eqação é X X λ X π / b + k sih π / k osh b ode k k são osaes. omo X k e assim b X ksih π /

118 Solções Fdameais 5 de 8 Assim ossas solções fdameais em a forma y sih π / b si π y / b 3 Ode omiimos as osaes. Para saisfazer a odição em a a y f y y b assma qe y y sih π / b si π y / b ode as são esolhidas al qe saisfazem as odições iiiais.

119 Codição Iiial 6 de 8 Assim ode as são esolhidas al qe saisfaz a odição iiial: Porao o b dy b y y f b b a / si sih π π b y b a y f y a / si / sih π π / si / sih b y b y π π b dy b y y f b a b / si sih π π

120 Solção 7 de 8 Porao a solção do problema de Dirihle é dado por ode b dy b y y f b a b / si sih π π / si / sih b y b y π π b y y f y a y a b b y a yy < < < < < < +

121 Nossa solção é ode y Covergêia Rápida 8 de 8 sih b sih π a b π / b si π y / b b f ysi π y / b Para grade sih e e - / e / e logo π / b sih π / b e π a / b e π a / b sih π a / b e Esse faor ompora-se omo ma epoeial om poêia egaiva. A represeação em série de of aima overge rapidamee a memos qe a seja mio peqeo. dy

122 Eemplo : Problema de Dirihle de Cosidere o segie problema a forma ode y y y y y f < < < < < < + y y f y y y yy

123 Eemplo : Solção de A solção do osso problema de Dirihle 8si π / si π / os π π sih3π / O gráfio de y é dado abaio á direia e o gráfio oedo rvas de ível de y esá à esqerda.

124 Problema de Dirihle em m Círlo de 8 Cosidere o problema da eqação de aplae em ma região irlar r < a sjeia à odição de ooro a θ f θ θ < π ode f é ma fção dada. Em oordeadas polares a eqação de aplae em a forma r r rr + r + θ θ Pedimos qe rθ seja periódia em θ om período π e qe rθ seja limiada para r a.

125 Méodo Separação de Variáveis de 8 Vamos spor qe r θ R r Θ θ Sbsiido a eqação difereial de aplae obemos o r R R r + r R R r rr + r + θ θ Θ Θ ode λ é ma osae. R Θ + R Θ + RΘ r r λ r Θ R + + λ rr Θ λ R

126 Eqações para λ < λ 3 de 8 Como r é periódia em θ om período π pode-se mosrar qe λ é real. Cosideremos o aso λ < λ e λ >. Se λ < seja λ -µ ode µ >. Eão Θ µ θ µ θ µ Θ Θ e + e Assim Θθ periódia somee se ; oli-se qe λ ão pode ser egaivo. Se λ eão a solção de Θ é Θ + θ. Assim Θθ periódia somee se ; logo Θθ é osae. Além disso a eqação para R é a eqação do ipo Eler r R + rr R r k + k l r Como r é limiado para r a k e assim Rr e osae. ogo a solção rθ é osae para λ.

127 Eqações para λ > 4 de 8 Se λ > ome λ µ ode µ >. Eão Θ + µ Θ Θ si µ θ + os µ θ Assim Θθ é periódia om período π somee se µ ode é m ieiro egaivo. Além disso a eqação orrespodee em R é a eqação de Eler µ r R + rr + µ R R r kr + kr Como r é limiado para r a k emos µ R r kr Sege qe ese aso a solção é da forma µ r θ r os θ v r θ r si θ

128 Solções Fdameais 5 de 8 Assim as solções fdameais de r r rr + r + θ θ são para r θ r θ r os θ v r θ r si θ De forma sal assmimos qe r θ + r os θ + k si θ ode e k são esolhidos de forma a saisfazer a odição de ooro a θ f θ θ < π

129 Como Codições de Cooro 6 de 8 ode e k são esolhido de forma a saisfazer a odição de ooro r θ + r si os θ + k θ a θ f θ + a os θ + k si θ θ < π A fção f pode ser esedida para for a dese iervalo θ < π de modo a fiar periódia de período π edo porao ma série de Forier da forma aima. Podemos allar os oefiiees e k sado a Fórmla de Eler- Forier.

130 Coefiiees 7 de 8 Como a eesão periódia de f em período π podemos allar ses oefiiees de Forier iegrado em qalqer período da fção. Em parilar é oveiee sar o iervalo origial π. Assim para f emos θ + a os θ + k si θ a a k π π π π f f θ θ os θ dθ si θ dθ 3

131 Solção 8 de 8 Porao a solção para o Problema de ooro é dado por ode Noe qe esse problema preisamos dos ermos em seos e em osseos a solção. Isso oorre porqe os dados de ooro foram dados em θ < π e êm período π. π θ θ θ θ θ < + + f a r r r rr si os + + k r r θ θ θ π π θ θ θ π θ θ θ π si os d f a k d f a

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