Matemática Fascículo 01 Álvaro Zimmermann Aranha

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1 Mateática Fascículo 0 Álvaro Ziera Araha

2 Ídice Fução Expoecial e Logaritos Resuo Teórico... Exercícios...4 Dicas...5 Resoluções...6

3 Fução Expoecial e Logaritos Resuo Teórico Potêcia Sedo a IR e IN, teos: 0 a Def.: a a a Cosequêcia: a a4a a4k 3a vezes Propriedades das Potêcias P: a a a P: a a a P3: (a ) a P4: (a b) =a b P5: a b a b Obs. : a (a 0) a Obs. : a a ( IN* e a 0) Fução Expoecial É toda fução da fora y = a x co a IR, a > 0 e a.

4 Gráficos da Fução Expoecial 0 < a < (fução decrescete) a > (fução crescete) Equação Expoecial Propriedade: Se a f(x) =a g(x) f(x) = g(x) Iequação Expoecial Se0<a<: a f(x) <a g(x) f(x) > g (x) iverte o setido (0 < base < ) Sea>: a f(x) <a g(x) f(x) < g(x) até o setido (base > ) Fução Logarítica Sedo x IR/ x > 0 e a IR e a > 0 etão: log a x=y x=a y Obs.: Codição de Existêcia Se y = log a x C. E. x 0 a 0 e a Gráficos da Fução Logarítica 0 < a < (fução decrescete) a > (fução crescete)

5 Propriedade dos logaritos P: log a (b. c) = log a b + log a c P: log b a = log a b log a c c P3: log a b = log a b P4: log b log a a b Fórula de udaça de base: log b a= log c a log b Equação Logarítica.o Tipo: log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x).o Tipo: log a f(x) = f(x) = a (IR) Obs.: Ao resolver as equações logaríticas, é ecessário verificar as codições de existêcia da equação iicial. Iequação Logarítica.o Tipo: log < log Se0<a< log a f(x) < log a g(x) f(x) > g(x) c iverte o setido (0 < base < ) Sea> log a f(x) < log a g(x) f(x) < g(x) até o setido (base > ).o Tipo: log < ( IR) Se0<a< log a f(x) < f(x) > a iverte o setido (0 < base < ) Sea> log a f(x) < f(x) < a até o setido (base > ) Obs.: Ao resolver as iequações logaríticas, é ecessário verificar as codições de existêcia da iequação iicial. 3

6 Exercícios 0. A figura ao lado ostra o gráfico da fução logarito a base b. O valor de b é: a. 4 b. c. 3 d. 4 e. 0 0.Oúerox>talquelog x = log 4 xé: a. b. c. d. e O úero real x que satisfaz a equação log ( x ) = x é a. log 5 b. log 3 c. d. log 5 e. log E que base o logarito de u úero atural, >, coicide co o próprio úero? a. b. c. d. e. 05. Cosidere a fução f, defiida por f(x)= log a x. Se f(a) = b e f(a+) =b+,osvalores respectivos de a e b são: a.e b.e c.3e d.3e e.4e 06. O ais aplo doíio real da fução dada por f(x) log 3 (x ) é a. xir x b. xir x c. xir < x d. { xir x } e. { xir x } x y y 07. Se o par ordeado (a; b) é a solução do sistea, etão a b é igual a log 0 (3x 4) log 0 (y ) a. b. 4 c. 6 d. 8 e. 9 4

7 Dicas 0. Observado o gráfico, veos que para x = 0,5 teos y =. Substituido xeyey=log b x, obteos b. 0. Resolver a equação a base, utilizado a propriedade de udaça de base: log a b= log c a log b c (b>0,a>0ea,c>0ec ) 03. Deveos ter x > 0 (codição de existêcia). Para resolver a equação, use a defiição de logarito (log a b=c b=a c ) e substitua x por y. 04. É dado o euciado que log x =(0<x e>).para obter a base x, aplique a defiição de logarito. 05. Coo f(x) = log a (x), f(a) =bef(a+)=b+,trocado-se x por a e por a+, obteos os valores de a e b Para deteriar o doíio de f(x) log 3 (x ),deveos ter log 3 (x ) 0.. Para resolver a iequação logarítica, basta otaros que são equivaletes as iequações: log a f(x) c log a f(x) c log a a log a f(x) log a a c f(x) a c sea>ec IR 07.. Obteha ua relação etre xeya.aequação do sistea, lebrado que a a (a IR * +, Ze IN*) e a b =a c b=c(0<a ).. Na.a equação do sistea, use a propriedade do logarito do produto: log a (b c) = log a b+log a c e a cosequêcia da defiição: log a b = log a c b=c(0<a,b>0ec>0). 3. Resolva o sistea obtido, equivalete ao sistea dado. 5

8 Resoluções 0. Alterativa d. Do gráfico, teos: x = 0,5 ey=. Sedo y=log b x, ve: = log b 0,5 =log b 4 b = 4 b=4 0. Alterativa b. log x = log 4 x Aplicado a propriedade de udaça de base: log a b= log c b (b>0,a>0ea,c>0ec ) teos: log log x log a log x log 4 c Coo log = e log 4 = ve: log x log x (log x) log x = log x = ou log x = ( ão serve pois x >) De log x= obteos, pela defiição de logarito, que x = 03. Alterativa e. Deveos ter > 0(codição de existêcia) log ( x )=x x = x x + x =0 ( x ) + x =0 Seja x =y y +y =0 y= 7 y= 4ouy=3 Sey= 4teosque x = 4 (ão cové, pois x > 0 para todo x real) Sey=3teosque x = 3, que satisfaz a codição x >0. Sedo x = 3, coclui-se que x=log Alterativa e. Seja x a base procurada. É dado o euciado que: log x =para0<x e> Assi, log x = x (x ) () x 6

9 05. Alterativa a. f(x) = log a (x) 0 a codições de existêcia e x 0 Se f(a) = b, teos que log a (a) = bb = Sef(a+)=b+,teosque log a (a+)=a =a+ a a =0 a= 3 a=,a= (ão serve) Resposta: a=eb= 06. Alterativa d. f(x) log (x ) 3 Para que exista f(x) IR, deveos ter: log 3 (x ) 0 log 3 (x ) 0 log 3 3 log 3 (x ) log 3 3º log 3 (x ) log 3 x x x Etão: D(f) = { x IR x } 07. Alterativa b. x+y y log 0 (3x 4) log0 0 + log 0 (y ) x y y x y y x y y x y log 0 (3x + 4) = log 0 0(y ) 3x+4=0(y ) 3x+4=0y 0 3x=0y 4 codição de existêcia: 0(y ) > 0 y> x y Assi, o sistea dado é equivalete a: 3x 0y 4 3x=0x 4 7x= 4 x= Coox = yteosquey = (satisfaz a codição y > ) Logo, a solução do sistea (a; b) é (; ) Etão: a b= =4 7