Introdução ao Método dos Elementos Finitos. Introdução ao Método dos Elementos Finitos

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Vitorino Monsanto Madureira
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1 Introdção ao Método do Eleento Fnto Introdção ao Método do Eleento Fnto

2 Prncípo do rabalo rta para a Elatcdade rdenonal Dene-e o trabalo rtal do eorço nterno a tenõe zz z e z para o capo da deoraçõe rta por: zz zz z z { } d O trabalo rtal do eorço eterno é dado por: onde: { } Introdção ao Método do Eleento Fnto e z w z d d z z z w z z z d

3 O Prncípo do rabalo rta para a elatcdade trdenonal pode er ecrto coo: d d d Motra-e qe: Dado e e e ão condçõe eqalente para o capo de tenõe {} atazer o Prncípo do rabalo rta para qalqer delocaento rtal e atazer eqlíbro.e. Introdção ao Método do Eleento Fnto

4 Prncípo do rabalo rta d d d para todo e z z z z z z z zz Eqlíbro z para todo e para todo e Introdção ao Método do Eleento Fnto

5 Introdção ao Método do Eleento Fnto O problea da elatcdade lnear pode er orlado ando o prncípo do trabalo rta. Deternar e tal qe d d d para todo e Eqlíbro a w z z z z z zz Copatbldade b C Eqação Conttta c

6 bttndo a eqaçõe de copatbldade e conttta b e c na epreão do prncípo do trabalo rta a obté-e a orlação oente e tero do delocaento Deternar tal qe C d d d endo-e obté-e e e C Introdção ao Método do Eleento Fnto

7 Prncípo do rabalo rta para a Elatcdade no Plano Etado Plano de enõe Partclarzando-e a epreão da elatcdade trdenonal para a condçõe de etado plano de tenão: e L { } { } / / { } d / / / d d zz d dzd dzdl d / L dzd dl Introdção ao Método do Eleento Fnto

8 Introdção ao Método do Eleento Fnto ando a notação: e denndo-e relta: dl d d L } { } { } { } { } { } {

9 Etado Plano de Deoraçõe coponente de deoração ão derente de zero e a coponente de tenão zz ão não nla então analogaente ao cao de etado plano de tenõe te-e: { } { } d { } { } d L { } { } dl Introdção ao Método do Eleento Fnto

10 Eqlíbro: Introdção ao Método do Eleento Fnto Conderando o Problea Plano d d dl onde L Copatbldade: Eqação conttta: C Introdção ao Método do Eleento Fnto

11 Introdção ao Método do Eleento Fnto Denndo-e eqação de copatbldade pode er reecrta coo: bttndo-e e na eqação de eqlíbro relta: dl d d C L

12 Forlação do Problea da Elatcdade Plana e ero de Delocaento Deternar o capo de delocaento {} {} = { } tal qe: C d d dl L para qalqer {} { } = { } tal qe {} = {} e L ao procrar a olção para a eqação aca conderando a deternada ora nconal para o delocaento. Introdção ao Método do Eleento Fnto

13 Para e denr ea ora condere: Y X ponto noda Y X Introdção ao Método do Eleento Fnto

14 ponto noda Y X Y X Introdção ao Método do Eleento Fnto

15 Condere eleento genérco k p l q g b/ b/ a/ a/ e a neração local dene-e Introdção ao Método do Eleento Fnto

16 Introdção ao Método do Eleento Fnto Então b a b a b a b a 3

17 Introdção ao Método do Eleento Fnto Dene-e o capo de delocaento no nteror do eleento por Nota-e qe analogaente Coo qando e qando

18 Introdção ao Método do Eleento Fnto Denndo-e onde: Pode-e ecreer H ˆ 3 3 H 3 3 ˆ

19 Condere: n onde =... n repreenta todo o delocaento noda do odelo. Pode-e ecreer: onde e para o eleento abao H k p l q g b/ b/ a/ a/ Introdção ao Método do Eleento Fnto

20 te-e H K q p g Conderando a relaçõe delocaento-deoraçõe onde e ando a eqação conttta H C endo qe C C para ateral oogêneo. Introdção ao Método do Eleento Fnto

21 Introdção ao Método do Eleento Fnto Lebrando o enncado do Prncípo do rabalo rta pode-e ecreê-lo conderando-e a nterpolação de eleento nto E conderando anda qe o delocaento rta ão nterpolado da ea ora qe o delocaento dl d d L H H

22 Introdção ao Método do Eleento Fnto então relta onde L L... L lado do eleento qe pertence a rontera do doíno L. e q e e n L L n n dl H d H d C...

23 Introdção ao Método do Eleento Fnto Denndo-e d C K e n K K d H R... L L dl H R q e n R R e n R R R R R Pode-e ecreer R K Coo o delocaento rta ão arbtráro {} pode er toado arbtraraente leando a: R K

24 Montage da Matrz de Rgdez Y k l p q g b/ b/ X K n e K K C d a/ a/... K oente e o gra de lberdade e pertencere ao eleento Introdção ao Método do Eleento Fnto

25 k Montage da Matrz de Rgdez p l q g b/ b/ a/ a/ Recorda-e nalogaente H N H 8 ˆ N 8 3 N 38 ˆ N 8 3 Introdção ao Método do Eleento Fnto

26 Introdção ao Método do Eleento Fnto Denndo 3 3 O tero de [K ] qe não ão encontrado e [k] ão nlo d C k k K ˆ 3 3

27 k Montage da Matrz de Rgdez l a/ a/ p q g b/ b/ Dene-e Introdção ao Método do Eleento Fnto LM q p l k g contrbçõe da atrz de rgdez do eleento para a atrz [K] pode er obtda oando-e k na poção qq de [K] k na poção qp de [K] 3 k 8 na poção qg de [K] k na poção pp de [K] k 8 na poção pg de [K] 3

28 Força Noda k p l q g b/ b/ a/ a/ F k F F K NN 6 N N F l 3 k ˆ F p F g F q 8 F 5 F 7 Introdção ao Método do Eleento Fnto

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