OYARZÚN HIGUERA, PABLO ENRIQUE Um esquema explícito baseado em funções de Green para propagação de ondas acústicas no domínio do tempo [Rio de

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2 OYARZÚN HGUERA, PABLO ENRQUE U esquea explícto baseado e funções de Green para propagação de ondas acústcas no doíno do tepo [Ro de Janero] 8 XV, 8 p. 9,7 c (COPPE/URJ, M.Sc., Engenhara Cvl, 8) Dssertação Unversdade ederal do Ro de Janero, COPPE. Equação escalar da onda. Análse transente 3. Eleentos de contorno 4. Eleentos fntos 5. Acoplaento teratvo. COPPE/URJ. Título (sére)

3 À nha esposa, Paola, e ao nosso flho, Dego.

4 Agradecentos Agradeço à PETROBRAS, a través do Centro de Pesqusas e Desenvolvento Leopoldo Mguez de Mello (CENPES), pela bolsa subnstrada durante o período de tepo e que o trabalho fo desenvolvdo, e ao professor Webe J. Mansur pela sába orentação ao longo deste tepo. Tabé aos agos do LAMEC/COPPE, pelos conhecentos outorgados e a portante contrbução ao nosso útuo crescento pessoal. v

5 Resuo da Dssertação apresentada à COPPE/URJ coo parte dos requstos necessáros para a obtenção do grau de Mestre e Cêncas (M. Sc.) UM ESQUEMA EXPLÍCTO BASEADO EM UNÇÕES DE GREEN PARA PROPAGAÇÃO DE ONDAS ACÚSTCAS NO DOMÍNO DO TEMPO Pablo Enrque Oyarzún Hguera everero/8 Orentador: Webe João Mansur Prograa: Engenhara Cvl O presente trabalho apresenta as forulações ateátcas do étodo dos eleentos de contorno e do étodo dos eleentos fntos, nclundo o trataento nuérco para ntegração teporal da equação escalar da onda e duas densões. Na forulação de eleentos de contorno, nclue-se os teros das condções ncas edante a pleentação de células no doíno, e se ncorpora o étodo θ lnear co a fnaldade de gerar resultados as estáves, no caso e que ua varação lnear no tepo para o fluxo for consderada. Na forulação para eleentos fntos, calcula-se a função de Green e fora explícta, para depos ser aplcada no processo de archa no tepo. Os étodos usados na obtenção da função de Green são os étodos explíctos de Runge-Kutta e das dferenças centras. nalente, é descrto u esquea de acoplaento teratvo entre os étodos dos eleentos de contorno e dos eleentos fntos, baseado na técnca de superposção de subdoínos, equvalente a defnr ua zona a ser dscretzada por abos os étodos. A técnca aqu descrta é adequada para odelar na análse da propagação de ondas acústcas e eos nfntos e senfntos, consequenteente podendo ser aplcada na gração reversa no tepo e geofísca, onde soente as condções naturas são prescrtas na superfíce do contnuo. v

6 Abstract of Dssertaton presented to COPPE/URJ as a partal fulfllent of the requreents for the degree of Master of Scence (M. Sc.) AN EXPLCT SCHEME BASED ON GREEN S UNCTONS APPLED TO ACOUSTC WAVES PROPAGATON N TME DOMAN Pablo Enrque Oyarzún Hguera ebruary/8 Advsor: Webe João Mansur Departent: Cvl Engneerng Ths work presents the atheatcal forulatons of the boundary eleent ethod and the fnte eleent ethod, ncludng the nuercal treatent for te ntegraton of the two-densonal scalar wave equaton. ntal condtons are ncluded n the boundary eleent ethod forulaton by consderng cells over the doan where those condtons are prescrbed, and the lnear θ ethod s pleented to prove the stablty of the results, n the case that a te lnear nterpolaton functon s assued to represent the flux varaton. n the fnte eleent ethod, the Green s functon s deterned and t s then appled n the te steppng process. The Runge- Kutta and central dfferences ethods are used to copute the Green s functon explctly. nally, a boundary eleent and fnte eleent teratve couplng schee s descrbed, based on overlappng doan decoposton approach, equvalent to defne a zone that s dscretzed by both ethods. The technque descrbed here s sutable for odelng the acoustc waves propagaton n nfnte or se-nfnte eda, thus can be appled to reverse graton n geophyscs, where only natural condtons are prescrbed on the boundares. v

7 Índce. ntrodução.... Observações prelnares.... Breve revsão bblográfca....3 Objetvos e conteúdo do presente trabalho.... orulação do MEC.... Equação escalar da onda.... Solução fundaental, forulação ntegral....3 pleentação nuérca....4 ntegras das contrbuções das condções ncas....5 Dervadas das contrbuções das condções ncas....6 Contrbuções dos teros das fontes concentradas....7 Método θ lnear aplcado ao MEC, no doíno do tepo orulação do ME Descrção do étodo dos eleentos fntos, dscretzação no espaço aíla de algortos de Newark, dscretzação no tepo Métodos de Green, dscretzação no tepo orulação de Green Método ExGA Runge-Kutta Método ExGAH dferenças centras Técncas de acoplaento MEC/ME do tpo teratvo Antecedentes prelnares Descrção das técncas de acoplaento teratvo MEC/ME Método e paralelo Schwarz Neuann-Neuann (análse estátca) Método e paralelo Schwarz Drchlet-Neuann (análse estátca) v

8 4..3 Método seqüencal Schwarz Drchlet-Neuann (análse estátca) Método seqüencal baseado na exstênca de ua regão dscretzada pelos dos étodos (análse estátca) Método seqüencal baseado na exstênca de ua regão dscretzada pelos dos étodos (análse dnâca) Exeplos nuércos, análse de resultados Consderações prelnares Barra fxa e u extreo, co fluxo aplcado na extredade lvre Barra fxa e u extreo, co fluxo aplcado na extredade lvre e condções ncas Mebrana sob condção ncal de velocdade Conclusões Consderações e conclusões a partr do trabalho Sugestões para futuras pesqusas Referêncas bblográfcas... Apêndces... Apêndce A: ntegras dos coefcentes das atrzes G e H do MEC... Apêndce B: ntegras das contrbuções dos teros das condções ncas no MEC... Apêndce C: Detalhes da obtenção de alguas equações do ME v

9 Lsta de fguras gura.: Geoetra do contnuo de doíno Ω e contorno Γ... gura.: Representação do ponto fonte e do ponto capo, no contorno e no nteror do doíno. Representação do vetor r... gura.3: Sgnfcado geoétrco do tero c( S )... gura.4: gura.5: gura.6: Esquea de cálculo dos coefcentes das atrzes G e H na archa do tepo... unção de nterpolação lnear para φ e θ... unção de nterpolação constante para θ... gura.7: Dscretzação lnear do contorno Γ... gura.8: unção de nterpolação lnear no espaço para u, v e p no contorno Γ... gura.9: Coordenadas de área e valores de u e v na célula... gura.: Coordenadas absolutas e relatvas ao nó... gura.: Conceto geoétrco do ( ) r θ... gura.: Esquea no tepo para o étodo θ lnear... gura 3.: Esquea geoétrco referente à técnca para aproxar a ntegral e (3.3)... gura 4.: Regão dscretzada pelo MEC, para o étodo baseado e ua nterface entre as duas regões... gura 4.: Regão dscretzada pelo ME, para o étodo baseado e ua nterface entre as duas regões... gura 4.3: Dscretzação da regão pelo MEC, consderando a exstênca de ua zona dscretzada pelos dos étodos... gura 4.4: Dscretzação da regão pelo ME, consderando a exstênca de ua zona dscretzada pelos dos étodos... gura 4.5: Esquea para efetuar o acoplaento teratvo t no caso Δ tb >Δ t... c( S) 6 9 θ θ θ ( ) r θ 9 t Δt 63 x

10 gura 4.6: Esquea para efetuar o acoplaento teratvo no caso Δ tb <Δ t... Δt 65 gura 5.: Esquea geoétrco e condções ncas para o exeplo da barra co fluxo aplcado na extredade lvre... gura 5.: unção Heavsde para o fluxo prescrto... gura 5.3: Dscretzação espacal da barra pelo MEC... gura 5.4: Esquea dos pontos a sere consderados no problea da barra... gura 5.5: Valores do potencal u para o exeplo da barra, gura 5.6: gura 5.7: gura 5.8: gura 5.9: gura 5.: gura 5.: gura 5.: gura 5.3: gura 5.4: gura 5.5: gura 5.6: no caso de função θ constante (odelo )... Valor do fluxo p no ponto B da barra, no caso de função θ constante (odelo )... Valor do fluxo p no ponto C da barra, no caso de função θ constante (odelo )... Valores do potencal u para o exeplo da barra, no caso de função θ lnear (odelo )... Valor do fluxo p no ponto B da barra, no caso de função θ lnear (odelo )... Valor do fluxo p no ponto C da barra, no caso de função θ lnear (odelo )... Valores do potencal u para o exeplo da barra, no caso de função θ constante (odelo )... Valor do fluxo p no ponto B da barra, no caso de função θ constante (odelo )... Valor do fluxo p no ponto C da barra, no caso de função θ constante (odelo )... Valores do potencal u para o exeplo da barra, no caso de função θ lnear (odelo )... Valor do fluxo p no ponto B da barra, no caso de função θ lnear (odelo )... Valor do fluxo p no ponto C da barra, no caso de função θ lnear (odelo ) θ 7 θ 7 θ 7 θ 7 θ 73 θ 73 θ 74 θ 74 θ 75 θ 75 θ 76 θ 76 x

11 gura 5.7: gura 5.8: gura 5.9: gura 5.: gura 5.: gura 5.: gura 5.3: gura 5.4: gura 5.5: gura 5.6: gura 5.7: gura 5.8: gura 5.9: Dscretzação da barra por eleentos fntos, esquea de pontos para pressão dos resultados... Valores do potencal u no exeplo da barra, consderando o ME ExGA Runge-Kutta... Valores do potencal u no exeplo da barra, consderando o ME ExGAH dferenças centras... Valores do potencal u no exeplo da barra, para o ME ExGA Runge-Kutta na vznhança do Valores do potencal u no exeplo da barra, para o ME ExGAH dferenças centras na vznhança do Esquea do problea da barra co fluxo aplcado na Δ tcr... Δ tcr... extredade lvre e condções ncas e Ω... Valores do potencal u para o exeplo da barra co condções ncas, no caso de função θ constante (odelo )... Valor do fluxo p no ponto B da barra co condções ncas, no caso de função θ constante (odelo )... Valor do fluxo p no ponto C da barra co condções ncas, no caso de função θ constante (odelo )... Valores do potencal u para o exeplo da barra co condções ncas, no caso de função θ lnear (odelo )... Valor do fluxo p no ponto B da barra co condções ncas, no caso de função θ lnear (odelo )... Valor do fluxo p no ponto C da barra co condções ncas, no caso de função θ lnear (odelo )... Valores do potencal u no exeplo da barra co condções ncas, consderando o ME ExGA Runge-Kutta Δt cr 79 Δt cr 79 Ω 8 θ 8 θ 8 θ 8 θ 8 θ 83 θ x

12 gura 5.3: gura 5.3: gura 5.3: gura 5.33: gura 5.34: gura 5.35: gura 5.36: gura 5.37: gura 5.38: Valores do potencal u no exeplo da barra co condções ncas, consderando o ME ExGA dferenças centras... Valores do potencal u no exeplo da barra co condções ncas, para o ME ExGA Runge-Kutta na vznhança do Δ tcr... Valores do potencal u no exeplo da barra co condções ncas, para o ME ExGAH dferenças centras na vznhança do Δ tcr... Esquea da geoetra e condções de contorno da ebrana hoogênea... Esquea de pontos para pressão de resultados e dscretzação da ebrana e eleentos de contorno... Valor do potencal u para o ponto A da ebrana, consderando função θ constante... Valor do fluxo p para o ponto B da ebrana, consderando função θ constante... Valor do potencal u para o ponto A da ebrana, consderando função θ lnear... Valor do fluxo p para o ponto B da ebrana, consderando função θ lnear... gura 5.39: Esquea de dscretzação da ebrana para a resolução pelo ME usando ExGA... gura 5.4: Valor do potencal u para o ponto A da ebrana consderando o ME ExGA Runge-Kutta... gura 5.4: Valor do potencal u para o ponto A da ebrana consderando o ME ExGAH dferenças centras... gura C.: Eleento quadrlátero soparaétrco Δt cr 85 Δt cr θ 88 θ 88 θ 89 θ x

13 Lsta de síbolos Síbolos roanos: [ A ] A, A, A 3 [ B ] c Matrz de aplfcação coordenadas de área nas células do doíno Matrz do operador gradente aplcado sobre a atrz das funções de nterpolação a nível de eleento velocdade de propagação da onda no eo n D j contrbução ao cálculo do coefcente eleentos de contorno n E j contrbução ao cálculo do coefcente { } n H j das atrzes do étodo dos n G j das atrzes do étodo dos eleentos de contorno, para função de nterpolação θ lnear vetor de forças { e } vetor de forças a nível de eleento n G contrbução das condções ncas de cada ua das células, referentes ao nó, para o nstante de tepo n resposta pulsva do sstea, função de Green n G j coefcentes das atrzes G do MEC, correspondentes à resposta H H avalada e u ponto capo j, para o nstante de tepo, correspondente a ua fonte pulsva de valor untáro sendo aplcada no ponto fonte, para o nstante de tepo n resposta degrau do sstea função de transferênca, transforada de Laplace da função de Green n H j coefcentes das atrzes H do MEC, correspondentes à resposta [ J ] avalada e u ponto capo j, para o nstante de tepo, correspondente a ua fonte pulsva de valor untáro sendo aplcada no ponto fonte, para o nstante de tepo n atrz Jacobana x

14 [ K ] e K atrz de rgdez atrz de rgdez a nível de eleento n L j contrbução ao cálculo do coefcente n G j das atrzes do étodo dos [ M ] eleentos de contorno, para função de nterpolação θ constante atrz de assa e M [ N ] { ˆn } atrz de assa a nível de eleento atrz de funções de nterpolação a nível de eleento vetor noral untáro, ortogonal ao contorno Γ, apontando para fora do doíno n coordenada do vetor noral { ˆn }, na dreção do plano cartesano n s nen O l p p * p núero de subntervalos para o cálculo da função de Green núero de nós de u deternado eleento e, e u odelo de eleentos fntos l-ésa célula na prescrção das condções ncas pelo étodo dos eleentos de contorno fluxo, dervada do potencal u e relação à noral valor do fluxo referente ao nó dervada da solução fundaental u* e relação à noral (fluxo fundaental) n p valor do fluxo referente ao nó, para o nstante de tepo n p valor prescrto de p, no contorno Γ (condção natural ou de Neuann) q Q n R α l ponto capo no nteror do doíno Ω ponto capo localzado no contorno Γ contrbução aos teros de velocdade v referente ao nó, para o nstante r de tepo n, das condções ncas do nó α na célula ódulo do vetor que assnala a posção do ponto capo j, referente ao ponto fonte r j ódulo do vetor posção que assnala a posção do ponto capo j, referente a u sstea de referênca nercal O l xv

15 r s ódulo do vetor posção que assnala a posção do ponto s onde se aplca a fonte, referente a u sstea de referênca nercal s S n S ponto fonte no nteror do doíno Ω ponto fonte localzado no contorno Γ contrbução ao nó das fontes concentradas, localzadas no nteror do doíno, para o nstante de tepo n t t t n n T α l varável teporal valor ncal para a varável teporal valor do tepo correspondente ao n-éso nstante contrbução aos teros de potencal u referente ao nó, para o nstante de tepo n, das condções ncas do nó α na célula O l u u potencal na equação escalar da onda valor do potencal u referente ao nó u valor ncal do potencal u, para o tepo t = t u α valor ncal do potencal u, para o tepo t t células =, referente ao nó α das * u n u solução fundaental correspondente ao potencal da equação escalar da onda valor do potencal u referente ao nó, para o nstante de tepo n * u valor ncal de u*, para o tepo t = t u valor prescrto de u, no contorno Γ (condção essencal ou de Drchlet) { U e } vetor dos valores nodas do potencal u a nível do eleento e v v velocdade escalar, correspondente à prera dervada do potencal u e relação ao tepo valor da velocdade escalar v referente ao nó v valor ncal da velocdade escalar v, para o tepo t = t v α valor ncal da velocdade escalar v, para o tepo t t α das células =, referente ao nó * v prera dervada da solução fundaental * u e relação ao tepo xv

16 n v valor da velocdade escalar referente ao nó, para o nstante de tepo n v valor ncal de v*, para o tepo t = t * w x, y x α, yα função de peso coordenadas referentes ao nó coordenadas referentes ao nó α das células, e relatvas ao ponto que possu as coordenadas x e y { x e } vetor das coordenadas nodas e x a nível do eleento e { y e } vetor das coordenadas nodas e y a nível do eleento e Síbolos gregos: α β γ Γ parâetro do étodo de Newark função de nterpolação espacal para a função de peso densdade da fonte, função das coordenadas espacas x e y e do tepo t parte do contorno Γ para a prescrção de condções essencas Γ ( q s) parte do contorno Γ para a prescrção de condções naturas δ função delta de Drac δ j síbolo do delta de Kronecker Δ t passo de tepo: ntervalo entre dos nstantes de tepo consecutvos Δ t B valor do passo de tepo a ser usado no MEC Δ t valor do passo de tepo a ser usado no ME ε ζ j valor sufcenteente pequeno tolerânca para defnr o crtéro de detenção para algu étodo teratvo função de nterpolação espacal para p, referente ao nó j η ( t a) coordenada natural (ou ntrínseca) Η função Heavsde θ parâetro do étodo θ lnear θ função de nterpolação teporal para p, referente ao -éso nstante de tepo xv

17 κ λ μ ξ ξ p ξ q τ [ Τ ] φ parâetro de relaxação para o étodo teratvo de acoplaento MEC/ME do tpo Schwartz Neuann-Neuann e paralelo parâetro do étodo de Newark função de nterpolação no espaço, para as condções ncas nas células coordenada natural (ou ntrínseca) coordenada natural, referente ao eleento e p coordenada natural, referente ao eleento e q tepo no qual a fonte pulsva de valor untáro da função de Green está sendo aplcada atrz de conversão, a qual relacona as trações do MEC co as forças nodas do ME e ua nterface função de nterpolação teporal para u e v, referente ao n-éso nstante ϕ j de tepo função de nterpolação espacal para u e v, referente ao nó j ψ -éso autovalor da atrz de aplfcação [ A ] ω ω Ω Ω parâetro de relaxação para os étodos de acoplaento teratvo MEC/ME do tpo Schwartz Drchlet-Neuann (e paralelo e seqüencal) -éso peso de Gauss a ser consderado nas ntegrações nuércas doíno parte do doíno onde são prescrtas as condções ncas Outros síbolos: [ ] atrz do operador gradente no étodo dos eleentos fntos xv

18 ntrodução

19 .. Observações prelnares Há utos anos, os étodos nuércos coeçara a ser usados para resolver os as dversos probleas de engenhara, prncpalente devdo ao ntenso avanço nas áreas da coputação, tanto na cração de softwares coo no desenvolvento de hardwares. Os dos étodos a sere estudados neste trabalho são: o étodo dos eleentos de contorno (MEC) e o étodo dos eleentos fntos (ME). O MEC [-3] é freqüenteente usado e doínos de geoetra coplexa, por exeplo, co aberturas ou que contê alta concentração de tensão (ou fluxo), já que no caso do ME a alha que é usada na dscretzação do contínuo deve ser uto refnada, co a fnaldade de obter resultados de boa precsão nestas zonas. Tabé o MEC produz bons resultados e doínos nfntos ou se-nfntos e e probleas de propagação de ondas, já que ao dscretzar este tpo de doíno pelo ME, eleentos co condção de contorno não reflexva deve ser ncluídos [4]. No entanto, o ME [4-6] é as adequado na representação de eos heterogêneos ou co não-lneardade físca ou geoétrca. Por exeplo, no caso do eo não hoogêneo, o problea fca as sples dscretzando o doíno e pequenos eleentos, consderando cada eleento tendo propredades físcas dferentes. Quanto as coplexo for o coportaento físco do ateral, as coplexas serão as soluções fundaentas requerdas pelo MEC para a sua resolução. Há alguas décadas, surgu a déa de se cobnar os dos étodos, dando orge aos dferentes tpos de acoplaento MEC/ME que atualente exste na lteratura, tendo coo prncpal objetvo aprovetar as vantagens de cada u desses étodos. E relação ao MEC, o presente trabalho apresenta a fora nversa da equação escalar da onda e duas densões no doíno do tepo, be coo os procedentos necessáros para a sua solução nuérca. Para sso, os coefcentes das atrzes G e H, be coo as contrbuções dos teros das fontes, deve ser calculados para o tepo de retardo [,] e para todos os nstantes de tepo anterores ao dto nstante. sto é devdo à exstênca de ntegras de convolução na equação ntegral do étodo. A

20 solução fundaental e duas densões é representada por ua função teporal, ultplcada por ua função Heavsde, obtda neste trabalho a partr da ntegração da função de Green do problea tr-densonal (caracterzada pela exstênca de ua função delta de Drac) na dreção perpendcular ao plano D consderado [,]. No que dz respeto às funções de nterpolação para representar a varação no espaço, escolhdas tanto para o potencal u quanto para o fluxo p, neste trabalho são consderadas soente funções lneares. Enquanto sso, para representar a varação teporal, é consderada função lnear para o potencal e funções constante e lnear para o fluxo. Assundo, e relação à varável teporal, função de nterpolação lnear para o potencal e para o fluxo, faz-se necessáro a pleentação do étodo θ lnear adaptado ao MEC para elhorar a establdade dos resultados [7]. Para calcular os valores das dervadas do potencal e pontos nternos, é necessáro obter as dervadas dos coefcentes das atrzes G e H do MEC, be coo as dervadas das contrbuções das condções ncas e das fontes, nas quas se deve aplcar o processo de lte ou epregar algua outra técnca, coo por exeplo, o conceto de parte fnta de ua ntegral [8,9]. A respeto do ME, partcularente e relação aos étodos passo a passo no tepo [5,6,,], exste os étodos de Green [-], nos quas prero é obtda a função de Green do problea [,,3,], geralente defnda pela resposta a u carregaento de valor untáro localzado e u ponto t n, para u nstante de tepo. Posterorente esta solução é aplcada sucessvaente no avanço do tepo, resultando e u algorto que pode ser as efcente que os étodos passo a passo convenconas, prncpalente quando estes últos são plíctos. A obtenção desta função pode ser feta de fora plícta [6] ou explícta [7-]. No prero caso, as equações que expressa a função de Green são ntroduzdas dretaente no algorto de archa no tepo, não sendo necessáro arazená-las. No segundo caso a função de Green é calculada nuercaente por algu dos algortos passo a passo tradconas, tas coo Runge-Kutta e dferenças centras, sendo posterorente epregada no processo de ntegração teporal. No presente trabalho aqueles dos procedentos para achar a função de Green explctaente [8] são usados, ou seja, o étodo de Runge- Kutta (ExGA-RK) e o étodo das dferenças centras usando atrz degrau H (ExGAHdc). Vale enconar que se encontra na lteratura a cração de u algorto unfcado, P 3

21 para o trataento tanto no doíno do tepo quanto no doíno da freqüênca, aplcado a odelos não-lneares na análse odal edante eleentos fntos []. Coo alternatva para a resolução de probleas de propagação de ondas exste os ssteas acoplados, nos quas o doíno é dscretzado usando dferentes étodos e dstntas regões deste. No presente trabalho, apresenta-se ua breve revsão das técncas de acoplaento entre o MEC e o ME, tanto de acoplaento dreto [3-3] quanto de acoplaento teratvo [3-37. No acoplaento dreto faz-se a ontage de ua atrz global, contendo tanto as contrbuções dos coefcentes das atrzes de rgdez e de assa do ME quanto as contrbuções dos coefcentes das atrzes G e H do MEC, sendo e geral u procedento as caro coputaconalente. No acoplaento teratvo os subdoínos são tratados de fora ndependente, sendo possível explorar as vantagens de cada u dos étodos. Os algortos de acoplaento teratvo pode ser classfcados usando dos crtéros: segundo a fora e que os subdoínos são resolvdos, ou segundo a fora e que estes são dscretzados [4]. O prero crtéro nclu, por u lado, os étodos paralelos, nos quas os subdoínos são resolvdos e fora sultânea após por condções na nterface para fnalente coparar os valores obtdos co aqueles assudos no níco. Por sua parte, os étodos seqüencas são aqueles nos quas, após assur a condção na nterface, u dos subdoínos é resolvdo e os seus resultados são usados coo condção de contorno para o outro subdoíno. O segundo crtéro pode estabelecer a exstênca ou não de ua zona cou entre os subdoínos, a qual será dscretzada pelos dos étodos. O ponto de detenção das terações para abos os crtéros, pode ser estabelecdo defnndo ua tolerânca dentre os valores atual e da teração anteror do potencal ou do fluxo na nterface, e u núero áxo de terações. O étodo de acoplaento proposto no presente trabalho consdera ua zona do doíno que é dscretzada por abos os étodos. Co esta técnca se evta fazer a transforação de forças nodas, usadas no ME, e forças de superfíce requerdas pelo MEC na zona de unão dos subdoínos [34]. Outra vantage deste procedento consste e poder dscretzar subdoínos pelo ME prescrevendo soente condção natural [34]. Este procedento, utlzado prncpalente e odelos não dependentes 4

22 do tepo, será estenddo para probleas dnâcos governados pela equação escalar da onda... Breve revsão bblográfca Nas últas décadas, o étodo dos eleentos de contorno (MEC) e o étodo dos eleentos fntos (ME) tê evoluído co rapdez [-6], devdo à grande varedade de pesqusas desenvolvdas e dferentes áreas, tas coo engenhara cvl, ecânca, eletrônca, nuclear, acústca, e utas outras. E relação ao MEC, Brebba et al. [3] apresentara as forulações para resolver probleas estátcos, tanto lneares (elástcos) quanto não lneares (nelástcos, elasto-plástcos, fratura), usando as equações de Laplace, Posson e da elasto-estátca. As soluções fundaentas para probleas dnâcos no doíno do tepo e no doíno da freqüênca, edante a aplcação da transforada de Laplace, tabé fora ostradas. A forulação dnâca e duas densões, no doíno do tepo, fo defnda e apresentada por Mansur [], tanto para a equação escalar da onda quanto para elasto-dnâca. Doínguez [] ostrou as tarde a forulação do MEC para probleas dnâcos harôncos e transentes (doíno da freqüênca e do tepo) consderando as equações antes enconadas, alé de nclur dupla recprocdade e elasto-dnâca transente, forulação para fratura, nteração dnâca solo-estrutura e análse dnâca e eos poroelástcos. Yu et al. [7] estabelecera ua técnca baseada no étodo lnear θ para establzar as soluções obtdas, no caso de assur função de nterpolação lnear no tepo para o fluxo. Mansur et al. [8] e Carrer & Mansur [9] apresentara os resultados do cálculo das dervadas dos coefcentes das atrzes do MEC usando o conceto de parte fnta de ua ntegral, co a fnaldade de obter, respectvaente, as dervadas do potencal (equação escalar da onda) e do deslocaento (equação da elasto-dnâca) e pontos nterores. Exste núeros lvros textos publcados, cobrndo ua grande varedade de tópcos, podendo-se ctar Zenkewcz & Taylor [4], Bathe [5], Hughes [6], etc. Dentre os algortos para o avanço no tepo, destaca-se aquele proposto por Newark [], que estabeleceu aproxações por dferenças fntas das dervadas 5

23 teporas da equação de equlíbro edante o uso de dos parâetros, gerando ass ua faíla de algortos plíctos e explíctos co controle de establdade e acuráca nuércas. Zenkewcz [] ostrou que o étodo proposto por Newark (be coo Houbolt e Wlson-θ) pode ser obtdo edante a aplcação do étodo dos resíduos ponderados à varável teporal, sendo o étodo de Newark u caso partcular deste procedento, dependendo das funções de nterpolação e de ponderação escolhdas. Wrobel [] apresentou a forulação ateátca do étodo dos eleentos de contorno para probleas do tpo potencal e fluxo vscoso, enquanto Carrer [3] desenvolveu técncas plíctas para probleas estátcos e dnâcos no étodo dos eleentos de contorno aplcado à elastoplastcdade. Zhong & Wllas [4] apresentara u étodo de ntegração teporal bastante precso, conhecdo coo Precse Te Step ntegraton Method, o qual consste e transforar a equação dferencal de segunda orde para u sstea de equações lneares de prera orde, obtendo a sua solução analítca. Ua vez que esta solução corresponde a ua função exponencal, ela é expressa e sére de Taylor e truncada no tero de quarta orde. U processo teratvo é adotado co a fnaldade de se obter ua aproxação da sére truncada. Apesar de elhorado, este étodo teve aor aplcação e equações dferencas de prera orde, porque o processo de odfcar a equação de segunda orde é caro coputaconalente. ung [5] sugeru u algorto bastante precso no qual calcula nuercaente as respostas pulso e degrau, sendo usadas nas equações de equlbro dnâco fazendo uso da setra das atrzes envolvdas, be coo a dsposção banda dos seus eleentos. Enquanto sso, Soares & Mansur [6] estabelecera ua varante uto nteressante na resolução do problea dnâco passo a passo no tepo, baseando os cálculos na obtenção nuérca e plícta da função de Green, denonada plct Green Approach (GA). Lourero [8,9], Dors [7] e Mansur et al. [] apresentara a forulação explícta geral para ntegrar no tepo as equações da dnâca através do uso das funções de Green, estabelecendo o procedento denonado Explct Green Approach (ExGA). Dors [7] estendeu o ExGA para elastodnâca e ntroduzu o conceto de sub-alha, que torna o étodo copettvo tendo e vsta a grande redução no custo do cálculo das atrzes de Green. Alguns 6

24 enfoques as detalhados do conceto da função de Green pode ser achados nos trabalhos de Mansur [] e Graff []. Soares & Mansur [] estabelecera u algorto unfcado aplcável tanto para o doíno do tepo quanto para o doíno da freqüênca na resolução de probleas não-lneares usando análse odal pelo ME. No entanto, exste utos probleas onde o procedento as adequado para a sua resolução consste e usar técncas de acoplaento entre dferentes étodos nuércos, aprovetando as vantagens que tê cada u deles. No contexto do acoplaento entre o MEC e o ME, Zenkewcz et al. [4] defnra os esqueas de acoplaento dreto, edante a ontage das atrzes de coefcentes dentro de u sstea só, sendo e geral de as cara pleentação, e os de acoplaento teratvo, os quas aproveta elhor as vantagens de cada étodo. Co relação ao acoplaento dreto MEC/ME, Brebba & Georgou [3], L et al. [4] e Leung et al. [5] propusera procedentos para resolver probleas lneares e estátcos, enquanto que Von Estorff & Prabuck [6] e Von Estorff & Antes [7] ostrara étodos de acoplaento para resolver probleas dnâcos. A respeto do coportaento não-lnear, Pavlatos & Beskos [8] e Yazdch et al. [9] apresentara, respectvaente, aplcações à elasto-plastcdade e ao coportaento sísco nãolnear de alguns tpos de eleentos de concreto. Guoyou et al. [3] ostrara u procedento co a fnaldade de establzar o acoplaento dreto, usando o étodo lnear θ para probleas dnâcos. Dentre as técncas de acoplaento teratvo MEC/ME, Ln et al. [3] propusera u étodo que utlza ua conversão e teros de energa, a qual relacona as forças de superfíce do MEC co as forças nodas do ME, na nterface dos subdoínos que estão sendo dscretzados pelos dferentes étodos. Ellethy et al. [3] fora alé do procedento seqüencal Drchlet-Neuann, co o objetvo de resolver probleas da fratura consderando ateral elasto-plástco, e apresentara ua breve revsão dos étodos já exstentes para probleas lneares. Kaya & wase [33] usara o étodo dos gradentes conjugados, o copleento Schur e condensação para atualzar os valores das ncógntas nas nterfaces, enquanto Ellethy & Al-Gahtan [34] apresentara u procedento baseado e defnr ua área entre os subdoínos que é dscretzada pelos dos étodos, não sendo necessáro fazer aquela conversão de 7

25 forças de superfíce do MEC para forças nodas do ME. No entanto Ellethy et al. [35] propusera u procedento seqüencal de acoplaento teratvo MEC/ME para probleas estátcos co coportaento elástco lnear do ateral, defnndo as condções para ua escolha adequada do parâetro de relaxação ω, co o objetvo de garantr a convergênca. Soares et al. [36] apresentara u procedento seqüencal de acoplaento teratvo, aplcável a probleas dnâcos não lneares, consderando dscretzação teporal co dferentes passos de tepo. Outra pesqusa neste contexto fo apresentada por Soares [37], para probleas de nteração solo-fludo-estrutura..3. Objetvos e conteúdo do presente trabalho Este trabalho te coo objetvo descrever a pleentação nuérca dos étodos dos eleentos de contorno e dos eleentos fntos, aplcados à resolução da equação escalar da onda e duas densões no doíno do tepo, resolvendo alguns exeplos e coparando os resultados obtdos. O algorto coputaconal do étodo dos eleentos de contorno (MEC), que é baseado no étodo θ lnear, nclu o trataento de condções ncas edante a consderação de células no nteror do doíno, onde estas condções são prescrtas, alé do cálculo das dervadas do potencal e pontos nternos e das contrbuções dos teros das fontes. E relação ao étodo dos eleentos fntos (ME), a ntegração teporal é baseada e atrzes de Green calculadas explctaente (ExGA). Propõe-se u esquea de acoplaento teratvo MEC/ME-ExGA assundo ua regão dscretzada pelo MEC, outra pelo ME-ExGA e ua zona dscretzada pelos dos étodos, pertndo, coo será vsto, a solução de casos nos quas soente se prescreve condções naturas no contorno [34]. No segundo capítulo do presente trabalho apresenta-se a forulação do étodo dos eleentos de contorno, aplcada à resolução de probleas lneares e hoogêneos da equação escalar da onda, e duas densões e no doíno do tepo, ncorporando fonte e tabé condções ncas edante a nclusão de células no doíno. Devdo à natureza da solução fundaental e duas densões, ncluída na forulação ntegral do MEC [], é necessáro desenvolver u processo de convolução, tanto co os coefcentes das atrzes G e H coo tabé co as contrbuções dos teros das fontes. As funções de nterpolação espacas, para o potencal e o fluxo, são consderadas lneares, enquanto as funções de nterpolação no tepo usadas no trabalho 8

26 são: função lnear para potencal e funções lnear e constante para o fluxo, nclundo-se o étodo θ lnear para establzar os resultados no caso de escolher função de nterpolação lnear no tepo para o fluxo. No tercero capítulo apresenta-se a forulação lnear dos eleentos fntos para a equação escalar da onda, descrevendo-se sua dscretzação espacal edante o étodo dos resíduos ponderados. A ntegração teporal é efetuada usando os étodos de Newark e os procedentos baseados e atrzes de Green conhecdos coo ExGA-RK e ExGAH-dc. Nestes étodos o processo de ntegração teporal é feto através de atrzes de Green calculadas edante dscretzação espacal pelo ME, e teporal pelo étodo de Runge-Kutta (ExGA-RK) ou dferenças centras (ExGAH-dc). Os procedentos conhecdos coo étodos de Green, se basea e encontrar ncalente a função de Green do problea, para depos aplcar dta função na archa do tepo. O cálculo da função de Green é feto explctaente, e os étodos usados para tas fns são ExGA-RK e ExGAH-dc. No quarto capítulo, apresenta-se alguns tpos de acoplaento MEC/ME exstentes na lteratura. Da-se ua aor ênfase a u procedento que consste e defnr ua zona do doíno que é dscretzada usando abos os étodos. No presente trabalho estende-se aquele procedento para a análse dnâca no doíno do tepo, consderando escolha ndependente do passo de tepo e cada étodo. No qunto capítulo, o presente trabalho ostra e copara os resultados de alguns exeplos resolvdos pelo étodo dos eleentos de contorno e pelo étodo dos eleentos fntos. A coparação dos resultados co aqueles obtdos usando o acoplaento teratvo sugerdo, será consderada coo sugestão para futuros trabalhos. nalente, o sexto capítulo apresenta as conclusões obtdas, e tabé apresenta alguas sugestões possíves para trabalhos futuros. 9

27 orulação do MEC

28 .. Equação escalar da onda A equação escalar da onda, para eos hoogêneos e sotrópcos, co ntensdade de fonte γ e se consderar aortecento, apresenta-se a segur, u u (.) c = γ onde u é o potencal solução da equação (.), c é a velocdade de propagação da onda, e a fonte γ é função das coordenadas espacas x e y e do tepo t. gura.: Geoetra do contnuo de doíno Ω e contorno Γ. Ua solução partcular da equação (.) pode ser obtda, para u doíno Ω que possu u contorno Γ=Γ +Γ (fgura.), prescrevendo as condções ncas (,, ) = (, ) ( ) = ( ) = ( u x y t u x y v xyt,, u xyt,, v xy, ) (.) para o tepo t = t. As condções essencal e natural nos contornos e respectvaente, são escrtas coo Γ Γ,

29 u = u u p = un, = = p n (.3) Nas expressões (.3), e tabé ao longo do trabalho, o índce repetdo representa sua nos índces, sendo n as coponentes do vetor noral untáro { ˆn }, ortogonal ao contorno Γ (fgura.)... Solução fundaental, forulação ntegral Ua das prncpas característcas do MEC consste e defnr ua função conhecda coo solução fundaental, a qual deve satsfazer dentcaente a equação dferencal, as não necessaraente as condções de contorno. E geral, para a solução fundaental consdera-se a resposta e u ponto capo q, para u tepo t, consderando ua fonte (ou carregaento) pulsva de agntude untára, aplcada e u ponto fonte s, para u tepo τ (fgura.). gura.: Representação do ponto fonte e do ponto capo, no contorno e no nteror do doíno. Representação do vetor r. A solução da equação (.) e duas densões, para u doíno nfnto, co * fonte γ de ntensdade ( ) ( ) * γ 4 πδ q s δ t τ = (.4)

30 é a segunte [], (,;, τ) c ( τ ) ( ) * u q t s = Η c t τ r p ( q,; t s, τ ) c t r ( τ) ( τ) * * *,;,,;, u q t s u q t s r = = n r n (.5) (.6) Na equação (.5), [ t a] Η denota a função Heavsde, onde se o arguento t a for aor ou gual a zero, o valor da função é, caso contráro é nulo. O tero ( t a) δ e (.4) corresponde à função delta de Drac, e as suas prncpas propredades são as seguntes: + δ ( ) ( t ) a dt = δ t a = se t a (.7) r nas equações (.5) e (.6) corresponde à dstânca entre os pontos capo e fonte, respectvaente q e s. Aplcando o étodo dos resíduos ponderados no espaço e no tepo sobre a equação (.), usando a solução fundaental coo sendo a função de peso, chega-se a + t Ω u * u + γ u d dτ Ω c τ + + t t * * = ( p p) u dγ dτ ( u u) p dγ dτ Γ Γ (.8) nclu-se o t + = t+ ε coo lte superor das ntegras e (.8), co ε sufcenteente pequeno, co a fnaldade de evtar o lte de ntegração concdndo 3

31 exataente co o pco da função delta de Drac [-]. ntegrando duas vezes por partes e relação à varável τ, chega-se a + + t t * * * * u ( ) Γ τ + Ω Γ Ω c τ up pu d d u ud dτ + + t t * * u u * ( u γ) d dτ u u d Ω c Ω τ τ + Ω + Ω= (.9) obté-se Aplcando a defnção de solução fundaental e substtundo (.4) e (.9), + + t t * * ( up pu) dγ dτ 4 πδ( q s) δ( t τ) udω dτ Ω Γ + t Ω * * * + ( u γ) dω dτ ( v u v u) dω= (.) c Ω Na expressão anteror, v u * u = = u * τ τ = t * * τ = t (.) Aplcando as propredades (.7) da função delta de Drac na segunda ntegral e (.), deduz-se a expressão ntegral para o potencal u e pontos nternos ao doíno Ω [,]: + t * u( s, t) = u ( Q, t; s, τ ) p( Q, τ) dγ( Q) dτ 4π Γ + t Γ τ τ τ (,;, ) (, ) Γ( ) * p Qts u Q d Q d 4

32 c Ω (,; ) ( ) Ω( ) v q t s u q d q * * + u q t s v q dω q c Ω (,; ) ( ) ( ) + t * u ( q, t; s, τ ) γ ( q, τ) d ( q) dτ (.) Ω + Ω A letra aúscula e (.) para Q e S, sgnfca que o ponto capo q e o ponto fonte s fca localzados no contorno Γ (fgura.). No entanto, pode ser deonstrado [,] que a equação para u e pontos localzados no contorno Γ fca + t * c( S) u( S, t) = u ( Q, t; S, τ ) p( Q, τ) dγ( Q) dτ 4π Γ + t Γ c Ω τ τ τ (,;, ) (, ) Γ( ) * p QtS u Q d Q d (,; ) ( ) Ω( ) v q t S u q d q * * + u q t S v q dω q c Ω (,; ) ( ) ( ) + t * u ( q,; t S, τ ) γ ( q, τ) d ( q) dτ (.3) Ω + Ω onde o tero c( S ) é deternado pela geoetra na vznhança do contorno, e corresponde ao quocente entre o ângulo nteror α no contorno do doíno, e π (fgura.3), ou seja [-3,] ( ) c S α = (.4) π 5

33 gura.3: Sgnfcado geoétrco do tero c( S ). Substtundo a equação (.6) e (.3) e desenvolvendo, a expressão para u nos pontos do contorno [] resulta ser + + t t * r * * v c( S) u( S, t) = ( u p) dγ dτ + B u+ u dγ dτ 4π Γ Γ n c * * * * ( ) Ω Ω r u u + uv dω+ Bu + u + u d Ω c c r + t * ( u γ ) d Ω dτ (.5) Ω + Na equação anteror te-se (,;, τ) c c t ( τ ) ( τ ) r ( τ) * * B = B Q t S = Η c t r 3 c t r (,; ) (,;, ) * * * (.6) B = B QtS = B QtSt (.7) u v = (.8) τ 6

34 .3. pleentação nuérca Após obter as equações ntegras do MEC, válda para pontos no nteror do doíno Ω e para pontos sobre o contorno Γ, pode-se dscretzar as expressões para o potencal, a velocdade e o fluxo usando funções de nterpolação no espaço e no tepo. Pode-se consderar, J n j= = u( Q, τ) = φ ( τ) ϕj( Q) u j (.9) J n j= = ( τ) dφ v( Q, τ) = ϕj( Q) u dτ J n j j (.) j= = (, τ) = θ ( τ) ζ ( ) p Q Q p j (.) nas quas o contorno é dvddo e J eleentos e o exo do tepo e n nstantes. As funções de nterpolação adota, por defnção, os seguntes valores, ϕ ζ φ θ ( Q ) ( Q ) ( tn) ( t ) j j j j n = δ = δ = δ = δ n n (.) onde δ j e δ n são funções delta de Kronecker, as quas assue o valor se os subíndces concdre, e caso contráro. Os valores de u e p no lado dreto das equações (.9), (.) e (.), são os valores nodas referentes ao nstante de tepo, ou seja, u j p j ( j, ) ( j, ) = u Q t = p Q t (.3) 7

35 Reescrevendo a equação (.5) para cada nó e cada valor de tepo, t n substtundo as aproxações respectvaente, chega-se a (.9), (.) e (.) para as varáves u, v e p, (.4) n J n J n n n n c( S ) u + H u = G p + + S 4π 4π = j= = j= n j j j j na qual t r( S, ) n Q * ϕ ( ) φ ( τ) ( Q, t ; S, τ) Γ nq ( ) H = Q B n j j n ( τ) dφ + (, ;, τ) c dτ Γ( ) * u Q tn S dτ d Q (.5) (.6) t n n * Gj = ζ j ( Q) θ ( τ) u ( Q, tn; S, τ) dτ dγ( Q) Γ * (, ; ) ( ) ( q ) Ω n = u q t n S v q dω c + c * u ( q) u ( q, tn; S) dω ( q) Ω r( S, q) * ( tn t) B( q, tn; S) u( q) d ( q) (.7) Ω r( S, q) + Ω t n n * n Ω S = u ( q, t ; S, τ ) γ ( q, τ) dω( q) dτ (.8) As expressões (.7) e (.8) para n e n S na equação (.4), respectvaente, são as contrbuções ao nó das condções ncas nas células do doíno, e das fontes concentradas, para o nstante de tepo n. 8

36 Consderando Δt constante ao longo da archa no tepo, as funções de nterpolação teporas sgnfca que para algu nstante de tepo, φ e θ possue a propredade de translação [,], o que l ( ) ( ) =Δ φ = φ + + Δ (.9) t t t t t l t sendo l ntero postvo. Portanto n j ( n l)( l) H = H + + (.3) n j j ( n l)( l) G = G + + (.3) j Devdo a sso, evta-se utas operações redundantes no cálculo dos coefcentes das atrzes para cada passo de tepo, tal coo é ostrado na fgura.4. gura.4: Esquea de cálculo dos coefcentes das atrzes G e H na archa do tepo. A partr desta fgura, no prero nstante de tepo ( t = t +Δ t) são calculadas n as contrbuções assnaladas junto ao tepo de retardo, as no nstante segunte t r 9

37 ( t = t + Δt) a esa contrbução aparece defasada e u nstante de tepo, e não é n necessáro recalcula-la..5), te-se Consderando função de nterpolação lnear no tepo para u, v e p (ver fgura τ t se t < τ < t Δt t τ = = < < t Δt caso contráro ( ) ( ) + φ τ θ τ se t τ + (.3) Substtundo as expressões (.3), da função de nterpolação lnear, e (.5) e (.6), após desenvolver [] obtê-se ( ) ( ) H = H + H n n n j j j ( ) ( ) G = G + G n n n j j j (.33) (.34) gura.5: unção de nterpolação lnear para φ e θ.

38 sendo r = c t n ϕ Δ Γ dγ (.35) n r n Hj = j Q j c t n ϕ D Δ Γ dγ (.36) n n Gj = ζ j Q Ej c Δ t Γ dγ (.37) n n Gj = ζ j Q Ej c Δ t Γ dγ (.38) n n ( Hj ) j ( Q) ( Dj ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nos teros (.35) ao (.38), presentes nas equações (.33) e (.34), o subíndces e representa, respectvaente, a contrbução consderando as partes à n esquerda e à dreta do na fgura.5. As expressões para os coefcentes ( ), n ( Dj ) n n, ( E j ) e ( j ) t E se ostra no te A. do apêndce A. D j Para θ ( τ ) constante (ver fgura.6), θ se t < τ < t ( τ) = (.39) caso contráro gura.6: unção de nterpolação constante para θ.

39 e te-se n onde o tero ( j ) = L dγ (.4) c Δ t Γ n n ( Gj ) ζ j ( Q) ( j ) L se ostra no te A. do apêndce A. A etapa segunte corresponde a assur ua dscretzação do contorno Γ. No trabalho consdera-se o uso de funções de nterpolação lneares na dscretzação do contorno. Na fgura.7 ostra-se o contorno Γ, o qual é representado por ua sére de segentos retos, e eleentos. e k l { } k ˆ k n são respectvaente o coprento do eleento e o vetor noral untáro. Consderando dos eleentos e e e tendo u nó e cou j, coo se ostra na fgura.8, as funções lneares no espaço e coordenadas ntrínsecas, são representadas por p q ( + ξ p) se Q ep ϕj( ξ) = ζ j( ξ) = ( ξq) se Q eq caso contráro (.4) gura.7: Dscretzação lnear do contorno Γ.

40 gura.8: unção de nterpolação lnear no espaço para u, v e p no contorno Γ. Consderando (.4), as equações (.35) a (.38) pode ser expressas por r = c t e n ϕ D d Γ Δ n n ( H ) ( Q) ( ) j j j p p r = c t e n ϕ D d Γ Δ n n ( H ) ( Q) ( ) p n r ϕ n j ( Q) ( Dj ) d q (.4) e + Γ q j j j p c Δt n r ϕ n j ( Q) ( Dj ) d q (.43) e + Γ q n n n ( Gj ) = ζ j( Q) ( Ej ) dγ p + ζ j( Q) ( Ej ) c Δt e q p eq n n n ( G ) = ζ ( Q) ( E ) dγ + ζ ( Q) ( E ) j j j p j j q ep eq dγ (.44) dγ (.45) 3

41 Alternatvaente, escolhendo-se θ ( τ ) constante, as equações (.44) e (.45) são substtuídas pela equação (.46) abaxo: c Δt q n n n ( Gj ) = ζ j( Q) ( Lj ) dγ p + ζ j( Q) ( Lj ) ep eq dγ (.46) No caso e que n n= no tero ( H ) dado pela equação (.4) consderando = j, o ntegrando possu ua sngulardade do tpo r, otvo pelo qual a ntegral resultante tera que ser calculada no sentdo do valor prncpal de Cauchy. No entanto, no caso de eleentos de contorno lneares no espaço, as contrbuções desaparece devdo à ortogonaldade entre o contorno k n, já que r n=. Para as n ntegras dos teros ( G ), pode-se obter ua aor precsão ntegrando-as analtcaente []. ˆ k Γ e a noral { } Para obter os valores das dervadas do potencal e pontos nternos, e relação às coordenadas do espaço x e y, e ao tepo t, é necessáro calcular as dervadas dos n n n n teros ( Dj ), ( D j ), ( E j ) e ( j ) ( ) n n G j e ( G j ) n n E presentes nos coefcentes, H, ( H j ) ( j ), respectvaente, assnalados nas expressões (.35) a (.38), no caso de ter função de nterpolação lnear para representar a varação teporal do potencal u e do fluxo p. E conseqüênca, assundo função de nterpolação constante para representar a varação teporal do fluxo p, corresponde obter as dervadas no espaço e n n no tepo do tero ( L j ), presente no coefcente ( j ) G e ostrado na equação (.4). Tas dervadas se apresenta nos tens A.3 e A.4 do apêndce A do presente trabalho. n Por exeplo, para calcular a dervada e x do coefcente ( j ) n (.37), deve ser calculada a dervada do tero ( j ) ou seja, G na expressão E fazendo uso da regra da cadea, 4

42 n n ( Gj ) = ζ j ( Q) ( Ej ) d Γ x c Δt x Γ r = Q E dγ c Δt r x n ζ j( ) ( j ) Γ (.47) Segundo a esa regra, pode-se obter a correspondente dervada e y. Para a ) n dervada e x do coefcente ( H na expressão (.35), é necessáro aplcar a regra j da cadea sobre u produto de funções, tal coo é ostrado a segur: n r n ( Hj ) = ( Dj ) ϕ j ( ) x c t x Γ n Q d Δ Γ r n r n = + c Δt x n n x Γ ( Dj ) ( Dj ) ϕ j ( Q) r n r n r = + c Δt x n n r Γ x dγ ( Dj ) ( Dj ) ϕ j ( ) Q dγ (.48) As dervadas no tepo dos enconados coefcentes pode ser calculadas dferencando dretaente as contrbuções D e E no apêndce A, segundo for o caso..4. ntegras das contrbuções das condções ncas O tero das condções ncas, representado pela equação (.7), consderando u tepo ncal t, é q u = u v dω q + u d ( ) Ω ( ) n * n * n c Ω c Ω r * n + ( tn t) B u d ( q) r Ω (.49) Ω sendo *n *n u = u ( q,t ;S,t ) e B B ( q,t ;S,t ). Após dscretzar o doíno e n = n células trangulares O l, chega-se a 5

43 L n * n * n u d q c O c l O l= r l = u v dω q + u ( ) Ω ( ) (.5) * n ( t t ) B u d ( q) + n Ω O r l Defnndo as coordenadas de área, e A e cada célula (ver fgura.9), A A 3 pode-se defnr funções de nterpolação para representar a varação das grandezas dentro delas. Ass, A A μ = A A3 μ = μ 3 = (.5) A A μ+ μ + μ3 = (.5) gura.9: Coordenadas de área e valores de u e v na célula. e então, te-se u u α μ α = (.53) v v α μ α = (.54) u μ = uα r r α (.55) Nas equações (.53) a (.55), u α e v α são os valores ncas de u e da sua dervada no tepo, respectvaente, para o nó α pertencente à célula O l. Assundo 6

44 ua varação b-lnear da condção ncal dentro da célula, a função de nterpolação μ α pode ser expressa confore a segur, Aα μ α = + ( bα x+ aα y) A A aα = xγ x b y y β = α β γ (.56) (.57) Aα = xβ yγ xγ yβ A = ( bα aβ bβ aα) (.58) α =,, 3 β =,3, γ = 3,, (.59) E (.56), (.57) e (.58), x e y corresponde a coordenadas relatvas, usando coo referênca o nó (ver fgura.), e conseqüênca, x= x + x = x + r cos( θ ) y = y + y= y + r sen θ ( ) (.6) (.6) gura.: Coordenadas absolutas e relatvas ao nó. Consderando a função de nterpolação μ α e coordenadas polares, sabendo que x = r cos( θ ) e y = r sen( θ ), chega-se a 7

45 ( θ) μ = C + D r α α α Aα Cα =, co A Dα ( θ ) = bα cos ( θ) + aα sen( θ) A ( ) (.6) Tendo e conta o anteror, as expressões (.53), (.54) e (.55) resulta ser ( ) u = u α Cα + Dα θ r (.63) ( ) v = v α Cα + Dα θ r (.64) u r = u D ( ) α α θ (.65) Substtundo estas expressões na equação (.5), te-se, L n αn α n = ( Rl v α + Tl u α ) (.66) l= co 3 θv gt( θ) * n α α ( θ ) θ (.67) R = u C + D r rdrd αn l l c θ t= u T αn l 3 θv gt θ t= u ( θ) = u c * n Dα ( θ ) r * n + ( tn t) B Cα + Dα ( θ ) r dr dθ (.68) l sendo t =,, 3, u =,3, e v = 3,,, e de acordo co a fgura., g t ( θ ) ( θ) t ( θ) < ( ) ( ) ( θ ) > ( ) rt r c tn t = c t t r c t t n t n (.69) 8

46 r θ. gura.: Conceto geoétrco do ( ) t E (.69), de acordo co esta fgura, te-se r t ( θ ) = b t cos A t ( θ ) + a sen( θ ) t (.7) As expressões (.67) e (.68), para n R α l e n T α l, são ostradas no te B. do apêndce B..5. Dervadas das contrbuções das condções ncas Co a fnaldade de calcular as dervadas do potencal para pontos nternos, e especal aquelas e relação às coordenadas espacas x e y, deve-se usar a regra de Lebntz, pos os ltes das ntegras (.67) e (.68), ou seja, θ u e θ v, são funções das coordenadas do ponto. Escrevendo os resultados dos coefcentes n R α l e n T α l, das equações (B.4) e (B.5) do apêndce B, da segunte fora: 3 θv αn l R t= θu ( θ,, ) R x y dθ = (.7) 9

47 3 θv αn l T t= θu ( θ,, ) T = x y dθ (.7) e usando a regra de dervação de Lebntz, as suas dervadas resulta ser 3 θv θ t= u { R( θ, x, y) } αn R l θu = dθ R( θu, x, y) x x x θ v + R( θv, x, y) (.73) x R y αn l 3 θv θ t= u { R( θ, x, y) } = dθ R u x y y ( θ,, ) θu y θ v + R( θv, x, y) (.74) y 3 θv θ t= u { T ( θ, x, y) } αn T l θu = dθ T ( θu, x, y) x x x θ v + T ( θv, x, y) (.75) x T y αn l 3 θv θ t= u { T ( θ, x, y) } = dθ T u x y y ( θ,, ) θu y θ v + T ( θv, x, y) (.76) y onde C c t t V V c R = { α n ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) t n 3 } + Dα θ g θ V V + c t t V (.77) 3

48 V V T = Cα + Dα ( θ ) c( tn t) V3+ V V V V (.78) Entretanto, fazendo uso do teorea fundaental do cálculo, te-se R t αn l n T t αn l n = = { R( θ, x, y) } 3 θv dθ (.79) θ t u n t= { T ( θ, x, y) } 3 θv dθ (.8) θ t u n t= trabalho. Alguns detalhes do cálculo destes teros são ostrados no apêndce B do.6. Contrbuções dos teros das fontes concentradas Defnndo dstrbuções de fonte concentradas, do tpo segunte: ( q ) = f ( ) ( q q ) γ τ τ δ, c (.8) onde q c assnala o ponto onde a fonte está sendo aplcada. A equação (.8) após a ntegração no espaço e fazendo uso das propredades da função delta de Drac, fca t n ( ) ( ) n * S = f τ u q, t ; S, τ dτ (.8) c n nterpolando lnearente para f ( τ ), te-se f N ( τ) θ ( τ) = f (.83) = 3

49 E (.83), θ ( τ ) é dado por (.3) e ( ) (.8), após substtur (.83) e desenvolver, é f = f t. O resultado da expressão S n = N n w f (.84) = onde c {( ) ( ) } n n c n = + w E E c Δt (.85) n n E ) ( ) c c Os coefcentes ( e E e (.85) são calculados usando as esas expressões correspondentes no apêndce A, as fazendo r = r, onde r c = r j r s. r j é c r s são, respectvaente, o ódulo dos vetores posção do ponto capo j e do ponto s onde se aplca a fonte..7. Método θ lnear aplcado ao MEC, no doíno do tepo O étodo θ lnear é usado no presente trabalho co o objetvo de elhorar a establdade dos resultados obtdos pelo étodo dos eleentos de contorno, quando se assue ua varação teporal lnear para o fluxo, poré o carregaento é ua função que não é contnua [7]. O procedento é bastante slar ao étodo Wlson θ. A técnca, quando usada no étodo dos eleentos fntos, é ncondconalente estável, assundo ua varação lnear da aceleração a partr do tepo t até o tepo t+ θ Δ t. Para aplcar o étodo antes enconado ao MEC, assue-se u últo passo de tepo dferente e gual a n fgura.. t + θ tn, e lugar de t + n t n, tal coo é ostrado na 3