Multiextrapolação de Richardson para reduzir o erro de discretização de campos em CFD

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1 Multextrapolação de Rcardson para reduzr o erro de dscretzação de capos e CFD Fabana de Fáta Gacon &, Carlos Henrque Marc #, Unversdade Federal do araná (UFR) - rograa de ós-graduação e ngenara Mecânca & Unversdade Federal do araná (UFR) - Departaento de ngenara Mecânca # 8-98, Curtba, R -al: gacon@ufpr.br &, arc@ufpr.br # Coso Daão Santago Unversdade Tecnológca Federal do araná (UTFR) 868-, Apucarana, R -al: coso@utfpr.edu.br Resuo: O objetvo deste trabalo é estender o uso da ultextrapolação de Rcardson (MR) a capos de probleas e D. São testados o étodo CR (Copleted Rcardson xtrapolaton), encontrado na lteratura, e o FR (Full Rcardson xtrapolaton), desenvolvdo neste trabalo, abos baseados e pós-processaento. São resolvdas por dferenças fntas as equações de osson, advecção-dfusão, Laplace e Burgers, co aproxações de ª, ª e ª ordens de acuráca; e até 9 extrapolações. Verfcou-se que: os étodos CR e FR reduze o erro de dscretzação de soluções nuércas e todos os nós da ala; para osson D, o étodo FR eleva a orde de acuráca até ; o étodo FR reduz as o erro das equações D de osson e advecção-dfusão, e D de Laplace; e o étodo CR reduz as o erro de dscretzação das equações D e D de Burgers. alavras-cave: erro de dscretzação, orde de acuráca, extrapolação de Rcardson, esqueas de alta orde, dferenças fntas. ITRODUÇÃO Ua solução nuérca deal deve ter erro nuérco nulo, ou seja, deve resultar na solução analítca. ortanto, estudar técncas que seja efcentes na redução do erro nuérco ou de suas fontes é portante para que seja possível edr adequadaente o erro de odelage, sto é, o erro de u odelo ateátco usado para representar u fenôeno físco real. or sso, para reduzr o erro nuérco causado por erros de dscretzação fo epregada a técnca de extrapolação, conecda por extrapolação de Rcardson [], que segundo [] traz as seguntes vantagens: (a) é u pós-processaento sples, pos não nterfere na obtenção da solução nuérca e ua dada ala; (b) seu custo coputaconal é uto baxo e teros de eóra e tepo de CU; (c) pode ser aplcada a códgos coputaconas já exstentes ou a resultados já obtdos; e (d) aplca-se a dversos étodos nuércos, aproxações nuércas e varáves de nteresse. Ass, para reduzr o erro de dscretzação e váras alas co dferentes epregou-se a ultextrapolação de Rcardson e para reduzr o erro de dscretzação e todos os pontos de cada ala adaptou-se a ultextrapolação de Rcardson para capos. MODLOS MATMÁTICOS Os odelos ateátcos undensonas (D) usados nos testes dos étodos CR e FR são as equações de osson, advecção-dfusão e Burgers [7], expressas respectvaente por d u dx S du d u du d u e Re u + S () dx dx dx dx 8

2 onde u representa a varável dependente; x é a coordenada espacal; e é o núero de eclet; Re é o núero de Reynolds; e os teros fontes são S -π, sen(πx) e S e x [Re(e x -)-e+]/(e-). As condções de contorno, do tpo Drclet, são: u ( ) u() para osson; e u ( ) e u ( ) para advecção-dfusão e Burgers. A solução analítca da equação de osson é u sen( π x) ; e xb b u ( e )/( e ) para as equações de advecção-dfusão (b e) e Burgers (b Re). O prero odelo ateátco bdensonal (D) é a equação de Laplace, expressa por u u + () onde y é a ª coordenada espacal. As condções de contorno e as soluções analítcas são dadas e []. As equações de Burgers são o segundo odelo ateátco. las pode ser expressas por u u p u u v v p v v u + v + + e u + v + + S( x, y, Re) Re Re () onde v representa a segunda varável dependente; p é a pressão, conecda analtcaente; e S é u tero fonte. As varáves p e S, as condções de contorno e as soluções analítcas são dadas e [6]. MODLOS UMÉRICOS A solução nuérca se extrapolação fo obtda pelo étodo de dferenças fntas [7] e a dscretzação fo realzada e alas estruturadas e unfores. ara osson D fora consderadas as aproxações CDS- e CDS- (Central Dfferencng Scee). ara advecção-dfusão D e Burgers D epregou-se duas foras de dscretzação: a prera co UDS- (Upstrea Dfferencng Scee) para os teros advectvos e CDS- para os teros dfusvos e a segunda co CDS- para abos os teros. ara Burgers D e Laplace D a dscretzação fo realzada co CDS-/CDS-. O solver utlzado para probleas D fo o TDMA (TrDagonal Matrx Algort) e para D fo o MSI (Modfed Strongly Iplct) co o acelerador de convergênca ultgrd [8]. Os prograas fora pleentados e lnguage FORTRA 9, versão Intel..6, e precsão quádrupla. A solução nuérca extrapolada fo obtda por eo da extrapolação copleta pelos étodos CR desenvolvdo por [] e FR desenvolvdo por []. elo étodo FR D, e cada nó da ala fna que concde co u nó da ala grossa, calcula-se a correção de Rcardson (C) por eo de ug, ug, C g, p () r onde é a posção espacal do nó na ala; p representa as ordens verdaderas [] do erro de dscretzação; g [,G], onde g é a ala as grossa, e g G é a ala as fna; é a dstânca entre dos nós consecutvos; r g- / g é a razão de refno; e é o núero de extrapolações. ara os nós da ala fna que não te correspondente na ala grossa, a correção de Rcardson (C) é calculada por eo de C g, C g, W + k g, ( Cg, Cg, W ) () onde os nós W e estão respectvaente à esquerda e à dreta do nó, cujas correções de Rcardson (C) são calculadas co a quação (); e o fator de ponderação (k) é dado por 8

3 u u k, (6) g, g, W g ug, ug, W Fnalente, para todos os nós da ala fna, a solução extrapolada é obtda através de u g, u g, + C g, (7) RSULTADOS As varáves de nteresse secundáras são dadas respectvaente por [] L L ( ) / L ax (8) onde L é a éda da nora u, L é a éda da nora dos e L é a nora nfnto do erro. O erro de dscretzação da solução nuérca e cada nó é defndo por u u (9) analítca nuérca ara analsar a efcênca dos étodos CR e FR na redução do erro de dscretzação e todos os nós de ua ala, fo epregado o conceto de orde efetva para MR, calculada por [] ( p L g, ) g, log log( r) L g, () onde g [,G] e [,g-]. A segur, são apresentados nas Fguras a apenas resultados de L, pos os resultados de L e L são qualtatvaente análogos []. L CDS- Fgura : Resultados da equação de osson D p CDS- 8

4 - UDS-/CDS- L UDS-/CDS- CR FR p Fgura : Resultados da equação de advecção-dfusão D CR FR - - CDS- - L CDS- CR FR p Fgura : Resultados da equação de Laplace D CR FR - - UDS-/CDS- - - L UDS-/CDS- CR FR p Fgura : Resultados das equações de Burgers D CR FR COCLUSÃO ntre os probleas físcos apresentados neste trabalo destacou-se a condução de calor, representada pela equação de osson, onde ultextrapolações aplcadas co FR fora extreaente efcentes e reduzr o erro de dscretzação de todos os nós da ala. os, a aplcação de FR nos erros obtdos pela dferença entre as soluções analítca e nuérca, sendo esta calculada tanto pelo esquea de segunda orde quanto pelo esquea de quarta orde de acuráca, auentou e 6 undades a orde do respectvo esquea nuérco epregando sete extrapolações. 86

5 ara as equações de advecção-dfusão, Laplace e Burgers D e D, ultextrapolações aplcadas co abos os étodos, CR e FR, reduzra o erro de dscretzação de todos os nós da ala. Quando a dscretzação dessas equações era realzada co o esquea nuérco CDS- para abos os teros, dfusvos e advectvos, a orde do esquea nuérco auentou e undades para. ara as equações de advecção-dfusão e Burgers D, ultextrapolações aplcadas co abos os étodos, CR e FR, reduzra o erro de dscretzação de todos os nós da ala. Quando a dscretzação dessas equações era realzada co o esquea nuérco UDS- para os teros advectvos e CDS- para os teros dfusvos, a orde do esquea nuérco auentou e undades para. os probleas odelados pelas equações de osson, advecção-dfusão e Laplace, o étodo FR reduzu as o erro de dscretzação de capos do que o étodo CR. oré, nos probleas odelados por Burgers D e D, CR apresentou os enores erros nuércos. o entanto, as ordens dos esqueas nuércos das equações de Burgers D, co CDS-/CDS-, e Burgers D, e abas as dscretzações, UDS-/CDS- e CDS-/CDS-, apresentadas para abos os étodos, auentara e undades. AGRADCIMTOS Os autores agradece o apoo fnancero do Cq (Conselo aconal de Desenvolvento Centífco e Tecnológco), AB (Agênca spacal Braslera, pelo rograa Unespaço), e CAS (Coordenação de Aperfeçoaento de essoal de ível Superor). O prero autor recebeu bolsa da CAS. O segundo autor é bolssta do Cq. RFRÊCIAS [] F. F. Gacon, Multextrapolação de Rcardson Copleta para Reduzr o rro de Dscretzação, Tese de Doutorado e ngenara Mecânca, Unversdade Federal do araná UFR, Curtba,. [] C. H. Marc, M. A. Martns, feto do Tpo de ora Sobre a Orde de Acuráca do rro de Soluções uércas, e t Congresso Braslero de Cêncas Tércas e ngenara (XIII CIT), Uberlânda,. [] C. H. Marc, L. A. ovak, C. D. Santago, Múltplas xtrapolações de Rcardson para Reduzr e star o rro de Dscretzação da quação de Laplace D, e 9 t Congresso Ibero Latno- Aercano de Métodos Coputaconas e ngenara (XXIX CILAMC), Maceó, 8. [] L. F. Rcardson, Te Approxate Artetcal Soluton by Fnte Dfferences of yscal robles Involvng Dfferental quatons, wt an Applcaton to te Stresses n a Masonry Da, ylosopcal roceedngs of te Royal Socety of London Seral A, vol., pp. 7-7, (9). []. J. Roace,. M. Knupp, Copleted Rcardson xtrapolaton, Councatons n uercal Metods n ngneerng, vol. 9, pp. 6-7, (99). [6] T. M. S, C. H. Tan, B. C. Hwang, ffects of Grd Staggerng on uercal Scees, Internatonal Journal for uercal Metods n Fluds, vol. 9, pp. 9-, (989). [7] J. C. Tannell, D. A. Anderson, R. H. letcer, Coputatonal Flud Mecancs and Heat Transfer, ed, Wasngton: Taylor & Francs, 997. [8]. Wesselng, An ntroducton to ultgrd etods, Wley, ew York,