SOLUÇÃO APROXIMADA PARA A CONVECÇÃO FORÇADA TRANSIENTE COM DIFUSÃO AXIAL

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1 SOLUÇÃO APROXIMADA PARA A CONVECÇÃO FORÇADA TRANSIENTE COM DIFUSÃO AXIAL Romberg R. Gondm Unversdade Federal da Paraíba, Campus I, Laboratóro de Energa Solar Cx. P João Pessoa, PB, Brasl Fábo de F. Cavalcante Unversdade Federal da Paraíba, Campus I, Pós Graduação em Eng. Mecânca, Laboratóro de Energa Solar Centro de Tecnologa João Pessoa, PB, Brasl Resumo. Uma solução analítca aproxmada para o problema de convecção forçada transente no nteror de um canal de placas paralelas, em regme lamnar, é obtda através de uma transformação ntegral. A combnação do método da Técnca da Transformada Integral Generalzada com a Transformada de Laplace, permte a obtenção, na forma explícta, do campo de temperatura na regão de entrada térmca. A solução analítca aproxmada é comparada a solução completa e será usada como fltro transente. Palavras-chave: Convecção Transente, Transformada de Laplace, Transformada Integral, Dfusão Axal. INTRODUÇÃO O surgmento do transstor no fnal da década de 40 permtu o avanço de equpamentos eletrôncos e computadores, os quas se tornaram mas rápdos, menores e mas efcentes, possbltando também um menor consumo de energa. Seu prncpal nconvenente é que por ser composto de semcondutores, estes só trabalham bem em temperaturas baxas caso a temperatura se eleve muto, poderá haver a quema do equpamento. Apesar do transstor consumr menor potênca em relação as válvulas, consequentemente menor geração de calor, com a compactação dos equpamentos eletrôncos, crou-se um aumento da potênca dsspada por undade de volume. Por causa dos fatores acma ctados, gerou-se um nteresse muto grande na área de processos térmcos, como por exemplo, no resframento de chps, com a fnaldade de remover o calor gerado pelo sstema. Uma manera de evtar a quema do equpamento, sera utlzar métodos para o resframento dos componentes eletrôncos através da transferênca de calor por convecção. O estudo da convecção forçada transente tem sdo objeto de nteresse por parte de mutos pesqusadores, devdo a sua mportânca prátca na engenhara. Um fator mportante

2 nesse estudo é a necessdade de soluções exatas para problemas de engenhara, cada vez mas complexos, num curto ntervalo de tempo e por sto, as técncas de aproxmação numérca vem ganhando espaço sobre a expermentação e aos métodos analítcos clásscos uma vez que a expermentação geralmente é demorada, além do fato de ser dspendosa e porque os métodos analítcos clásscos apresentam certas lmtações. Mas recentemente, tem-se utlzado a Técnca da Transformada Integral Generalzada G.I.T.T., poderosa ferramenta de solução híbrda analítco numérca onde a déa básca consste na transformação de um sstema de equações dferencas parcas num sstema de equações dferencas ordnáras, elmnando a dependênca espacal com a vantagem de não necesstar de geração de malha em relação aos métodos numércos e de permtr um controle sobre o erro relatvo dos resultados, estabelecdo a pror e controlado automatcamente.. Hstórco A Técnca da Transformada Integral Generalzada - G.I.T.T., fo ntroduzda com o trabalho de Ozsk & Murray (974), baseado na Técnca da Transformada Integral Clássca. Um trabalho abrangente sobre a G.I.T.T. fo feto por Cotta (993), e a sua aplcação fo dvdda em dversas classes de problemas. Entre eles podemos ctar: problemas com coefcentes varáves nas condções de contorno (Cotta & Santos,99), problemas com coefcentes varáves na equação dferencal parcal (Mkhalov,975), problemas com contornos varáves (Aparecdo & Cotta,990), problemas que envolvem problemas auxlares dfíces (Cotta & Ozsk,986) e problemas não lneares (Cotta,994).. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA É analsado um escoamento lamnar hdrodnamcamente desenvolvdo no nteror de um duto de placas paralelas, submetdo a convecção forçada transente. Consdera-se o fludo ncompressível, as propredades físcas constantes e os efetos de dsspação vscosa, convecção lvre e conjugação com a parede desprezíves. O sstema em estudo é consttuído por um duto de placas paralelas nfntas na largura, de comprmento L, no nteror do qual escoa um fludo newtonano. O sstema assm defndo está ncalmente em equlíbro térmco a uma temperatura T o. É então provocada uma perturbação em degrau na temperatura de entrada do fludo no canal, T e. As paredes são sóldas, mpermeáves e são mantdas à temperatura T o. O escoamento é lamnar e completamente desenvolvdo, ocorrendo na dreção x sendo smétrco em relação a y, conforme mostrado na fg.. T w = T o Te y 0 x b. Admensonalzação do Problema Fgura Representação do problema

3 Consderando os grupos admensonas: x /b x x = = Re Pr b Pe y y = b u u = 4 u av α t t = b L = L /b Re Pr T T = Te - To - To u 4b Re = av ν Pr = ν α u 4b Pe = Re Pr = av α () onde T representa o campo de temperatura, u a velocdade longtudnal, α a dfusvdade térmca, x a coordenada longtudnal, y a coordenada transversal e t o tempo. O problema é defndo matematcamente pela equação: T(x,y,t) t + u(y). T(x,y,t) x = T(x,y, t) T(x,y,t) + y Pe x () 0 < y <, x > 0, t > 0 T(x, y,0) = 0, x 0, 0 y (3) T(0,y, t) =, t > 0, 0 y (4) T(x,0, t) y = 0, t > 0, x 0 (5) T(x,, t) = 0, t > 0, x 0 (6) T( L,y,t)=0, t > 0, 0 y (7) onde Re, Pr, e Pe representam os números de Reynolds, Prandtl e Peclet, u av, a velocdade méda ( Mkhalov & Özsk,984) e ν, a vscosdade cnemátca do fludo. Pode-se obter uma solução analítca aproxmada, através do uso combnado da Transformação de Laplace Clássca e da Técnca da Transformada Integral Generalzada. 3. TRANSFORMAÇÃO DO PROBLEMA 3. Transformada de Laplace Incalmente, segundo as déas encontradas em (Guedes, Cotta & Brum, 989), aplca-se a Transformada de Laplace sobre a varável tempo: s θ(x, y) θ(x,y) θ (x,y) θ(x,y) + u(y) = +, x y Pe x 0 < y <, x > 0 (8)

4 θ(, 0 y) = / s, 0 < y < (9) θ(x,0) = 0, x > 0 y (0) θ ( x, ) = 0, x > 0 () θ (L, y) = 0, 0 y () onde θ (x,y) é a Transformada de Laplace do potencal Txyt (,,). 3. Técnca da Transformada Integral Generalzada Para a aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada, ncalmente defne-se um problema de autovalor auxlar: d Y g (y) + β Y (y) = 0 0 < y < g g dy (3) dy g(0) dy = 0 (4) Y g () = 0 (5) onde Y g e β g são as autofunções normalzadas e os autovalores, respectvamente, dadas por: Y g(y) = cos ( g y) β, (6) β g = ( g - 0.5) π, g =,,... (7) A norma, Y g e a propredade de ortogonaldade são respectvamente: NY g = Yg (y)dy = 0 (8)

5 δ gh =, g = h Y g (y)y h (y)dy= δ gh onde, (9) 0 δ gh = 0, g h O par de Transformação Integral é obtdo pela aplcação do operador Y 0 j (y) dy no potencal θ ( x, y) expanddo em autofunções, obtendo-se o par: θ (x) Y (y) = θ(x, y)dy, 0 TRANSFORMADA (0) θ(x, y) = Y (y) θ(x), = INVERSA () Para a transformação ntegral da equação dferencal parcal e suas condções de contorno (Eqs 8-), multplca-se cada termo pela autofunção, Y (y), e ntegra-se ao longo da dreção y: Observando a Eq. Inversa () e aplcando a Eq. Transformada (0), obtém-se: Pe d θ (x) A j dx j= dθj(x) dx ( s + β ) θ (x) = 0, x > 0 () (0) = θ f s (3) onde e θ ( L) = 0 Aj = 0 f = 0 Y Y (y) j(y) u(y)dy Y (y)dy, (4) (5) (6) O objetvo aqu é obter uma solução analítca aproxmada que funcone como fltro na solução de formulações mas geras. Sendo assm, adotou-se a solução de menor ordem (lowest order soluton), desprezando os elementos não dagonas na matrz de coefcentes acma. O sstema desacoplado aproxmado é dado por: Pe d θ" (x) dθ" (x) A dx dx ( s + β ) θ" (x) = 0, x > 0 (7)

6 f θ " (0) = s ( L) = 0. θ " (8) (9) onde o efeto do campo de velocdade não unforme é representado pelos elementos dagonas, A. O sstema dferencal ordnáro representado pelas Eqs (7-9) tem como solução: onde λ (x) = C.e x + C.e λ x θ " 4 Pe A ± Pe A + 4Pe (s + β ) λ, = (30) (3) Aplcando a condção de contorno (8) na Eq.(30) e observando a Eq.(9), consderando que λ < 0, encontra-se que: θ " f Pe A (x) = exp s 3.3 Potencal Orgnal 4 Pe A + 4Pe ( s + β ) x Para a recuperação da temperatura orgnal, utlza-se a fórmula da nversa, Eq. (), onde se aplca a solução obtda, Eq.(3): (3) onde, Pe A x Y θ (x,y) = " (y) f exp exp s = = Pe A a 4 + β [ Pe x s a ] Observando-se que a nversão da Transformada de Laplace é dada por: θ (x, y,t) = L " θ " ( (x,y)) (33) (34) (35) e aplcando-se a Eq.(33), obtém-se:

7 Pe A x θ = Y " (x, y.t) (y) f exp L exp s = onde, consderando: H(s) = exp[ Pe x s a ] s [ Pe x s a] (36) (37) aplca-se o Teorema da Convolução t h(t) = (f g)(t) = f( τ)g(t τ) dτ 0, (38) e tem-se: Pe x t - (Pe x) h(t) = L H() s = exp a τ d π o.5 τ 4 τ ( ) τ (39), que aplca-se à Eq. (36) para se obter: θ"(x, y, t) = = Y (y) f t 0 Pe x.5 π τ Pe A x exp ( Pe x ) + a τ dτ 4τ (40) 3.4 Temperatura Méda A temperatura méda de mstura, na sua forma admensonalzada, fornece a segunte expressão aproxmada: θav (x, t) = 3 π f f 4 = 0 Y (y)y dy t Pe x 0.5 τ Pe A x exp (Pe x) + aτ 4τ dτ (4) 4. RESULTADOS E ANÁLISE O códgo computaconal fo elaborado no Fortran Powerstaton. Para o cálculo dos coefcentes nas ntegrações numércas fo adotado o erro relatvo de 0-6, e optou-se pela subrotna DQDAG dsponível na bbloteca IMSL (989). Observa-se no cálculo da ntegral no tempo, para x = 0, uma sngulardade devdo a presença desta varável no numerador da Eq.(4). Então buscou-se a convergênca para valores decrescentes de x, tendendo-se a zero. Os tempos admensonas adotados foram 0,005 0,00 0,030 e 0,050 e os resultados são comparados com os obtdos da solução completa va GITT com fltro permanente

8 (Gondm, 997). Nas fguras, verfca-se uma sobreposção das soluções, aproxmada e completa, para números de Peclet pequenos. À medda que este cresce, observa-se um aumento da dspardade das curvas mas, conservando as característcas geras do fenômeno estudado, capturando com razoável adequação as posções e comportamentos das frentes térmcas, a partr da perturbação na entrada do canal. Estas característcas ndcam esta solução como um melhor fltro da solução geral do que aquele de dfusão pura permanente utlzado em Gondm (997) Temperatura Méda, θ av t = 0.0 Varação de Peclet Pe =.0 Pe = 0.0 Pe = 00.0 Pe = Pe = Solução completa Solução Aproxmada Coordenada Axal, x Fgura - Comparação das temperaturas médas das soluções completa e aproxmada, para t = Temperatura Méda, θ av t = 0.05 Varação de Peclet Pe =.0 Pe = 0.0 Pe = 00.0 Pe = Pe = S olução com pleta Solução Aproxmada Coordenada Axal, x Fgura - Comparação das temperaturas médas das soluções completa e aproxmada, para t = 0.05.

9 Nas Tabelas e abaxo verfca-se a convergênca da solução aproxmada para número de termos gual ou menor a 0 na precsão requerda. Tabela - Comportamento da convergênca da temperatura méda transente, θ av (x,t), em váras posções, x, ao longo do canal, através da solução msta Laplace/GITT, para Pe = e L =. N 0 de tempo Números de Termos Peclet ( t ) x Tabela - Comportamento da convergênca da temperatura méda transente, θ av (x,t), em váras posções, x, ao longo do canal, através da solução msta Laplace/GITT, para Pe = e L =. N o de tempo Números de Termos Peclet t x

10 REFERÊNCIAS Aparecdo, J.B. & Cotta, R.M.,990, Lamnar Flow Insde Hexagonal Ducts, Computatonal Mech., V. 6, pp Cotta, R.M. & Özsk, M.N.,986, Lamnar Forced Convecton n Ducts wth Perodc Varaton of Inlet Temperature, Int. J. Heat & Mass Transfer, V. 9, n o 0, pp Cotta, R.M. & Santos, C.A.C., 99, Transent Dffuson Problems wth Tme-Dependent Boundary Condton Coeffcents, J. Eng. Physcs, V. 6, n o 5, pp Cotta, R.M., 993, Integral Transforms n Computatonal Heat and Flud Flow, CRC Press, Boca Raton, Fl. Cotta, R.M., 994, The Integral Transform Method n Computatonal Heat and Flud Flow: - The Integral Transform Method, 0th Internatonal Heat Transfer Conference, Invted Lecture, August, Brghton, UK, V., pp Gondm, R.R., 997, Convecção Forçada Transente Interna com Dfusão Axal: Solução Va Transformada Integral, D.Sc. Tese, Unuversdade Federal do Ro de Janero/COPPE- PEM, Ro de Janero, Ro de Janero, Brasl. Guedes, R.O.C., Cotta, R.M. & Brum, N.C.L.,989, Conjugated Heat Transfer n Lamnar Flow Between Parallel-Plates Channels, Anas do X Congresso Braslero de Engenhara Mecânca, Dezembro, Ro de Janero, pp IMSL Lbrary, Math/Lb., Houston, Texas, 989. Mkhalov, M.D., 975, On the Soluton of the Heat Equaton wth Tme Dependent Coeffcent, Int. J. Heat & Mass Transfer, V. 8, pp Mkhalov, M.D & Özsk, M.N., 984, Unfed Analyss and Solutons of Heat and Mass Dffuson, John Wley, New York. Özsk, M.N. & Murray, R.L., 974, On the Soluton of Lnear Dffuson Problems wth Varable Boundary Condtons Parameters, ASME J. Heat Transfer, V. 96, pp APPROXIMATE SOLUTION FOR TRANSIENT FORCED CONVECTION WITH AXIAL DIFFUSION Abstract. An approxmate analytcal soluton for transent lamnar forced convecton nsde a parallel plates channel s obtaned through ntegral transformaton. The combnaton of the Generalzed Integral Transform Technque and Laplace Transforms allows for obtanng the temperature feld n explct form, wthn the thermal entrance regon. The approxmate analytcal soluton s compared to the exact soluton and s proposed as a transent flter for future developments. Keywords: Transent Convecton, Laplace Transform, Integral Transforms, Axal Dffuson