UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA BRUNO NUNES MELO DA SILVA

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA BRUNO NUNES MELO DA SILVA APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO EFEITOS MAGNETOHIDRODINÂMICOS NATAL - RN de Mao de 14

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA BRUNO NUNES MELO DA SILVA APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO EFEITOS MAGNETOHIDRODINÂMICOS Dssertação submetda à Unversdade Federal do Ro Grande do Norte como parte dos requstos para obtenção do grau de Mestre em Engenhara Mecânca. Orentador: Prof. Dr. João Alves de lma Área de concentração: Mecânca Computaconal NATAL - RN de Mao de 14

3

4 UFRN / Bbloteca Central Zla Mamede. Catalogação da Publcação na Fonte. Slva, Bruno Nunes Melo da. Aplcação da técnca da transformada ntegral generalzada em escoamento em canas consderando efetos magnetohdrodnâmcos. / Bruno Nunes Melo da Slva. Natal, RN, f.; l. Orentador: Prof. Dr. João Alves de Lma. Dssertação (Mestrado) Unversdade Federal do Ro Grande do Norte. Centro de Tecnologa. Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca. 1. Magnetohdrodnâmca Dssertação.. Efeto hall - Dssertação. 3. Deslzamento de íons - Dssertação. 4. Tranformada ntegral - Dssertação. 5. Propredades varáves Dssertação. I. Lma, João Alves de. II. Unversdade Federal do Ro Grande do Norte. III. Título. RN/UF/BCZM CDU

5 A mnha nova Alne Kelle, pelo tempo que dexamos de estar juntos... Aos meus famlares e amgos, a eles todos os crédtos... 5

6 AGRADECIMENTOS A Jesus Crsto, por me ajudar nos momentos dfíces. Aos meus pas. A mnha famíla. Ao professor João Alves de Lma, meu orentador, por acredtar em mm, seus ensnamentos, humldade e grandosa ntelgênca que me servem de exemplo. À UFRN pela oportundade de realzação desse mestrado. 6

7 ... a smplcdade e a humldade são grandes vrtudes do ser humano. Clovs R. Malska. 7

8 SUMÁRIO RESUMO...1 ABSTRACT...11 LISTA DE FIGURAS...1 LISTA DE TABELAS...15 LISTA DE SÍMBOLOS...17 LETRAS GREGAS... LISTA DE ANEXOS...4 CAPÍTULO I CAPÍTULO II CAPÍTULO III 1 INTRODUÇÃO 1.1 INTRODUÇÃO OBJETIVOS... 9 REVISÃO DE LITERATURA.1 MAGNETOHIDRODINÂMICA EM CANAIS PARALELOS A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA MHD: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA CONCEITOS BÁSICOS EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA LEI DE AMPÈRE LEI DE FARADAY CONSERVAÇÃO DE CARGA-DIVERGÊNCIA INCLUSÃO DO EFEITO HALL E DESLIZAMENTO DE ÍONS EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES E A FORÇA DE LORENTZ

9 CAPÍTULO IV 4 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 4.1 PROBLEMA FÍSICO HIPÓTESES ADOTADAS MODELO MATEMÁTICO ADIMENSIONALIZAÇÃO... 7 CAPÍTULO V 5 METODOLOGIA E SOLUÇÃO 5.1 PROCESSO DE FILTRAGEM DOS POTENCIAIS EXPRESSÃO DOS FILTROS FILTRO PARA OS CAMPOS DE VELOCIDADE FILTRO PARA OS CAMPOS DE TEMPERATURA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO SISTEMA PROBLEMA DE AUTOVALOR AUXILIAR TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DAS EQUAÇÕES CAPÍTULO VI 6 RESULTADOS 6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS VALIDAÇÃO E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ATTIA & KOTB (1996) ATTIA (6a) ATTIA (1999) ATTIA () ATTIA & ABOUL-HASSAN (3) - ATTIA (5b) ATTIA (5c) - ATTIA (6b) CAPÍTULO VII 7 CONCLUSÕES REFERÊNCIAS...18 ANEXOS

10 RESUMO APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO EFEITOS MAGNETOHIDRODINÂMICOS Propõe-se, no presente trabalho, a obtenção de soluções híbrdas, através da aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT), para o problema do escoamento com transferênca de calor transente, para fludos newtonanos condutores elétrcos submetdos a campos magnétcos constantes, em um canal de placas planas e paralelas com ou sem rotação do canal. No escoamento, o qual é mantdo por um gradente de pressão constante ou com decamento exponencal, as nfluêncas de efetos Hall, deslzamento de íons e a presença de partículas sóldas são consderadas. Consdera-se anda que a placa superor do canal pode se movmentar longtudnalmente e que ambas as placas podem ser porosas. O campo magnétco é aplcado na dreção normal ao escoamento. Assume-se que tal campo magnétco é constante e não é afetado pelo escoamento, de manera que apenas a nteração de uma va entre o escoamento do fludo condutor elétrco e o campo magnétco é estudada. Admte-se, anda, a varação com a temperatura das propredades físcas transportadas, sto é, a vscosdade e as condutvdades térmca e elétrca. Resultados híbrdos são obtdos e comparados com outros resultados numércos para os campos de velocdade e temperatura do fludo e das partículas sóldas em função dos parâmetros governantes, a saber, número de Reynolds, Hartmann, parâmetros Hall, deslzamento de íons, concentração das partículas sóldas e parâmetros termofíscos. São realzadas análses de convergênca para os prncpas potencas com o objetvo de se lustrar a consstênca da técnca (GITT) e a sua utlzação com fnaldades de valdação (benchmark) nessa área da dnâmca dos fludos e transferênca de calor. Palavras-chaves: Magnetohdrodnâmca (MHD), Transformação Integral (GITT), Efeto Hall, Deslzamento de íons, Transferênca de calor, Partículas sóldas. 1

11 ABSTRACT APPLICATION OF THE GENERALIZED INTEGRAL TRANSFORM TECHNIQUE TO CHANNEL FLOWS BY CONSIDERING MAGNETOHYDRODYNAMIC EFFECTS The present study proposes the development of hybrd solutons to the transent Hartmann flow problem wth heat transfer of an electrcally conductng and newtonan flud subjected to a constant magnetc feld. The Generalzed Integral Transform Technque s employed to analyze the nfluence of Hall and on-slp effects, as well as the presence of sold partcles on flow behavor, whch s mantaned by a constant or exponental-decayng gradent pressure. A transverse flow normal to the walls can also occurs, so that plates can be both porous. Addtonally, a movement of the upper plate n the longtudnal drecton can be consdered. Here, t s assumed that the magnetc feld s constant, beng not affected by the flow, so that only an one-way nteracton between the flow and the magnetc feld s studed. Temperature-dependent transport propertes, such as vscosty, thermal and electrcal conductvty, can be consdered too. Hybrd results are obtaned and compared to other numercal results for the velocty and temperature felds of flow and sold partcles as functon of the man dmensonless governng parameters, namely, Reynolds number, Hartmann number, Hall, Ion-slp and concentraton of sold partcles. Convergence analyses are carred out for the man potentals n order to llustrate the consstency of the technque (GITT) and ts use for purposes of benchmarkng n the area of heat and flud flow. Keywords: Magnetohydrodynamcs (MHD), Magnetoconvecton, Integral Transforms (GITT), Hall Effect, Ion-slp Effect, Dusty Flud 11

12 LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 3 Fgura 3.1 Esquema (a) de uma bomba eletromagnétca (adpatado de Sherclff, 1965) e (b) do confnamento magnétco de plasma (adaptado de Davdson, 1). Fgura 3. Esquema (a) de agtação magnétca de um lngote, (b) do amortecmento magnétco de movmento durante fundção e (c) de uma válvula eletromagnétca. Adaptados de Davdson (1). Fgura 3.3 Instabldade em uma célula de redução de alumíno. Adaptado de Davdson (1). Fgura 3.4 Interação entre o campo magnétco, e um fo crcular em movmento. Adaptado de Davdson (1). Fgura 3.5 Le de Ohm em um condutor (a) estaconáro e (b) em movmento. Adaptado de Davdson (1). Fgura 3.6 Le de Ampère aplcada a um fo. Adaptado de Davdson (1). Fgura 3.7 Le de Faraday (a) fem gerada pelo movmento de condutor, (b) fem gerada por um campo magnétco dependente do tempo. Adaptado de Davdson (1). CAPÍTULO 4 Fgura 4.1 Esquema de geometra e das característcas elétrcas e magnétcas do canal. Adaptado de Setayesh e Saha (199) e Sutton e Sherman (6). 1

13 CAPÍTULO 6 Fgura Influênca da sucção/ejeção nas paredes sobre a dstrbução em regme permanente de velocdade. Ha =, Ru = 1, G = - 5, a =, Pr = 1 e Ec =. Fgura 6. - Influênca do campo magnétco e da vscosdade sobre a dstrbução em regme permanente de velocdade. Ru = 1, Rv =, G = - 5, Pr = 1 e Ec = 1. Fgura Influênca do campo magnétco e da condutvdade elétrca sobre a dstrbução de velocdade em regme permanente, para dferentes números de Hartmann e a = -,5. Fgura Influênca do campo magnétco e da condutvdade elétrca sobre a dstrbução de velocdade em regme permanente, para dferentes números de Hartmann e a =. Fgura Influênca do campo magnétco e da condutvdade elétrca sobre a dstrbução de velocdade em regme permanente, para dferentes números de Hartmann e a =,5. Fgura Influênca da vscosdade sobre a dstrbução em regme permanente da temperatura. Ha = 1, G = 4, Pr = 1, Ec =,5875. Fgura Evolução temporal da velocdade no centro do canal em função do parâmetro de vscosdade. Ha = ; G = 4; Pr = 1 e Ec =,5875. Fgura Evolução temporal da temperatura no centro do canal em função do parâmetro de vscosdade. Ha = ; G = 4; Pr = 1 e Ec =,5875. Fgura Efeto do parâmetro a sobre a evolução temporal da velocdade no centro do canal, (a) para o fludo e (b) para as partículas. Ha = e c =. 13

14 Fgura Efeto do parâmetro a sobre a evolução temporal da temperatura no centro do canal, (a) para o fludo e (b) para as partículas. Ha = e c =. Fgura Efeto do parâmetro c sobre a evolução temporal da velocdade no centro do canal, (a) para o fludo e (b) para as partículas. Ha = e a =. Fgura Efeto do parâmetro c sobre a evolução temporal da temperatura no centro do canal, (a) para o fludo e (b) para as partículas. Ha = e a =. Fgura Efeto do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da componente longtudnal de velocdade no centro do canal. Ha = 6 e a =, b =. Fgura Efeto do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da componente transversal de velocdade no centro do canal. Ha = 6 e a =, b =. Fgura Efeto do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da temperatura no centro do canal. Ha = 6 e a =, b =. Fgura Perfl da componente longtudnal de velocdade em três nstantes de tempo seleconados, para Ha = 6, β = 3, β = 3 e Rv =. Fgura Perfl da componente transversal de velocdade em três nstantes de tempo seleconados, para Ha = 6, β = 3, β = 3 e Rv =. Fgura Perfl de temperatura em três nstantes de tempo seleconados, para Ha = 6, β = 3, β = 3 e Rv =. Fgura Efeto dos parâmetros Hall e de deslzamento de íons sobre a componente longtudnal de velocdade, em y =, para Ha = 6 e Rv =. Fgura 6. - Efeto dos parâmetros Hall e de deslzamento de íons sobre a componente transversal de velocdade, em y =, para Ha = 6 e Rv =. 14

15 LISTA DE TABELAS CAPÍTULO 6 Tabela Convergênca da velocdade na lnha de centro, em regme permanente, para dferentes valores de a, Ha e Rv e consderando Ru = 1, G = - 5, Pr = 1 e Ec = 1. Tabela 6. - Comparação da temperatura no centro do canal, em regme permanente, para condutvdade térmca constante (b = ) e dferentes valores de a, c e Ha. Tabela Comparação da temperatura no centro do canal, em regme permanente, para condutvdade elétrca constante (c = ) e dferentes valores de a, b e Ha. Tabela Comparação da temperatura no centro do canal, em regme permanente, para vscosdade constante (a = ) e dferentes valores de b, c e Ha. Tabela Evolução temporal da velocdade na lnha de centro, para dferentes valores de a e Ha, consderando G = 4, Pr = 1 e Ec =,5875. Tabela Evolução temporal da temperatura na lnha de centro, para dferentes valores de a e Ha, consderando G = 4, Pr = 1 e Ec =,5875. Tabela Análse de convergênca e comparação da velocdade do fludo na lnha de centro do canal, em regme permanente, para Ha = e dferentes valores de a e c. Tabela Análse de convergênca e comparação da velocdade das partículas na lnha de centro do canal, em regme permanente, para Ha = e dferentes valores de a e c. 15

16 Tabela Análse de convergênca e comparação da temperatura do fludo na lnha de centro do canal, em regme permanente, para Ha = e dferentes valores de a e c. Tabela Análse de convergênca e comparação da temperatura das partículas na lnha de centro do canal, em regme permanente, para Ha = e dferentes valores de a e c. Tabela Comparação para a evolução, no centro do canal, da componente w de velocdade e para a temperatura, em função do efeto Hall. Ha = 6 e a =, b =. Tabela Efeto do parâmetro Hall e da condutvdade térmca sobre a temperatura no centro do canal, em regme permanente, para Ha = 6 e a =. Tabela Comparação da nfluênca do parâmetro de vscosdade e do efeto Hall sobre o coefcente de atrto para regme permanente. Ha = 6 e b =. Tabela Comparação da nfluênca do parâmetro de vscosdade e do efeto Hall sobre o número de Nusselt para regme permanente. Ha = 6 e b =. Tabela Convergênca e comparação para a temperatura no centro do canal, em função do efeto Hall e do deslzamento de íons em nstantes de tempo dscretos. Ha = 6, Rv = e β = 1. 16

17 LISTA DE SÍMBOLOS A Vetor potencal a / a Parâmetro de vscosdade admensonal / dmensonal B / B B Vetor campo magnétco / dmensonal Vetor campo magnétco externo b / b Parâmetro de condutvdade térmca admensonal / dmensonal C Undade de comprmento de uma dada curva fechada c / c Parâmetro de condutvdade elétrca admensonal / dmensonal c p Calor específco a pressão constante c Ps Calor específco das partículas; c V d l S ds E E E e Calor especfco do fludo a volume constante; Elemento dferencal de comprmento É qualquer superfíce lmtada por uma curva. Elemento dferencal de área superfíce Vetor campo elétrco Campo elétrco nduzdo Campo elétrco secundáro 17

18 E E E s z Campo elétrco externo Campo eletrostátco Parâmetro elétrco admensonal E c F f F F MHD F / F D Dx Número de Eckert Vetor força eletromagnétco Força eletromagnétca resultante Parâmetro massa das partículas Força de Lorentz dmensonal Força de arraste dmensonal, modelada em função do movmento relatvo fludo/partícula / avalada na componente x G / G Gradente de pressão constante admensonal / dmensonal h Ha J / J J e Dstânca entre as placas Número Hartmann Vetor densdade de corrente elétrca / dmensonal Corrente de condução assocada aos elétrons k / k Condutvdade térmca do fludo admensonal / dmensonal K l Constante de Stokes Escala característca de comprmento L Parâmetro tempo de relaxação para temperatura 18

19 m p Massa méda das partículas m Massa méda dos íons n e Número de elétrons N m Parâmetro de nteração magnétca N Norma da autofunção assocada ao campo de velocdade e temperatura N u Número de termos empregado nas expansões do campo de velocdade N t Número de termos empregado nas expansões do campo de temperatura P, P Campo de pressão, dmensonal e admensonal, respectvamente P r Número de Prandtl q Carga do elétron q vsc Geração de energa por dsspação vscosa dmensonal q joule Geração de energa por dsspação Joule R Parâmetro concentração de partículas R p Rao médo das partículas Re m Número de Reynolds magnétco Ru Rv Número de Reynolds relaconado a placa superor Parâmetro de sucção/ejeção nas paredes porosas do canal t, t Tempo, dmensonal e admensonal, respectvamente 19

20 t e Tempo de colsão dos elétrons T, T Campo de temperatura, dmensonal e admensonal, respectvamente T p, T p Campo de temperatura das partículas sóldas, dmensonal e admensonal, respectvamente T Temperatura ncal T 1 Temperatura da placa nferor T Temperatura da placa superor T F Campo de temperatura fltrado do fludo V V V p V e Potencal eletrostátco Campo vetoral de velocdade do fludo Campo vetoral da velocdade das partículas sóldas Velocdade transversal de dfusão dos elétrons v a Velocdade de Alfvén u, u Campo de velocdade, dmensonal e admensonal, respectvamente u ( y, t) Componente longtudnal da velocdade do fludo u h (t) Campo fltrado e transformado da velocdade do fludo u h Campo fltrado da velocdade u p ( y, t) Componente longtudnal da velocdade das partículas sóldas u (t) Potencal transformado para o campo de velocdade

21 u p (t) Potencal fltrado e transformado da velocdade das partículas sóldas u ph Campo fltrado da velocdade das partículas sóldas w ( y, t) Componente transversal da velocdade do fludo w (t) Potencal transformado da velocdade transversal do fludo w p (t) Potencal transformado da velocdade transversal das partículas sóldas w ( y, t) Componente transversal da velocdade do fludo w p ( y, t) Componente transversal da velocdade das partículas v w Componente transversal da velocdade do fludo x, x y, y Coordenada longtudnal, dmensonal e admensonal, respectvamente Coordenada transversal, dmensonal e admensonal, respectvamente 1

22 LETRAS GREGAS α / α Constante de amortecmento do gradente de pressão admensonal / G G dmensonal α corols Aceleração de Corols dmensonal para o fludo α corols _p Aceleração de Corols dmensonal para as partículas λ Autovalor assocado aos campos de velocdade e temperatura λ s Tempo de relaxação para temperatura γ s Tempo de relaxação para a velocdade β e Constante Hall para os elétrons β Constante Hall para os íons ε Constante de permssvdade no vácuo θ Campo de temperatura fltrado do fludo θ p Campo de temperatura fltrado das partículas sóldas (t) θ Campo de temperatura normalzado e transformado do fludo θ p (t) Campo de temperatura normalzado e transformado das partículas sóldas µ, v Vscosdade dnâmca e cnemátca respectvamente µ 1 Vscosdade dnâmca avalada na placa nferor, T 1

23 µ Vscosdade dnâmca avalada na placa superor, T ρ Densdade do fludo ρ e Densdade de elétrons ρ p Massa das partículas por undade de volume de fludo; ρ s Massa específca das partículas; σ / σ Condutvdade elétrca do fludo admensonal / dmensonal τ e Tempo de relaxação da carga τ m Tempo de amortecmento magnétco ( y) τ Autofunção dos campos de velocdade e temperatura ~ τ ( y ) Autofunção autonormalzada dos campos de velocdade e temperatura Ω / Ω Velocdade angular / vetoral, dmensonal ω Undade de frequênca 3

24 LISTA DE ANEXOS Anexo A.1 - Trabalhos de Interesse sobre Magnetohdrodnâmca em Canas de Placas Paralelas. Anexo A. - Propredades Físcas de Metas Líqudos. Anexo A.3 - Símbolos/Varáves, Grandezas e Undades encontradas no eletromagnetsmo. Anexo A.4 - Equações de Maxwell e da Magnetohdrodnâmca. Anexo A.5 - Avalação dos Vetores Densdade de Corrente e Força de Lorentz. Anexo A.6 - Equação de Transporte do campo Magnétco. 4

25 CAPÍTULO I 1. INTRODUÇÃO 5

26 1.1 INTRODUÇÃO A magnetohdrodnâmca, ou smplesmente MHD, é a combnação da mecânca dos fludos e com a eletrodnâmca, ou seja, é um ramo da cênca que estuda o fenômeno da nteração do escoamento de fludos condutores sob a presença de campos magnétco. MHD é a área do conhecmento que ganhou espaço na comundade centífca devdo a sua aplcabldade em váras áreas do conhecmento. Dentre essas áreas, é possível ctar a geofísca, que estuda o núcleo do planeta, o qual se comporta como um grande sstema magnétco; a físca nuclear, com a análse de gases onzados para manter as reações de fusão nuclear e a engenhara, com motores de propulsão magnétcos. Desde os prmeros estudos sobre eletrcdade e magnetsmo, sabe-se que os campos magnétcos nteragem com mutos líqudos naturas e artfcas. Eles são utlzados em ndústras para o aquecmento, produções de novos materas supercondutores, bombeamento e levtação de metas líqudos, geradores magnetohdrodnâmcos, no resframento de reatores nucleares, e mas fortemente nas ndústras de alumíno (células de redução de alumíno) e sderúrgcas (Sherclff, 1965; Davdson, 1; Sutton, 6). Segundo Sherclff (1965), um condutor (fludo ou sóldo) na presença de um campo magnétco varável (obtdo por meo do movmento de um ímã permanente ou de um solenode almentado por uma fonte de corrente externa que vara com o tempo) cra uma densdade de corrente elétrca nduzda neste condutor, o qual nterage mutuamente com o campo magnétco orgnal. Resultam desse processo, bascamente, forças eletromagnétcas que alteram o gradente de pressão do fludo ou o estado de movmento do sóldo, os quas são frutos do produto vetoral entre o vetor densdade de corrente elétrca e o vetor densdade de campo magnétco aplcado. Adconalmente, devdo a deflexão das partículas portadoras de carga (elétrons) pelo campo magnétco perpendcular ao escoamento, surge uma densdade de corrente elétrca nduzda transversal ao escoamento (efeto Hall), para balancear tal efeto de deflexão. Normalmente, a velocdade de dfusão dos elétrons é maor do que a de íons e, como uma prmera aproxmação, a densdade da corrente elétrca é determnada prncpalmente pela dfusão dos elétrons. Por outro lado, quando a força eletromagnétca é muto grande (no caso de forte campo magnétco), a velocdade de dfusão dos íons não pode ser omtda, prncpalmente devdo a sua massa em relação aos portadores de carga 6

27 (elétrons). Dz-se, nesse caso, de se consderar o efeto de deslzamento de íons. Em líqudos condutores, tas efetos podem ser desprezados. Adconalmente, a presença de partículas sóldas ou de poera em um escoamento tem sgnfcante mportânca na ndústra de petróleo, purfcação de óleo bruto, tecnologa de polímeros, separação em centrífuga da matéra e fludo e váras outras aplcações. Em bombas, geradores, aceleradores e meddores de fluxo, as partículas sóldas em forma de cnzas ou fulgem são suspensas no fludo condutor, sendo resultado de processos de corrosão. Em outras aplcações da engenhara (processamento de almentos, ndústra de processos químcos, processos de fltração centrfugação e máqunas rotatvas), o escoamento dos fludos é submetdo à rotação. A nserção de tal efeto requer o estudo mas refnado de sua dnâmca (Chand, 13). Fnalmente, em algumas stuações, a consderação de propredades termofíscas constantes não pode ser atendda. Por exemplo, reatores nucleares operam à temperaturas elevadas e as propredades termofíscas varam, geralmente de manera exponencal, com a temperatura. Assm, expressões para a massa específca, condutvdade térmca e condutvdade elétrca que dependam da temperatura devem ser adotadas. Para smular os processos físcos supractados, uma extensa cadea de pesqusa e análse deve ser percorrda, destacando-se estudos e refnamentos das les governantes, dos modelos matemátcos assocados, das não-lneardades das relações consttutvas, do acoplamento das equações de conservação, além do desenvolvmento de novas técncas computaconas para os seus tratamentos analítco e numérco. Assm, uma mportante lnha de pesqusa do meo centfco é a obtenção de técncas e procedmentos que possbltem uma nterpretação mas efcente da natureza físca, com resultados mas confáves. Mas recentemente, com a evolução dos equpamentos e ferramentas computaconas, dversas técncas numércas foram e contnuam sendo desenvolvdas, permtndo, assm, a construção de algortmos mas robustos e a obtenção de soluções mas precsas para problemas que apresentem estruturas bastante complexas. 7

28 O desenvolvmento de métodos numércos, empregados na solução das equações que governam o escoamento e a transferênca de calor, tem ganhado cada vez mas espaço na comundade centífca e tecnológca, prncpalmente no que dz respeto ao seu uso e aplcação. Atualmente, os métodos conhecdos como volumes fntos e elementos fntos formam a base das metodologas numércas, que são empregadas nos núcleos de cálculo dos softwares atuas, encontrados nos campos de dnâmca dos fludos computaconal e de análse estrutural computaconal. Por outro lado há necessdade do desenvolvmento e aplcação de metodologas matemátcas que mantenham um caráter analítco na obtenção da solução das equações dos mas varados campos da cênca se mantém como meta centífca. Dentre as metodologas que satsfazem tal requermento, pelo menos parcalmente, está o método conhecdo como Técnca da Transformada Integral Generalzada GITT (Cotta,1993; Cotta, 1998; Santos et al., 1). A GITT é uma técnca híbrda, numérco-analítca, que vem sendo desenvolvda de forma paralela aos métodos puramente numércos, e que mantêm, na sua aplcação, todas as característcas de uma solução analítca, como o método de separação de varáves, assocada, por outro lado, a robustez dos métodos puramente numércos para soluções de sstemas das equações dferencas ordnáras. Sob esse panorama, o presente trabalho está dvddo em váras etapas, as quas descrevem detalhadamente cada fase do seu desenvolvmento. O Capítulo trata da revsão bblográfca dos prncpas trabalhos que servem de referênca para o desenvolvmento do presente trabalho. O Capítulo 3 apresenta a fundamentação teórca que se faz necessára para a compreensão dos fenômenos físcos envolvdos na magnetohdrodnâmca em canas. O Capítulo 4 apresenta a formulação matemátca dos problemas a serem analsados em uma forma únca (que leva em conta todos os efetos físcos consderados para análse). O Capítulo 5 lustra a metodologa de solução adotada e suas característcas de mplementação. O Capítulo 6 dsponblza os resultados obtdos com a presente metodologa e lustra dversas comparações com outros resultados numércos. O Capítulo 7 apresenta as conclusões e as sugestões para trabalhos futuros. O restante do trabalho traz as referêncas bblográfcas utlzadas e anexos. 8

29 1. OBJETIVOS O objetvo geral do presente trabalho é a obtenção de soluções híbrdas, numérco-analítcas, através da aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT), do problema do escoamento e da transferênca de calor de fludos newtonanos, condutores elétrcos submetdos a campos magnétcos constantes em um canal de placas planas e paralelas, com ou sem rotação. No caso da rotação do canal, todo o sstema roda em torno de um exo perpendcular aos planos das placas com velocdade angular unforme. A avalação da nfluênca de Efetos Hall, partículas sóldas, deslzamento de íons no escoamento do fludo e a avalação dos parâmetros termofíscos, são consderados, de manera a alcançar uma maor proxmdade de problemas comumente encontrados. Por outro lado, tal geometra se apresenta como uma boa smplfcação para mutos escoamentos encontrados na prátca e faclta o procedmento de análse e geração de resultados de referênca ( benchmark ). Especfcamente, busca-se com o desenvolvmento do trabalho: 1. Obter os campos de velocdades e temperatura e seus parâmetros correlatos em função de dversos fatores físcos que caracterzam o tpo de escoamento analsado, utlzando a técnca da transformada ntegral generalzada (GITT);. Analsar as taxas de convergênca dos resultados, com a fnaldade de demonstrar o comportamento numérco da técnca da transformada ntegral para esse tpo de fenômeno físco; 3. Analsar a convergênca e comparar os resultados obtdos, para valdação do método, com outros resultados numércos prevamente reportados na lteratura; 4. Servr de referênca para futuras análses híbrdas que tenham por objetvo o desenvolvmento de estudos voltados para a magnetohdrodnâmca em sua forma mas complexa (acoplamento de duas vas,.e., a solução acoplada das equações de Naver-Stokes e de Maxwell). 9

30 CAPÍTULO II. REVISÃO DE LITERATURA 3

31 .1 MAGNETOHIDRODINÂMICA EM CANAIS PARALELOS Grandes contrbuções no ntuto de compreender o problema que governa o escoamento MHD em canas foram desenvolvdas sob o ponto de vsta do enrquecmento de modelos e métodos aproprados para estudá-lo. Sabe-se, por exemplo, que no nteror de canas, dfclmente o escoamento é completamente desenvolvdo sobre toda sua extensão, além dsso, para manter o escoamento, podem ser aplcados gradentes de pressão constantes ou varáves. Normalmente, tem-se consderado que o campo magnétco atua perpendcularmente ao escoamento e que efetos de propredades termofíscas varáves, efeto Hall, efeto de deslzamento de íons e presença de partículas sóldas ou mpurezas podem ser ncluídos na análse. Uma revsão bblográfca dos trabalhos mas representatvos que levam em conta tas efetos é a segur efetuada. Atta e Kotb (1996) analsaram a magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em regme permanente de um fludo condutor elétrco em um canal de placas paralelas (porosas) onde a placa superor se mova à velocdade constante. Empregando o esquema mplícto de dferenças fntas de Crank-Ncolson, avalou o efeto da dependênca da vscosdade dnâmca do fludo com a temperatura sobre o campo de escoamento. Dez anos depos, Atta (6a) avalou a dependênca de todas as propredades de transporte (vscosdade, condutvdades térmca e elétrca) sobre o escoamento em regme permanente em um canal não poroso. Atta (1999) estendeu o trabalho desenvolvdo por Atta e Kotb (1996) para a stuação de regme transente, desprezando, no entanto, o efeto de porosdade das placas. A partr desse trabalho, todos os demas envolvendo fludos newtonanos foram realzados consderando-se que ambas as placas eram fxas. Chamkha (1) estudou, através do método das dferenças fntas, o problema do escoamento lamnar transente completamente desenvolvdo com transferênca de calor em um canal poroso, consderando assm possbldade de geração ou absorção volumétrca de calor no fludo e propredades térmcas varáves. 31

32 Atta () estudou o escoamento e a transferênca de calor de um fludo condutor elétrco com mpurezas ou partículas sóldas, submetdo a um gradente de pressão constante e um campo magnétco unforme externo perpendcular às placas. As propredades vscosdade e condutvdade elétrca foram consderados dependentes da temperatura e as equações foram resolvdas numercamente usando o método de dferenças fntas para os campos de velocdade e temperaturas do fludo e das partículas. Atta e Aboul-Hassan (3) estudaram o efeto da dependênca com a temperatura da vscosdade e da condutvdade térmca sobre o escoamento MHD transente com transferênca de calor. O efeto Hall é levado em consderação sob a hpótese de gradente de pressão constante. As equações dferencas acopladas da quantdade de movmento e de energa foram obtdas usando o método de dferenças fntas. Atta (3) pesqusou sobre o desenvolvmento do escoamento permanente MHD de um fludo vscoso, ncompressível, eletrcamente condutor com transferênca de calor entre as placas, consderando os efeto Hall e de deslzamento de íons. Novamente, o gradente de pressão e o campo magnétco eram constantes e resultados para os dos campos foram obtdos com o método das dferenças fntas. Atta e Sayed-Ahmed (4) analsaram o escoamento e a transferênca de calor transentes de um fludo não-newtonano (Bngham), consderando anda njeção/sucção unforme através das placas. A placa nferor é estaconára e a placa superor se move com uma velocdade constante e as duas placas são mantdas a temperaturas dferentes mas constantes. Os efetos do parâmetro Hall e da velocdade de njeção sobre os campos de velocdade e temperatura do fludo foram analsados va método de dferenças fntas. Atta (5a), assumndo a vscosdade dependente da tempratura, estudou o escoamento e a transferênca de calor transentes de um fludo vscoso e condutor elétrco em um canal com placas fxas, na presença de partículas de poera e sob um gradente de pressão constante. Assumram que as placas eram porosas e submetdas a njeção/sucção unformes, enquanto o campo magnétco era constante e transversal ao escoamento. 3

33 Atta (5b) analsou a nfluênca do efeto Hall sobre o escoamento e a transferênca de calor transentes, desconsderando a porosdade das placas do canal e as partículas de poera no escoamento. Fnalmente, Atta (5c) generalzou o modelo e analsou, numercamente, os efetos da porosdade das placas sobre o escoamento e a transferênca de calor transentes, na presença de partículas sóldas, nclundo anda os efeto Hall e de deslzamento de íons e um gradente de pressão com decamento exponencal no tempo. Não obstante, consderou constantes as propredades de transporte. Apesar da descrção completa da metodologa de solução adotada, ele não nforma os valores de todos os parâmetros usados em cada análse, de manera que seus resultados não puderam ser reproduzdos. Posterormente, empregando uma metodologa em que a equação da quantdade de movmento (fludo e partículas) eram resolvdas analtcamente através da Transformada de Laplace, enquanto que a da energa (fludo e partículas) fo resolvda numercamente usando o método de dferenças fntas, Atta (6b) desconsderou a presença de partículas sóldas no escoamento e refez as análses desenvolvdas por Atta (5c). Recentemente, Chand et al. (13) estudaram o efeto da rotação do frame de referênca sobre o escoamento MHD com efeto Hall e transferênca de calor de um fludo condutor elétrco empoerado, vscoso, ncompressível sob a nfluênca, anda, de um gradente de pressão varável. Assumem que as placas do canal são porosas, sujetas a um sstema de njeção e ejeção unformes, de baxo par cma. Um campo magnétco unforme é aplcado na dreção normal ao plano das placas. As placas são mantdas à dferentes temperaturas que varam perodcamente. Todo o sstema roda em torno do exo perpendcular aos planos das placas com velocdade angular unforme. As equações são resolvdas para se obter as dstrbuções de velocdade e temperatura para o fludo e as partículas de poera, para os dversos parâmetros governantes. Os resultados obtdos a partr dos trabalhos anterormente ctados são, na maora das vezes, de caráter puramente numérco ou, quando analítcos, sujetos a severas hpóteses smplfcadores que restrngem grande parte dos fenômenos presentes em stuações mas geras. 33

34 Como um contraponto a essa stuação, atualmente estão sendo desenvolvdos métodos híbrdos, numérco-analítcos, que se utlzam da robustez dos métodos numércos, na etapa fnal do procedmento de solução, mas conservam a natureza analítca em etapas de manpulação analítca anterores. Sob esse panorama, Lma et al. (7) obtveram uma solução híbrda dos problemas do escoamento MHD permanente e transente, completamente desenvolvdos, de um fludo condutor elétrco em um canal de placas paralelas, anterormente estudados por Atta e Kotb (1996) e Atta (1999), empregando a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) Posterormente, Rêgo (1) e Lma e Rêgo (13) empregaram a mesma técnca para analsar o problema do desenvolvmento smultâneo do escoamento MHD com transferênca de calor em um canal de placas paralelas mantdas a temperatura constante, guas ou dferentes. Naquele estudo, o escoamento poda entrar no canal sob um perfl unforme ou parabólco de velocdade. A Tabela A.1 do apêndce mostra um resumo geral, em ordem cronológca, dos trabalhos de nteresse que guaram a presente revsão bblográfca, caracterzando a ênfase físca analsada por cada um de seus autores.. A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA Nos últmos anos, devdo ao avanço tecnológco, têm surgdo problemas cada vez mas complexos na área de engenhara, os quas necesstam de soluções mas acuradas e tempos de processamento mas reduzdos, vsando o maor aprovetamento dos recursos empregados. Esses problemas, que na sua maora não apresentam soluções analítcas, podem ser tratados por técncas de aproxmação numércas, graças ao desenvolvmento de computadores de alta velocdade de processamento e de grande capacdade de armazenamento de dados. Por outro lado, os métodos híbrdos consstem de uma combnação de técncas analítcas assocadas a aproxmações numércas e surgram como alternatva aos métodos puramente numércos para a solução de problemas complcados de engenhara, antes tratados apenas numercamente. As orgens da denomnada Técnca da Transformada 34

35 Integral Generalzada (GITT) estão assocadas ao trabalho de Ozsk e Murray (1974), sobre a solução de problemas dfusvos com coefcentes varáves nas condções de contorno, onde vslumbrou-se a capacdade de se fornecer soluções analítcas aproxmadas a uma faxa muto maor de problemas. A GITT proporcona soluções de natureza híbrdas, numérco-analítcas, para problemas de convecção-dfusão cuja transformação ntegral resulte em sstemas de equações dferencas ordnáras acopladas, ou cujos problemas auxlares são complexos do ponto de vsta computaconal. Desde, então a GITT avançou na dreção de estender as deas do procedmento de transformação ntegral para classes geras de problemas, tanto lneares, quanto nãolneares. Um trabalho completo e sstemátco sobre GITT é apresentado em Cota (1993) e revsões e atualzações posterores do progresso da técnca encontram-se em Cotta (1998) e Santos et al. (1). Além de ser um método computaconal alternatvo, a abordagem proporconada pela GITT é partcularmente adequada para a obtenção de soluções para valdação de códgos numércos, devdo a característca de controle automátco de erro, semelhante a uma solução analítca pura. Outro aspecto destacável do método é a extensão dreta a stuações multdmensonas com um aumento não muto grande no esforço computaconal, comparatvamente ao caso undmensonal. A característca híbrda é a responsável por esse comportamento, uma vez que a solução analítca é empregada em todas as varáves ndependentes, com exceção de uma, fazendo com que a tarefa numérca seja sempre reduzda à ntegração de um sstema dferencal ordnáro em apenas uma dreção. De manera geral, a GITT é uma técnca que possu como característca, a garanta de convergênca das soluções, para ordem crescente de truncamento das séres-soluções. Esta característca ndca que é possível obter soluções com um número de algarsmos sgnfcatvos exatos (convergdos) para um determnado número de termos nas expansões. Com sso, o método da transformada ntegral é um método de precsão controlada, estabelecda na ordem de truncamento das expansões, que pode ser automatcamente determnado durante o processo de solução, assemelhando-se bastante ao de uma solução puramente analítca. 35

36 Segundo Cotta (1998), as aplcações do método podem ser dvddas em: Problemas que apresentem coefcentes varáves em suas condções de contorno (Özsk, 1974; Cotta, 1998; Santos et al., 1); Problemas que apresentem coefcentes varáves nas equações governantes (Özsk, 1974); Problemas que apresentem contornos varáves; Problemas com fronteras móves. (Cotta, 199); Problemas que envolvem dfculdades na solução do problema auxlar (Özsk, 1974; Cotta, 199); Problemas não lneares caracterzados pela presença de equações cujos termos fonte e / ou condções de contorno dependem do potencal a ser obtdo; Na últma categora, se encontra a maora dos problemas na engenhara, partcularmente na mecânca dos fludos e transferênca de calor, que podem ser ctados: condução de calor com condutvdade térmca varável, solução das equações da camada lmte e solução das equações de Naver-Stokes (Cotta, 199; Lma, 1995; Lma, ). Para se utlzação da GITT alguns passos devem ser aplcados, sequencalmente, os quas podem ser assm resumdos: 1. Escolha de um problema auxlar aproprado. Este tem por base um problema de autovalor que satsfaz, smultaneamente, dos requstos: a) Possur a maor quantdade de nformações possíves do problema orgnal, a ser resolvdo nas dreções coordenadas, escolhdas para a transformação; b) Ser de solução relatvamente smples, de preferênca analítca.. Solução do problema auxlar e obtenção das autofunções, autovalores, normas e das propredades de ortogonaldade. 36

37 3. Descrção do potencal orgnal como uma expansão das autofunções orundas do problema auxlar: determnação do par de transformada/nversa. 4. Transformação ntegral do sstema de equações dferencas parcas orgnas, aplcando-se a fórmula da transformada em todos os termos das equações orgnas, seguda da fórmula de nversão nos termos não transformáves. Obtém-se, assm, um sstema dferencal ordnáro acoplado na varável ndependente restante. 5. Truncamento do sstema dferencal ordnáro nfnto e solução do sstema restante, por procedmentos numércos bem estabelecdos dsponíves em pacotes de sub-rotnas, para obtenção dos campos transformados com precsão prescrta. Neste ponto, utlza-se o controle automátco de erro global para se ajustar as ordens de truncamento do sstema transformado e oferecer estmatvas de erro relatvo. 6. Obtenção do potencal orgnal, fazendo-se uso da fórmula analítca de nversão. Bascamente, a aplcação da GITT em sstemas de equações dferencas parcas, por meo de operadores ntegras aproprados, leva à elmnação de varáves ndependentes do problema, e como consequênca à obtenção de um sstema nfnto de equações dferencas ordnáras (EDOs) acopladas. Tal sstema, denomnado smplesmente de sstema transformado, deve ser truncado em uma ordem fnta para que se possa resolvê-lo. A ordem de truncamento é seleconada de acordo com a precsão prescrta desejada. Se o sstema transformado apresentar solução analítca, esta pode ser obtda automatcamente através de sstemas de computação smbólca, caso contráro, uma solução numérca deve ser obtda através de algortmos computaconas dsponíves em dversas bblotecas de sub-rotnas especfcas. 37

38 Do ponto de vsta das aplcações prátcas de engenhara, pode-se ctar o sucesso da utlzação da GITT na análse de equpamentos termo hdráulcos, mgração de rejetos radoatvos em solos, aerotermodnâmca de veículos espacas, polução ambental, processo de secagem, problemas térmcos em sderurga, enrquecmento sotópco, combustão, resframento de equpamentos eletrôncos, reservatóros de petróleo, entre outros (Perera, ). Dependendo da dfculdade do problema, alguns procedmentos prelmnares poderão ser utlzados com o objetvo de melhorar a performance e otmzação da técnca. Como exemplos: a aplcação de "fltros analítcos" para acelerar a convergênca da solução; o reordenamento de autovalores e potencas, aplcação do balanço ntegral. 38

39 CAPÍTULO III 3. MHD: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 39

40 3.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A nteração do movmento de fludos condutores elétrcos com campos elétrcos e magnétcos prevê uma rca varedade de fenômenos assocados com mecânca dos fludos e conversão elétrca de energa. Efetos de tas nterações podem ser observados em líqudos, gases, msturas de fases e plasmas. Exstem númeras aplcações centífcas e técncas, tas como aquecmento e controle de fluxo de processamento de metas, geração de energa a partr de msturas de duas fases ou permeadas com gases a temperaturas elevadas, confnamento magnétco de plasmas a alta temperatura (mesmo processo que cra campos magnétcos em corpos planetáros). Város termos têm sdo aplcados para o amplo campo de efetos eletromagnétcos sobre o escoamento de fludos, tas como magneto-fludodnâmca, a magneto-gás-dnâmca, a magnetohdrodnâmca, ou smplesmente "MHD". Os fludos em questão devem ser eletrcamente condutores e não-magnétcos, os quas se lmtam a metas líqudos, gases quentes onzados (plasmas) e eletróltos fortes. As les do magnetsmo e do escoamento de fludos foram desenvolvdas por volta do século XIX, no entanto, a magnetohdrodnâmca se tornou um assunto completamente desenvolvdo apenas no fm da década de 193 e níco da década de 194. A razão era, provavelmente, que não se vslumbravam as possbldades centífcas que poderam ser oferecdas pela magnetohdrodnâmca. Assm, enquanto poucos expermentos solados eram realzados por físcos, como Faraday, o assunto permaneceu nexplorado até a vrada daquele século. O panorama começou a mudar quando os astrofíscos perceberam os quão onpresentes são campos magnétcos e plasmas por todo o unverso. Isto culmnou, em 194, com a descoberta das ondas de Alfvén, um fenômeno pecular à magnetohdrodnâmca e mportante em astrofísca (uma lnha de campo magnétco pode transmtr ondas nercas transversas). Ao mesmo tempo, geofíscos começaram a suspetar que o campo magnétco da terra era gerado pela ação de dínamo do metal lqudo do seu núcleo, uma hpótese fomentada por Larmor em 1919 no contexto do campo magnétco do sol. Os físcos de plasmas, por outro lado, despertaram nteresse em MHD na década de 195 com a busca pela fusão termonuclear controlada. Estavam partcularmente nteressados na perda de establdade de plasmas confnados por campos magnétcos. Como resultado, grandes avanços foram obtdos. 4

41 Apesar de alguns trabalhos poneros terem sdo realzados pelo engenhero Hartmann que, em 1918, nventou a bomba eletromagnétca (lustrada na Fgura 3.1 a) e também, em 1937, empreendeu uma sstemátca nvestgação, teórca e expermental do escoamento de mercúro, sob um campo magnétco homogêneo. (Hartmann é consderado o pa da magnetohdrodnâmca de metal líqudo, sendo o termo de escoamento de Hartmann usado para descrever escoamentos em dutos na presença de um campo magnétco). O desenvolvmento da magnetohdrodnâmca na engenhara só aconteceu efetvamente a partr da década de 196. Esse lento progresso, se deve especalmente à baxa condutvdade elétrca dos fludos comumente empregados na engenhara, a saber, o mercúro e alguns eletróltos. O ímpeto à mudança veo, prncpalmente, a partr de três novações tecnológcas: a) Reatores de almentação/produção rápda, que usam sódo lqudo como fludo refrgerante e necessta ser bombeado (bomba eletromagnétca Fgura 3.1 a); b) Fusão termonuclear controlada, que requer que um plasma quente seja mantdo dstante das superfíces do reator por forças eletromagnétcas (Fgura 3.1 b), c) Geração de potênca magnetohdrodnâmca, na qual um gás onzado é propeldo através de um campo magnétco. Tal novação mostrou-se posterormente, tecncamente nvável. Fgura 3.1 Esquema (a) de uma bomba eletromagnétca (adpatado de Sherclff, 1965) e (b) do confnamento magnétco de plasma (adaptado de Davdson, 1). 41

42 Posterormente, enquanto a pesqusa por geração de potênca magnetohdrodnâmca começava a declnar, a ndústra metalúrgca começava a demonstrar nteresse por MHD. Duas décadas mas tarde, campos magnétcos eram rotneramente empregados para aquecer, bombear, agtar (Fgura 3. a), amortecer o movmento (Fgura 3. b) e levtar (Fgura 3. c) metas líqudos em ndústras metalúrgcas de todo o mundo. Fgura 3. Esquema (a) de agtação magnétca de um lngote, (b) do amortecmento magnétco de movmento durante fundção e (c) de uma válvula eletromagnétca. Adaptados de Davdson (1). O ponto chave destas aplcações é que a força de Lorentz fornece um meo não ntrusvo de se controlar o escoamento de metas. Assm, com a constante pressão comercal em se produzr materas mas baratos, melhores e mas consstentes, a magnetohdrodnâmca aparece com ferramenta únca de exercíco de maor controle na fundção e nos processos de refnamentos de metas. 4

43 Atualmente, a magnetohdrodnâmca tem-se mostrado mportante no processo de eletrólse, partcularmente em células de eletrólse usadas para reduzr óxdo de alumíno em alumíno. Essas células consstem de camadas largas, mas rasas, de eletrólto/crolta e alumíno líqudo, com o eletrólto permanecendo no topo. Uma corrente elétrca extrema (aproxmadamente ka) passa vertcalmente para baxo através das duas camadas, reduzndo contnuamente o óxdo de metal. Esse processo é energetcamente ntensvo, prncpalmente por causa da elevada resstênca elétrca do eletrólto. Sabe-se que campos magnétcos dspersos podem desestablzar a nterface entre o eletrólto e o alumíno, através de ondas de gravdade nterfacas, as quas absorvem energa do campo magnétco convertendo-a em energa cnétca (Fgura 3.3). De manera a evtar estas nstabldades, a camada de crolta deve ser mantda em uma espessura acma de algum valor crítco, às custas de uma severa penaldade energétca (Davdson, 1; Gerbeau et al., 4). Fgura 3.3 Instabldade em uma célula de redução de alumíno. Adaptado de Davdson (1). Entre outras aplcações da magnetohdrodnâmca na engenhara e na metalurga, podem-se ctar anda a reformulação de super lgas baseadas em ttâno e níquel, a remoção eletromagnétca de nclusões não-metálca de metal funddo, propeldores/lançadores eletromagnétcos e o chamado processo de fundção a fro por ndução em cadnhos (vtrfcação de lxo nuclear altamente atvo). Verfca-se que a magnetohdrodnâmca tem encontrado um lugar permanente e substancal na engenhara, mas especfcamente na vasta área de processamento de materas. 43

44 3. CONCEITOS BÁSICOS A nteração mútua de um campo magnétco, B, e um campo de velocdade, u surge parcalmente como resultado das les de Faraday e Ampère, e parcalmente por causa da força de Lorentz expermentada por um corpo condutor de corrente elétrca. De manera convenente, embora artfcal, dvde-se essa nteração em três ações: ) O movmento relatvo de um fludo condutor e um campo magnétco gera uma força eletromotrz, fem (da ordem de u B ), de acordo com a le de Faraday da ndução. Em geral, correntes elétrcas são geradas/nduzdas, a densdade de corrente, J, sendo da ordem de, σ (u B ), e σ sendo a condutvdade elétrca. ) As correntes nduzdas devem também, de acordo com a le de Ampère, gerar/nduzr um segundo campo magnétco. Esse campo magnétco se soma ao campo magnétco orgnal e a mudança é geralmente tal que o fludo parece arrastar as lnhas de campo magnétcos. ) O campo magnétco combnado nterage com a densdade da corrente nduzda, J gerando/nduzndo uma força por undade de volume, a força de Lorentz, J B. Essa força age sobre o condutor e, geralmente, é drgda de manera a nbr o movmento relatvo entre o campo magnétco e o fludo. As duas últmas ações têm consequênca smlares. Em ambos os casos, o movmento relatvo entre o fludo e o campo magnétco tende a ser reduzdo. Fludos podem arrastar lnhas de campos magnétcos (efetos ) e campos magnétcos podem segurar fludos condutores (efetos ). É este congelamento parcal do meo e do campo magnétco que é o ponto prncpal da magnetohdrodnâmca. Esses efetos são, talvez, mas famlares no contexto da eletrodnâmca convenconal. Consdere um fo crcular o qual é puxado através de um campo magnétco (Fgura 3.4). Logo que o fo é deslocado para a dreta, uma força eletromotrz, fem, da ordem de u B é gerada, fazendo com que uma corrente elétrca crcule no fo como mostrado (efeto ). 44

45 Fgura 3.4 Interação entre um campo magnétco e um fo crcular em movmento. Adaptado de Davdson (1). O campo magnétco assocado com a corrente nduzda perturba o campo magnétco orgnal, e o resultado líqudo é que as lnhas de campo magnétco parecem ser arrastadas pelo fo (efeto ). A corrente nduzda também faz surgr a força de Lorentz J B, a qual age no fo na dreção oposta ao do movmento (efeto ). Assm, é necessáro fornecer uma força para o movmento do fo. Para um melhor entendmento do efeto (), nca-se pela percepção de que o campo magnétco mposto deverá ser nfluencado (a) pela velocdade típca do fludo, (b) pela condutvdade elétrca do fludo e, de manera não tão explícta, (c) por uma escala característca de comprmento, l, do movmento. Se o fludo não é condutor ou a sua velocdade é desprezível, não exstrá campo magnétco nduzdo sgnfcante. Por outro lado, se σ ou u são grandes, então o campo magnétco nduzdo pode alterar o campo magnétco mposto (Fgura 3.4). Conforme ctado, a fem gerada pelo movmento relatvo entre o campo magnétco mposto e o meo fludo é da ordem de u B, de manera que, pela le de Ohm, a densdade da corrente nduzda é da ordem de (u B ). No entanto, uma densdade de corrente modesta espalhada sobre uma área pode produzr um campo magnétco elevado, enquanto que a mesma densdade de corrente espalhada sobre uma área pequena nduz apenas um campo magnétco fraco. Logo, é o produto σ u l que determna a razão entre o campo magnétco nduzdo e o campo magnétco aplcado. No lmte em que σu l (condutores deas), os campos magnétcos, nduzdo e mposto, são de mesma ordem de grandeza. Em tas crcunstâncas, o campo magnétco combnado se comporta como se estvesse preso ao fludo. Por outro lado, quando σu l, o campo magnétco mposto permanece relatvamente nalterado. 45