ESCOAMENTO EM UMA ESTRUTURA POROSA FORMADA POR UM ARRANJO INFINITO DE HASTES CILÍNDRICAS. Rodolfo Oliveira 1, Renato A. Silva 2

Transcrição

1 ESCOAMENTO EM UMA ESTRUTURA POROSA FORMAA POR UM ARRANJO INFINITO E HASTES CILÍNRICAS Rodolfo Olvera 1, Renato A. Slva Unversdade Federal do Espírto Santo Centro Unverstáro Norte do Espírto Santo epartamento de Engenharas e Computação São Mateus - ES, Brasl 1 olvera.rodolfo@hotmal.com, drenatoas@gmal.com Resumo - Este trabalho pretende obter o valor do número de Reynolds a partr do qual o escoamento passa a ser regdo pelos efetos de nérca em um meo poroso formado por um arranjo nfnto de hastes clíndrcas. Os resultados obtdos são então ntegrados no volume, através da aplcação de operadores de méda e posterormente comparados aos dados encontrados na lteratura. As equações que governam o escoamento são dscretzadas pelo método de volumes fntos com arranjo co-localzado das varáves. O sstema de equações algébrcas é resolvdo usando o método de solução segregado, sendo que para o acoplamento pressão-velocdade é utlzado o algortmo SIMPLE. Os resultados mostraram, claramente, que a partr do número de Re H = 1, os efetos de nérca se tornam predomnante no escoamento, ndependente do valor de porosdade nvestgado. Palavras-chave: escoamento lamnar, meo poroso, solução numérca, le de arcy, méda ntrínseca. Área do Conhecmento: III - Engenharas Introdução Em função da ampla aplcação envolvendo o escoamento de fludos em meos porosos, em dversos setores da ndústra e no meo ambente, observou-se, nas últmas décadas, um nteresse crescente de város pesqusadores no sentdo de descrever com sucesso este tpo de escoamento. Kuwahara et. al. (1994) e Nakayama et. al. (1995) testaram város modelos numércos de meos porosos formados por hastes clíndrcas, quadradas e esfércas, e encontraram que o modelo b-dmensonal e o tr-dmensonal levam a expressões semelhantes para a permeabldade. Kuwahara et. al. (1998), utlzando um modelo de turbulênca de baxo Reynolds (modelagem mcroscópca), resolveram o escoamento nterno a um meo poroso nfnto formado por hastes quadradas com um arranjo espacalmente peródco. Eles constataram a presença de turbulênca para Re H >10 4 e que, nessas condções, o modelo estenddo arcy-forchhemer apresenta bons resultados. Pedras e e-lemos (001a-b) desenvolveram um modelo macroscópco de turbulênca onde uma constante fo ntroduzda na equação da energa cnétca de turbulênca. O valor desta constante fo obtdo através de expermentação numérca aplcada a um meo poroso formado por hastes clíndrcas com um arranjo espacalmente peródco. Esta constante fo ajustada para hastes elíptcas longtudnas e transversas em Pedras e e-lemos (001b-c) e Pedras e e-lemos (003). Prnos et. al. (003) analsaram numérca e expermentalmente as característcas do escoamento turbulento em um canal aberto com uma camada porosa, donde concluíram que a estrutura da camada porosa ( staggered e nonstaggered ) tem pouca nfluênca na característca do escoamento próxmo à nterface entre os meos lmpo e poroso. No entanto, até o presente momento, não há na lteratura um estudo que mostre a partr de qual valor de Reynolds, o escoamento em um meo poroso, formado de um arranjo espacalmente peródco de hastes clíndrcas, transcone do escoamento governado pelo modelo de arcy (creepng flow efetos vscosos domnantes) para o modelo estenddo de arcy-forcchemer (efetos de nérca domnantes). Logo, este trabalho tem como objetvo obter o valor do número de Reynolds a partr do qual o escoamento passa a ser regdo pelos efetos de nérca. Geometra A geometra sob consderação é apresentada na Fg. (1), onde um meo poroso, formado por um arranjo espacalmente peródco de hastes, denomnado célula peródca, é mostrado. Nas faces leste e oeste é utlzado condção de perodcdade espacal, nas faces norte e sul smetra e sobre as paredes das hastes condção 1

2 de não-escorregamento. O fludo com propredades constantes entra pela face esquerda e permea através célula peródca. Na fgura (1), H =0,1m, é o comprmento característco da célula peródca, é o dâmetro da haste clíndrca. Fgura 1 Célula peródca. Equações governantes As equações que regem o escoamento de um fludo Newtonano, ncompressível em regme lamnar são apresentadas: A equação da conservação da massa é dada por: O códgo computaconal empregado, Fluent 6..16, utlza a técnca baseada em volumes fntos com arranjo co-localzado das varáves para converter as equações governantes (1) e () em equações algébrcas que são resolvdas numercamente usando o método de solução segregada. A malha híbrda (Fgura ) utlzada é composta por elementos retangulares, stuados sobre as hastes clíndrcas, e elementos trangulares no restante do domíno da célula peródca. Para /H=0,874, 0,714 e 0,505, foram usadas 4944, 7440 e 4987 volumes de controle, respectvamente. A Fgura mostra apenas 1/4 da malha para melhor vsualzação. Para o acoplamento pressão-velocdade é utlzado o algortmo SIMPLE (Sem-Implct Method for Pressure Lnked Equatons). Os valores dos resíduos foram normalzados através da dvsão pelo valor máxmo do resíduo após 5 (cnco) terações (padrão do códgo computaconal adotado). O crtéro de convergênca adotado mplca que os resíduos normalzados são menores que u = 0 (1) A equação da conservação quantdade de movmento é dada por: u ρ +.( uu) = p + µ t u () Condções de contorno Para se resolver as equações (1) e () foram aplcadas, na célula peródca (Fgura 1), as seguntes condções de contorno: Não escorregamento nas superfíces das paredes sóldas: u = v = 0 (3) smetra em y = 0 e y = H / : du = v = 0 dy (4) Fgura - Malha computaconal não-estruturada. Em x = 0 e x = H, condção de perodcdade espacal: u = u, v = v = 0 (5) x= 0 x= H x= 0 x= H Método numérco Resultados Os cálculos foram realzados usando apenas metade nferor da célula untára apresentada na Fgura 1. Fo estudado o efeto da porosdade e do número de Reynolds no gradente de pressão

3 admensonal. O número de Reynolds fo defndo como: ρu H Re H = (6) µ onde ρ representa a densdade do fludo, µ a vscosdade dnâmca e u é o vetor velocdade de arcy que é obtda da relação de uput- Forchhmer: u = φ u (7) π onde φ = 1, é a porosdade e u é a 4 H méda ntrínseca da velocdade, que é calculada da segunte forma: u 1 = V f V f udv (8) onde V f é o volume de fludo contdo num volume elementar representatvo, V. Na Fgura 3 fo apresentado o efeto do número de Reynolds no gradente de pressão admensonal, para três valores de porosdade. O gradente de pressão admensonal fo calculado como: d p dx Ad = d p dx H µ u (9) onde o gradente da méda ntrínseca da pressão fo calculado através do campo de pressão mcroscópco, ( H d p ) = p p dy dx H H (10) 1 ( x= H x= 0 ) ( ) Fgura 3 Influênca do número de Reynolds e da porosdade no gradente de pressão. Para caracterzar o meo poroso, além da porosdade, é necessáro a defnção da propredade do meo poroso, denomnada permeabldade, K, que ndca a facldade com que o fludo permea a estrutura porosa. Para estmar a permeabldade fo utlzada a le de arcy (vde arcy, (1856)), que é expressa por: Calc µ u = K p (11) onde p é a méda ntrínseca da pressão, calculada de forma análoga a u, mostrada na equação (8). No entanto, para essa relação é restrta a escoamentos onde os efetos vscosos sobrepujam os efetos de nérca. Logo, para smular esta condção fo realzado um expermento numérco na célula untára mostrada na Fgura (1) com condção ncal de fluxo mássco prescrto, onde Re H < 0, 1, e condções de contorno de perodcdade espacal nas faces leste e oeste, e de smetra nas faces norte e sul. Pode-se anda, calcular a permeabldade utlzando a relação proposta por Kuwahara et. al. (1998) que é dada por: 3 φ K = ( φ ) (1) onde K é a permeabldade, o dâmetro da haste sólda e φ a porosdade. Na Fgura 4 fo obtdo o valor do coefcente angular da le de arcy, K Calc, através do ajuste de curva pelo método dos mínmos quadrados. 3

4 Fgura 4 Obtenção da permeabldade. A Tabela 1 mostra os valores de permeabldade estmados para três valores de porosdade, utlzando a equação (1), K Eq( 1) e um ajuste de curva (vde Fgura 4) usando a le de arcy, K Calc. Além dsso, os valores obtdos são comparados com os resultados encontrados na lteratura. A Tabela apresenta os valores de u e u para três valores de porosdade de dversos valores de Reynolds. Note que os valores de u e u foram obtdos usando, respectvamente, as equações (7) e (8). As Fguras 4 e 5, mostram, respectvamente, as lnhas de corrente e campos de pressão, para: φ =0,40; φ =0,60 e φ =0,80, com Re H = 1,50 E0. scussão Tabela 1 Valores de permeabldade. φ K Eq(1) [m ] K Calc [m ] Pedras e e-lemos (001b) 0,4 9,44E-06 5,E-06 0,6 4,84E-05 4,45E-05 0,8,34E-04 1,97E-04 0,4 9,43E-06 5,00E-06 0,6 4,77E-05 4,00E-05 0,8,6E-04,00E-04 A Fgura 3 mostra um escoamento governado pelo modelo estenddo de arcy-forcchemer. O gradente de pressão admensonal permanece com valor relatvamente constante e gual a H K para números de Reynolds baxos, Re H < 1 (creepng flow), para os três valores de porosdade analsados, e então aumenta conforme as forças nércas mcroscópcas se tornam predomnante no escoamento. Além dsso, a Fgura 3 ndca que há uma boa concordânca entre os resultados obtdos e os resultados apresentados por Pedras e e- Lemos (001b). A Fgura 4 mostra a dependênca entre porosdade e permeabldade; como esperado, um aumento na porosdade mplca num aumento da facldade do fludo permear a estrutura porosa o que se reflete no aumento do valor da permeabldade. Esse comportamento também pode ser verfcado na Tabela 1, onde são comparados os resultados obtdos de permeabldade com resultados encontrados na lteratura e calculados através da equação (1). Observe que os resultados obtdos apresentam uma boa concordânca com os resultados encontrados na lteratura. A Tabela evdenca a boa concordânca entre os resultados obtdos e os resultados apresentados por Pedras e e-lemos (001b). A Fgura 5 apresenta uma dmnução no tamanho das regões de recrculação com o aumento da porosdade o que mplca numa dmnução da perda de carga para um mesmo valor de Reynolds, vde Fgura 3. A Fgura 6 mostra, como esperado, a localzação dos pontos de estagnação do escoamento, ou seja, pontos onde se observa os maores valores de pressão. Conclusões Este trabalho nvestgou o efeto da porosdade e do número de Reynolds no gradente de pressão admensonal. Pode-se observar que os resultados obtdos tveram uma boa concordânca com os resultados encontrados na lteratura. Além dsso, constatou-se, claramente, que a partr do número de Re H = 1, os efetos de nérca se tornam predomnante no escoamento, ndependente do valor de porosdade nvestgados. Agradecmentos Os autores são gratos à FAPES pelo suporte fnancero durante a preparação deste trabalho. Referêncas - ARCY, H. Les Fontanes Publques de la Vle jon, Vctor almond, Pars, France, KUWAHARA, F., NAKAYAMA, A. and KOYAMA, H. Numercal modelng of heat and flud flow n a [R1] Comentáro: arcy, (1856) 4

5 porous medum. Proc. Int. Heat Transfer Conf., V. 5, p , [R] Comentáro: Kuwahara et. al. (1994) - KUWAHARA, F., KAMEYAMA, Y., YAMASHITA, S. and NAKAYAMA, A. Numercal modelng of turbulent flow n porous meda usng a spatally perodc array. Journal of Porous Meda, V. 1, n. 1, p , [R3] Comentáro: Kuwahara et. al. (1998) - NAKAYAMA, A., KUWAHARA, F., KAWAMURA, Y. AN KOYAMA, H. Three-dmensonal numercal smulaton of flow through a mcroscopc porous structure. ASME/JSME Thermal Engneerng Conf., V. 3, p , PERAS, M.H.J., E-LEMOS, M.J.S., Macroscopc turbulence modelng for ncompressble flow through undeformable porous meda. Intern. J. Heat and Mass Transfer, V. 44, n. 6, p , 001a. [R4] Comentáro: Nakayama et. al. (1995) (a) [l5] Comentáro: Pedras e e-lemos (001a - PERAS, M.H.J., E-LEMOS, M.J.S. Smulaton of turbulent flow n porous meda usng a spatally perodc array and a low Re two-equaton closure. Numercal Heat Transfer - Part A, V. 39, p. 3559, 001b. - PERAS, M.H.J, E-LEMOS, M.J.S. On the mathematcal descrpton and smulaton of turbulent flow n a porous medum formed by an array of ellptc rods. Journal of Fluds Engneerng, V. 13, n. 4, p , 001c. [l6] Comentáro: Pedras e e-lemos (001b) [r7] Comentáro: Pedras e e-lemos (001c) (b) PERAS, M.H.J., E-LEMOS, M.J.S. Computaton of turbulent flow n porous meda usng a low Reynolds k-ε model an nfnte array of spatally perodc ellptc rods. Numercal Heat Transfer Part A, V. 43, p , PRINOS, P., SOFIALIIS,. AN KERAMARIS, E. Turbulent flow over and wthn a porous bed. Journal of Hydraulc Engneerng, V. 19, n. 9, p , 003. [r8] Comentáro: Pedras e e-lemos (003) (c) ψ [kg/s] [R9] Comentáro: Prnos et. al. (003) Fgura 5 Lnhas de corrente para: (a) φ =0,40; (b) φ =0,60 e (c) φ =0,80, com Re H = 1,50 E 0. 5

6 Tabela Característcas hdrodnâmcas do escoamento. φ = 0,4 Re H u [m/s] u [m/s] Pedras e e-lemos (001b) 3,54E-01 5,3E-06 1,33E-05 1,0E01 1,80E-04 4,50E-04 5,00E-0 7,50E-07 1,87E-06 1,00E-01 1,50E-06 3,75E-06 3,54E-01 5,31E-06 1,33E-05,00E00 3,00E-05 7,50E-05 1,0E01 1,80E-04 4,50E-04 4,50E01 6,75E-04 1,69E-03 8,00E01 1,0E-03 3,00E-03 1,0E0 1,80E-03 4,50E-03 1,50E0,5E-03 5,6E-03 φ = 0,6 Pedras e e-lemos (001b) 3,70E-01 5,54E-06 9,3E-06 1,0E01 1,79E-04,99E-04 5,00E-0 7,45E-07 1,4E-06 1,00E-01 1,49E-06,48E-06 3,70E-01 5,5E-06 9,0E-06,00E00,98E-05 4,97E-05 1,0E01 1,79E-04,98E-04 4,50E01 6,70E-04 1,1E-03 8,00E01 1,19E-03 1,99E-03 1,0E0 1,79E-03,98E-03 1,50E0,3E-03 3,7E-03 φ = 0,8 Pedras e e-lemos (001b) 3,88E-01 5,76E-06 7,0E-06 1,0E01 1,79E-04,4E-04 5,00E-0 7,47E-07 9,33E-07 1,00E-01 1,49E-06 1,87E-06 3,88E-01 5,79E-06 7,4E-06,00E00,99E-05 3,73E-05 1,0E01 1,79E-04,4E-04 4,50E01 6,75E-04 8,44E-04 8,00E01 1,0E-03 1,50E-03 1,0E0 1,80E-03,5E-03 1,50E0,5E-03,81E-03 (a) (b) (c) Fgura 6 Campo de pressão: (a) φ =0,40; (b) φ =0,60 e (c) φ =0,80, com Re H = 1,50 E0. 6