Um método de correção de interface para o ISPH

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1 Um método de correção de nterface para o ISPH Douglas F. Cordero, Fabríco S. Sousa, Antono Castelo Flho Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação (ICMC), Unversdade de São Paulo (USP), , São Carlos, SP - Brasl E-mal: cordero@cmc.usp.br, fsmeon@cmc.usp.br, castelo@cmc.usp.br João M. Nóbrega Departamento de Engenhara de Polímeros - Unversdade do Mnho 48-58, Gumarães - Portugal E-mal: mnobrega@dep.umnho.pt Resumo: A manutenabldade de uma boa dstrbução de partículas é algo fundamental em smulações através do SPH, sendo um dos fatores responsáves pela establdade do sstema e a acuráca do método. Em soluções através do método ISPH (acrônmo em nglês para Incompressble Smoothed Partcle Hydrodynamcs) este resultado pode ser alcançado através de uma técnca baseada na ntrodução de um deslocamento de partículas, de forma a retrá-las de suas trajetóras lagrangeanas. Entretanto, quando dretamente aplcada a escoamentos multfáscos, esta técnca acaba ntroduzndo um comportamento não físco na nterface entre fludos, resultando em um ncorreto posconamento da nterface, e prejudcando a smulação. Neste trabalho, propomos uma correção baseada em uma função suave, defnda ncalmente como a dstânca normal à nterface. Testes numércos mostram que esta correção consegue recuperar a correta posção da nterface. Fnalmente, um estudo sobre a conservação de massa desta técnca é apresentado. Palavras-chave: ISPH, correção de nterface, escoamentos multfáscos. Introdução O método SPH (do nglês, Smoothed Partcle Hydrodynamcs) é um método de aproxmação lvre de malha que, através de um conjunto fnto de partículas e uma formulação completamente Lagrangeana, permte a solução de dversos tpos de escoamentos. Proposto por Gngold e Monaghan [4] e Lucy [7], o método fo desenvolvdo para o tratamento de escoamentos compressíves. De um modo geral, o SPH aproxma o valor de uma função ou dervada através de concetos de nterpolação alados a uma função núcleo. As vantagens característcas do método, tas como a efcente aproxmação entre contínuo e dscreto [6], a semelhança com problemas de dnâmca molecular, além dos ganhos computaconas, motvaram o seu aperfeçoamento para o tratamento de escoamentos ncompressíves. Este aperfeçoamento fo alcançado através de um esquema de aproxmação, no qual os fludos ncompressíves são tratados como fludos quascompressíves, sendo denomnado de WCSPH (do nglês, Weakly Compressble SPH) [8], onde a pressão é obtda por uma equação de estado. Entretanto, o WCSPH apresenta alguns problemas, como a necessdade de um menor passo de tempo devdo aos altos valores de velocdade do som [5], e a possbldade de um comportamento não físco no campo de pressão, podendo tornar o sstema nstável. Para resolver os problemas apresentados pelo WCSPH, Cummns e Rudman [3] propuseram calcular a pressão através de uma equação de Posson. Este novo esquema, baseado em concetos do método da projeção [] e denomnado de ISPH (Incompressble SPH), é mas estável que o 282

2 WCSPH, e permte passos de tempo maores, além da obtenção de resultados para a pressão com uma maor coerênca físca [5]. Apesar destas vantagens, o ISPH não é capaz de resolver um problema característco do SPH: a possbldade de formação de regões de alta densdade de partículas em escoamentos com um elevado movmento nercal, relaconado ao número de Reynolds. Para tratar este problema em soluções através do ISPH, Xu et al. [9] apresentaram um esquema de correção que aplca um deslocamento nas partículas e realza uma correção das varáves hdrodnâmcas por sére de Taylor. Entrentanto, quando aplcado a escoamentos multfáscos, este deslocamento acaba gerando um comportamento não físco na nterface entre as fases, prejudcando a smulação. Desta forma, propomos aqu uma correção da nterface em escoamentos multfáscos a ser aplcada ao método de deslocamento de Xu et al. [9], que se basea na defnção e advecção de uma função dstânca suave, bem conhecda de métodos de Level-set. Este trabalho é organzado da segunte forma: na seção 2 apresentamos a formulação SPH para escoamentos ncompressíves, seguda da descrção do método ISPH na seção 3. Na seção 4 descrevemos o método de correção das trajetóras proposto por Xu et al., e em seguda, na seção 5, defnmos o problema e sua correção através da resolução de um problema de transporte de partículas em um campo de velocdades conhecdo. Resultados são apresentados anda na seção 5, e conclusões na seção 6. 2 Formulação SPH O SPH se propõe a resolver as equações de Naver-Stokes em sua forma lagrangeana, dadas por v =, () Dv Dt = ρ p + µ ρ 2 v + g, (2) onde ρ é a densdade, p a pressão, µ a vscosdade dnâmca, v o vetor velocdade e g as forças externas. Neste sentdo, o SPH segue a segunte formulação: seja f uma função qualquer, sabe-se que esta pode ser representada na segunte forma ntegral, dta rgorosa ou exata, f(x) = f(x )δ(x x )dx, (3) onde δ(x x ) é o Delta de Drac. Como não é possível defnr uma função que satsfaça as propredades da dstrbução delta de Drac, usa-se uma aproxmação por uma função núcleo W : f(x) f(x )W (x x )dx. (4) A ntegral de uma determnada função aplcada a um ponto do domíno do problema, denomnado Θ, pode ser dscretzada através de um somatóro sobre as partículas do sub-espaço Ω de Θ defndo pelo suporte compacto, onde Ω = x j, x x j κh, sendo h o comprmento do núcleo e κ uma constante que defne a área não nula da função núcleo, e o volume nfntesmal dx aproxmado por δv, o qual refere-se ao volume ocupado por uma partícula, tal que f(x) f(x j )W j, (5) ρ j j Ω m j onde m j é a massa da partícula e W j = W (x x j, h). Neste artgo, em todos os testes, fo utlzada uma função núcleo de qunta ordem. Os operadores para cálculo de dervadas podem ser obtdos de manera smlar [6]. Neste sentdo, o operador gradente SPH é dado pela segunte expressão φ = j m j ρ j φ j W j, (6) 283

3 sendo smlar ao operador dvergente. Estes operadores são utlzados no ISPH durante o cálculo do gradente de pressão e do dvergente de velocdade. O termo vscoso é obtdo como ( µ ρ 2 v) = j m j (µ + µ j )x j W j ρ j x 2 v j. (7) j Por outro lado, o laplacano da pressão utlza um operador proposto em [2], mas adequado para escoamentos multfáscos, onde é observado descontnudade em relação a densdade, dado por 3 O método ISPH ( ( )) ρ p = j m j ρ j ( 4 ρ + ρ j ) x j p j x 2 W j. (8) j Dferentemente do WCSPH, no ISPH o valor de densdade é constante, sendo assocada às partículas na fase ncal da smulação, o que respeta dretamente a condção de ncompressbldade (). Assm, a dnâmca do sstema é obtda através da equação de conservação da quantdade de movmento (2). Neste sentdo, a prmera tarefa do ISPH é obter a posção ntermedára x advectando-se a posção para um passo de tempo ntermedáro x = x n + tv n, (9) e com sso obter um campo de velocdade lvre de dvergênca, denomnado velocdade ntermedára v, o qual é calculado no espaço ntermedáro Ω através da equação de quantdade de movmento sem a contrbução do gradente de pressão v = v n + (µ 2 v n ) t. () A partr dsso, a pressão no tempo n + é obtda resolvendo-se uma equação de Posson ( ) ρ p = t v. () v n+ Com os valores de pressão calculados, o campo de velocdade lvre de dvergênca, no tempo n +, pode ser obtdo da correção ( ) = v ρ pn+ t (2) e com sso, a nova posção das partículas é fnalmente obtda de x n+ = x n + t 2 ( ) v n+ + v n. (3) Durante a aplcação do ISPH, as condções de contorno de Drchlet para a velocdade e de Neumann para a pressão são defndas utlzando-se partículas fantasmas [6]. 4 A técnca de deslocamento de partículas A formação de aglomerados de partículas é um problema crítco em soluções de escoamentos através do ISPH, tanto pelo comportamento não físco apresentando quanto por questões relaconadas ao própro método ISPH, tas como o mal condconado da matrz referente à equação de Posson (), podendo ser observado em expermentos clásscos como, por exemplo, na resolução de vórtces de Taylor-Green (Fgura ). Para corrgr este problema, ntroduzu-se em [9] uma técnca que consste em realzar um deslocamento nas partículas, de forma a retrá-las de suas 284

4 Fgura : Smulac a o de vo rtces de Taylor-Green atrave s do me todo ISPH (esquerda), e com o deslocamento de partı culas (dreta). lnhas de corrente orgnas, e posterormente corrgr as vara ves hdrodna mcas. Para sso, apo s o ca lculo da posc a o no tempo n + atrave s do ISPH (Equac a o 3), este deslocamento e calculado como δx = CαX, (4) sendo C uma constante entre. e., α a magntude do deslocamento, onde α = Vmax t, com Vmax sendo a velocdade ma xma do sstema e X e o vetor deslocamento calculado por X = X x 2 j x2j nj, com x = X xj, M j (5) onde M e o nu mero de vznhos da partı cula. A partr dsso, as vara ves hdrodna mcas, no caso monofa sco, velocdade e pressa o, sa o enta o corrgdas atrave s de uma expansa o de prmera ordem em se re de Taylor: φ = φ + δx ( φ), (6) onde φ e uma va ra vel a ser corrgda e δx e o vetor dsta nca entre a antga posc a o da 2 ). partı cula x e nova posc a o da partı cula x. A correc a o possu um erro da ordem de O(δr Expermentos realzados com a te cnca demonstram sua robustez em relac a o a manutenabldade da dsposc a o de partı culas e, ale m dsso, a ntroduc a o de um ganho de acura ca no me todo ISPH (veja resultado deste procedmento na Fgura, a dreta). 5 Um me todo de correc a o de nterface no ISPH Para ntroduzr o problema causado pelo deslocamento das partı culas lagrangeanas no ISPH, consderemos um teste nume rco realzado em um domı no bdmensonal [, ] [, ], com um campo de velocdades prescrto e fxo, que da orgem aos chamados vo rtces de Taylor-Green: u(x, y, t) = cos(2πx) sn(2πy) v(x, y, t) = sn(2πx) cos(2πy) (7) Consderando partı culas marcadoras representando dos fludos dferentes, realza-se a ntegrac a o temporal das partı culas mersas neste campo, ate um determnado tempo. Em seguda, nverte-se o campo de velocdades para, ntegrando a mesma quantdade de passos, recuperar a confgurac a o ncal. Este teste fo realzado para a dstrbuc a o de partı culas apresentada na Fgura 2(a-d). Nesta fgura, partı culas de cor azul esta o posconadas dentro de um cı rculo de centro em (.5,.5) e rao r =.4. Quando as trajeto ras sa o ntegradas aplcando um me todo Runge-Kutta de ordem 4, sem qualquer tpo de perturbac a o adconal, a posc a o ncal e a nterface entre as 285

5 (a) (b) (e) (d).9.2 (c)..2.4 (f) (g) (h) Fgura 2: Integrac a o das trajeto ras em um escoamento de Taylor-Green: (a) ncal, (b) apo s 2 passos, (c) apo s 4 passos (onde ocorre a nversa o do campo), e (d) confgurac a o fnal, apo s 8 passos, e com correc a o de Xu et al. (e) ncal, (f) 2 passos, (g) 4 passos, e (h) fnal, apo s 8 passos. partı culas e recuperada quase exatamente, com o erro causado apenas pelo me todo RK4, quase mperceptı vel. Em um contexto do me todo ISPH, as dstrbuc o es ntermeda ras das partı culas causaram problemas de establdade no me todo. Desta forma, fo realzado o mesmo teste, agora com a correc a o nas trajeto ras proposta por Xu et al. Apo s cada passo de ntegrac a o das trajeto ras, as partı culas sa o perturbadas de acordo com a Equac a o (4). A Fgura 2(e-h) mostra a evoluc a o no tempo deste problema. Apesar da boa dstrbuc a o de partı culas no domı no em todos os passos de tempo, a nterface na o fo bem recuperada (Fgura 3), com a presenc a de partı culas que cruzaram a nterface, destrundo a confgurac a o orgnal esperada (a) (b) Fgura 3: Detalhe da confgurac a o das partı culas apo s 8 passos de ntegrac a o, e comparac a o com a nterface orgnal: (a) sem perturbac a o, (b) com perturbac a o proposta por Xu et al. Assm, uma correc a o da nterface e necessa ra. Para tanto, fo defnda uma func a o suave, que em cada partı cula e calculada como a dsta nca normal a nterface, ou seja, para a nterface descrta acma, tem-se Φ(x, y) = q (x.5)2 + (y.5) (8)

6 Tal campo é negatvo no nteror do círculo, postvo no exteror, e portanto, a nterface pode ser defnda, a exemplo dos métodos de Level-set, como o conjunto de nível zero deste campo, mas especfcamente como Γ = {(x, y) : Φ(x, y) = }. Como este campo é suave, pode-se aplcar a mesma correção utlzada para corrgr as varáves hdrodnâmcas por uma expansão em sére de Taylor de prmera ordem, a saber, Φ = Φ + δx ( Φ) (9) e a nova confguração da nterface é então computada, baseando-se no snal do campo resultante. O resultado ao fnal de 8 passos de ntegração no teste de Taylor-Green é uma nterface bem defnda entre os fludos (Fgura 4). A Tabela apresenta anda uma comparação entre a quantdade de partículas posconadas erroneamente em relação à nterface após 8 passos de ntegração, para o método sem e com correção de nterface (a) (b) Fgura 4: Detalhe da confguração das partículas após 8 passos de ntegração, e comparação com a nterface orgnal: (a) com perturbação proposta por Xu et al., (b) com a correção da nterface proposta neste trabalho. Tabela : Comparação entre a contagem de partículas posconadas erroneamente após 8 passos de ntegração. Sem correção Com correção Número de partículas azus fora do círculo 3 Número de partículas vermelhas dentro do círculo 2 2 Como se pode notar da Tabela, tal estratéga não conserva o volume ncal totalmente, pos está sujeta ao erro da correção aplcada, de ordem O(δr 2 ). Na Fgura 5 é apresentada a evolução da razão entre volume da bolha e volume ncal, com erro máxmo da ordem de 3.5%. 6 Conclusão Um método de correção de nterface para aplcação do método ISPH com perturbação de trajetóras proposto por Xu et al. em escoamentos ncompressíves multfáscos fo apresentado. O método basea-se na utlzação de uma função dstânca suave, como feto nos métodos Level-set, e na correção das varáves hdrodnâmcas do método de Xu et al. Resultados mostram que a correção efetvamente elmna o problema causado quando o método de Xu é aplcado em escoamentos multfáscos, o que fo demonstrado utlzando-se um teste de escoamento prescrto. Apesar de efetvo, o método não conserva volume exatamente, mas um método conservatvo está em desenvolvmento pelos autores. 287

7 Fgura 5: Hstórco de conservação de volume para o método de correção de nterface. Em azul está o volume normalzado da bolha nos 8 passos de ntegração (exo x). Em vermelho, o volume esperado. Nota-se um erro máxmo da ordem de 3.5% e fnal da ordem de.5%. Agradecmentos Os autores agradecem o apoo da Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo (FAPESP) e da Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor (CAPES). Referêncas [] Alexandre Joel Chorn. Numercal soluton of the naver-stokes equatons. Mathematcs of Computaton, 22(4):pp , 968. [2] P. Cleary and J. Monaghan. Conducton modellng usng smoothed partcle hydrodynamcs. J. Comput. Phys., 48(): , 999. [3] S. J. Cummns and M. Rudman. An SPH Projecton Method. Journal of Computatonal Physcs, 52:584 67, July 999. [4] R. A. Gngold and J. J. Monaghan. Smoothed partcle hydrodynamcs - Theory and applcaton to non-sphercal stars. Royal Astronomcal Socety, 8: , November 977. [5] E.-S. Lee, C. Moulnec, R. Xu, D. Voleau, D. Laurence, and P. Stansby. Comparsons of weakly compressble and truly ncompressble algorthms for the sph mesh free partcles method. IEEE Trans. on Vsual. and C. Graphcs, (227): , 28. [6] G. R. Lu and M. B. Lu. Smoothed Partcle Hydrodynamcs - a meshfree partcle method. World Scentfc, Sngapure, 23. [7] L. B. Lucy. A numercal approach to the testng of the fsson hypothess. Astron. Journal, 82:3 24, December 977. [8] J. J. Monaghan. Smulatng free surface flow wth sph. Journal of Computatonal Physcs, :399 46, 994. [9] R. Xu, P. Stansby, and D. Laurence. Accuracy and stablty n ncompressble sph (sph) based on the projecton method and a new approach. J. of C. Physcs, 228: ,