Uma avaliação comparativa da convergência do método de volumes finitos baseado em elementos para a condução de calor

Transcrição

1 Uma avalação comparatva da convergênca do método de volumes fntos baseado em elementos para a condução de calor D. Prestn, P.S.B. Zdansk, M. Vaz Jr. Departamento de Engenara Mecânca Unversdade do Estado de Santa Catarna Jonvlle- Resumo Este trabalo apresenta um estudo comparatvo dos erros de dscretzação para o método de volumes fntos baseado em elementos. A partr de malas cartesanas, foram estudadas a estmatva de erro de Rcardson e a avalação comparatva com o método clássco de volumes fntos. este caso, verfcou-se que o método de volumes fntos baseado em elementos apresentou erros sensvelmente menores. Um breve estudo para mala não estruturada também é apresentado, no qual foram comparados os métodos de elementos fntos e volumes fntos baseado em elementos. o exemplo estudado, o método de volumes fntos baseado em elementos apresentou erros lgeramente nferores ao método de elementos fntos. A utlzação do método MVFbE dá orgem a volumes de controle com um maor número de vznos, em função do uso das funções de forma defndas no elemento, com potencal aumento da precsão do método [, 3]. Palavras-cave condução de calor; volumes fntos; volumes fntos baseado em elementos; erro de Rcardson I. ITRODUÇÃO O método dos volumes fntos baseado em elementos (MVFbE) combna robustez do método dos volumes fntos porque calcula as dervadas das equações aproxmadas a partr de balanços de massa, quantdade de movmento e energa nos volumes dscretos (volumes de controle) com a característca da flexbldade geométrca do método dos elementos fntos, porque utlza malas não estruturadas com as nterpolações nos elementos realzadas va funções de forma [, ]. O método de volumes fntos clássco defne o volume de controle delmtado pelos nós da mala como a regão do domíno onde as equações dferencas governantes são ntegradas, ou seja, o conceto tradconal usado em volumes fntos estabelece que o elemento da mala e o volume de controle são entes geométrcos concdentes (cell centered constructon), como demonstrado na Fg. a. Percebe-se que os nós fornecdos pelo gerador de mala servem para delmtar espacalmente o volume de controle, mas as propredades são calculadas no seu centro geométrco. o MVFbE, por sua vez, o volume de controle não concde mas com o elemento, e é construído ao redor dos nós da mala (cell vertex constructon), conforme mostrado na Fg. b, através da unão de parcelas (sub-volumes de controle) provenentes dos elementos que rodeam determnado nó [,]. Fg. - Defnção dos elementos e volumes de controle no (a) Método de Volumes Fntos (MVF) e (b) no Método de Volumes Fntos baseado em Elementos (MVFbE). [] o método de volumes fntos baseado em elementos, todos os cálculos utlzados para a construção das equações dscretzadas são realzados em nível de elemento, por sso o nome baseado em elementos. Depos, medante a um processo de montagem, semelante ao empregado no método dos elementos fntos, obtém-se as equações de balanço referdas aos volumes de controle. Para tanto, em cada elemento é consderado um sstema de coordenadas locas, no qual são expressos todos os termos das equações dferencas dscretzadas. Após serem calculadas elemento por elemento, todas as contrbuções são somadas a fm de construr as equações de balanço de todos os volumes de controle na mala computaconal [].

2 II. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DIRETIZAÇÃO O problema de condução de calor bdmensonal em regme permanente sem fonte de calor é caracterzado pela equação dferencal onde q é a Le de Fourer, k dv [ ] 0, () q k q k k T, e k é o tensor condutvdade térmca. Para materal sotrópco, o tensor k reduz-se a um escalar k constante. Deste modo, a equação geral para o problema de transferênca de calor em regme permanente é: anterormente, a base da metodologa do método de volumes fntos baseado em elementos é realzar todas as operações em nível de elementos, e não trabalar dretamente com os volumes de controle. Sendo assm, é convenente defnr um sstema local de coordenadas para o elemento, o que permte um tratamento ndependente qualquer que seja sua forma geométrca específca. Este elemento de tamano e forma arbtráro em relação ao sstema global é mapeado em um elemento regular de tamano e forma fxos, quando representado num sstema de coordenadas local aproprado. Consequentemente, a representação, em coordenadas locas, de qualquer expressão matemátca envolvda nas equações de conservação, se torna dêntca para qualquer elemento da mala. dv [ T ] 0, () que, em coordenadas cartesanas, pode ser representada por: T T y 0. (3) (a) (b) Integrando a equação dferencal (3) no volume, tem-se T T dv y [ T ] dv 0, () Utlzando o método dos resíduos ponderados-galerkn para a obtenção da equação dscretzada, obtém-se w [ T ] dv 0, (5) Aplcando em (5) o Teorema da Dvergênca tem-se: w T n da 0, (6) onde n representa o vetor untáro ortogonal a face do volume de controle. Transformando na forma matrcal obtém-se: T n w T x da 0 n y o método de volumes fntos, os balanços de conservação para se obter as equações aproxmadas são realzados sobre os volumes de controle. Entretanto, conforme menconado (7) Fg. Transformação de coordenadas para elemento quadrlátero: (a) Elemento no plano real, (b) Elemento no plano transformado. [] As equações de conservação e a geometra da mala estão defndas com base nas coordenadas globas (cartesanas) (x, y), sendo assm, é necessáro que as equações sejam transformadas para o sstema de coordenadas local do elemento, denotado como (,), através de relações matemátcas. Precsam-se defnr relações que mapeem qualquer ponto no nteror ou sobre as fronteras de um elemento, do espaço físco (coordenadas globas) para um elemento regular do espaço transformado (coordenadas locas) e deste poder retornar ao espaço físco, por meo da relação nversa (Fg. ). Ambos os sstemas de coordenadas podem ser relaconados por equações de transformação escrtas na forma x(, ) (, ). x, (8) y(, ) (, ). y, (9) onde as funções de forma são dadas por (, ) ( )( ), (0) (, ) ( )( ), ()

3 3(, ) ( )( ), () (, ) ( )( ). (3) A aproxmação local da temperatura pode ser calculada através de: T(, ) (, ) T, () onde (, ) são funções de forma e T são valores nodas correspondentes a temperatura. Aproxmação do gradente de temperatura pode ser feto pela equação: sendo que: Portanto: onde y T T x T T x, (5) T y y y, (6) y y. (7) y y 3 3 y y J D, (8) J é a matrz Jacobana de transformação e D é a matrz de dervadas das funções de forma. Utlzando as Equações (6), (7), (8) e (9) pode-se, fnalmente, obter a forma matrcal do gradente de temperatura: T T T J D, (9) T3 T onde T é o vetor com os valores nodas da temperatura no elemento que estamos analsando. Como é utlzado o método dos resíduos ponderados- Galerkn para a obtenção da equação dscretzada, tem-se que a função peso é gual a w = para o MVFbE, portanto T n da ( T n A ) 0 (0) onde representa os pontos de ntegração (Fg. ). Esta consderação faz com que esta equação seja transformada em um conjunto de n equações, dando orgem a um sstema de equações lneares com a segunte forma geral: T f 0 K () onde T é um vetor contendo as varáves do problema (temperatura), K é a matrz dos coefcentes, também conecda como matrz de rgdez global, e f é o vetor ndependente. III. RESULTADOS E DIUSSÕES A avalação de convergênca do MVFbE é feta através da comparação da solução numérca com a solução analítca para o problema de condução de calor em uma placa plana com temperatura prescrta nas fronteras. este caso, as condções de contorno são T(x = 0, y) = T(x = L, y) = T(x, y = 0) = 0 e T(x, y = H) = T m sen ( x/l). A solução analítca admensonal da equação é onde H = L = e T m =. sen( / L) T ( x, y) Tm sen( x / L) () sen( H / L) Além da avalação através da comparação da solução analítca, os erros de dscretzação também são verfcados pela estmatva de Rcardson [5]. Deste modo, pretende-se nvestgar a precsão desta aproxmação com vstas a empregala em problemas mas complexos. O erro de Rcardson exge que [6] () a solução seja sufcentemente suave para que se possa assumr que a expansão em sére de Taylor do erro seja justfcada, () a ordem de convergênca do erro, p, seja conecda e () a convergênca seja monotônca e assntótca. Em geral, a ordem de convergênca do erro não é conecda a pror, assm uma estmatva pode ser feta, de modo que a estmatva da ordem e o erro são aproxmados por ~ T 3 T R T T p log log(r) e ~ Te T (3) p T T r onde 3 > > representam o tamano das malas e r = / = 3/ é a razão de refno da mala. A medda global do erro de Rcardson é feta pela estmatva méda quadrátca (),

4 Erros Exatos e de Rcardson Erro Médo Quadrátco Globa l R () R R, R onde R é o número total de nós concdentes das malas, e 3. As smulações foram fetas para ses malas estruturadas de volumes quadrlateras com razão de refno r =, sendo que a mala mas refnada possu 6 x 6 volumes, totalzando 5 nós (tamano característco = 0,0565). A solução pelo MVFbE fo também comparada com aquela obtda pelo método clássco de volumes fntos (MVF) em uma tentatva de estabelecer o nível relatvo de precsão do prmero. O MVF é resolvdo usando nterpolação lnear com um ponto de ntegração em cada face da superfíce de controle (ver Patankar [7] para maores detales da formulação pelo MVF). A Fgura 3 apresenta o erro local exato e a estmatva de Rcardson para os MVFbE e MFV ao longo da coluna central (x = 0,5) para as malas 6 x 6 ( = 0,0565) e 3 x 3 ( = 0,035) volumes. Os resultados mostram que o erro de Rcardson apresenta uma boa estmatva do erro exato (em ambos os casos a ordem de convergênca observada fo próxma a ). É relevante o fato que o MVFbE apresenta erros locas substancalmente menores do que aqueles observados para o MVF, ou seja, MVFbE 0,5 MVF para todos os pontos ao longo da coluna central (onde ocorrem os maores erros locas, conforme pode ser vsto na Fgura ). A maor precsão exbda pelo MVFbE se deve ao número de pontos de ntegração na frontera: o MVFbE utlza 8 pontos de ntegração enquanto que o MVF calcula a ntegral de superfíce utlzando apenas pontos (nterpolação lnear). 3.0E-0.5E-0.0E-0 MVF (Rcardson) MVFbE (Rcardson) MVF (Exato) MVFbE (Exato) parágrafos anterores,.e. () o erro de Rcardson aproxma o erro exato global com boa precsão e () o MVFbE apresenta erros globas menores do que aqueles exbdos pelo MFV. A Fgura 5 também apresenta o ajuste de curva para os erros globas para ambos os métodos de dscretzação: MVF : MVFbE : (5) Fg. Erro de Rcardson para o MVFbE para a mala 6 x 6 volumes..0e-0.0e-03 MVF (Rcardson) MVFbE (Rcardson) MVF (Exato) MVFbE (Exato).5E-0 = E-0.0E-0 5.0E E+00 = Superfíce nferor y Superfíce superor Fg. 3 Erros locas exatos e de Rcardson na coluna central para as malas 3 x 3 e 6 x 6 volumes. Os erros globas (erro médo quadrátco) exato e de Rcardson são apresentados na Fgura 5. Os erros globas refletem dretamente o comportamento local descrto nos Fg. 5 MVF (Exato): T - T a = MVFbE (Exato): T - T a = E Tamano da Mala Erro médo quadrátco exato e de Rcardson. A maor vantagem do MVFbE sobre o método de volumes fntos clássco é a capacdade do prmero em poder utlzar malas não estruturadas (estrutura de dados baseada no método de elementos fntos). Assm, um breve estudo comparatvo com o método de elementos fntos (MEF) será apresentado. Maores detales sobre o MEF podem ser encontrados em [8].

5 A mala não estruturada utlzada pelos MVFbE e MEF apresenta uma grande dstorção e contém 666 elementos quadrlateras e 707 nós. É nteressante notar que á bascamente três tpos de volumes de controle no que tange o número de pontos de ntegração na face: 6, 8 e pontos para volumes compartlando os nós centras com 3, e 6 elementos, respectvamente. Ressalta-se que a solução pelo MEF utlza uma aproxmação lnear, elementos soparamétrcos com ntegração no volume efetuada pela regra de quadratura de Gauss com pontos de ntegração. comparada com o MEF. Verfcou-se que também neste caso o MVFbE produzu erros lgeramente menores. Erro máxmo Erro máxmo Fg. 7 Erro local exato para o método de elementos fntos. REFERÊCIAS Fg. 6 Erro local exato para o MVFbE. As Fguras 6 e 7 mostram a dstrbução de erros exatos, e, para ambos métodos. A smlardade entre os métodos levou a um padrão de dstrbução de erros bastante semelante: erros maores próxmo à frontera superor (x, y = H). As smulações também mostraram que os erros máxmos locas foram e MVFbE = e e MEF = , respectvamente (a localzação dos erros está ndcada nas Fguras 7 e 8). Os erros globas correspondentes obtdos foram e MVFbE = e e MEF = IV. COCLUSÕES As smulações mostraram que a estmatva de Rcardson resultou em uma boa predção de erro para o problema analsado quando comparado com o erro exato. Também verfcou-se que o MVFbE apresenta erros substancalmente menores do que a aproxmação clássca do MVF devdo a um maor número de pontos de ntegração nas faces dos volumes. A solução pelo MVFbE utlzando mala não estruturada fo [] C.R. Malska, Transferênca de Calor e Mecânca dos Fludos Computaconal. ª. Edção revsta e amplada, Lvros Técncos e Centífcos Edtora, Ro de Janero, 00. [] C.R. Garbott, Uma Metodologa de Volumes Fntos para a Resolução de Escoamentos Vscoelatcos com Malas ão-estruturadas Hbrídas. Tese de Doutorado, Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols,, 0. [3] M. Raw, A ew Control Volume Based Fnte Element Procedure for te umercal Soluton of te Flud Flow and Scalar Transport Equatons. P.D. Tess, Unversty of Waterloo, Ontaro, Canada, 985. [] J. Cordazzo, Smulação de Reservatóros de Petróleo Utlzando o Método EbFVM e Multgrd Algébrco. Tese de Doutorado, Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols, 006. [5] L.F. Rcardson, Te approxmate artmetcal soluton by fnte dfferences of pyscal problems nvolvng dfferental equatons wt an applcaton to te stresses n a masonary dam, Plosopcal Transactons of te Royal Socety of London, Seres A, vol. 0, pp , 90. [6] W.L. Oberkampf, T.G. Trucano, Verfcaton and valdaton n computatonal flud dynamcs, Prog. Aerospace Sc., vol. 38, pp. 09-7, 00. [7] S.V Patankar, umercal Heat Transfer and Flud Flow. McGraw-Hll Book Company: ew York, 980. [8] O.C. Zenkewcz, R.L Taylor, Te Fnte Element Metod, vol. (5t edn). Butterwort-Henemann: London, 000.