ESQUEMA DE DISCRETIZAÇÃO FLUX3 APLICADO À SECAGEM EM MEIO POROSO CAPILAR

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1 ESQUEMA DE DISCRETIAÇÃO FLU APLICADO À SECAGEM EM MEIO POROSO CAPILAR Paulo Cesar Olvera Departamento de Engenhara Rural CCA-UFES Alegre ES E-mal: Marcos de S. N. Cardoso Departamento de Engenhara Rural CCA-UFES Alegre ES E-mal: RESUMO: Este trabalho fo desenvolvdo com o obetvo de apresentar a aplcação de um novo esquema de dscretzação para volumes fntos denomnado FLU utlzando-se para tal de dos casos de transporte de umdade e calor através de um meo poroso caplar. Os resultados da solução das equações de Luov mostram um comportamento adequado do esquema para este tpo de problema quando comparado ao tradconal esquema de dferença central e ao método da transformada ntegral. PALAVRAS-CHAVE: dfusão equações de Luov volumes fntos. Fgura. Dscretzação undmensonal para volumes fntos. INTRODUÇÃO Problemas da área térmca envolvendo o transporte de calor e massa aparecem em processos como fusão e soldfcação de materas armazenamento e benefcamento de grãos movmentação de água poluentes ou adubos em solos exploração de campos petrolíferos conforto ambental em edfcações escoamentos ao redor de estruturas e dentro de máqunas térmcas escoamentos atmosfércos e prevsão de tempo. Os nteresses econômcos envolvdos unto com o desenvolvmento acelerado dos computadores dgtas motvaram o desenvolvmento dos métodos numércos para a smulação dos mesmos. O método de volumes fntos é utlzado por grande parte da lteratura dos problemas ctados acma. O presente trabalho tem como obetvo apresentar um esquema de dscretzação mas elaborado em relação aos atualmente utlzados pelos usuáros deste método para tratar problemas dfusvos governados pelas equações descrtas em LUIKOV e MIKHAILOV (965 e LUIKOV (966 e 975. Tas equações denomnadas equações de Luov governam a transferênca smultânea de calor e massa em problemas como a secagem de madera cerâmca e solos produtos agrícolas e farmacêutcos. DERIVAÇÃO DO ESQUEMA DE DISCRETIAÇÃO FLU PARA DIFUSÃO PURA Dentre os esquemas de dscretzação usados em volumes fntos para dfusão pura o esquema de dferença central descrto no lvro de PATANKAR (980 gerado a partr da hpótese que o fluxo dfusvo da varável dependente é constante entre dos pontos da dscretzação; ocupa um lugar de destaque na comundade de smulação numérca devdo a sua smplcdade e bons resultados para este tpo de fenômeno. A fm de reduzr esforço computaconal VAREJÃO (979 demonstrou que admtr uma varação lnear do fluxo total da varável dependente transportada dentro de cada volume de controle gera um perfl nterpolante denomnado de Flux-Splne que produz para todos os problemas teste usados ao longo do seu trabalho erros expressvamente menores que o esquema de dferença central NIECKELE (985 segundo o camnho aberto em VAREJÃO (979 testou esquemas de dscretzação utlzados pela área de térmca e fludos comparando-os através de problemas teste característcos com o esquema denomnado FLU desenvolvdo no seu trabalho onde os fluxos de massa e total (convecção-dfusão varam de forma cúbca ao longo de cada volume de controle. É este esquema aqu apresentado sob outro equaconamento e por sto denomnado de FLU. 644

2 Equação Geral de Governo em Regme Permanente A equação dferencal que rege o transporte de uma quantdade em regme permanente é: J S ( Onde o fluxo total da varável ndependente é: J sendo S o termo fonte. Assm ( pode ser colocada em coordenadas cartesanas na forma: S ( O fluxo total na dreção da varável dependente é: ( Onde é o coefcente de dfusão propredade do meo através do qual a varável dependente é transportada (ver esquema para o caso undmensonal na fgura. Assumndo que o fluxo total possa varar na dreção de forma cúbca ao longo de cada volume de controle (VC. Tem-se para o VC(: Ax ( x x Bx ( x x (4 Cx x Dx x (5 Dx (6 Cx Bx Ax ( ( ( ( (7 m (8 E para o VC(-: Axm xm Bxm Cxm xm ( xm ( xm xm Dxm (9 (0 xm ( Dxm m ( ( ( ( ( Cxm ( Bxm Axm (4 (5 Obtém-se da gualdade entre as equações ( e (4 para o VC(: d Ax ( x x Bx d (6 ( x x Cx x Dx Sendo constante dentro deste VC Obtem-se de (6 o perfl nterpolante do esquema de dscretzação para dfusão pura: Ax Bx C vc (7 Cx Dx.0 Adotando-se a condção de contorno obtém-se o valor da ( constante de ntegração para o VC(: C vc ( Cx α x Ax β x Bx Dx.0.0 (8 (9 ( ( 4 ( ( ( ( α x (0 β x ( Adotando-se o mesmo procedmento para o VC(- com a condção de contorno ( m obtém-se uma equação smlar à (8 onde: 645

3 C vc ( Cxm α xm Axm β xm Bxm Dxm px.0.0 ( px ( α xm β xm ( px ( ( px ( ( 4 ( px (4 (5 As frações presentes nas expressões acma e nas subsequentes representam o lmte de funções que aparecem na dedução deste esquema para o caso geral de convecçãodfusão quando a velocdade tende a zero (dfusão pura. Condção de contnudade para a varável dependente Na nterface entre os volumes de controle e (- a varável dependente possu um valor únco. Ou sea: ( 0 ( m 0 (6 vc Que equvale à: C (7 C vc Equação para os fluxos na dreção Após a substtução em (7 das equações (8 e ( obtém-se a expressão para os fluxos ao longo do domíno fn mostrado na Fgura : D.0 D (.0 Jhatx - C J hatx B ( Jhatx J hatx B C.0 ( ( B ( α x Ax β x Bx ( α xm Axm β xm Bxm D.0 (8 (9 (0 ( ( C D px.0 ( Fazendo-se J hatx gual a zero em (8 obtém-se os fluxos calculados no esquema FLU-SPLINE de VAREJÃO (979 Mantendo-se em (8 J hatx gual a zero e fazendo agora Jhatx gual a zero recupera-se então o esquema de dferença central usado em PATANKAR (980. Equações para a dervada dos fluxos As dervadas dos fluxos são obtdas por meo de mposção da contnudade da dervada segunda de (splne cúbco nas nterfaces dos volumes de controle ao longo de todo o domíno de cálculo. Ou sea: ( 0 m ( m 0 (4 ( ( ( ( (5 Impondo esta condção para os volumes de controle da Fgura obtém-se a (5 quando fn e assumndo um perfl parabólco para o fluxo na frontera esquerda ( Ax 0 em (9 obtém-se: ( (6 O mesmo procedmento na frontera à dreta usando (5 com fn fornece a expressão para o cálculo da dervada do fluxo neste volume de controle. fn fn fn fn (7 fn 646

4 O conunto de equações deduzdo é adequado para o caso undmensonal. Entretanto em casos multdmensonas verfcou-se através de testes numércos que consderar os fluxos constantes nas faces dos volumes de controle como é praxe no método de volumes fntos tradconal gera erros de ordem gual ou superor àqueles gerados pelo perfl nterpolante aqu deduzdo. Assm NIECKELE(985 propôs que quando da ntegração da equação geral de governo fosse usada como correção a dervada dos fluxos calculada através do perfl nterpolante no ponto onde se localza a varável dependente dentro do volume de controle. Assm obtém-se: VC d d d (8 Pode-se afrmar então que exste um fator de correção SURF tal que quando da ntegração da equação de governo ( sob o método de volumes fntos obtém-se: K SURF (9 Onde SURF é a correção para este tpo de perfl nterpolante em cada um dos volumes de controle. O desenvolvmento algébrco de (9 conduz para o domíno fn à: Bz Az By Ay Bx Ax SURF (40 Onde de acordo com as equações (8 e (9: Ax (4 Ay (4 Az (4 Bx (44 By (45 Bz (46 (47 (48 (49 Equação de dscretzação para a varável dependente A ntegração da equação de governo ( para um caso trdmensonal de acordo com o método de volumes fntos nclundo o termo de correção fornece: SURF Sp Sc (50 Substtundo na expressão acma as equações para os fluxos como em (8 obtémse para a varável dependente no domíno fn f e f : CON AKP AKM AJP AJM AIP AIM AP (5 D AIM (5 D AIP (5 D AJM (54 D AJP (55 D AKM (56 D AKP (57 647

5 AP CON AIM AJP Sp Sc AIP AKM V AJM AKP ( DIVhat DIV hat SURF V (58 (58 Onde; V (59 DIVhat DIV hat ( Jhatx Jhatx ( Jhaty Jhaty ( Jhatz Jhatz ( J hatx J hatx ( J haty J haty ( J hatz J hatz (60 (6 Note que sob esse formato um códgo computaconal pode faclmente fornecer resultados para os três esquemas Dferença Central FLU-SPLINE e FLU bastando para sto nclur ou omtr os termos fonte adconas característcos. Método de solução para caso geral A matrz resultante de é resolvda através do esquema ADI com o método Lneby-Lyne (PATANKAR 980. No caso de condções de contorno de segunda e/ou tercera espéce deve-se corrr os valores de nas fronteras usando (8 e (. O método de solução é sequencal e teratvo tanto para os fluxos e suas dervadas como para a varável dependente e dessa forma smlar ao adotado por PATANKAR (980. Maores detalhes podem ser encontrados em OLIVEIRA (999. RESULTADOS O esquema anterormente descrto será aplcado a problemas transentes un e bdmensonas. As expressões para a dscretzação são obtdas suprmndo-se a dreção. As equações de LUIKOV (965 admensonalzadas para problemas de secagem em corpos porosos caplares sob condções de pressão constante de acordo com RIBEIRO et al (99 são: τ α ε Ko Lu Pn β ε Ko Lu α β Lu Pn (6 Lu (6 τ Onde os parâmetros admensonas envolvdos α β Lu Ko e Pn são defndos em RIBEIRO et al (99. A dscretzação do termo transente é feta usando dferença fnta de prmera ordem e as equações geradas são totalmente mplíctas no tempo como proposto por PATANKAR (980. é a temperatura admensonal é a umdade admensonal a coordenada espacal admensonal e τ o tempo admensonal. A malha espacal utlzada nos dos casos será de 0 volumes de controle em cada dreção coordenada com uma malha de 50 passos ao longo do tempo. Problema teste Consste numa placa porosa úmda de espessura untára exposta ao ar seco que sofre a ação de secagem devdo à um fluxo de calor em sua face nferor como mostrado na Fgura. Os coefcentes das equações de transporte são constantes. A condção ncal para a temperatura e umdade é descrta por: ( τ 0 ( τ 0 0 (64 Para τ > 0 as condções de contorno são: 0 τ Q (65 ( 0 τ Pn ( 0 τ 0 (66 para ; B [ ] ( ε q (67 0 [ ] Ko Lu Bm para ; (68 648

6 Pn B [ ] 0 m B é o coefcente de transferênca de q calor admensonal B m o coefcente de transferênca de massa admensonal e Q o fluxo de calor admensonal em gual a zero. Os valores dos parâmetros admensonas usados foram Lu 0 4 Ko 5 0 Pn 0 6 B B 5 ε 0 e Q 0 9 q m (RIBEIRO et al 99. Os resultados para temperatura e umdade como funções do tempo e posção ao longo de estão plotados nas Fguras 4 e 5 com lnhas cheas em comparação aos resultados de referênca obtdos por RIBEIRO et al (99 através de um método de alta precsão chamado método da transformada ntegral. Pode-se notar a excelente concordânca entre o esquema proposto expresso na lnha descontínua e a solução de referênca. Problema teste Fo proposto por RIBEIRO e LOBO (998 e consste numa placa porosa bdmensonal de dmensões untáras com coefcentes constantes sob as condções ncal e de contorno abaxo. Os valores dos parâmetros admensonas são Lu 0 4 Ko 0 Pn 0 e ε 0. As condções ncas são: ( τ 0 ( τ 0 0 (69 Para τ > 0 as condções de contorno são: ( 0 τ 0 (70 ( 0 τ 0 (7 ( 0 τ ( 0 Pn τ 0 (7 ( 0 τ ( 0 Pn τ 0 (7 τ τ (74 ( 0 ( τ ( τ 0 (74 As Fguras 6 e 7 mostram os resultados para temperatura e umdade para a parede sul da placa em comparação com uma solução de referênca obtda usando-se o tradconal esquema de dferença central com uma malha de 80x80 volumes de controle. As curvas são concdentes o que atesta a precsão do esquema para este tpo de problema utlzando apenas 0x0 volumes de controle. CONCLUSÕES O esquema FLU mostrou resultados adequados de precsão para o caso de dfusão pura em meo poroso caplar governado pelas equações de Luov. As expressões resultantes da dscretzação foram conduzdas para que o esquema pudesse ser vsto como uma extensão dos esquemas FLU-SPLINE (VAREJÃO 979 e a tradconal Dferença Central para o método de volumes fntos. Assm este esquema poderá ser faclmente acrescentado a códgos computaconas á exstentes pos as modfcações se resumem à adção de um novo termo fonte. Sua extensão para problemas envolvendo convecção pode ser obtda segundo-se os mesmos passos aqu descrtos. 649

7 Os resultados mostrados pelos gráfcos atestam o bom desempenho do esquema FLU em relação ao método da transformada ntegral no caso undmensonal. Para o caso bdmensonal novamente os gráfcos correspondentes mostram que tal comportamento se repete com relação ao esquema de dferença central. Assm casos de sstemas de equações dfusvas acopladas onde a presença de termos fontes consttuídos por fluxos ntroduzem uma dfculdade a mas para o tradconal esquema de dferença central podem ser adequadamente tratados pelo esquema aqu proposto com malhas consttuídas por um menor número de volumes de controle dmnundo desta forma o esforço computaconal. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS A.V. Luov A.. Mhalov Theory of energy and mass transfer Pergamon Press Oxford 965. A.V. Luov Heat and mass transfer n capllary porous bodes Pergamon Press Oxford 966. A.V. Luov Systems of dfferental equatons of heat and mass transfer n capllary porous bodes (Revew. Int. Journal of Heat and Mass transfer v8 pp. -4 (975. A.O. Necele Development and evaluaton of numercal schemes for the soluton of convecton-dffuson equatons Ph. D. Thess Unversty of Mnnesota 985. P.C. Olvera Esquema FLU-SPLINE aplcado em cavdades abertas com convecção natural Tese de Doutorado UNICAMP 997. P.C. Olvera Esquema FLU-SPLINE aplcado a problemas dfusvos trdmensonas em regme permanente. Revsta Braslera de Engenhara Agrícola e Ambental v n. pp. 7-0 (999. S.V. Patanar Numercal heat transfer and flud flow. New or: Hemsphere Publshng Corporaton 980. J.W. Rbero R.M. Cotta M.D. MIKHAILOV Integral transform soluton of Luov s equatons for heat and mass tranfer n capllary porous meda. Int. Journal of Heat and Mass transfer v6 n8 pp (99. J.W. Rbero P.D.C. Lobo Dryng n capllary porous meda. The ntegral transform method n thermal and fluds scence and engneerng Begell House Inc. New or Wellngford Cap L.M.C. Vareão FLU-SPLINE method for heat mass and momentum transfer Ph. D. Thess Unversty of Mnnesota