8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

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1 8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007 SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS DE ESCOAMENOS URBULENOS, INCOMPRESSÍVEIS E RIDIMENSIONAIS EM CAVIDADES NÃO-ISOÉRMICAS E CANAIS Santos, E.D., Petry, A. P., Xaver, C.M. Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, Rua Sarmento Lete, 425 Porto Alegre RS - Brasl e-mal: elzaldodomngues@bol.com.br, adranep@mecanca.ufrgs.br, xaver_carla@yahoo.com.br RESUMO A presença de fenômenos físcos com acoplamento entre a mecânca dos fludos e a transferênca de calor está muto presente no campo da engenhara e também na natureza. Portanto, é necessáro o constante aprmoramento do método de análse. Para a modelagem matemátca de escoamentos não-sotérmcos, é necessáro obter uma solução para o sstema de equações governantes do problema (conservação de massa, quantdade de movmento e energa). Sendo a análse numérca uma alternatva muto utlzada e crescente nos das atuas. Os prncpas obetvos deste trabalho são smular escoamentos não-sotérmcos, trdmensonas a partr da nserção da equação da energa e dos termos de empuxo em um códgo computaconal (realzado em lnguagem FORRAN) de um escoamento turbulento, trdmensonal e sotérmco e também comparar os dferentes modelos submalha para escoamentos turbulentos em canas. A solução do sstema de equações fo obtda através do Método de Elementos Fntos, com dscretzação espacal padrão de Galerkn e temporal através do esquema de aylor-galerkn. Para valdação do programa térmco foram obtdos os campos de velocdade, pressão e temperatura em cavdades forçadas não-sotérmcas de baxos até altos números de Reynolds. Palavras-Chave: Equação Energa, LES, FEM, Cavdades, Canas 1579

2 INRODUÇÃO As áreas de mecânca dos fludos e transferênca de calor apresentam-se de forma acoplada em város fenômenos, tanto no campo da engenhara como nos própros fenômenos naturas. Entre os dversos exemplos que podemos ctar no campo da engenhara estão: escoamentos em trocadores de calor (otmzação de dmensonamento através da relação perda de carga x transferênca de calor), geradores de vapor, motores de combustão nterna, resframento de pacotes de crcutos eletrôncos entre outros. Na natureza e no cotdano podemos ctar a formação de uma pluma em uma chama de cgarro, a dspersão de poluentes na camada atmosférca, o transporte de vapor através da evaporação ocorrda em mares e ros e etc. A maor parte dos escoamentos encontrados na natureza e em aplcações prátcas são turbulentos, sendo que este regme é predomnante devdo ao fato que pequenas perturbações netadas nos escoamentos são naturalmente amplfcadas, gerando-se nstabldades que conduzem a transção [1]. A estrutura da turbulênca é um fator chave para o entendmento da razão de transferênca de um escalar em superfíces e a conexão entre turbulênca e transferênca de calor tem sdo uma forte motvação para o entendmento do processo dnâmco na regão da superfíce e tem conduzdo a mutas nvestgações numércas e expermentas [2]. No presente trabalho é focado o mecansmo de transferênca de calor por convecção, cua natureza é msta, ou sea, convecção forçada mas natural. Uma ferramenta poderosa é a análse numérca das equações governantes (conservação de massa, quantdade de movmento e energa) que modelam matematcamente escoamentos ncompressíves, turbulentos e não-sotérmcos. Dentre os dferentes métodos numércos exstentes, optou-se por utlzar o método de elementos fntos (FEM) que, segundo [3], possu a vantagem de hablmente representar domínos complexos para a solução de problemas de contorno e ncas crescentes no campo da engenhara, tornando-o uma ferramenta prátca. A grande varação exstente entre as grandes e as pequenas escalas presentes na estrutura da turbulênca, assocada com suas característcas como: rregulardade, elevados números de Reynolds e a trdmensonaldade das estruturas vortcas tornam a análse numérca deste fenômeno, através da abordagem numérca de Smulação Dreta, extremamente onerosa, vsto que os domínos sob análse precsam de enormes dscretzações espacas e temporas, conduzndo a um número de graus de lberdade e de equações muto grandes para serem resolvdos em qualquer equpamento computaconal dsponível atualmente. Segundo [2] o número de nós de uma malha para a smulação de um escoamento não-sotérmco é da ordem de Pr Re. Alguns exemplos do custo computaconal correlaconado com a smulação dreta podem ser vstos em [4] e [5]. Como conseqüênca da mpossbldade de aplcar Smulação Dreta para a grande maora dos problemas é necessáro realzar metodologas alternatvas como os modelos clásscos baseados na hpótese da méda temporal de Reynolds (RANS) [6] e na Smulação de Grandes Escalas (LES) [5] utlzada no presente trabalho. Na Smulação de Grandes Escalas é realzada somente a modelagem das pequenas escalas (sendo as grandes escalas resolvdas dretamente). A grande vantagem de realzar esse tpo de abordagem é que as escalas submalha possuem uma natureza mas unversal, com uma estrutura mas sotrópca, do que o restante das estruturas turbulentas [7] o que permte uma modelagem mas adequada do escoamento, além de necesstar um menor custo computaconal que a smulação dreta. A modelagem numérca de escoamentos ncompressíves através do método de elementos fntos apresenta dfculdades orundas das fortes característcas do problema dscretzado causadas pela presença de elementos nulos na dagonal prncpal da matrz de massa correspondente a ausênca dos termos de pressão (de forma explícta) na equação da contnudade. Pode ser ctado como exemplo a mpossbldade do uso de métodos de ntegração temporas puramente explíctos devdo à ausênca da dervada temporal da pressão na equação da contnudade [3]. Com o obetvo de superar essa dfculdade é usado o método de pseudo-compressbldade [8] onde a dervada da pressão no tempo permanece na equação da contnudade [5]. No presente trabalho foram mplementados os termos da equação da energa e de empuxo na equação da conservação da quantdade de movmento em um códgo desenvolvdo em FORRAN para smulação de escoamentos trdmensonas, quase-ncompressíves e sotérmcos desenvolvdo por [5]. O método numérco utlzado fo o de elementos fntos com elementos hexaédrcos tr-lneares de oto nós, a dscretzação espacal fo feta usando o método padrão de Galerkn [3]. No que tange a análse dos termos transentes fo utlzado o esquema temporal explícto de aylor-galerkn [5], [9], [10], [11], [12] e [13]. Foram obtdos resultados dos campos de velocdade e temperatura, analsando-se a varação temporal e espacal, para um escoamento com número de Re =400 e Gr = 16000, tas resultados foram comparados aos resultados numércos e expermentas apresentados por [14]. ambém fo realzado um comparatvo entre os modelos submalha clásscos de Smagornsky [15] e dnâmco [16], [17] para determnação do perfl de velocdade de escoamentos turbulentos, trdmensonas e sotérmcos em canas, no modelo dnâmco é utlzada a metodologa desenvolvda por [5] chamada segunda fltragem por elementos fntos ndependentes.

3 ASPECOS MAEMÁICOS E NUMÉRICOS Para a smulação de escoamentos turbulentos, trdmensonas, transentes e não-sotérmcos utlzando LES é necessára a realzação de um processo de fltragem para separação das escalas [18] nas equações de conservação de massa, quantdade de movmento e energa conforme mostra a Ec. (1) v = v + v p = p+ p ρ = ρ + ρ = + (1) Onde a barra sobre a varável ndca o campo de grandes escalas o apostrofo ndca um campo submalha. odas as propredades termofíscas serão avaladas no campo médo (grandes escalas), então ρ = C P = k = 0. Após o processo de fltragem as equações governantes (conservação de massa, quantdade de movmento e energa, respectvamente) fcam da segunte forma (Ec. (2), (3) e (4)): P 2 + C ( ρ0 v ) = 0 (2) t x P λ( ) ( ρ v 0 ) + ( ρ vv 0 ) + δ ( ) υ ( ρ v 0 ) + ( ρ v 0 ) + ( ρ v 0 k) δ + t x x x x x ρ x 0 k + { ρ0( L + C + vv )} + ρ gβ 0 ( 0) = 0 x (,,k = 1,2 e 3) em Ω (3) + ( v) = ( ) α ( θ + C + L ) q θ θ + t x x x (,,k = 1,2 e 3) em Ω (4) Com as seguntes condções de contorno: λ p+ ( ρv ) ( ( ) k δ + υ + υ t) ( ρv) + ( ρv) n = t em Гt (5) ρ x x x k ( ) t cr x ( α + α ) n + q = qˆ em Гt (6) v = vˆ (,,k = 1,2 e 3) em Γ v (7) ˆ = em Γ (8) E as seguntes condções ncas: v vˆ = o p = pˆ 0 ˆ 0 = em t=0, Ω (9) As propredades termofíscas, embora escrtas como função da temperatura, serão consderadas constantes no presente trabalho para facltar a modelagem do problema (evtando não lneardades nserdas nas equações). No que ' se refere aos termos submalha, os mesmos podem ser dentfcados: τ = vv (tensões de Reynolds ' ' ' ' submalha); C = v v + vv (termos cruzados); L = v v v v (termos de Leonard); θ = v (fluxo turbulento ' ' ' submalha); Cθ = v + v (fluxo turbulento cruzado); Lθ = v + v (fluxo turbulento de Leonard). Os termos L e C podem ser neglgencados [18]. No trabalho de [19] fo realzada uma comparação entre as tensões de Reynolds submalha e a soma dos termos cruzados e de Leonard (L + C ). Aquelas foram mas do que quarenta

4 vezes maores que estas. Então, esses últmos termos foram neglgencados nos cálculos de [19] o que é condzente com o encontrado por [20]. No que se refere aos termos do fluxo turbulento de Leonard e cruzado, [19] assm como [21] neglgencaram estes termos em seus trabalhos. Levando em consderação o que fo dto acma, também neglgencaremos os termos e fluxos turbulentos cruzados e de Leonard. Modelos Submalha Os dos modelos mplementados são baseados no conceto de vscosdade turbulenta. Usando a hpótese de Boussnesq, as tensões de Reynolds submalha são dadas por (Ec. (10)): v υ vv = + x v x (10) O modelo para o fluxo turbulento é obtdo por analoga entre o transporte de quantdade de movmento e energa. Conseqüentemente, a mesma hpótese de Boussnesq é aplcada ao fluxo turbulento submalha que é dado por (Ec.(11)): v = α (11) x Lembrando que a Ec. (10) não precsa de nenhuma modfcação (nserção de termos relaconados à energa cnétca submalha) pos a equação da contnudade fo modfcada para escoamentos quase-ncompressíves. Modelo de Smagornsky O modelo de Smagornsky [15] é o prmero modelo submalha ntroduzdo para a determnação das tensões de Reynolds submalha e do fluxo turbulento submalha e anda é bastante utlzado. Nesse modelo a vscosdade turbulenta é dada por: 2 2 υ = C Δ S (12) s Onde C s é a constante de Smagornsky (que vara de 0,1 a 0,23 aproxmadamente), Δ é o comprmento característco (dado pela Ec. (13) ) e S é dado pela Ec. (14). Δ = 3 3 Δx (13) = 1 S = S S (14) 2 O tensor de deformação S é dada por: 1 v v S = + 2 x x (15) E a dfusvdade turbulenta é ndretamente determnada pela razão da vscosdade turbulenta e do número de Prandtl turbulento, dado pela segunte expressão: C 2 s 2 α = Δ S (16) Pr Modelo Dnâmco

5 O modelo dnâmco submalha proposto por [16] e modfcado por [17] fo mplementado para a solução do campo hdrodnâmco (anda não o fo para o campo térmco). O tensor de Reynolds submalha também é aproxmado pela Ec. (10), contudo a vscosdade turbulenta é defnda como: 2 ν t =C( x, t ) Δ S (17) O coefcente dnâmco é calculado em função das característcas locas do escoamento, empregando-se um processo de dupla fltragem. O cálculo de C(x,t) está baseado nas nformações das menores escalas resolvdas, sendo defndo como: 1 L M C( x, t) = (18) 2 M M E os tensores L e M são defndos como: L = vv v v 2 2 M = Δ S S Δ S S (19) S 1 v v = + 2 x x S = 2 S S (20) Onde Δ defne o comprmento característco do segundo fltro, sendo Δ > Δ. Nas equações acma, a barra ndca a prmero processo de fltragem (fltro à nível de malha) e o símbolo (fltro teste). refere-se ao segundo processo de fltragem Análse numérca Para a solução do sstema de equações, o método de elementos fntos é empregado. Para obtermos o sstema de equações algébrcas, as dervadas temporas são expanddas em séres de aylor, nclundo os termos de segunda ordem [13] e para a dscretzação espacal o método padrão de Galerkn é aplcado [3]. Para economzar tempo de processamento são utlzadas expressões analítcas para as matrzes e elementos hexaédrcos soparamétrcos [22]. O esquema temporal é explícto e condconalmente estável e o passo de ntegração possu a segunte restrção: Δx (mn) Δt (21) C+ V Onde Δx (mn) é a dmensão mínma dos elementos da malha, C é a velocdade do som no meo e V é a velocdade de referênca. As funções de nterpolação ( φ, θ, ψ ) usadas para obtenção das matrzes das equações governantes % % % dscretzadas são dadas pela Ec. (22). 1 φ ( ξηζ,, ) = θ( ξ, η, ζ ) = ( 1+ ξξ )( 1+ ηη )( 1+ ζζ ) ψ ( ξ, η, ζ ) = cte = 1 (22) 8 Onde (ξ,η,ζ) são as coordenadas naturas (utlzadas para facltar o processo de montagem dos elementos) e cuo 1 ξηζ,, 1 e os vetores ξ, η, ς são: domíno é estabelecdo pelo esquema numérco de Gauss-Legendre ( ) ξ = { 1, + 1, + 1, 1, 1, + 1, + 1, 1} η = { 1, 1, + 1, + 1, 1, 1, + 1, + 1} { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} ζ = (23)

6 Para a realzação da segunda fltragem, utlzada na determnação do coefcente C(x,t) do modelo dnâmco, fo utlzada a metodologa proposta por [5]. A Segunda Fltragem por Elementos Fntos utlza técncas comuns ao método de elementos fntos, como: a defnção dos elementos por conectvdades, o uso de dos sstemas de coordenadas (global (x1,x2,x3) e natural (ξ,η,ζ)) a transformação de coordenadas e funções de nterpolação de elementos. O esquema consste na geração de um superelemento em torno de cada nó da malha, então, com funções de forma usuas, uma nterpolação lnear das varáves nos nós dos superelementos é realzada para adqurr valores fltrados no correspondente nó nterno. Maores detalhes sobre essa metodologa podem ser vstos em [5]. RESULADOS Canal Isotérmco (Re=3300) Smulações de escoamento em canal trdmensonal com número de Reynolds 3300 são realzadas para valdar o códgo. Os resultados são obtdos usando os modelos de Smagornsky e Dnâmco e comparados com dados expermentas [23] e com outras smulações numércas [24] e [25]. A geometra do canal e a malha unforme utlzada são mostradas, respectvamente, nas Fg. 1 e 2. Fg. 1: Geometra do canal. Fg. 2: Malha unforme. Como condções de contorno na entrada usa-se um perfl turbulento de velocdade, completamente desenvolvdo (v1=v(y), v2=0) e condção de não-deslzamento (v1=v2=v3=0) prescrta nas paredes superor e nferor. Na saída do canal exstem condções de contorno naturas (t 1 =t 2 =t 3 =0) (vde Ec.(5)). As condções ncas usadas são v1=50,49 m/s, v2=v3=p=0. É mportante observar que, dferentemente do procedmento normal adotado em smulações numércas de escoamentos turbulentos em canas com DNS ou LES, as condções de contorno nas dreções x e z não serão peródcas. Na Fg. 3 são mostrados os resultados da smulação, nos modelos de Smagornsky e Dnâmco, do perfl de velocdade U comparados com resultados expermentas e outras smulações. Pode-se dzer que os resultados concordam bem com os dados expermentas e com a smulação de [25]. A tensão de Reynolds(u'v') estmada pelos modelos é mostrada na Fg. 4. 1,0 2,5 0,9 0,8 0,7 2,0 1,5 1,0 u'v'-dnâmco u'v'-smagornsky KIM-Abrunhosa 0,6 0,5 Um/Uc 0,5 0,4 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0-0,5 0,3 Dnâmco 0,2 Expermental 0,1 Abrunhosa Smagornsky 0,0 0,0 0,2 0,4 y/h 0,6 0,8 1,0 Fg. 3: Perfl de Velocdade U. -1,0-1,5-2,0-2,5 Fg. 4: ensão de Reynolds u'v'. y

7 Cavdade Não-Isotérmca (Re=400) São apresentados, neste tópco, resultados de escoamentos bdmensonas, ncompressíves e não-sotérmcos no regme lamnar para número de Reynolds Re = 400 e de Grashoff Gr = em cavdade forçada com uma das superfíces aquecda, conforme vsto no domíno na Fg. 5. Os resultados aqu obtdos são comparados com os resultados numércos apresentados em [14], segundo este autor, o códgo que gerou os resultados numércos apresentados neste trabalho fo valdado com resultados expermentas realzados pelo mesmo. A malha utlzada para a dscretzação do domíno fo de 100 x 100 x 1 com maor refnamento unto as paredes. Z Y X Fg. 5: Domíno da cavdade forçada com suas condções de contorno ensonas As condções de contorno e ncas utlzadas no presente trabalho foram as mesmas utlzadas em [14], as de contorno podem ser vstas na Fg. 5 enquanto as ncas são reescrtas abaxo: U( x, z,0) = V( x, z,0) = 0 θ ( x, z,0) = Z Na Fg. 6 são plotadas sotermas, permtndo um comparatvo entre os campos de temperatura obtdos em [14] (Fg. 6 (a), (b) e (c)) e os obtdos no presente trabalho (Fg. 6 (d), (e) e (f)) para os tempos ensonas de t = 1.4, 3.7 e 5 respectvamente. As sotermas demonstram que os dos métodos numércos utlzados apresentam um comportamento bastante semelhante no regme transente. a) b) c) d) e) f) t = 1.4 t = 3.7 t = 5.0 Fg. 6: Campos de temperatura transentes resultados numércos de [14] a) t = 1.4, b) t = 3.7, c) t = 5 - resultados numércos do presente trabalho d) t = 1.4, e) t = 3.7 e f) t = 5

8 Na Fg. 7 é possível avalar a evolução da temperatura (Fg. 7a) e velocdade em x (Fg. 7b) com o tempo (ensonas) no plano vertcal médo (X = 0,5) para um valor fxo de Z= 0,27 para o presente códgo sem a utlzação dos termos de empuxo na formulação (denomnado no gráfco: convecção_forçada) e com os termos de empuxo nserdos (convecção_msta), á nas Fg. 8 e 9 (a campo de temperaturas e b campo de velocdades em x) são apresentados os resultados para duas outras posções da cavdade na coordenada Z (Z=0,48, próxmo ao centro da cavdade e Z=0,93 próxmo a placa móvel). Em Z = 0,27 fo onde os resultados obtdos pelo códgo desenvolvdo no presente trabalho apresentam maor dscordânca com os resultados de [14] (que utlza o método de volumes fntos baseado no algortmo SIMPLER), obtendo-se um erro médo estatístco percentual de ε = 5,56% nesta regão da cavdade para o programa com empuxo (conseqüentemente, menor que a ncerteza de medção I 7,1% apresentada pelo autor para o expermento). De um modo geral os resultados obtdos no presente trabalho apresentaram-se muto semelhantes aos obtdos por [14] permtndo uma valdação do presente códgo desenvolvdo para casos não sotérmcos em regme lamnar. Em todas as regões onde os campos de velocdade e temperatura foram comparados nota-se a exstênca de uma tendênca de convergênca dos resultados conforme o escoamento tende ao regme permanente. ambém se observa a melhora no campo de temperaturas e no perfl de velocdades com a nserção dos termos de empuxo nas equações de conservação da quantdade de movmento. Fg. 7: Evolução temporal em X= 0,5 e Z=0,27 a) emperatura b) Velocdade em X (ensonas) Fg. 8: Evolução temporal em X= 0,5 e Z=0,48 a) emperatura b) Velocdade em X (ensonas)

9 Fg. 9: Evolução temporal em X= 0,5 e Z=0,93 a) emperatura b) Velocdade em X (ensonas) Para a obtenção dos resultados fo utlzado o supercomputador SunFre X2200, AMD Opteron 1.8GHz Dual Core do Centro Naconal de Supercomputação (CESUP-RS). Para melhora do desempenho computaconal fo utlzada a técnca de paralelzação OpenMP. CONCLUSÕES Fo apresentada a metodologa de resolução de escoamentos de fludos Newtonanos quase-ncompressíves, turbulentos, sotérmcos e transentes em canal, usando o método de elementos fntos e smulação de grandes escalas, com os modelos de Smagornsky e Dnâmco. Os resultados são coerentes com os dados expermentas [23] e com outras smulações [24] e [25]. Observa-se que os resultados do modelo Dnâmco estão em melhor concordânca com os expermentas e outras smulações do que os resultados apresentados pelo modelo de Smagornsky [16]. Além dsso, pode ser observado que a metodologa da segunda fltragem proposta em [5] de fato é melhor do que os resultados obtdos pelo modelo de Smagornsky. Fo aprmorado o códgo em FORRAN [7] para a smulação de escoamentos sotérmcos, trdmensonas, ncompressíves, em regme lamnar e turbulento através da nserção da equação da energa e dos termos de empuxo no códgo pré-exstente, tornando-o capaz de obter smulações de escoamentos não-sotérmcos. Sendo smulado para valdação do códgo o escoamento em uma cavdade forçada não-sotérmca. Os resultados obtdos com o presente códgo para os campos de temperatura e velocdade são bastante coerentes com os apresentados por [14] em seu artgo, conseqüentemente, demonstram a valdade do códgo desenvolvdo. O próxmo passo é realzar a valdação do códgo desenvolvdo para escoamentos turbulentos e não sotérmcos utlzando smulação de grandes escalas (LES) com modelo submalha de Smagornsky. REFERÊNCIAS 1. A. Slvera Neto, Fundamentos da urbulênca nos Fludos, urbulênca, Vol.1, Eds. A. Frere; P. Menut e P. Su, ABCM, Ro de Janero, RJ, L. Wang, Y. Dong and X. Lou, An nvestgaton of turbulent open channel flow wth heat transfer by Large Eddy Smulaton, Computers & Fluds, Vol. 34, pp J.N. Reddy and D.K. Gartlng, he Fnte Element Method n Heat ransfer and Flud Dynamcs, CRC, Boca Raton, Florda, USA, A. Slvera Neto, Smulação de Grandes Escalas de Escoamentos urbulentos, Vol.1, Eds. A. Frere; P. Menut e P. Su, ABCM, Ro de Janero, RJ, A. P. Petry, Análse Numérca de Escoamentos urbulentos rdmensonas Empregando o Método de Elementos Fntos e Smulação de Grandes Escalas, ese de Doutorado, Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, Porto Alegre, RS, J.O. Hnze, urbulence, McGraw-Hll, New York, 2nd. Ed., 1975

10 7. A. P. Petry e A. M. Awruch, Large Eddy Smulaton of hree-dmensonal urbulent Flows by the Fnte Element Method, Journal of the Brazlan Socety of Mechancal Scences and Engneerng, Vol. 28, pp , M. Kawahara and H. Hrano, A Fnte Element Method for Hgh Reynolds Number Vscous Flud Flow Usng wo Step Explct Scheme, Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, Vol. 3, pp , J. Donea, A aylor-galerkn Method for Convectve ransport Problems, Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, Vol. 20, pp , K.. Yoon, S.Y. Moon, S.A. Garca, G.W. Heard,.J.Chung, Flowfeld-dependent mxed explct-mplct (FDMEI) methods for hgh and low speed and compressble and ncompressble flows, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Vol. 151, pp , L.R. Azevedo, Analse de Problemas de Interação Fludo-Estrutura Usando o Método dos Elementos Fntos com um Acoplamento Monolítco, ese de Doutorado, Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, Porto Alegre, RS, A. L. Rossa, Um Esquema Sem-Implícto para a Smulação Numérca de Escoamentos Incompressíves Não- Isotérmcos Va o M.E.F. Usando a écnca de aylor Galerkn, Dssertação de Mestrado, Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, Porto Alegre, RS, O. C. Zenkewcz, R.L. aylor, he Fnte Element Method, Butterworth-Henemann, Woburn, MA, 5 th Ed., H. J, S. Y. Km, J. M. Hyun, ransent Mxed Convecton n an Enclosure Drven by Sldng Ld, Heat and Mass ransfer, Vol. 43, pp , J. Smagornsky, General Crculaton Experment wth Prmtve Equatons, I. he Basc Experment, Mon. Weath., Vol. 91, pp , M. Germano, U. Pomell, P. Mon, W.H. Cabot, A Dynamc Subgrd-Scale Eddy Vscosty Model, Phys. Fluds A3 (7), pp , D.K. Llly, A Proposed Modfcaton of the Germano Subgrd-Scale Closure Method, Phys. Fluds A4 (3), pp , A.N. Fndkaks, R.L. Street, Mathematcal Descrpton of urbulent Flows, Journal of Hydraulcs Dvson, ASCE, Vol. 108, N HY8, paper 17265, pp , A. Slvera Neto, D. Grand, O. Métas, M. Leseur, A Numercal Investgaton of the Coherent Vortces n urbulence Behnd a Backward-Facng Step, Journal of Flud Mechancs, Vol. 256, pp. 1-25, M. Antonopoulos-Doms, Large Eddy Smulaton of a Passve Scalar n Isotropc urbulence, Journal of Flud Mechancs, Vol. 34, pp , R.F. Brto, Smulação de Grandes Escalas de Escoamentos urbulentos Não-Isotérmcos Usando o Método de Elementos Fntos, ese de Doutorado, Unversdade Federal de Itaubá, Itaubá, MG, H.P. Burbrdge, O Esquema Explícto de aylor-galerkn na Smulação Numérca de Escoamentos Compressíves rdmensonas Utlzando Elementos Fntos Hexaédrcos de Oto Nós, Dssertação de Mestrado, Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, Porto Alegre, RS 23. S. Gavrlaks, Numercal smulaton of low-reynolds-number turbulent flow through a straght square duct, J. Flud Mech., vol. 244, pp , 1992; 24. J. Km, P. Mon and R. Moser, urbulence statstcs n fully developed channel flow at low Reynolds number, J. Flud Mech., vol. 177, pp , 1987; 25. Abrunhosa, J.D.M., "urbulent Complex Flow Smulaton wth Classcal Modelng and Large Eddy Smulaton". (n Portuguese). DSc. hess. Departamento de Engenhara Mecânca, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero, Ro de Janero, RJ, Brazl. UNIDADES E NOMENCLAURA C velocdade de propagação do som do meo (m/s) Cs constante de Smagornsky C(x,t) coefcente dnâmco C P calor específco a pressão constante (J/kg K) g aceleração gravtaconal na dreção (1,2 ou 3) (m/s²) H altura da cavdade (m) k() condutvdade térmca do fludo (W/m K) L comprmento da cavdade (m) Nu número de Nusselt P pressão (N/m²)

11 Pr número de Prandtl (υ/α) Pr t número de Prandtl turbulento q cr fluxo de calor por convecção e radação (W/m²) q razão de geração de energa (W/m³) ˆq fluxo de calor prescrto (W/m²) Reh número de Reynolds (U o H/υ) S taxa de deformação do campo de velocdades (s -1 ) temperatura (K) ˆ temperatura prescrta no contorno (K) o temperatura avalada no estado de referênca (K) t tempo (s) t tempo ensonal (t Uo/H) t valores prescrtos das forças de superfíce no contorno (N/m²) v velocdades nas dreções ( =1,2 ou 3) v ˆ velocdade prescrta na dreção (I=1,2 ou 3) x coordenada na dreção ( =1(x), 2(y) e 3(z)) α ( ) dfusvdade térmca (m²/s) α t β γ Γ δ dfusvdade térmca turbulenta (m²/s) coefcente de expansão volumétrca do fludo (K-1) razão entre os coefcentes de calor específco a pressão e volume constante contorno do domíno ou de um elemento do domíno delta de Kronecker ζ, η, ξ coordenada normalzada ou computaconal no nó η cosseno dretor do vetor normal ao contorno na dreção θ ( x, t) temperatura ensonal λ ( ) vscosdade volumétrca do fludo (kg/m.s) μ ( ) vscosdade dnâmca do fludo (kg/m.s) υ ( ) vscosdade cnemátca do fludo (m²/s) υ t ρ ρ 0 vscosdade turbulenta (m²/s) massa específca do fludo (kg/m³) massa específca no estado de referênca (kg/m³)