O USO DA INTEGRAL DEFINIDA NO CÁLCULO DA ÁREA ALAGADA DA BARRAGEM DO RIO BONITO

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1 O USO DA INTEGRAL DEFINIDA NO CÁLCULO DA ÁREA ALAGADA DA BARRAGEM DO RIO BONITO Crstna Martns Paraol Insttuto Federal Catarnense Rua Prefeto Francsco Lummertz Júnor, Sombro Santa Catarna Andresa Pescador Insttuto Federal Catarnense Rua Prefeto Francsco Lummertz Júnor, Sombro Santa Catarna Resumo: Este artgo apresenta uma aplcação de ntegral defnda cujo objetvo é calcular a área alagada da barragem do ro Bonto. Os regstros hstórcos mostram a mportânca desta barragem para a regão, a mesma é responsável por conter as cheas no Banhado do Sombro, e pela rrgação das lavouras de arroz. O formato da barragem está longe de ser uma regão regular, cujo cálculo da área sera faclmente encontrado. Para tanto, fez-se o estudo detalhado sobre aproxmação para ntegras defndas e ajustes de curvas. Estes temas foram usados na aproxmação da área alagada da barragem do ro Bonto. Para facltar os cálculos, fez-se o uso dos softwares geogebra e graph. Palavras-chave: Integral defnda; Ajuste de curvas; geogebra e graph.. INTRODUÇÃO Aplcações dos conteúdos de cálculo dferencal e ntegral são elementos de motvação para os cursos de matemátca, físca, engenharas e áreas afns. Segundo Kaber e Renz (008), no Brasl o ensno do cálculo dferencal e ntegral, hstorcamente, caracterzase pela prevalênca de processos algébrcos, segudos de exercícos repettvos e com pouca, ou quase nenhuma nterdscplnardade. No entanto, dversos estudos têm sdo fetos, a fm de testar e qualfcar metodologas para o ensno do cálculo. Com o ntuto de apresentar uma aplcação de ntegras este trabalho fo desenvolvdo. O artgo apresenta o cálculo da área alagada de uma represa, localzada na comundade de Tenente, no muncípo de Jacnto Machado - SC. A construção das barragens do ro Leão e do ro Bonto, fazem parte do Projeto de Desenvolvmento Agrícola do Banhado de Sombro. A represa do ro Bonto, que é objeto de estudo deste artgo, fo concluída no ano de 994, e neste mesmo ano fo fundada a COOIJAM (Cooperatva de Irrgação de Jacnto Machado). A cooperatva é responsável pela admnstração e fscalzação das águas da barragem, e entre os seus prncpas objetvos estão: conter as cheas e rrgar as lavouras de arroz.

2 De acordo com Stewart (0), uma das aplcações da ntegral defnda é o cálculo de área, onde a área é dvdda em retângulos e a área exata é o lmte das somas desses retângulos. Para calcular a área alagada pela barragem do ro Bonto utlzou-se os concetos de ntegral defnda e ajuste de curvas. Para facltar o desenvolvmento dos cálculos, foram utlzados os softwares geogebra 4. e graph. Segundo Kaber e Renz (008), a utlzação de tecnologas no ensno da matemátca faz-se necessára para que a educação cumpra seu papel de preparar o ndvíduo para a vda socal e para o mundo do trabalho. Utlzar softwares matemátcos, motva os alunos, possbltando-lhes, desenvolver a capacdade de nterpretar, analsar e estabelecer conjecturas, favorecendo a construção sólda dos conhecmentos.. HISTÓRICO DA BARRAGEM DO RIO BONITO Na década de 70 a SUDESUL (Superntendênca do Desenvolvmento da Regão Sul) ncou o desenvolvmento de um grande projeto, cujo nteresse fo motvado pela presença do carvão coquefcável na regão carbonífera. Lgada ao Mnstéro do Interor, a SUDESUL buscava a cração de um polo econômco desenvolvendo aquele que chamou de Projeto Ltoral Sul de Santa Catarna (PLSSC). O Projeto Ltoral Sul de Santa Catarna, fez nascer o projeto de desenvolvmento agrícola do banhado de Sombro, que tnha por objetvo prncpal o desenvolvmento hortgranjero daquela regão. O projeto fo estruturado ncalmente com a construção de três grandes obras: a Escola Agrotécnca Federal de Sombro (EAFS) e as barragens do Ro Bonto e do Ro Leão. A posção escolhda para a construção do barramento fo determnada pelo estudo de vabldade técnco-econômca do projeto de desenvolvmento agrícola do banhado de Sombro. Assm duas barragens dstntas foram construídas na localdade de Tenente no muncípo de Jacnto Machado, sul de Santa Catarna. Os ros Leão e Bonto fazem parte da baca do ro Mamptuba, o qual é o lmte entre os estados de Santa Catarna e Ro Grande do Sul. O ro Mamptuba é o escoadouro natural das enchentes de seu vale, cujas chuvas nas encostas dos Aparados da Serra, descem pelos seus afluentes causando nundações e lmtando o uso de solos fértes no alto, médo e baxo vale. O problema ocorre anualmente, então para soluconar tal problema a solução encontrada fo a construção de barramento em pontos estratégcos do vale. A barragem do ro Bonto, o qual é objeto de estudo deste artgo localza-se no últmo estrangulamento deste ro, antes do mesmo ngressar na planíce costera, logo a montante na localdade de Tenente. Segundo nformações do presdente da COOIJAM, a barragem tem aproxmadamente 85 hectares de área alagada e fo concluída quatro anos antes da barragem do ro Leão. Os objetvos prncpas das barragens são: Acumular um volume sufcente de água, a fm de garantr uma vazão regularzada que permte rrgar as lavouras a jusante (lado para onde se drge a corrente de água), pertencentes ao projeto de desenvolvmento agrícola do banhado de Sombro; Lamnar os hdrogramas de cheas afluentes ao reservatóro, de forma que a vazão efluente possa ser conduzda pelos canas de macro drenagem ora em construção sem causar nundações. Fgura - Imagens da Barragem do ro Bonto

3 Fonte: Autores, 04 Porém com todas as lmtações físcas, burocrátcas e humanas, o projeto se desenvolva lentamente. No ano de 990, cerca de 0 anos após o níco do projeto, a nova gestão presdencal anuncou a extnção da SUDESUL, causando o abandono total das obras. Após três anos de abandono, por ntervenção da Unsul (Unversdade do Sul de Santa Catarna) e da própra EAFS (Escola Agrotécnca Federal de Sombro), o projeto fo retomado por parte dos governos estadual e federal. Em 994 a barragem do ro Bonto estava concluída e alagada, neste mesmo ano no mês de outubro fo fundada a COOIJAM. Atualmente a cooperatva conta com 58 sócos, e dentre as suas múltplas fnaldades é responsável pela rrgação de 90 hectares de arroz. 3. FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA Com uma breve revsão hstórca do cálculo dferencal e ntegral, observa-se que seu desenvolvmento fo motvado a partr da necessdade de resolver dos problemas: () O problema básco do cálculo dferencal é o problema das tangentes; ou seja, calcular o coefcente angular da reta tangente ao gráfco de uma função num ponto dado P. () O problema básco do cálculo ntegral é o problema das áreas; ou seja, calcular a área sob o gráfco, entre os pontos x=a e x=b. Este trabalho está nserdo no tema do problema (). Para tanto, ao realzá-lo fez-se um estudo detalhado dos conteúdos de ntegral defnda e de ajuste de curvas, sendo que os cálculos para a aproxmação da área em questão foram desenvolvdos com o auxílo dos softwares geogebra e graph. O uso desta tecnologa facltou consderavelmente o trabalho devdo à quantdade de aproxmações e dvsões que foram fetas para o cálculo da área ctada. 3.. A ntegral de Remann A defnção da ntegral utlzada atualmente deve-se ao matemátco francês Augustn- Los Cauchy ( ). Cauchy defnu que uma função f é o lmte de uma soma nfnta. Após está defnção ele demonstrou algumas propredades, e concluu que todas as funções contínuas em um ntervalo a, b são ntegráves. O símbolo da ntegral,, é provenente do (s) de soma estcado, notação atrbuída ao matemátco Wlhelm Lebnz. Segundo Stewart (0), a ntegral de Remann é uma homenagem ao matemátco Bernhard Remann (86-866): A ntegral defnda de uma função ntegrável pode ser aproxmada com qualquer grau de precsão desejado por uma soma de Remann.

4 Anda, segundo o autor, a ntegral defnda por Remann, consste em dvdr um ntervalo a, bem n subntervalos de comprmentos guas x ( b a ) / n, ou seja, dvdr o ntervalo em n retângulos. Para tal procedmento a função deve ser contínua e defnda em a x b. Segue sua defnção formal na equação (). b a n * ( ) lm ( ) x f x dx f x x () * * * onde x 0 ( a), x, x,..., xn ( b) são extremdades desses subntervalos, e x, x,..., x n são pontos amostras nestes subntervalos, de forma que x esteja no -ésmo subntervalo. * Fgura - Integral de Bernhard Remann Fonte: Stewart, 0, p Nas aulas de geometra, aprende-se que área é um número que representa o tamanho de uma regão lmtada, e para regões smples, como retângulos, trângulos, círculos, a área pode ser determnada por meo de fórmulas geométrcas. Mas, no caso da área de regões que não formam um padrão, ou seja, como no caso da fgura () se utlza a ntegral defnda para calcular a área de cada subntervalo, ou seja, a área da regão sob a curva f ( x) no ntervalo a, b é aproxmadamente a soma das áreas dos retângulos. 3.. Ajuste de curvas por Quadrados Mínmos Segundo Bassanez (0), o ajuste de curvas ou regressão é um artfíco que expressa uma tendênca entre a varável dependente versus a varável ndependente. O método dos Quadrados Mínmos é uma das técncas de aproxmação mas usadas em problemas prátcos. Isto se deve tanto à sua smplcdade quanto ao fato de que, em geral, buscam-se aproxmações para dados que são meddas obtdas expermentalmente com certo grau de ncerteza. Nesta seção, apresenta-se o Método dos Quadrados Mínmos através do crtéro de mnmzar os resíduos, para cada ponto. Sendo que, mostra-se o caso partcular do ajuste da função quadrátca, na qual será aplcada na aproxmação das funções a serem ntegradas para o cálculo da área. Em outras palavras, buscam-se os valores a, b e c que tornam a função y f ( x ) a bx cx uma boa aproxmação para os dados obtdos. Assm, para encontrar a melhor aproxmação para a curva, o crtéro adotado é mnmzar a soma dos quadrados dos resíduos pontuas, sto é, mnmzar a equação segunte:

5 n n d ( x ) ( ) y a bx cx () onde y,,, n são os dados que serão aproxmados. Este crtéro procura tornar os resíduos pontuas tão pequenos quanto possível. Para fazer a mnmzação da equação (), segundo os concetos do cálculo dferencal e ntegral, deve-se calcular as dervadas parcas da função objetvo em relação a cada uma das ncógntas, e deve-se gualar cada uma das dervadas parcas a zero: n D ( y a bx cx ).( ) 0 a n D ( y a bx cx ).( x ) 0 a n D ( y a bx cx ).( x ) 0 c Assm, reescrevendo as gualdades acma, tem-se, respectvamente: y a bx cx 0 3 x y ax bx cx x y ax bx cx 0 a b x c x y (3) 3 (4) a x b x c x x y 3 4 (5) a x b x c x x y Sendo que o sstema dado pelas equações (3), (4) e (5) pode ser reescrto de forma matrcal, pela equação (6), que nos mostra as equações normas para o cálculo do ajuste de curvas quadrátco por mínmos quadrados. n n n n x x y a 3 x x x. b x y c 3 4 x x x x y (6) Em resumo, pelo processo de mnmzação do cálculo dferencal e ntegral, deve-se calcular as dervadas parcas da função objetvo em função de a, b e c e gualá-las a zero, formando um sstema lnear de ordem 3x3 descrto na equação (6), orundo das equações (3), (4) e (5). 4. DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS Para calcular a área alagada da barragem do ro Bonto, fez-se a busca no Google maps da regão que é objeto de estudo deste artgo. A foto que lustra a magem da área que se

6 deseja calcular segue na fgura (3). Na parte nferor do lado dreto observa-se a contenção para a barragem. E na parte superor do lado esquerdo tem-se o ro Bonto. Ao seu redor temse uma área de proteção ambental, que segundo dados do presdente da COIJAM somam um total de 56,3 hectares, entre área alagada e mata. Anda na parte nferor no lado dreto, observa-se a escala, a cada, centímetros equvale a 00 metros. Fgura 3 - Mapa da Barragem do Ro Bonto. Fonte: Google maps, 04. No software geogebra, fez-se a planfcação da área a ser calculada. Anda, fez-se a coleta dos pontos no plano cartesano para posteror análse e ajuste utlzando o software graph. Sendo que o objetvo fo encontrar as melhores funções que representam os pontos planfcados para o cálculo da área em questão. Fgura 04 - Planfcação da Barragem do Ro Bonto no software geogebra Fonte: Elaborado pelos autores, 04. Segundo Pva (00), o software graph, determna a curva de contorno, onde geralmente envolve coefcentes não exatos e com sso o cálculo da ntegral defnda torna-se muto trabalhoso se realzado manualmente. Neste trabalho, com os pontos apresentados no software geogebra, determnou-se no software graph a lnha de tendênca que melhor representava o contorno de cada regão e consequentemente a função. Então fez-se a dvsão da área da represa do Ro Bonto em váras sub regões que são apresentadas nas fguras (5),(7),(8) e (9).

7 Com os recursos do software graph, fo possível dvdr a área representada na fgura (5) em 7 sub áreas, e para cada regão encontrar a melhor lnha de tendênca, orgnando a função que representa a área a ser calculada. Fgura 5 - Áreas calculadas no software graph Fonte: Elaborado pelos autores, 04. A partr das ferramentas de cálculo do software graph, fo possível calcular através da ntegral defnda o valor de cada regão. A tabela () apresenta as funções e os ntervalos de cada regão bem como a área calculada. Tabela - Funções, ntegral e a área calculada da fgura 5. Regõe s Funções Integral Resultado da ntegral y 0,8x 4,8837 y, 07x 5, y, 596x 3, y,55 x 3, y 0, 697x 4, y 3x 3,5 6 ( 0,84 4,8837) 5,4 0,30 5,4 (,07 5,9789) 4,77 0,393 4,77 (,596x 3, 4467) dx 4,5 0,384 4,5 (,55 3, 408) 4,7 0,547 4,7 ( 0,697 x 4,3064) dx 0,4999 3,84 3,84 ( 3x 3,5) dx 0,64 3,54

8 7 y,53 8 y 0,5x 6, y, 69x 9, ,54 (,53)dx,69,9,9 ( 0,5 x 6,485) dx 3,944,6,6 (, 69x 9, 0685) dx, y 6,53 y, 0893x 8, 79 y, 494x 9, 656 y 0,507 x 8 y 0, 88x 8 y, 465x 8, 693 y 0,76x 6, 335 y, 3774x,868 y, 338x 8, 893 y, 0508x 7,834 y 0,346 x², 066, y 0, 097x, 9995 y 0, 365 x² 0,007x, 3477 (6,53)dx,6,6,6 (,0893 8, 79),04 3,876,04 (, 494 9,656) 0,73, ,73 ( 0,507x 8) dx 5, (0, 88 8) 0,59 4,6699 0,59 (, 465x 8, 693) dx,5 6,50,5 (0,76 6,335),35 5,5675,35 (,3774 x,868) dx 3,64,88,88 (, 338 x 8,893) dx 3,746 3,65 4,4 (, 0508x 7,834) dx,705 5,8 (0,346 ²,066,) dx 4,4 7,9534,9 ( 0,097 x,9995),8,6647 ( 0,365 x ² 0,007,3477),9 5, y 0,949 x² 0, 9497x, 0453,84 (0,949 x² 0,9497x, 0453) dx 5,6948

9 4 5 6 y 0,x 3, 454 y 0, 08x 3,7 y, 375 x² 3, 75x 56, 046,84 (0,x 3, 454) dx 3,465 4,65 (0,08 3,7) 3,94,655 5,35 (,375 ² 3,75 56,046) 4,65,638 7 y 0, 046x, (0,046 x,793) dx,9858 5,35 Fonte: Elaborado pelos autores, 04 A soma das áreas calculadas na fgura (5) retorna o valor de 80,434 cm². Na fgura (6) observa-se a área calculada, que é a área hachurada de llás, a área desta fgura hachurada na cor roxo anda não fo calculada, pos os autores vsualsam uma melhor opção para o seu cálculo, estes cálculos adconas em três novas regões. Fgura 6 - Área calculada Fgura 7 - Áreas calculadas no software graph Fonte: Elaborado pelos autores, 04. Fonte: Elaborado pelos autores, 04. Com o auxlo do software geogebra, utlzando as ferramentas: rotação em torno de um ponto por um ângulo e translação por um vetor construu-se os novos polígonos das áreas anda não calculadas. Segundo Mederos (0), o software geogebra permte ao usuáro fazer sucessvas rotações de uma fgura por um ângulo em torno de um ponto central, obtendo fguras congruentes a fgura ncal. Desta forma, novos pontos são apresentados, pos as áreas formam três fguras dstntas, representadas nas fguras: (7), (8) e (9). Por fm, no graph foram determnados as funções e o cálculo de suas respectvas áreas.

10 Tabela - Funções, ntegral e a área calculada da fgura 7. Regões Funções Integral Resultado da ntegral 8 y 0, 398x, y 0, 3095x 3,33 30 y 0, 089x, 46 7,8 (0,3095 x 3,33) dx 0,988 5, 7,7 (0,3095 3,33)dx 0,3339 7,8 8,7 ( 0,089 x, 46) dx 0,699 7,7 Fonte: Elaborado pelos autores, 04 Fgura 8 - Áreas calculadas no software graph Fgura 9: Áreas calculadas no software graph Fonte: Elaborado pelos autores, 04. Fonte: Elaborado pelos autores, 04. Tabela 3- Funções, ntegral e a área calculada da fgura 8. Regões Funções Integral Resultado da ntegral 3 y 0, 645 x²,543 x, y 0, 485x, y, 75x 3, y 0, 773x 3,855,94 (0, 645 x²,543 x,3977) dx,093 0,3 ( 0, 485 x,9437) dx 0,75,94,5 (,75 x 3,035) dx 0,3,3 4,38 ( 0,773 x 3,855) dx,76,5 Fonte: Elaborado pelos autores, 04

11 Tabela 4- Funções, ntegral e a área calculada da fgura 9 Regões Funções Integral Resultado da ntegral 35 y, 439x 4, y 0, 9836x 3, y 5, 889x 9, y 0,837x, y, 9533 x² 4x, 37,59 (, 439x 4,37) dx 0,09 3,98 (0,9836 3,6375),59 0,8479,89 ( 5,889 x 9,97),98 0,83,4 (0,837 x,507) dx 0,5905,89 0,4 (,9533 x ² 4 x,37) dx 0,5436,4 Fonte: Elaborado pelos autores, 04 A soma das áreas, representadas nas fguras (5), (7), (8) e (9) retornou o valor de cm². Assm, o cálculo da área alagada da barragem do ro Bonto segue: 00 metros...,0 centímetros 40000m²... 4,4cm² Com base nos dados encontrados e na conversão das undades tem-se que: 88,5748*40000 A = ,5465m². Ou seja, a regão calculada em hectares tem total 4, 4 aproxmadamente 80,34 hectares de terra alagada pelas águas do ro Bonto. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho fo apresentado o cálculo da área alagada da barragem do ro Bonto, que tem aproxmadamente 80,34 hectares. Usando uma aproxmação com o auxílo dos conteúdos do cálculo dferencal e ntegral, fundamentalmente, ntegras defndas e ajustes de curvas além das ferramentas computaconas geogebra e graph. Dentre as constatações realzadas tem-se que o presente artgo mostrou uma das mutas aplcações do cálculo dferencal e ntegral. Calcular a área de uma regão que não é nada regular torna-se um pouco trabalhosa vsto que, mutas vezes, nas dscplnas de cálculo o estudante recebe a função a ser ntegrada, sto é, o processo trabalhado em sala de aula é o contráro deste. Em sala de aula o estudante recebe, em geral, a função, faz o gráfco e calcula sua área. Neste trabalho a área é conhecda grafcamente, mas as funções não. E assm sso fez-se o uso de ajustes de curvas, encontrando assm as funções das curvas a serem ntegradas.

12 O resultado encontrado é uma boa aproxmação da área da regão. A COOIJAM (Cooperatva de Irrgação de Jacnto Machado) não sabe o valor exato da área, eles têm uma noção por alto que se equvale ao resultado deste artgo. Fnalmente, o cálculo das funções que representam cada regão seleconada da área total a ser calculada, através de ajustes de curvas, alada ao cálculo das ntegras defndas, para cada caso, juntamente com os recursos tecnológcos tornou o trabalho atraente. Acredtase que este desenvolvmento é de fácl manpulação vsto que seu resultado fo satsfatóro, e pode ser aprovetado em sala de aula para apresentar aplcações aos alunos como motvação nas dscplnas de cálculo dferencal e ntegral e\ou cálculo numérco. REFERÊNCIAS BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensno-aprendzagem com modelagem matemátca. São Paulo: Contexto, 0. KAIBER, Carmen Teresa. RENZ Sandra Pacheco. Cálculo dferencal e ntegral: uma abordagem utlzando o software maple. PARADIGMA, v. XXIX, p.3-3, n., jun-008. MAGNA ENGENHARIA ltda. Trabalho realzado com colaboração fnancera FINEP/BRDE, mar 98. Mapa da barragem do ro Bonto. Dsponível em:< q=jacnto+machado+sc&espv=&bw=04&bh=653&dpr=&um=&e=utf8&sa=x&e= KP- UU-qBA8TgsATm64LQCg&ved=0CAgQ_AUoAQ> Acesso em: 0 jan-04 MEDEIROS, Margarete Faras. Geometra dnâmca no ensno de transformações no plano - uma experênca com professores da educação básca. 7f. Dssertação de Mestrado- Programa de pós-graduação em Ensno de Matemátca/ Mestrado Profssonalzante em Ensno de Matemátca. Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, Porto Alegre, 0. PIVA, Clauda. DORNELES, Lecr Dalabrda. SPILIMBERGO A. Patríca. Cálculo do Volume de um Sóldo de Revolução: Uma Atvdade Usando os Softwares Graph e WxMaxma. XXXIII Congresso Naconal de matemátca aplcada e computaconal, SBMAC, v.03, p.37-43, 00. STEWART, James. Cálculo Vol. São Paulo: Cengage Learnng, 0. USE OF INTEGRAL DEFINED IN CALCULATION OF DAM RIVER BONITO Abstract: Ths paper presents an applcaton of defnte ntegral whose goal s to calculate the area of the dam flooded the Rver Bonto. Hstorcal records show the mportance of ths barrer for the regon, t s responsble for contanng the flled n Banhado do Sombro, and for the rrgaton of rce felds. The format of the dam s far from beng a regular regon whose area calculaton would be easly found. As such, there s a detaled study on approach to defnte ntegrals and curves adjustments. These themes were used to approxmate the dam flooded area of the Rver Bonto. To facltate the calculatons, we used geogebra and graph software s. Keywords: Integral defned; Curve fttng; geogebra and graph.