Apontamentos de Transferência de Massa. João Luís Toste de Azevedo Prof. Auxiliar do DEM/IST

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1 Apontamentos de Transferênca de Massa João Luís Toste de Azevedo Prof. Auxlar do DEM/IST Feverero 000

2 Indce Transferênca de Massa...1 M1 Equações fundamentas para transferênca de massa...1 Le de Fck...1 Coefcente de dfusão... Movmento do fludo...4 Fluxo em relação a referencal absoluto...5 Balanço de massa a espéces ndvduas...5 M Analoga entre problemas de transferênca de massa e de calor...6 Analoga entre equações de transferênca de massa e de calor...7 Problemas de dfusão...8 Dfusão de massa sem fontes em regme estaconáro...8 Dfusão de massa em regme transente...9 Transferênca de massa na presença de reacções químcas...9 Reacções químcas homogéneas...10 Reacção químca na superfíce...11 Transferênca de massa por convecção...11 M3 Transferênca de massa em escoamentos não confnados...13 Escoamento ncalmente forçado...14 Dspersão de massa em escoamento unforme...17 M4 Solução de problemas com transferênca de calor e massa...19 Problema de evaporação...19 Convecção natural...4 Referêncas...5 Transferênca de Massa I João Luís Toste de Azevedo

3 Transferênca de Massa O estudo da transferênca de massa é efectuado com o objectvo de quantfcar o fluxo de matéra de uma determnada espéce químca numa mstura. A transferênca de massa ocorre por mecansmos de dfusão e advecção devdo ao movmento do meo quando exste. Estes processos apresentam analogas com a transferênca de calor, excepto para o caso de radação onde a transferênca de energa ocorre sem recorrer a um meo contínuo de suporte. Na prmera secção estabelece-se a equação de balanço de massa para uma espéce químca, defnndo-se o fluxo dfusvo e advectvo. Na secção segunte M apresentam-se soluções de problemas de transferênca de massa que correspondem a soluções estudadas prevamente em transmssão de calor. Pela partcular mportânca da transferênca de massa em escoamentos exterores não confnados, apresentam-se algumas soluções com nteresse na secção M3. Fnalmente na secção M4 apresentam-se soluções para o processo de transferênca de calor e de massa para problemas onde os dos mecansmos podem ter gual mportânca. M1 Equações fundamentas para transferênca de massa A quantfcação do fluxo de matéra pode ser efectuado numa base molar ou mássca. A utlzação de uma ou outra base depende da stuação físca a analsar. Por exemplo a base molar é preferda em problemas envolvendo gases consderados como perfetos a temperatura e pressão constante, onde o número de moles por undade de volume é constante. O uso da base mássca pode ser favorecdo, por exemplo para problemas com reacções químcas em fase homogénea. A forma das equações para as duas bases apresenta semelhanças, sendo apreentados exemplos para ambas as bases. Le de Fck A dfusão de massa resulta de varações na concentração de uma espéce. A le que traduz este resultado é a le de Fck. Esta le exprme o fluxo de matéra de uma espéce químca num meo em repouso. A quantdade de massa pode ser expressa em termos do fluxo mássco (j ). j dm = ρd j [kg/m s] (M 1) dx em função do gradente de fracções másscas (m ), da massa específca (ρ) e do coefcente de dfusão da espéce na espéce j. O coefcente de dfusão expressa-se em undades [m /s] e é defndo com dos índces, ndcando a espéce consderada e o meo onde ocorre a dfusão. Para a dfusão de massa utlza-se também o coefcente de dfusão mássco defndo por Γ j =ρd j [kg/m s]. O fluxo de matéra pode também ser expresso em base molar por: dx J CD = j [kmol/m s] (M ) dx Transferênca de Massa 1 João Luís Toste de Azevedo

4 em função do gradente de fracções molares X e da concentração molar (C) ou número de moles específco defndo com undades [kmol/m 3 ]. A le de dfusão de massa apresenta claras semelhanças com a equação de Fourer para a transmssão de calor. dt dt q = k = ρ α cp [kj/m s] (M 3) dx dx Ambas as les exprmem um fluxo em função do gradente de uma propredade. Estas expressões quantfcam a velocdade a que ocorrem os processos descrtos pela segunda le da termodnâmca. A le de Fck quantfca a transferênca de massa, enquanto a le de Fourer quantfca a transferênca de energa. Coefcente de dfusão O coefcente de dfusão de massa em sóldos tem de ser determnada expermentalmente pos não exste um modelo teórco para a prever. Para líqudos exstem métodos de estmar o coefcente de dfusão quando a concentração do soluto é baxa [1,]. No caso de gases quando a concentração e pressão permte consderar o gás como perfeto a teora cnétca de gases permte dervar uma expressão para o cálculo do coefcente de dfusão [1,]:, j 3 D,(, j) *10 T 1 1 D j = + Pσ Ω M M j em (cm /s) (M 4) onde os valores das propredades são especfcados nas undades ndcadas na tabela M1. Grandeza P - Pressão T Temperatura absoluta σ j Dâmetro de colsão Undades Atmosfera Kelvn Angstron Tabela M1 Undades para os parâmetros para o coefcente de dfusão molecular. O coefcente de dfusão de massa é tanto maor quanto menores forem as moléculas; dâmetro de colsão (σj) e massas moleculares M, Mj menores. O dâmetro de colsão para um par de moléculas é calculado como a méda artmétca dos valores para cada um dos componentes σ j =(σ +σ j )/. Valores da massa molecular e de σ para algumas espéces no estado gassoso encontram-se ndcados na tabela M. O coefcente de dfusão de massa é nversamente proporconal ao ntegral de colsão Ω D,(,j) que é um parâmetro admensonal cujo valor depende do segunte parâmetro envolvendo a temperatura: kt ε j = T ( ε k)( ε k) j (M 5) Os valores de ε/k para algumas espéces também se encontram ndcado na tabela M, enquanto o ntegral de colsão em função do parâmetro ntroduzdo na equação M5 é ndcado na tabela M3. O ntegral de colsão ntroduz mplctamente uma dependênca da temperatura que é precso ter em conta. Transferênca de Massa João Luís Toste de Azevedo

5 Tabela M Parâmetros de espéces. Tabela M3 Valores do ntegral de colsão. O valor do coefcente de dfusão de massa aumenta com a velocdade méda das moléculas, proporconal à raz quadrada da temperatura, e com o volume específco proporconal a T/P. Deste modo conclu-se que o coefcente de dfusão de massa apresenta uma dependênca explcta de T 1.5 /P. No entanto, devdo à dependênca do ntegral de colsão na temperatura conclu-se que valores do coefcente de dfusão de massa varam com T N com N entre 1.6 e. Os valores do coefcente de dfusão de massa meddo expermentalmente, referem-se a pares determnados de substâncas para temperatura e pressão especfcadas. A tabela M4 apresenta alguns valores, devendo recorrer-se a manuas (e.g. []) para a obtenção de outros valores. A nfluênca da temperatura e da pressão deve ser consderada para nterpolar ou extrapolar valores expermentas do coefcente de dfusão de massa. Mstura de Ar com: T (ºC) D (cm /s) Mstura de CO com: T (ºC) D (cm /s) Vapor de água Vapor de água Benzeno Benzeno Álcool Etílco Álcool Etílco Dóxdo de Carbono Azoto Mercúro Hdrogéno Oxgéno Mstura de O com: T (ºC) D (cm /s) Dóxdo de Enxofre Benzeno Amóna Amóna Tabela M4 Coefcente de dfusão de massa para pares de gases à pressão atmosférca [1]. Transferênca de Massa 3 João Luís Toste de Azevedo

6 Quando se pretende consderar o coefcente de dfusão de uma espéce em mstura de componentes este pode ser estmada pela formula de Wlke []: D ( 1 X ) / km = k N l l= 1 k válda para dfusão equmolecular. X l Dlk (M 6) A aplcação da le de Fck não é válda para fludos sob grande pressão stuação na qual poderá exstr fluxo relatvo de massa devdo a gradentes de temperatura e pressão. Movmento do fludo A le de Fck permte analsar a transferênca de uma dada espéce no seo de outra consderando que não exste velocdade da mstura. A defnção de velocdade da mstura depende de se consderar uma base molar ou mássca como se pode lustrar no exemplo de mstura de dos gases perfetos, j a pressão e temperatura constante. No processo de mstura de dos gases perfetos, j com a mesma pressão e temperatura ncas, a concentração molar de acordo com a le dos gases perfetos (C=P/R 0 T) é constante ao longo do processo de mstura. Deste modo numa base molar faclmente se reconhece que não exste movmento da mstura. O fluxo molar de uma espéce pode assm ser calculado a partr da le de Fck em base molar e pode conclur-se que o fluxo molar da outra espéce é gual em módulo e em sentdo contráro. O fluxo de massa de cada espéce pode ser calculado multplcando o fluxo molar pela massa molecular. No caso da massa molecular das duas espéces serem dferentes, pode-se assm conclur que globalmente exste movmento numa base mássca. Do exemplo anteror reconhece-se a necessdade de defnr a velocdade da mstura em dferentes bases consoante a aplcação. Para o fluxo mássco de uma dada espéce em relação a coordenadas fxas vamos utlzar o símbolo n. A quantfcação do movmento do fludo pode também ser feta numa base molar, utlzando-se então o símbolo N para desgnar o fluxo. O fluxo de uma espéce ndvdual pode ser expresso como o produto da sua concentração pela sua velocdade para qualquer das bases consderadas: molar N = C V ou mássca n = ρ v.. O fluxo global é defndo a partr da soma do fluxo de todas as espéces. Para o fluxo mássco global utlza-se o símbolo n ou G [kg/m s], sendo usado o símbolo N para o fluxo molar. O fluxo absoluto permte defnr a velocdade méda da mstura em base molar ou mássca. Conclu-se que a velocdade méda é a méda ponderada das velocdades de espéces ndvduas, utlzando as fracções molares ou másscas: N N + N j CV + C jvj V = = = XV + X jvj C C C = (M 7a) n n + n j ρv + ρjvj v = = = = mv + m jv j (M 7b) ρ ρ ρ Transferênca de Massa 4 João Luís Toste de Azevedo

7 Fluxo em relação a referencal absoluto A velocdade das espéces ndvduas não é fácl de defnr, pelo que é usual exprmr o fluxo absoluto (molar ou mássco) de uma espéce como a soma do fluxo relatvo com a componente de transporte devda ao movmento da mstura. O fluxo relatvo pode ser calculado a partr da le de Fck permtndo obter em forma vectoral: r r r r N = J + CV = CDm X + XN (M 8a) r r r r n = j + ρ v = ρd m + m n (M 8b) m Estas equações podem ser apresentadas nos dversos sstemas de coordenadas [3,4]. Para uma dada drecção em coordenadas cartesanas pode-se então escrever o fluxo para uma espéce como a soma do fluxo dfusvo com o de convecção: n dm D dx = ρ m mg ; N CD = m + XρV (M 9 a,b) dx dx + Para estabelecermos a relação entre o coefcente de dfusão de massa entre pares de substâncas pode-se somar o fluxo de duas espéces consttundo a totaldade da mstura: dx dx N N C D j + j = j + D j + (X + X j) ρv = N (M 10) dx dx Como a soma das fracções molares das espéces que consttuem a mstura é untára e N=ρV o prmero membro deverá ser nulo. Como o gradente da concentração de uma espéce é smétrco do outro, os coefcente de dfusão de massa devem ser guas Dj = Dj. No caso de se consderar msturas de mas componentes obtem-se uma relação entre os coefcente de dfusão de massa entre todos os pares de espéces[4], compatível com a formula de Wlke (Equação M4). Balanço de massa a espéces ndvduas O balanço de massa para cada espéce pode ser defndo consderando um elemento nfntesmal de volume e a varação do fluxo mássco em cada drecção. Para um problema undmensonal em coordenadas cartesanas: ρ m ''' + ( ρvm ρdm ) = M t (M 11) onde M ''' representa a fonte de massa da espéce resultante por exemplo de reacções químcas. A presença de fontes de massa para espéces não mplca necessaramente a exstênca de fontes de massa globas. No caso de estas exstrem têm de ser consderadas na equação da contnudade que resulta da soma de todas os balanços às espéces que consttuem a mstura. ρ + ( ρv) = t ''' M (M 1) Transferênca de Massa 5 João Luís Toste de Azevedo

8 ''' A fonte de massa global M pode ser consderada no caso de se tratar o problema de um meo gasoso no nteror do qual exstam partículas ou gotas que lbertem gás. A equação de balanço de massa para a espéce ndvdual pode ser smplfcada tendo em consderação a equação da contnudade. A soma do termo não estaconáro e convectvo pode ser smplfcada do segunte modo: ρ m + ( ρvm ) = ρ + m t t m m ( = ρ + v ) + mm''' t ρ ( ρv) m + m v( + ρ ) = t (M 13) ''' ''' No caso de não exstrem fontes de massa globas.e. M = M = 0 a equação M11 pode então escrever-se na forma: m m m ''' ( + v ) = ( ρdm ) + M t ρ (M 14) A forma completa do balanço de massa pode ser encontrada em [3,4]. Os balanços de massa undmensonas em coordenadas clíndrcas e esfércas são expressos por: m m 1 m ''' ( + v ) = ( ρdmr ) + M t r r r r ρ (M 15) m m 1 m ''' ρ ( + v ) = ( ρd mr ) + M (M 16) t r r r r No caso de ρ e Dm serem consderados constantes podem-se retrar da dervada smplfcando a equação. A semelhança entre as equações apresentadas e as equações de transferênca de calor são evdentes. Em termos de concentrações molares as equações M11 e M14 podem ser escrtas como: (CX) + (CUX ) = (CD t m X X X ''' C + U = (CD m ) + N t M X ) + N ''' (M 17) (M 18) Analoga entre problemas de transferênca de massa e de calor Nesta secção analsam-se as semelhanças e analogas entre as equações de balanço de massa para uma determnada espéce químca e a equação de balanço de energa consderada para o estudo de transmssão de calor. Segudamente analsam-se alguns problemas de transferênca de massa cuja formulação conduz a equações análogas às consderadas para problemas de transmssão de calor. A analoga por vezes não é completa devdo ao movmento assocado à transferênca de massa que pode ser desprezável. O uso destas aproxmações é analsado. Transferênca de Massa 6 João Luís Toste de Azevedo

9 Analoga entre equações de transferênca de massa e de calor. A equação de transporte de massa tem uma forma semelhante à equação de transferênca de calor que, representa o balanço de energa. As equações apresentados antes para a transferênca de massa, representam o balanço de massa para uma determnada substânca químca. Este balanço pode ser expresso em função da fracção mássca ou molar ou anda em função da quantdade de matéra (em massa ou número de moles) por undade de volume. Em analoga com as fracções molares ou másscas defne-se a quantdade de energa por undade de massa como o produto do calor específco pela temperatura. Convém relembrar que a equação de transmssão de calor representa um balanço de energa sendo o transporte de energa quantfcado pela entalpa explctada em função da temperatura. O uso da temperatura na equação de transmssão de calor, prende-se com a utlzação da le de Fourer e na convenênca para defnr condções frontera. A partr da comparação efectuada, podemos assm estabelecer analogas entre a equação de calor e de balanço de uma espéce químca: D m α m ou X - cpt C ou ρ - ρcpt M ou N - q"' C - ρ O coefcente de dfusão de massa D m é equvalente ao coefcente de dfusão térmca α. A fracção mássca ou molar é equvalente à entalpa relatva. A concentração molar ou a massa específca da espéce é equvalente ao produto ρc p T representando energa por undade de volume. A taxa de geração de massa ou moles da componente é equvalente à taxa de geração nterna de calor. A concentração molar C é equvalente à massa específca. Para além dos parâmetros que são drectamente utlzados nas equações de transporte, podem-se estabelecer equvalêncas entre outros parâmetros defndos no estudo da transmssão de calor. A equvalênca entre números admensonas é referda nos próxmos pontos, sendo aqu apenas necessáro estabelecer a equvalênca com o coefcente de convecção [W/m K]. Este representa a energa transferda por undade de tempo e área e por undade de dferença de temperatura. A utlzação da dferença de temperatura entre o fludo e a superfíce para o cálculo do fluxo é consderada por a le de Fck ser defnda em relação à temperatura. Com efeto o equlíbro térmco resulta da gualdade de temperatura. Para a transferênca de massa podem-se utlzar fracções másscas ou molares pelo que é convenente defnr um coefcente sem expressar a quantdade de matéra. O coefcente de transferênca de massa é defndo como a velocdade de transferênca hm (m/s). O fluxo de matéra é obtdo do produto deste coefcente pela dferença de concentração molar da espéce C para o fluxo molar ou pela dferença da massa específca da espéce ρ =ρ*m para o fluxo mássco. Tendo em conta a analoga já estabelecda entre a quantdade de matéra por undade de volume C ou ρ e a energa por undade de volume ρc p T, pode-se então estabelecer: Transferênca de Massa 7 João Luís Toste de Azevedo

10 h m h/(ρc p ) O coefcente de transferênca de massa por convecção é equvalente ao valor do coefcente de convecção de calor dvddo por ρc p. Problemas de dfusão A dfusão de gás ou líqudos em sóldos é normalmente tratada como um problema de dfusão pura, já que a fracção ocupada pelo fludo é pequena quando comparada com a do sóldo. Na realdade o movmento do fludo no sóldo mplca a exstênca de uma velocdade méda da mstura (fludo+sóldo) que normalmente pode ser desprezável. No caso de dfusão de uma espéce gasosa noutra pode-se em alguns casos consderar que a mstura não tem movmento. Esta stuação acontece por exemplo consderando gases perfetos a temperatura e pressão unforme pelo que a concentração molar C=P/RoT também é constante e em termos molares não exste movmento. Nesta stuação verfca-se dfusão equmolar já que os fluxos molares são smétrcos. Dfusão de massa sem fontes em regme estaconáro Para problemas de dfusão em regme estaconáro defnem-se resstêncas à transferênca de massa de modo análogo às resstêncas térmcas de condução. A partr da equação de balanço de massa para a espéce sem fontes: d dx dc (D m ) = 0 (M 19) dx pode-se conclur que a varação da concentração molar é lnear e o caudal molar Q m através de placa com área A e espessura L é dado por: Q m DmA C0 C = (C L 0 CL ) = (M 0) L R M permtndo defnr a resstênca à transferênca de mass a por dfusão RM. Por um processo análogo podem-se defnr resstêncas à transferênca de massa para coordenadas clíndrcas e esfércas: R M ln( re / r ) = e R M = ( ) (M 1 a,b) πld 4πD r r m m e onde r e re representam os raos nteror e exteror da superfíce clndrca ou esférca e L representa a altura do clndro consderado. As resstêncas para a transferênca de massa podem também ser aplcadas para calcular caudas utlzando a dferença de fracções mmolares ou anda para o caso de gases perfetos a dferença entre pressões parcas como se exemplfca a segur. Q m C0 CL X0 XL 1 P0 P = = C = L (M ) R R R T R m m 0 m Transferênca de Massa 8 João Luís Toste de Azevedo

11 Dfusão de massa em regme transente As soluções estudadas para dfusão transente em placas, clndros e esferas podem ser utlzadas para transferênca de massa, aplcando-se por exemplo à caracterzação de processos de secagem ou de tratamento de materas (carburação de metas por ex.). Os parâmetros para a descrção do problema são os números admensonas de Fourrer e de Bot. Estes números admensonas são defndos para a transferênca de massa por: Dmt Lh m Fo m = e B m = (M 3 a,b) L D m onde L representa uma dmensão característca do problema. No caso de no exteror não se verfcar uma condção de convecção mas sm mposta na superfíce pode-se consderar o caso lmte de 1/B=0. A solução do problema pode ser expressa em termos de concentração molar ou fracção molar ou mássca. Os valores são apresentados de forma admensonal na segunte forma: θ θ X X = X X X X = X X 0 X X 0 X X = θ θ 0 θ θ 0 (M 4) consderando a solução separada em duas parcelas representando respectvamente a nfluênca da posção e do tempo. Para objectos que correspondem à ntersecção de duas geometras (e.g. clndro fnto como ntersecção de clndro nfnto e placa de altura gual à do clndro) a solução é obtda como o produto das soluções das geometras que permtem a formação do objecto. Para a stuação do número de Bot ser muto pequeno não exstem gradentes mportantes de concentrações no nteror e pode-se descrever o processo de transferênca de massa por um balanço global envolvendo o coefcente de transferênca de massa. Para stuações em que não se possa usar as soluções analítcas ndcadas para geometras smples, pode-se utlzar um método numérco para o cálculo da dfusão transente. Convém relembrar que a decomposção ndcada na equação M4 é uma aproxmação. A solução analítca do problema de dfusão transente em corpos fntos corresponde a um desenvolvmento em sére e a decomposção apresentada representa apenas o prmero termo. Para números de Fourer baxos pode ser necessára a consderação de mas termos da sére pelo que os valores apresentados em gráfcos não podem ser usados. Para além das soluções referdas anterormente para a dfusão transente em sóldos com uma dmensão fnta, exstem soluções referentes a problemas de dfusão não estaconára em corpos sem nfntos [1,3]. Estas soluções podem ser aplcadas para descrever o processo ncal de transferênca de massa por dfusão em corpos de pequena dmensão ou para representar a dspersão de massa undmensonal na atmosfera ou água a partr da superfíce. Transferênca de massa na presença de reacções químcas As reacções químcas podem dar-se em fase homogénea quando se realzam na presença de uma únca fase ou podem ser heterogéneas quando envolvem mas que uma fase. Nesta últma Transferênca de Massa 9 João Luís Toste de Azevedo

12 categora ncluem-se reacções gás-fluído nas quas o sóldo pode partcpar como reagente ou produto, ou apenas como catalsador (promotor) ou nbdor da reacção. No caso do sóldo não reagr, não lberta nem recebe massa do fluído enquanto se reagr altera a massa do fluído mas pode não alterar o número total de moles. A velocdade a que se dão as reacções químcas em fase gasosa ou sobre superfíces sóldas são caracterzadas por taxas de reacção que dependem em geral da temperatura e da concentração de reagentes na fase gasosa para além de outros factores. A dependênca da taxa na concentração de reagentes pode ser caracterzada pela ordem da reacção que lmtamos neste estudo aos casos de ordem 0 e 1. No caso de ordem 0 a taxa de reacção é ndependente da concentração do reagente, enquanto no caso de taxa de prmera ordem a taxa de reacção é proporconal à concentração da espéce que reage (). Vamos aqu analsar dos casos correspondentes ao caso de reacção homogénea ocorrendo no seo do meo e o caso da reacção ser promovda junto a uma superfíce sólda. Reacções químcas homogéneas No caso de reacções em fase homogénea exstem fontes de massa para as espéces que reagem que têm de ser contablzadas. No caso de se consderar uma aproxmação do tpo undmensonal e o coefcente de dfusão constante pode-se escrever a equação de balanço de massa para a espéce com fonte de massa como: d C ''' Dm + N = 0 (M 5) dx A dependênca da fonte de na concentração C pode ser de ordem 0 ou 1 para as quas se ''' ''' tem respectvamente N = k0 e N = k1c sendo o snal negatvo de se consderar que a espéce é consumdo na reacção. No caso da ordem ser 0 a solução da equação é muto smples e tem a analoga com as soluções de condução de calor com fontes nternas de calor unformes. No caso da ordem da reacção ser 1 a equação de balanço de massa pode ser escrta na forma: D d C m 1 = dx k C 0 (M 6) que é uma equação análoga à obtda na análse undmensonal de condução de calor em alhetas. A solução geral para esta equação é: C A ( ) mx mx x C e + C e = 1 onde k 1 D m m = (M 7) e as constantes C 1 e C são determnadas pelas equações fronteras específcas do caso. A solução apresentada na equação M 5 é análoga à equação de dst rbução de temperatura em alhetas. Esta equação também pode ser aplcada para a stuação de dfusão no nteror de poros com reacção químca de prmera ordem na sua superfíce. Esta stuação é equvalente ao problema de transferênca de calor numa alheta, com dfusão undmensonal com trocas na drecção transversal. Transferênca de Massa 10 João Luís Toste de Azevedo

13 Reacção químca na superfíce Quando exstem reacções químcas em superfíces a sua taxa pode ser expressa por undade de área (externa) dessa superfíce. No caso de dfusão em poros essa contrbução é consderada como uma fonte de massa na equação de balanço de massa undmensonal. De uma forma mas geral, reacção químca na superfíce representa uma equação frontera para os problemas de transferênca de massa. No caso do fludo não se encontrar em movmento na drecção paralela à superfíce onde se dá a reacção o problema é undmensonal na drecção perpendcular à superfíce. Uma stuação semelhante a esta é tratada na últma secção M4. Na maor parte das aplcações quando ocorre uma reacção químca em superfíces o fludo escoa-se paralelamente á superfíce. O movmento das espéces que reagem é bdmensonal, podendo consderar-se no entanto que o movmento da mstura se verfca apenas na drecção paralela à superfíce. Na realdade esta stuação verfca-se numa base mássca se a superfíce não reagr (caso dos catalsadores) ou numa base molar se o número de moles na reacção não varar. Nestas crcunstâncas pode-se quantfcar a transferênca de massa do escoamento para a superfíce por um coefcente de convecção de massa h m. No caso da taxa de reacção químca na parede ser de prmera ordem o fluxo de massa da espéce consumdo na parede é proporconal à sua concentração junto à parede. Normalmente a concentração é conhecda num ponto afastado da parede. A transferênca de massa do fludo até à parede pode ser contablzado por um coefcente de convecção de massa h m, devendo verfcar-se a gualdade de fluxos. N '' = k C 1 0 = h m 0 ( C C ) (M 8) A partr das expressões apresentadas para os fluxos podem-se defnr resstêncas à transferênca de massa para os dos processos: transferênca de massa por convecção e reacção químca, permtndo defnr uma expressão para a taxa de consumo de com base nas resstêncas em sére: '' C = = kgc ( 1 k1 + 1 h m ) N (M 9) No caso da taxa de reacção ser ndependente da concentração junto à superfíce ou no caso da taxa de reacção ter uma ordem dferente da untára estabelece-se uma equação análoga a M 8, não sendo possível no entanto estabelecer uma taxa global. Transferênca de massa por convecção A transferênca de massa por convecção já fo referda anterormente quando se menconou as reacções químcas em superfíces. Para estabelecer uma analoga com a transferênca de calor deve-se consderar o movmento do fludo apenas na drecção paralela à superfíce. Para consderar o movmento do fludo na drecção perpendcular à superfíce pode-se recorrer a correlações que consderam a transpração das superfíces. No entanto na presença de reacções químcas ou em problemas de evaporação o fluxo de massa na drecção Transferênca de Massa 11 João Luís Toste de Azevedo

14 perpendcular à superfíce é desprezável. Esta aproxmação pode ser verfcada para casos concretos comparando o fluxo na drecção perpendcular obtdo a partr do coefcente de convecção de massa h m com o fluxo na drecção paralela. A analoga entre o coefcente de transferênca de massa e de convecção de calor já fo apresentado na secção M.1. O coefcente de transferênca de massa caracterza uma velocdade que é equvalente ao valor de h/(ρc p ). Este parâmetro é utlzado na defnção do número de Stanton que compara a velocdade de transferênca de calor com a velocdade típca do escoamento consderado (St= h/(vρc p ).). Para a transferênca de massa pode-se defnr um número de Stanton de gual forma comparando a velocdade de transferênca de massa com a velocdade do escoamento: hm St m = (M 30) U As correlações para coefcentes de convecção de calor estudadas em transferênca de calor para escoamentos lamnares, resultaram em grande parte de soluções analítcas enquanto para escoamentos turbulentos se usaram correlações sem-emprcas expressas em termos de números admensonas. O coefcente de convecção de calor é normalmente apresentado em termos admensonas pelo número de Nusselt em função de uma dmensão característca X e da conductvdade Nu=hX/k. O número de Nusselt é expresso em função do número de Reynolds e do número de Prandtl. O número de Reynolds não envolve nenhuma grandeza de transferênca de calor pelo que não é alterado. O número de Prandtl que compara a dfusão de momento com a térmca é substtuído pelo número de Schmdt Sc = ν/d m que compara a dfusão de momento com a de massa. O número admensonal equvalente ao Nusselt pode ser faclmente defndo, tendo em atenção que Nu=St*Re*Pr, permtndo defnr o número de Sherwood: h U L ν Sh * = D = St m m *Re*Sc = * U ν m hml D m (M 31) Este número representa assm o coefcente de convecção de massa de uma forma admensonal utlzando uma escala de comprmento e o coefcente de dfusão de massa. Comparando drectamente com o número de Nusselt pode-se ver a analoga, solando a velocdade de transferênca de calor termo h/(ρcp) na sua defnção Nu= (h/(ρcp))l/α. A partr da analoga estabelecda pode-se então consderar as correlações Nu=fç(Re,Pr) para representar a transferênca de massa por: h X Sh = m = fç( Re,Sc) (M 3) D m Nos problemas com transferênca de massa por convecção pretende-se contablzar o fluxo de uma espéce na drecção perpendcular ao escoamento prncpal quer seja nteror ou exteror numa camada lmte. Para a transferênca de calor utlzou-se a le de Fourer para contablzar o fluxo de calor na parede consderando que a componente de velocdade na drecção Transferênca de Massa 1 João Luís Toste de Azevedo

15 perpendcular à parede é nula. Nos problemas de transferênca de massa como já referdo a condção do fluxo nulo junto à parede pode não ser válda, por exemplo no caso de se evaporar vapor de uma superfíce líquda. Deste modo torna -se mportante avalar esta aproxmação. A forma das correlações empírcas para transferênca de massa pode não ser totalmente gual à obtda para a transferênca de calor. Por exemplo no escoamento de vapor no nteror de tubos com uma película de líqudo na parede a dependênca do número de Reynolds apresenta um expoente de 0.83 em vez de 0.8, devdo à rugosdade formada pela película de líqudo. M3 Transferênca de massa em escoamentos não confnados O estudo de transferênca de massa toma uma mportânca partcular para o caso de escoamentos exterores, mesmo que longe de superfíces. Exstem dversas stuações reas relaconadas com a dspersão de poluentes na atmosfera ou em meo aquátco que se podem analsar a partr de soluções da equação de balanço de massa. Em mutos destes casos exste movmento do fludo quer por efetos de convecção forçada como por convecção natural. Para estes casos torna-se portanto necessáro consderar a solução de equações de balanço de quantdade de movmento que no caso de convecção natural se encontra fortemente dependente do balanço de energa caso exstam gradentes térmcos. A dspersão de poluentes na atmosfera é complcada pelo facto de se tratar de um escoamento de camada lmte e também pelo facto da atmosfera poder apresentar condções de establdade ou não. O perfl de temperatura, pressão e massa específca ao longo da altura dependem das condções clmatércas. Estes perfs são mportantes pos condconam o movmento do ar na drecção vertcal dependendo da sua massa específca. Podemos avalar as condções de establdade da atmosfera se analsarmos o que pode acontecer a uma parcela de ar que se desloque no sentdo ascendente. A varação da temperatura de uma parcela de ar em movmento pode ser estmada por uma evolução adabátca reversível, desprezando as trocas de calor com a vznhança. Se a temperatura da atmosfera varar de uma forma mas rápda que a correspondente à expansão adabátca, sgnfca que quando uma parcela de ar nca o movmento rá contnuar o seu movmento. Como exemplo uma parcela de ar em movmento ascendente dmnu a sua temperatura menos que a vznhança e assm fca com um maor volume específco contnuando o seu movmento. Nesta stuação a atmosfera encontra-se em condções nstáves, sendo estável quando a varação de temperatura ao longo da altura vara menos que a correspondente à evolução adabátca. As condções de establdade ou nstabldade da atmosfera são nfluencadas pela humdade requerendo um método de análse mas completo. Quando a establdade da atmosfera depende da humdade desgna-se por condconal enquanto que quando é ndependente da humdade desgna-se por absoluta. Transferênca de Massa 13 João Luís Toste de Azevedo

16 Escoamento ncalmente forçado Nesta secção referem-se exemplos de escoamentos não confnados a partr de fontes de quantdade de movmento tal como no caso de jactos que podem ser planos ou clíndrcos. A desgnação de jacto aplca-se a um escoamento promovdo por uma corrente forçada a partr de uma zona lmtada num meo não confnado. A fgura M1 lustra o desenvolvmento ncal de camadas de corte e a formação de um jacto plano. Na zona ncal do escoamento os gradentes de velocdade verfcam-se numa zona localzada junto à frontera por onde o fludo é almentado. O escoamento promovdo nessa zona desgna-se por camada de corte sendo caracterzado pela dferença entre a velocdade de njecção e a exteror que poderá ser nula. Os jactos são defndos a partr da dstânca na qual as camadas de corte se ntersectam crescendo a sua espessura assm como o caudal uma vez que exste arrastamento de fludo. Fgura M1 Desenvolvmento de camadas de corte e de jacto plano Como se pode observar da fgura a orgem do jacto não concde com a secção de saída do escoamento, sendo defnda pela ntersecção das lnhas que representam a espessura do jacto. A análse do desenvolvmento das camadas de corte soladas e de jactos baseam-se na análse das equações de quantdade de movmento com a aproxmação de escoamento tpo camada lmte. Esta aproxmação consdera que a escala de comprmento transversal no escoamento é muto menor que a escala axal, permtndo escrever a equação de quantdade de movmento na drecção axal como: u u 1 dp ( ) u u + v = + ν + νt (M 33) y ρ dx y y Transferênca de Massa 14 João Luís Toste de Azevedo

17 O gradente de pressão é consderado conhecdo e gual ao valor correspondente para uma dstânca y afastada da perturbação no escoamento. Nesta equação a vscosdade cnemátca é somada com o valor νt que representa o coefcente de dfusão equvalente de quantdade de movmento devdo à turbulênca. A maor parte dos escoamentos com nteresse prátco em problemas de engenhara envolve escoamento turbulento e o coefcente de dfusão de quantdade de movmento turbulento é preponderante. A análse de ordens de grandeza da equação de quantdade de movmento permte estabelecer uma relação entre a ordem de grandeza dos parâmetros envolvdos em M33: c u x u ν c T (M 34) D onde D e x são escalas de comprmento respectvamente na drecção transversal e axal. uc é a escala de velocdade máxma em cada dstânca axal. Para a camada de corte este valor é constante enquanto para o caso de jactos este valor dmnu à medda que o jacto se desenvolve [5]. Consderando a observação expermental do crescmento da dmensão transversal proporconalmente à dstânca axal desde a orgem vrtual do jacto (D α x), podese obter a ordem de grandeza da vscosdade turbulenta. A defnção e uso de um coefcente de dfusão turbulenta, permte fechar a equação de quantdade de movmento representando o efeto de flutuações de velocdade que são nterpretadas como tensões de corte (Tensões de Reynolds). O coefcente de dfusão turbulento deve-se ao movmento dos turblhões que se geram nas zonas de maores gradentes de velocdade. O seu cálculo envolve em geral um modelo de turbulênca sendo o mas smples o modelo do comprmento de mstura aplcado ao caso consderado com gradentes mportantes de velocdade axal na drecção transversal [5]: u νt = l (M 35) y A escala de comprmento característca da turbulênca é da ordem de grandeza da espessura do jacto permtndo tal como pela análse das ordens de grandeza estabelecer uma escala para a vscosdade turbulenta. Pode-se conclur que a vscosdade turbulenta depende da posção axal mas é ndependente da coordenada transversal. A solução para a dstrbução de velocdade é determnada consderando a coordenada transversal em termos admensonas η=σ (y/x) com base na observação da proporconaldade entre y e x. A solução é assm determnada com base em condções de semelhança entre os perfs. As soluções para a dstrbução de velocdade e temperatura para camadas de corte e jactos planos podem ser analsadas em [5]. Pelo maor nteresse prátco, apresenta-se a solução para o caso do jacto clíndrco com gradente axal de pressão nulo. As equações de balanço de massa e de quantdade de movmento para a drecção axal com a aproxmação de quantdade de movmento são: u 1 (rv) + = 0 r r (M 36) Transferênca de Massa 15 João Luís Toste de Azevedo

18 u u νt u u + v = r (M 37) r r r r A partr da equação M34 e da proporconaldade entre a dmensão transversal D e axal x pode-se conclur que ν T α u c x. A varação da velocdade na lnha central ao longo da dstânca axal é calculada com base no prncpo de conservação de quantdade de movmento. Com efeto se globalmente não actuam forças sobre o fludo em movmento podese consderar que a quantdade de movmento se mantém constante: K = π u rdr (M 38) 0 que permte, por uma análse de ordens de grandeza, verfcar que a velocdade na lnha central vara nversamente com a dstânca com a dmensão transversal ou com a dstânca axal, já que estas duas são proporconas. Desta análse pode então conclur-se que para o caso do jacto clíndrco a vscosdade turbulenta é constante. 1/ K ν T xu c x K(Cons tan te) (M 39) D O facto da vscosdade turbulenta para o jacto clíndrco ser constante e ndependente da coordenada axal e radal, permte obter uma solução para o perfl de velocdade em condções de semelhança na forma [5]: 1 1 γ0 3 K u η = 1 x + π 4 (M 40) onde γ 0 é uma constante empírca com o valor 15. e η= γ 0 (r/x) é a coordenada radal admensonal defnda para os perfs de semelhança. Em alternatva à solução teórca apresentada é usual correlaconar o perfl de velocdade em função da coordenada transversal por uma função exponencal na forma: r u = u c exp (M 41) b onde b é uma dmensão característca radal que aumenta com a dstânca axal como já se referu. Com base em resultados expermentas verfca-se: b = ( ) x (M41a) Tendo em consderação este valor e a equação M38, pode-se rescrever o perfl de velocdade na forma: 1 K r u = 7.46 exp 9.35 (M 4) x x em função da dstânca axal desde a orgem vrtual do jacto. Transferênca de Massa 16 João Luís Toste de Azevedo

19 Esta expressão para a dstrbução de velocdade é utlzada em modelos aproxmados para o cálculo do campo de velocdade resultante de um ou da sobreposção de dversos jactos. A partr da analoga entre o balanço de quantdade de movmento e o balanço de energa ou anda o balanço a uma espéce químca, pode-se conclur que a solução para a dstrbução de temperatura ou de concentração de uma espéce químca emtda como jacto apresenta uma forma análoga com a equação M40. Concretzando: r T (M 43) ( T ) ( ) = Tc T exp bt ( C ) ( ) = Cc C exp bm r C (M 44) O valor dos parâmetros b para estas últmas equações são superores ao valor para a quantdade de movmento, como resultado do maor valor dos coefcentes de dfusão térmca e de massa. Para o caso da dstrbução de temperatura obtém-se b T /b=1.19, podendo consderar-se o mesmo valor para a dstrbução de concentração molar. Dspersão de massa em escoamento unforme Nesta secção apresenta-se a solução para a dstrbução de concentração de uma espéce num escoamento unforme provenente de uma fonte pontual ou em lnha. Para a análse deste problema consderam-se as equações de balanço de massa com aproxmação de camada lmte num referencal clíndrco e cartesano respectvamente. A solução é obtda para a zona de semelhança, afastada da orgem da fonte, consderando que o perfl de concentrações mantém a mesma forma em termos admensonas. Para o caso de uma fonte em lnha da espéce (kg/ms ou kmol/ms) pode-se formular a equação de balanço de massa para a espéce num escoamento unforme. Nesta hpótese despreza-se o caudal njectado em relação ao caudal unforme. Consderando apenas o termo de convecção na drecção do escoamento e a dfusão na drecção prependcular podemos escrever a equação de balanço de massa como: X X u = D ef y (M 45) obtda consderando a concentração molar (C) unforme. Nesta equação ntroduzu-se um coefcente de dfusão de massa D ef effectvo que pode representar para além do coefcente de dfusão molecular o resultado da turbulênca ou outros efetos (escoamento em meo poroso). As soluções que se vão obter são obtdas utlzando um valor constante para esse parâmetro. No caso da dspersão de massa se verfcar num meo poroso a escala de comprmento de flutuações de velocdade é constante e condconada pela escala de comprmento dos poros. Para o caso de escoamentos unformes de um fludo a escala de comprmento de turbulênca é Transferênca de Massa 17 João Luís Toste de Azevedo

20 também constante, não sendo no entanto fácl de determnar. Utlzando uma análse de escalas para as dversas grandezas na equação pode-se estmar a dmensão transversal da estera (D t dmensão em y) como: D t D ef x u (M 46) O caudal (molar Q m ) da espéce deve-se manter constante a juzante da lnha de njecção ao longo da estera e pode ser calculado em cada secção por: Qm = Cu ( X X ) dy [ kmol/ms ] (M 47) sendo gual ao caudal njectado por undade de comprmento. A escala da dferença entre a fracção molar na estera e a nfnto X -X ºº pode ser estmada a partr de: X X Q m CuD t C Q D m ef ux (M 48) Com base na ordem de grandeza da fracção molar e na dmensão transversal da estera D t pode-se propor uma solução de semelhança na forma: Q X X = m θ( η) com C Def ux u η = y (M 49) Def x A função θ é determnada da substtução desta solução na equação de balanço de massa: θ + ηθ ' + θ " = 0 (M 50) com as condções frontera θ 0 com η e θ =0 para η=0. A resolução da equação M50 em conjunto com a condção de conservação do caudal θd η = permte determnar o resultado: 1 exp θ = ( η 4) π e substtundo na equação M49 permte defnr a dstrbução de fracção molar: ( y u 4D x) (M 51) Q exp X X = m ef (M 5) C D uxπ ef O problema de dspersão de massa a partr de uma fonte pontual pode ser caracterzado de uma forma equvalente utlzando a equação para coordenadas clíndrcas: X u D = r ef X (r r r ) (M 53) A escala radal tem a mesma ordem de grandeza que para o caso plano. A equação de conservação do caudal para o caso clíndrco escreve-se como: Transferênca de Massa 18 João Luís Toste de Azevedo

21 Qm = πcu 0 ( X X ) rdr [ kmol/s] permtndo determnar a solução como: (M 54) Qm X X = θ( η) com CD ef x sendo agora a equação para θ: u η = r (M 55) D ef x ' " θ + ( η / + 1/ η) θ + θ = 0 (M 56) com as mesmas equações frontera. A condção de conservação é agora π θη dη = 1. O resultado para a dstrbução da fracção molar resultante é: ( r u 4D x) Qm exp X X = 4πCDef x ef (M 57) A solução expressa nesta equação permte caracterzar a dstrbução de massa a partr de fontes pontuas de massa. Quando exstam dversas fontes de massa a fracção de massa pode ser obtda adconando as contrbuções das dversas fontes. Esta expressão pode ser usada para calcular as fracções molares de uma espéce químca em torno da lnha central do escoamento que pode ser deflectdo. M4 Solução de problemas com transferênca de calor e massa. Em stuações em que ocorra smultaneamente transferênca de calor e massa é mportante comparar os dos processos. A comparação entre os coefcentes de dfusão térmca e de massa é efectuada pelo número admensonal de Lews Le = α/d m = Sc/Pr que compara dfusão de calor com massa. Este número admensonal é para os gases da ordem de grandeza da undade, permtndo consderar uma analoga entre os problemas de transmssão de calor e de massa. Nesta secção refere-se o problema de evaporação de um líqudo e apresenta-se uma ntrodução a problemas de convecção natural envolvendo gradentes de temperatura e de composção químca. Problema de evaporação Consderemos o problema da evaporação de um líqudo contdo num recpente e a sua dfusão ao longo de uma altura L para uma zona onde a fracção molar do vapor se mantém constante (C vl ). A solução para este problema pode ser consderada undmensonal de acordo com o referencal ndcado na fgura com orgem na superfíce lvre do líqudo. Vamos consderar a solução do problema de transferênca de calor e de massa ndependentemente e no fnal analsar qual a lgação entre as duas soluções. O lqudo evapora-se na superfíce do líqudo gerando assm vapor (V) que se dfunde para o topo do reservatóro através do gás (G) que ocupa a coluna. Consdera-se que a superfíce lvre do líqudo não vara de posção e que a fracção de vapor junto a essa superfíce (x=0) e no topo da coluna (x=l) são constantes. Para além da dfusão exste também convecção ao Transferênca de Massa 19 João Luís Toste de Azevedo

22 longo da coluna resultante do caudal evaporado. Como não exstem fontes de vapor ao longo da alura da coluna o fluxo de vapor é constante e gual ao fluxo total de vapor evaporado. N dx = NX CD V V VG N (M 58) dx V = que também pode ser rescrto como: ( dx dx ) V 1 X V N = CD VG = C O perfl da fracção molar de vapor tem então a forma: ( 1 XV ) = C1x C 1 (M 59) ln + (M 60) sendo C 1 e C calculados utlzando as equações frontera: X V =X V0 para x=0 e X V =X VL para x=l conduzndo a: C 1 XVL = ln ( 1 ) e C1 ln L 1 X = (M 61) V0 X V0 permtndo obter a dstrbução da fracção mássca como: 1 X 1 X V V0 1 X = 1 X VL V0 x L (M 6) em função das fracções molares junto à superfíce do líqudo e no topo da coluna. Tendo em atenção o valor da constante C 1 =N/ΧD VG podemos também escrever a fracção molar em função do caudal evaporado como: X V ( 1 X ) exp( Nx / CD ) = 1 (M 63) V0 VG O fluxo mássco evaporado pode ser calculado a partr desta equação para x=l em função das fracções molares em x=0 e x=l ou drectamente do balanço de massa: dx = V 1 CD = = VG 1 X N CD VL VG CD VGC1 ln (M 64) dx 1 X V L 1 X V0 O argumento do logarítmo pode ser rescrto como 1+B com B=(X V0 -X VL )/(1-X V0 ) que representa uma grandeza ( drvng force ) responsável pela massa evaporada. A solução do problema em termos molares é exacta se consderarmos a pressão e temperatura unformes ao longo da altura da coluna e a mstura de gas e vapor como gas perfeto. Nessas condções a massa específca vara ao longo da altura, sendo no entanto razoável consderá-la como constante quando a fracção molar do vapor é pequena. DVG 1 m VL G = ρ ln (M 65) L 1 mv0 x C v =C vl C v =C vo Fgura M Esquema de problema de evaporação em coluna Transferênca de Massa 0 João Luís Toste de Azevedo

23 Quando se consderam também varações na temperatura ambas as bases molar e mássca permtem obter soluções aproxmadas consderando as propredades constantes. A fracção molar de vapor junto à superfíce do líqudo pode ser determnada pelas condções de saturação. A evaporação do líqudo requer que se forneça energa ao líqudo o que se pode verfcar através da base e lados do reservatóro ou pela superfíce do líqudo. Neste caso cram-se gradentes de temperatura ao longo da coluna que se analsam de seguda para o caso de todo o calor necessáro à evaporação ser fornecdo através da superfíce lvre do líqudo. O balanço de energa para tratar este problema consdera uma stuação undmensonal em regme estaconáro. Neste caso a equação dferencal apresenta apenas os termos de convecção e dfusão para a drecção vertcal acma do líqudo. Consdera-se as propredades constantes como aproxmação e uma base mássca por ser mas usual o seu uso em transmssão de calor. Na convecção a energa transportada é assocada apenas ao vapor uma vez que não exste movmento do gas que consttu o meo (normalmente ar). Deste modo va consderar-se para o transporte convectvo nv c pv +n G c pg = G c pv. A condutvdade k resulta da méda das duas espéces cuja concentração vara ao longo de x. Não vamos detalhar este cálculo, consderando apenas uma conductvdade k unforme em todo o domíno. Com estas hpóteses a equação de balanço de energa resulta em: dt d dt Gc pv = k (M 66) dx dx dx Esta equação pode também ser ntegrada consderando como condções frontera a temperatura para x=0 e x=l permtndo obter: T T0 T T L 0 exp = exp ( GcpVx k) 1 ( Gc L k) 1 pv (M 67) Como no caso de transferênca de massa pretende-se exprmr o fluxo mássco evaporado em função das temperaturas em x=0 e L e de outros parâmetros. No caso do calor necessáro à evaporação ser totalmente fornecdo através da camada de gás e vapor acma do líqudo, o fluxo de calor para o líqudo Q0 é gual ao necessáro para vaporzar o líqudo -Q0=Ghfg. dt Q0 = k = Gh fg dx x = 0 Integrando a equação de balanço de energa uma vez podemos obter: dt Gc pvt k = cons tan te = Gc pvt0 + Q0 dx (M 68) (M 69) de onde se pode obter: Gc pv dt (T T ) Q 0 0 = dx k (M 70) Transferênca de Massa 1 João Luís Toste de Azevedo

24 que ntegrando na forma 1 Gc pv ln conduz a: [ Gc (T T ) Q ] pv L L x 0 0 = (M 71) 0 k Gc pvl Gc pv(tl T0) Q0 = ln k Q 0 0 Substtundo nesta equação o fluxo de calor para a superfíce permte obter: (M 7) k c pv(tl T0 ) G = ln 1 + (M 73) c pvl hfg sendo o argumento do logartmo na forma (1+B). Nesta expressão pode-se substtur o conjunto k/cpv por ρα sendo estas as propredades da mstura se consderarmos o transporte convectvo com o calor específco da mstura. A expressão obtda é muto semelhante ao resultado obtdo da análse de transferênca de massa com a forma: ρd = VG m + V0 m G ln 1 VL (M 74) L 1 mv0 Em ambas as equações o fluxo mássco é determnado por drvng forces referentes ao processo de transferênca de masa e de calor. Elmnando o fluxo mássco entre as duas expressões obtêm-se uma equação relaconando os dos parâmetros B através de: k mv0 mvl cpv(tl T0) c pvρ D VG m = + (M 75) V0 h fg sendo o expoente um número admensonal equvalente ao número de Lews que compara a transferênca de calor com a transferênca de massa. Para gases o número de Lews é de ordem de grandeza da undade donde as drvng forces têm valores equvalentes. A equação acma permte relaconar a fracção mássca de vapor na superfíce do líqudo com a temperatura do líqudo. No caso de se usar o fluxo em termos molares podemos também escrever uma equação semelhante à anteror com o mesmo expoente. Para além das equações apresentadas a fracção mássca ou molar relacona-se com a temperatura do líqudo através da curva de saturação do líqudo. A solução das duas equações pode ser representada esquematcamente num gráfco representando a fracção molar ou mássca em função da temperatura. Transferênca de Massa João Luís Toste de Azevedo

25 m V0 ou X V0 1 T L Curva de mudança de fase T L =T 0 Temperatura de Ebulção X VL T 0 Fgura M3 Solução gráfca da equação M75 e ntersecção com a curva de mudança de fase. A partr desta fgura é possível analsar casos lmtes em que o processo é controlado prncpalmente por transferênca de massa ou de calor. Para o caso da temperatura T L ser maor que a temperatura de ebulção, a temperatura do líqudo tende para a temperatura de ebulção e a fracção molar ou mássca fca próxma da undade. Neste caso a expressão para a transferênca de massa fca ndefnda e é mas convenente utlzar a expressão da transferênca de calor. No caso da temperatura T L ser próxma de T 0 as varações das fracções molar ou mássca também são baxas. Para este caso podemos calcular o valor do caudal evaporado da transferênca de massa usando m V0 ou X V0 gual aos valores de saturação para a temperatura T L. O problema apresentado para a evaporação em coluna pode também ser formulado e apresentado para o caso de evaporação de gotas. Neste caso o calor para promover a vaporzação provem do gás sendo também a taxa de evaporação expressa em função de parâmetros de transferênca de calor e de massa. Para este caso a taxa de evaporação é calculada respectvamente por: ρd = VG m + V0 m G ln 1 V (M 76) r0 1 m V0 k c pv(t T0 ) G = ln 1+ (M 77) c pvr0 hfg em função do rao da gota e das propredades numa posção afastada das gotas. Para o caso das gotas o cálculo do tempo de evaporação pode ser realzado ntegrando este fluxo em função do rao da gota permtndo calcular o tempo de vaporzação respectvamente por: Transferênca de Massa 3 João Luís Toste de Azevedo