SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ACOPLADAS PELA TÉCNICA DE TRANSFORMADA INTEGRAL E COMPUTAÇÃO SIMBÓLICA. Francisco Edmundo de Andrade

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1 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERECIAIS ACOPLADAS PELA TÉCICA DE TRASFORMADA ITEGRAL E COMPUTAÇÃO SIMBÓLICA Francsco Edmundo de Andrade DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À COORDEAÇÃO DO CURSO DE PÓS- GRADUAÇÃO EM CIÊCIA DA COMPUTAÇÃO, COMO REQUISITO PARCIAL PARA A OBTEÇÃO DO GRAU DE MESTRE PELA UIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ Fortaleza - CE, 996

2 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERECIAIS ACOPLADAS PELA TÉCICA DE TRASFORMADA ITEGRAL E COMPUTAÇÃO SIMBÓLICA Francsco Edmundo de Andrade Dssertação apresentada ao curso de pós-graduação em Cênca da Computação da Unversdade Federal do Ceará, como parte dos requstos para a obtenção do grau de Mestre em Cênca da Computação. Aprovada em 6 de dezembro de 996.

3 AGRADECIMETOS a) Ao Professor Júlo Wlson Rbero, por sua objetvdade e companhersmo sempre presentes na transmssão cogntva e por seu empenho na orentação deste trabalho; b) Aos Professores Mkhal D. Mkhalov, da Techncal Unversty (Sofa, Bulgára), e Renato M. Cotta (COPPE-UFRJ), por suas valosas contrbuções acadêmcas; c) Aos Professores do Mestrado em Cêncas da Computação, Laboratóro de Intelgênca Artfcal (LIA), Laboratóro de Métodos umércos (LaM) e Departamentos de Computação, Físca e Matemátca, pelo ncentvo e apoo prestados à realzação deste trabalho; d) A João B. Furlan (aluno de Doutorado/Físca), Francsco Heron e Leonardo Abreu (bolsstas de IC), por suas nestmáves contrbuções; e) À FUCAP, pela concessão de mnha bolsa de Mestrado; f) Ao CPq / BRITISH COUCIL, pela moderna nfra-estrutura computaconal dsponblzada e apoo bblográfco conceddos; g) À mnha esposa Elene, por sua pacênca e motvação nspradoras; h) Ao Crador Unversal, pela vda, saúde, entendmento...

4 SUMÁRIO. Introdução.... Revsão Bblográfca Técnca de Transformada Integral Computação Smbólca...7. Formalsmos.... Técnca de Transformada Integral..... Solução Clássca da Equação Dferencal Parcal Parabólca..... Solução Geral do Sstema de EDPs Parabólcas Acopladas Procedmento Adaptatvo.... Algortmo Matemátco GITT para Solução de Problemas de Dfusão Aplcação a um Problema de Transferênca Smultânea de Calor e Massa Resultados e Dscussão Conclusões e Sugestões... 6 Apêndce A Implementação Smbólca do Algortmo Matemátco GITT... 6 Apêndce B Exemplos de Utlzação do Package GITT usando Mathematca... 7 REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 77

5 LISTA DE FIGURAS Pág.. Lstagem dos argumentos de entrada para o algortmo matemátco GITT Prmero passo do algortmo matemátco GITT Passos a 5 do algortmo matemátco GITT Passos 6 e 7 do algortmo matemátco GITT Esquema de secagem de um meo caplar poroso sotrópco submetdo a condções de contorno de segundo tpo em X=0 e prmero tpo em X= Dstrbuções admensonas de temperatura, θ (X,τ), durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Lu=0,4; Pn=0,6; ε=0, e Ko=5, Dstrbuções admensonas de umdade, θ (X,τ), durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Lu=0,4; Pn=0,6; ε=0, e Ko=5, Dstrbuções admensonas de temperatura durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, varando-se Ko e adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Lu=0,4; Pn=0,6 e ε=0, Dstrbuções admensonas de umdade durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, varando-se Ko e adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Lu=0,4; Pn=0,6 e ε=0, Dstrbuções admensonas de temperatura durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, varando-se Lu e adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Pn=0,6; ε=0, e Ko=5, Dstrbuções admensonas de umdade durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, varando-se Lu e adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Pn=0,6; ε=0, e Ko=5, Dstrbuções admensonas de temperatura durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, varando-se Pn e adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Lu=0,4; ε=0, e Ko=5, Dstrbuções admensonas de umdade durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, varando-se Pn e adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Lu=0,4; ε=0, e Ko=5, Dstrbuções admensonas de temperatura durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, varando-se ε e adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Lu=0,4; Pn=0,6 e Ko=5, Dstrbuções admensonas de umdade durante o processo de secagem, obtdas para o problema undmensonal, varando-se ε e adotando-se Tol=0-5 ; =M=0; Lu=0,4; Pn=0,6 e Ko=5,

6 LISTA DE TABELAS Pág. 4. Comportamento da convergênca numérca e resultados de referênca para as dstrbuções admensonas de temperatura (τ=0,0; 0,04 e,0), adotando-se Tol=0-5 ; Lu=0,4; Pn=0,6; ε=0, e Ko=5,0. A coordenada admensonal τ representa o tempo físco do processo Comportamento da convergênca numérca e resultados de referênca para as dstrbuções admensonas de umdade (τ=0,0; 0,04 e,0), adotando-se Tol=0-5 ; Lu=0,4; Pn=0,6; ε=0, e Ko=5,0. A coordenada admensonal τ representa o tempo físco do processo... 50

7 OMECLATURA A (t) Coefcente da sére de expansão, defndo na equação (.). B k Operador lnear, defndo nas equações (.4.,j). K(x) Coefcente dfusvo, defndo na equação (..a). K k (x) Coefcentes dfusvos, defndo nas equações (.4.g,h). Ko úmero de Kossovtch, defndo na equação (3..a). L k Operadores lneares, defndo nas equações (.4.g,h). Lu úmero de Lukov, defndo na equação (3..b). M Ordem de truncamento. Ordem de truncamento. j orma, defnda na equação (.6). k ormas, defndas nas equações (.7.a,b). P(x,t) Termo fonte ou sumdouro, defndo na equação (..a). P k (x,t,t (x,t),t (x,t)) Termos fonte ou sumdouro, defndo nas equações (.4.a,b). Pn úmero de Posnov, defndo na equação (3..b). T(x,t) Potencal, defndo na equação (..a).

8 T k (x,t) Potencas, defndos nas equações (.4.a,b). T ( t) Potencal transformado, defndo na equação (.7.a). T k ( t) Potencas transformados, defndo nas equações (.6.a,b). X Coordenada espacal admensonalzada, defnda na equação (3..a). c Coefcente defndo na equação (3.5.). c Coefcente defndo na equação (3.5.j). c 3 Coefcente defndo nas equações (3.6.c,d). c 4 Coefcente defndo nas equações (3.6.c,d). c 5 Coefcentes, defndo na equação (4..j). d(x) Termo convectvo, defndo na equação (..a). d k (x) Termos convectvos, defndo nas equações (.4.g,h). f(x) Dstrbução ncal do potencal, defndo na equação (..b). f k (x) Dstrbução ncal dos potencas, defndo nas equações (.4.c,d). f Valor ncal do potencal transformado, defndo na equação (..b). f k Valor ncal dos potencas transformados, defndo nas equações (.8.c,d). g ( t ) Termo fonte transformado, defndo na equação (.0.b). g ( t, T ( x, t), T ( x, t)) Termos fonte transformados, defndo nas equações (.8.e,f). k

9 g * Termo fonte transformado, defndo nas equações (.9.e). g * Termo fonte transformado, defndo nas equações (.9.f). t Coordenada temporal, defnda na equação (..a). w(x) Coefcente capactvo, defndo na equação (..a). w k (x) Coefcentes capactvos, defndo na equação (.4.a,b). x Sstema de coordenadas espacas, defndo na equação (..a).

10 SÍMBOLOS GREGOS α(x) Coefcente da condção de contorno, defndo na equação (..c). α k (x) Coefcentes da condção de contorno, defndo nas equações (.4.,j). β(x) Coefcente da condção de contorno, defndo na equação (..c). β k (x) Coefcentes da condção de contorno, defndo nas equações (.4.,j). ε Crtéro de mudança de fase do líqudo no nteror do meo poroso, defndo na equação (3..a). θ (X,τ) Dstrbução de temperatura admensonal, defndo na equação (3..a). θ P (X) Dstrbução de temperatura admensonal, para o estado estaconáro, defndo nas equações (3..a,b). θ H (X,τ) Dstrbução de temperatura admensonal, para o problema homogêneo assocado, defndo na equação (3.3.a). θ ( τ ) Dstrbução de temperatura admensonal transformada, defndo na equação (3.0.a). θ (X,τ) Dstrbução de teor de umdade admensonal, defndo na equação (3..a). θ P (X) Dstrbução de teor de umdade admensonal, para o estado estaconáro, defndo nas equações (3..a,b). θ H (X,τ) Dstrbução de teor de umdade admensonal, para o problema homogêneo assocado, defndo na equação (3.3.b).

11 θ ( τ ) Dstrbução de umdade admensonal transformada, defndo na equação (3..a). µ I-ésmo autovalor do problema auxlar, defndo na equação (.3.a). µ k I-ésmo autovalor do problema auxlar, defndo nas equações (.5.a,b). µ I-ésmo autovalor do problema auxlar, defndo na equação (3.6.a). µ I-ésmo autovalor do problema auxlar, defndo na equação (3.7.a). τ Tempo admensonal (número de Fourer), defndo na equação (3..a). φ(x,t) Termo fonte da equação da condção de contorno, defndo na equação (..c). φ k (x,t,t (x,t),t (x,t)) nas equações (.4.e,f). Termos fonte das equações da condção de contorno, defndo ψ(µ,x) I-ésma autofunção do problema auxlar, defnda na equação (.3.a). ψ k (µ k,x) I-ésma autofunção do problema auxlar, defnda nas equações (.5.a,b). ψ (µ,x) I-ésma autofunção do problema auxlar, defnda na equação (3.6.a). ψ (µ,x) I-ésma autofunção do problema auxlar, defnda na equação (3.7.a).

12 SUPERESCRITOS Indcador de varável ou valor transformado. SUBESCRITOS,j Ordem das autoquantdades ou índce de lnha e coluna, respectvamente. k=, Relaconado com temperatura e umdade, respectvamente. P Solução de regme permanente (estado estaconáro). H Relatvo ao problema homogêneo.

13 RESUMO O uso conjugado de métodos híbrdos analítco-numércos e computação smbólca permte o desenvolvmento de novas técncas para o tratamento de sstemas de equações dferencas parcas acopladas. As equações de Lukov para transferênca smultânea de calor e massa em meos caplares porosos são analtcamente tratadas através do uso da técnca de transformada ntegral generalzada (GITT) e recursos de computação smbólca. este tratamento de caráter genérco evta-se a escolha de problemas auxlares assocados acoplados, elmnando-se a eventual ocorrênca de autovalores complexos. Isto é consegudo adotando-se um par de problemas auxlares desacoplados, do tpo Sturm- Louvlle, para a temperatura e umdade. Para efeto de aplcação desta técnca, buscou-se na lteratura uma varante do problema de Lukov onde as condções de contorno são do prmero e segundo tpos. Determnam-se as dstrbuções de temperatura e umdade no nteror do meo poroso, as quas são obtdas segundo os formalsmos nerentes à GITT na forma de séres de expansão de autofunções. Para efeto de mplementação computaconal, foram obtdas duas soluções numércas, sendo a prmera com o uso de Fortran e IMSL, e a segunda, va o Mathematca. estas, utlza-se precsão prescrta e trunca-se, a uma ordem fnta, o sstema dferencal ordnáro transformado, o qual é resolvdo numercamente através do uso de subrotnas bem estabelecdas de bblotecas matemátcas dsponíves. Os resultados obtdos nas duas soluções são comparados e constata-se que os mesmos são numercamente dêntcos. Para valdar estes resultados, desenvolve-se através dos formalsmos da GITT a solução exata do problema utlzando computação smbólca. Os resultados são crtcamente comparados aos anterores, valdando-os. Obtém-se um conjunto de resultados de referênca e avala-se a nfluênca de parâmetros termofíscos no comportamento do processo de secagem.

14 ABSTRACT The combned use of hybrd analytcal numercal methods and symbolc computaton creates new technques to solve systems of coupled partal dfferental equatons. The Lukov s equatons for smultaneous heat and mass transfer n capllary porous bodes are analytcally handled through applcaton of the generalzed ntegral transform technque (GITT) and the use of symbolc computaton. Coupled auxlary problems, whch eventually could nvolve the occurrence of complex egenvalues, are completely avoded and, alternatvely, two uncoupled egenvalue problems for temperature and mosture are chosen, whch are of the conventonal Sturm-Louvlle type. To show an applcaton, a Lukov problem wth boundary condtons of frst and second knd was chosen. Followng the GITT formalsms, the temperature and mosture dstrbutons are represented by egenfuncton seres. Two numercal solutons are computatonally obtaned, the frst one uses Fortran and IMSL, the other uses Mathematca. Prescrbed precson s adopted to truncate the denumerable transformed ordnary system whch s numercally solved through wdely avalable scentfc subroutne lbrares. The results obtaned are compared and t s observed that they are numercally dentcal. An exact soluton to valdate the prevous results s obtaned by usng GITT and symbolc computaton. It s observed that the new results have the same numercal values of the other solutons. A set of benchmark results s generated and fnally the nfluence of the thermophyscal parameters on the behavor of the dryng process s analyzed.

15 CAPÍTULO Introdução Um dos grandes desafos para a smulação computaconal dreconada ao desenvolvmento centífco-tecnológco consste na descoberta de novos procedmentos, objetvando mnmzar determnadas restrções apontadas na lteratura contemporânea: longo tempo de processamento, precsão lmtada, convergênca lenta e enorme esforço despenddo na elaboração e expansão de algortmos numércos [0]. O desenvolvmento da engenhara aeroespacal, de novos materas supercondutores, da tecnologa de fbra ótca e da prevsão meteorológca são típcos desafos atuas. Para smular os processos físcos envolvdos, uma extensa cadea deve ser percorrda, destacando-se: o estudo e refnamento das les governantes, modelos matemátcos assocados e desenvolvmento de novas técncas computaconas para tratamento analítco e numérco. O aprmoramento de metodologas para solução de sstemas de equações dferencas acopladas certamente contrburá para o avanço tecnológco dos países em desenvolvmento, permtndo a obtenção de materas e produtos de alta qualdade, a custos reduzdos. o níco da década de sessenta, durante o período da corrda espacal, vsando mnmzar o esforço empregado na elaboração de cálculos, a Rússa e outros países do Leste Europeu proporconaram um grande avanço no desenvolvmento e aplcação de métodos analítcos (séres e transformadas). Concomtantemente, Estados Undos e Europa concentravam-se no desenvolvmento de métodos denomnados puramente numércos (dferenças fntas e elementos fntos). Posterormente, os cálculos desenvolvdos no ocdente requstavam um crescente esforço computaconal, enquanto que as metodologas do Leste Europeu concentravam bastante esforço em extensas manpulações analítcas. Isto permaneceu até meados da década de setenta [0].

16 Anda nessa década, pesqusadores dos blocos supractados se unram, buscando encontrar novas alternatvas para tratamento e solução de equações dferencas, através de metodologas sstemátcas, ctando-se como resultado deste esforço a recém-avançada técnca de transformada ntegral generalzada (GITT) [03,04]. Trata-se de um método híbrdo analítco-numérco que se destna a produzr códgos computaconas mas efcentes que os obtdos a partr dos métodos puramente numércos. Uma das razões é a característca de se preservar no códgo fonte nformações analítcas explíctas do problema físco. A evolução dos sstemas de computação smbólca vablzam anda mas o nvestmento em métodos analítco-numércos. A utlzação do Mathematca, um software de últma geração que reúne recursos de computação smbólca, possblta o desenvolvmento de programas com manpulação automátca de expressões analítcas, segundo conjuntos de regras defndas à pror pelo usuáro. Incorpora também uma poderosa lnguagem smbólca para o desenvolvmento de programas avançados, ntegrando dferentes paradgmas de programação, tas como: programação procedural, funconal, lógca e orentada a objetos. Estes recursos favorecem o desenvolvmento de aplcações em ntelgênca artfcal tas como: prova de teoremas, robótca, reconhecmento de padrões e sstemas especalstas. Entre númeras extensões da técnca de transformada ntegral, aplcada a problemas de dfusão, destacam-se o tratamento e solução do problema parabólco de secagem proposto por Lukov [05,06] que, devdo aos fortes acoplamentos exstentes em suas versões lnear e não lnear, fo apontado na lteratura até recentemente como não atratvo do ponto-de-vsta analítco e numérco, segundo as técncas de solução empregadas no ocdente [07,08,09]. O presente trabalho concentra-se no desenvolvmento de um algortmo matemátco que utlza a técnca de transformada ntegral e recursos de computação smbólca para tratamento e solução de um problema parabólco generalzado fortemente acoplado. Para aplcação numérca, adota-se uma varante do problema de Lukov [0], representado por

17 3 um par de equações dferencas parcas acopladas, um par de equações de valor ncal e um conjunto de condções de contorno não homogêneas. Determnam-se as dstrbuções de temperatura e teor de umdade em função das coordenadas espacas e temporal, que representam a solução do ctado problema. O modelo proposto é resolvdo por três maneras dstntas. A prmera consste na aplcação da GITT, para obter uma solução numérca aproxmada, com uma tolerânca de erro prescrta, através de algortmos codfcados em Fortran, com chamadas à rotna DIVPAG do pacote IMSL Math/Lbrary, cuja função é fornecer uma solução numérca aproxmada para o sstema de EDOs transformado. Além dsso, fo construído um algortmo para controle automátco do erro global e redução do tempo de processamento, utlzando o método adaptatvo sugerdo na lteratura [04]. A segunda decorre da aplcação automatzada da GITT, fazendo-se uso de recursos de computação smbólca em conjunto com chamadas à função embutda DSolve do Mathematca, a qual fornece uma solução numérca aproxmada para o sstema de EDOs transformado. A tercera, que produz a solução analítca completa do problema, consste na aplcação da GITT seguda da solução analítca do sstema transformado de EDOs, o que é consegudo com o auxílo dos recursos de computação smbólca do Mathematca. As soluções obtdas para os três casos são comparadas. O problema de Lukov é de fundamental mportânca para a análse e o controle do processo de secagem de almentos, e para o processamento ndustral de produtos metalúrgcos, cerâmcos, farmacêutcos, etc. [07,08,0,,] A GITT permte transformar analtcamente sstemas de EDPs parabólcas em sstemas de equações dferencas ordnáras (EDOs), o que reduz a dependênca das varáves ndependentes a uma únca varável. Em outras palavras, a GITT é capaz de gerar um problema bem mas smples, que pode ser tratado por ferramentas analítcas ou numércas, reduzndo sgnfcatvamente o esforço computaconal para obtenção de sua solução.

18 4 Fnalmente, com base nos resultados numércos obtdos, é feta uma análse geral do processo de secagem com apresentação gráfca dos perfs de dstrbução de temperatura e teor de umdade no nteror do meo caplar poroso. Apresentam-se Tabelas para explctar as excelentes taxas de convergênca das séres de expansão das autofunções.. Revsão Bblográfca.. Técnca de Transformada Integral Vsando resolver equações dferencas parcas (EDPs) a prncípo não tratáves pela teora clássca de separação de varáves, Özsk e Murray propuseram em 974 [0] uma nova abordagem que elmnava a necessdade do problema ser separável à pror, nascam assm os prncípos báscos da técnca de transformada ntegral. Em 984, Mkhalov e Özsk publcaram o prmero lvro generalzando os formalsmos da técnca de transformada ntegral clássca (CITT) [03], segundo um tratamento unfcado de números problemas assocados à dfusão de calor e massa, dstrbuídos em sete classes. Durante a década de otenta, houve uma sére de extensões da técnca para aplcação a dversos problemas encontrados na lteratura, que eram anterormente resolvdos por métodos denomnados puramente numércos como dferenças fntas, elementos fntos e volumes fntos [,,3,4,5,6]. Resolvendo-se tas problemas por transformada ntegral, através de metodologa sstemátca e controle prescrto de erro, observou-se o aparecmento de uma sére de vantagens [04,7]: a) Redução do tempo de processamento; b) Aceleração na taxa de convergênca numérca; c) Inexstênca de malhas;

19 5 d) Obtenção de soluções benchmark. Em 993, Cotta publcou o segundo lvro sobre a técnca de transformada ntegral [04], apresentando uma revsão dos formalsmos clásscos, estendendo-a para a solução de problemas não lneares, e propondo mecansmos para melhorar a efcênca da solução numérca. A partr de então, convenconou-se chamar de Generalzed Integral Transform Technque (GITT) à conjunção entre a CITT e suas mas recentes extensões. a presente década, a computação smbólca vem sendo utlzada como ferramenta no desenvolvmento dos formalsmos analítcos de GITT [0,8]. Com sso, a exaustva manpulação de formulações analítcas passou a ser tarefa do computador, amplando-se cada vez mas as fronteras de GITT para o tratamento analítco, solução numérca e vsualzação gráfca de sstemas de EDPs não lneares acopladas. Genercamente, segundo os formalsmos de GITT, para solução de um problema, utlza-se um par transformada-nversa e um problema auxlar assocado que ncorpora característcas analítcas dos operadores do problema orgnal. A elmnação de varáves ndependentes, por meo de operadores de ntegração aproprados, permte a obtenção de um sstema de equações dferencas ordnáras, denomnado sstema transformado, que é truncado para ser resolvdo analítca ou numercamente. A ordem de truncamento é seleconada de acordo com a precsão prescrta desejada. Se o sstema transformado apresentar solução analítca, esta pode ser obtda automatcamente através de sstemas de computação smbólca; caso contráro, uma solução numérca deve ser obtda através de algortmos computaconas dsponíves em dversas bblotecas de subrotnas centífcas, tas como o IMSL [9]. As aplcações de GITT em cênca e tecnologa podem ser resumdamente agrupadas da segunte forma: a) Problemas que apresentem coefcentes varáves em suas equações governantes, onde se destacam as publcações de Mkhalov [0], Özsk [], Cotta [,], Leroz [] e

20 6 Aparecdo []. Tas problemas são fundamentas para análse de aletas com dsspação tempo-dependente e escoamento com desenvolvmento smultâneo em canas. b) Problemas que apresentem coefcentes varáves em suas condções de contorno, onde se destacam as publcações de Özsk [0,4,3], Murray [0], Yener [3], Cotta [3,4,4] e Santos [4,4]. Tas problemas são fundamentas para análse de condução de calor com número de Bot tempo-dependente e convecção nterna em dutos aletados externamente. c) Problemas que apresentem contornos varáves, onde se destacam as publcações de Özsk [5,5,6], Guçer [5], Lete [6], Verguese [6], Cotta [5,6,7,8,9,30], Aparecdo [5,6,8,9,30] e Dnz [8]. Tas problemas são fundamentas para análse de mudança de fase e oxdação em fronteras móves e controle do escoamento e transferênca de calor em dutos rregulares relaconados a projetos de trocadores de calor compactos. d) Problemas cujo tratamento envolva problemas auxlares de dfícl solução. Tas problemas são classfcados de acordo com a natureza dos problemas auxlares assocados: problemas de autovalor acoplados: Mkhalov [03,08,3], Özsk [03,3], Shshedjev [3], Rossen [33], Hayakawa [33], Cotta [08,,3], Rbero [08,], Lobo [34], Guedes [3] e Scofano eto []. problemas de Sturm-Louvlle que apresentem varável de uma transformada de Laplace: Cotta [35] e Özsk [35]. problemas de Sturm-Louvlle que apresentem funções complexas: Cotta [36,37,38], Özsk [36], Kakaç [38] e L [38]. problemas de Sturm-Louvlle não clásscos: Bayaztoglu [39] e Özsk [39].

21 7 sstemas de Sturm-Louvlle não separáves: Aparecdo e Cotta [40]. Tas problemas são aplcados na análse de trocadores btubulares, processo de secagem, convecção nterna forçada peródca e transente, transferênca de calor em escoamentos com efetos de condução axal e convecção nterna em dutos retangulares. e) Problemas não lneares caracterzados pela presença de equações cujos termos fonte e/ou condções de contorno dependem do potencal a ser obtdo (Cotta [4,4,43] e Serfaty [4,43]). Tas problemas são aplcados na análse de condução de calor com condutvdade térmca varável, condções de contorno com troca radante, processo de secagem não lnear, equações de camada lmte e aver-stokes... Computação Smbólca Hstorcamente, a computação smbólca surgu da necessdade de se atrbur à máquna a cansatva tarefa de manpular algebrcamente extensas expressões matemátcas, a fm de permtr aos nteressados o estudo e análse de modelos cada vez mas complexos. A máquna analítca, dealzada por Charles Babbage em 8, devera processar com rapdez dados numércos e até smbólcos, desde que adequadamente representados. Entretanto, fo necessáro pouco mas de um século até o surgmento dos prmeros computadores eletrôncos nos anos quarenta, que auxlavam no tratamento de problemas aplcados a cênca e tecnologa (C&T), baseando-se na utlzação de métodos puramente numércos [44]. Somente alguns anos depos, surgu o nteresse em se tratar automatcamente problemas com dados smbólcos, justfcando a utlzação de procedmentos analítcos pelo emprego do racocíno automátco [44]. As prmeras referêncas documentadas sobre o uso da manpulação de símbolos por computador datam de 953 [44,45,46]. Durante a década de cnqüenta, surgram programas computaconas capazes de manpular polnômos, resolver equações e calcular dervadas de funções. Em 966 houve as duas prmeras conferêncas sobre cálculo smbólco, ocorrdas em Washngton e Psa [44]. o níco da

22 8 década de 70, já exstam programas computaconas que ntegravam funções analtcamente e, ao fnal da mesma, outros surgram para a solução smbólca de equações dferencas e ntegras [44]. A partr de então, vêm sendo mplementados uma sére de programas para aplcação generalzada em processamento smbólco. Os sstemas de computação smbólca (SCS), conhecdos anterormente como sstemas de computação algébrca (computer algebra systems), são programas que oferecem ao usuáro uma ampla dversdade de recursos de computação smbólca, numérca e gráfca. Incalmente foram dsponblzadas versões para computadores de grande porte, que atendam aos requstos de memóra desses sstemas. Devdo à rápda evolução dos mcrocomputadores nas duas últmas décadas, hoje encontram-se dsponíves versões para estas plataformas. Dentre os SCS mas utlzados atualmente, destacam-se: Mathematca, Maple e MATLAB [8,44,47]. Tradconalmente, a computação smbólca é utlzada para execução automátca de operações de artmétca, álgebra e cálculo avançado [44,47,48]. Alado a sto, um grande número de funções matemátcas se encontram mplementadas nos SCS, o que aumenta consderavelmente o potencal aplcatvo. Mutos SCS permtem que se defnam novas funções matemátcas a partr das operações e funções já dsponíves. As operações artmétcas realzadas pelos SCS envolvem soma, subtração, multplcação, dvsão e potencação, sendo possível se obterem tanto soluções exatas como aproxmadas, com precsão prescrta pelo usuáro, lmtada apenas pela memóra do computador utlzado [44,48]. Por exemplo, a solução exata de 00 é o número , enquanto sua solução aproxmada, com precsão de vnte dígtos, é dada pelo valor, x úmeros raconas e complexos também podem ser representados de manera exata, como na expressão (/7)+(3/7)-( ), que resulta no número raconal 57/9 ou anda, com uma aproxmação de vnte dígtos de precsão, no valor, As funções matemátcas, quando utlzadas, são mantdas em sua forma smbólca até o momento em que o usuáro

23 9 requste resultados numércos. Este é o caso da expressão ( 3 / 3 )+e Ln (Sn(0)), cuja solução exata é dada smbolcamente por 3 +Sn(0) e a solução numérca, com uma aproxmação de trnta dígtos de precsão, é dada pelo valor, As operações algébrcas realzadas pelos SCS envolvem transformações de expressões contendo varáves (ncógntas). Es alguns exemplos: a) Fatoração de x +x+ resulta em (x+) ; b) Expansão de (x+) 5 resulta em x 5 +5x 4 +0x 3 +0x +5x+; c) Fatoração do denomnador comum de x x x + + x resulta em x + 3x ( x + )( x ) ; d) Separação a denomnadores smples de x + y x y resulta em + ; x y e) Solução de sstemas de equações; f) Extração de raízes de polnômos. As operações de cálculo avançado realzadas pelos SCS envolvem dferencação, ntegração, cálculo de lmtes, cálculo vetoral, representação em séres de Taylor, entre outras. Estes recursos vêm sendo utlzados sstematcamente no tratamento de números problemas aplcados a C&T [0,8,47]. Como exemplo das últmas tendêncas em SCS, cta-se o Mathematca, que fo lançado em 988 pela Wolfram Research, Inc. Permte a ntegração dos recursos de computação numérca, smbólca e gráfca, dentro de um ambente de programação totalmente heterogêneo que oferece recursos de programação declaratva, funconal, procedural, baseada em regras ou strngs, orentada a lstas e orentada a objetos [48]. O Mathematca proporcona a cração de documentos nteratvos, relatóros e artgos técncos

24 0 com qualdade de mpressão tpográfca, além de possur versões para dferentes plataformas e sstemas operaconas, dentre eles: MS-Wndows, Macntosh, Lnux, Unx, EXTSTEP e IBM OS/.

25 CAPÍTULO Formalsmos. Técnca de Transformada Integral.. Solução Clássca da Equação Dferencal Parcal Parabólca Mkhalov e Özsk [03] apresentaram soluções unfcadas para sete classes dferentes de problemas lneares transentes, relatvos à transmssão de calor e massa, fazendo uso da técnca de transformada ntegral. Posterormente, problemas generalzados não lneares foram ncorporados ao elenco de aplcações dessa técnca [04], cujos fundamentos são apresentados a segur com a solução do segunte problema lnear parabólco de Classe I [03], defndo numa regão fnta V, com superfíce de contorno S: T( x, t) w( x) t = K( x) T( x, t) d( x) T( x, t) + P( x, t), x V, t > 0 (..a) com condção ncal T( x, t) = f ( x), x V, t = 0 (..b) e condções de contorno T( x, t) α( x) T( x, t) + β( x) K( x) = φ( x, t), x S, t > 0 (..c) n onde T(x,t) é o potencal a ser obtdo (temperatura, concentração, etc.); w(x), K(x) e d(x) são coefcentes da equação de dfusão (..a) cujo termo não homogêneo P(x,t) representa uma fonte ou sumdouro; α(x) e β(x) são coefcentes prescrtos da equação de contorno (..c) cujo termo φ(x,t) expressa as nformações de contorno não homogêneas; / n

26 corresponde à dervada na dreção normal e externa à superfíce de contorno S; x e t são varáves ndependentes que representam as coordenadas espacas e temporal, respectvamente. Incalmente, admte-se a representação do potencal T(x,t) através de uma expansão de autofunções da forma T( x, t) = A ( t) ψ ( µ, x) = (.) onde as autofunções ψ(µ,x) são obtdas a partr da adoção do segunte problema auxlar: µ w( x) ψ ( µ, x) = K( x) ψ ( µ, x) d( x) ψ ( µ, x), x V (.3.a) com condções de contorno ψ ( µ, x) α( x) ψ ( µ, x) + β( x) K( x) = 0, x S (.3.b) n cujos termos preservam nformações contdas nas equações (..a) e (..c), desprezando-se os termos não homogêneos: P(x,t) e φ(x,t). O problema auxlar apresentado é um problema de autovalor do tpo Sturm- Louvlle, que possu as seguntes propredades [49]: a) os autovalores µ são reas, postvos e podem ser dspostos em ordem crescente de valor tal que µ <µ <µ 3 <µ 4 <... (.4.a) b) as autofunções ψ(µ,x) assocadas aos autovalores µ obedecem à relação de ortogonaldade w( x ) ψ ( µ, x ) ψ ( µ j, x ) dv = 0, j. (.4.b) V

27 3 Os coefcentes de expansão, A (t), na equação (.), são obtdos aplcando-se o operador w( x) ψ ( µ, x) dv, conforme mostrado abaxo: V j V w( x) ψ ( µ j, x) T( x, t) dv = A ( t) w( x) ψ ( µ j, x) ψ ( µ, x) dv = V (.5.a) Utlzando-se na equação anteror a relação de ortogonaldade das autofunções, apresentada na equação (.4.b), encontra-se: A j ( t) = w( ) ( j, ) T(, t) dv x ψ µ x x V j (.5.b) onde j é a ntegral de normalzação, ou smplesmente norma, defnda por: = w( x)[ ψ ( µ, x)] dv j V j (.6) As equações (.) e (.5.b) permtem a defnção do par de transformação ntegral, o qual é composto pelas fórmulas de transformada e de nversão, respectvamente: T ( t) = w( ) (, ) T(, t) dv / x ψ µ x x V (.7.a) T( x, t) = ψ ( µ, x) T ( t) / = (.7.b) Os potencas transformados T ( t) são obtdos através da solução do sstema dferencal ordnáro decorrente da elmnação da dependênca de x na equação (..a), conforme apresentado a segur.

28 4 Aplca-se o operador dv / ψ ( µ, x) sobre a equação (..a), obtendo-se: V dt ( t) dt = (, )[ K( ) T(, t) d( ) T(, t) + P(, t)] dv / ψ µ x x x x x x (.8) V De manera smlar, aplca-se o operador T t dv / ( x, ) sobre a equação (.3.a), V o que resulta: µ T ( t) = T( x, t)[ K( x) ψ ( µ, x) d( x) ψ ( µ, x )] dv (.9) / V Subtrando-se, membro a membro, as equações (.8) e (.9), encontra-se o segunte sstema dferencal ordnáro desacoplado: dt ( t) + µ T ( t) = g ( t), t > 0, =,,... (.0.a) dt onde g ( t) é defnda por g ( t) = / [ (, ) K( ) T(, t) T(, t) K( ) (, )] dv + ψ µ x x x x x ψ µ x V + / V ψ ( µ, x) P( x, t) dv (.0.b) A prmera ntegral de volume da equação (.0.b) é transformada em uma ntegral de superfíce através da fórmula de Green, resultando: g T( x, t) ψ ( µ, x) ( t) = / K( )[ (, ) T(, t) ] ds + x ψ µ x x S n n + / V ψ ( µ, x) P( x, t) dv (.0.c)

29 5 O prmero ntegrando da equação (.0.c) é desenvolvdo algebrcamente, combnando-se as equações de contorno (..c) e (.3.b), de forma a se obter: ψ ( µ, x) ψ ( µ, x) K( x) T( x, t) ψ ( µ, x) K( x)[ ψ ( µ, x) T( x, t) ] = φ ( x, t ) n n n α( x) + β( x) (.) Combnando as equações (.0.a), (.0.c) e (.), obtém-se um sstema transformado que apresenta a segunte formulação: dt ( t) + µ T ( t) = g ( t), t > 0, =,,... (..a) dt onde g ( t) é expressa por g ψ ( µ, x) (, ) K( ) ψ µ x x ( t) = / (, t) ds + φ x n S α( x) + β( x) + / V ψ ( µ, x) P( x, t) dv (..b) As condções ncas requerdas para solução do sstema transformado devem ser determnadas transformando-se a condção ncal, equação (..b), o que é feto utlzandose a defnção do potencal transformado (.7.a): T ( 0) = w( ) (, ) T(, 0) dv w( ) (, ) f ( ) dv / x ψ µ x x = V / x ψ µ x x (..c) V

30 6 A solução analítca do sstema transformado, representado pelas equações (..a), (..b) e (..c), é expressa por: t µ t µ r T ( t) = e f + e g ( r) dr 0 (..a) onde f = w f dv ( x) ψ ( µ, x) ( x) / V (..b) Aplcando-se a equação (..a) sobre a fórmula de nversão, dada pela equação (.7.b), encontra-se a segunte formulação explícta para o potencal T(x,t): (, x) t t r T( x, t) = e / f + e g ( r) dr ψ µ µ µ 0 = (.3) Para uma certa precsão prescrta e uma determnada ordem de truncamento, a sére (.3) converge com menos termos à medda que cresce o valor da coordenada temporal. Este fato mostra que o uso de aproxmações analítcas tende a dmnur consderavelmente o custo computaconal da solução em relação aos métodos puramente numércos, tas como dferenças fntas e elementos fntos.

31 7.. Solução Geral do Sstema de EDPs Parabólcas Acopladas Consderando recentes extensões aos fundamentos clásscos da técnca de transformada ntegral [04,07,8], são apresentadas nesta seção os formalsmos assocados à solução do segunte sstema parabólco acoplado não lnear, defndo em uma regão fnta V, com superfíce de contorno S e para k=,: w k Tk ( x, t) ( x) t = L T ( x, t) + P ( x, t, T ( x, t), T ( x, t)), x V, t > 0 (.4.a,b) k k k com condções ncas T ( x, t) = f ( x), x V, t = 0 (.4.c,d) k k e condções de contorno B T ( x, t) = φ ( x, t, T ( x, t), T ( x, t)), x S, t > 0 (.4.e,f) k k k defnndo-se os operadores lneares L k e B k pelas expressões L K ( x) + d ( x ) (.4.g,h) k k k B α ( x) + β ( x) K ( x) n k k k k (.4.,j) onde T k (x,t) são os potencas a serem obtdos. P k (x,t,t (x,t),t (x,t)) e φ k (x,t,t (x,t),t (x,t)) ncorporam os termos não homogêneos, não lneares e de acoplamento presentes no sstema. Os demas termos são dêntcos aos do problema de Classe I, defndo pelas equações (..a,b,c).

32 8 Segundo os formalsmos da GITT, empregam-se os mesmos procedmentos descrtos na seção anteror para o problema de Classe I. Sem perda de generaldade, defnem-se os problemas auxlares desacoplados, os pares de transformação ntegral e o sstema transformado, relatvos ao sstema de equações parabólcas acopladas em objeto [07], os quas são lstados a segur: a) Problemas auxlares (k=,) µ w ( x) ψ ( µ, x) = L ψ ( µ, x), x V (.5.a,b) k k k k k k k com condções de contorno B ψ ( µ, x) = 0, x S (.5.c,d) k k k A escolha de problemas auxlares desacoplados consttu um mportante passo, pos evta defntvamente o aparecmento de eventuas autovalores complexos [04,07,,50]. b) Pares de transformação ntegral (k=,) fórmulas de transformada: T k ( t) = / wk ( ) k ( k, ) T(, t) dv x ψ µ x x (.6.a,b) V k fórmulas de nversão: T k ( x, t) = / ψ k ( µ k, x) T k ( t) (.6.c,d) = k onde k são as ntegras de normalzação, ou smplesmente normas, defndas por: = w ( x)[ ψ ( µ, x)] dv k V k k k (.7.a,b)

33 9 c) Sstema transformado acoplado (k=,) dt k ( t) + µ k T k ( t) = g ( t, T (, t), T (, t)), t >, =,,... k x x 0 (.8.a,b) dt com condções ncas T k ( 0) = f = w f dv k / k ( ) k ( k, ) k ( ) x ψ µ x x (.8.c,d) V k onde g ( t, T ( x, t), T ( x, t)) são funções defndas por k g ( t, T t T t P t T t T t dv k ( x, ), ( x, )) = / k k k ψ ( µ, x) ( x,, V ( x, ), ( x, )) + k ψ k ( µ k, x) (.8.e,f) ψ k ( µ k, x ) Kk ( x) + / k ( x, t, T (, t), T (, t)) ds S x x n φ α ( x) + β ( x) k k k Uma vez que as equações (.8.e,f) dependem dos valores dos potencas T (x,t) e T (x,t) ao longo do contorno S, dependendo do tpo da condção do contorno do problema governante, será necessáro uma análse de convergênca nesta regão. A aplcação dreta das fórmulas de nversão, defndas pelas equações (.6.c,d), é possível, porém não consttu a melhor alternatva, uma vez que a sére converge mas lentamente próxmo ao contorno S. Isto acontece por que as autofunções não obedecem às condções de contorno não homogêneas do sstema orgnal. Outras alternatvas foram desenvolvdas [0,,7], vsando melhorar a taxa de convergênca numérca da solução. A título de demonstração, serão utlzadas as fórmulas de nversão defndas nas equações (.6.c,d). Sem perda de generaldade, o sstema transformado assume a segunte forma:

34 0 sstema transformado acoplado dt ( t) + µ T ( t) = g *, t > 0, =,,... dt (.9.a) dt j ( t) + µ j T j ( t) = g * j, t > 0, j =,,... dt (.9.b) com condções ncas T ( 0) = f (.9.c) T j ( 0) = f j (.9.d) onde g * = g ( t, T n ( t), T m ( t)), n, m =,,... (.9.e) g * j j = g ( t, T n ( t), T m ( t)), n, m =,,... (.9.f) As equações (.9.a-d) formam um sstema nfnto de equações dferencas ordnáras não lneares acopladas. A solução deste sstema, que é expressa em termos dos potencas transformados T ( t) e T j ( t), pode ser obtda numercamente após o truncamento do mesmo em uma ordem fnta (sufcentemente grande para uma certa tolerânca prescrta de erro). Com o truncamento, o sstema nfnto é reduzdo à ordem de xm equações ordnáras acopladas. Para truncar as equações (.9.a,b) lmta-se a quantdade de autovalores µ e j µ, com =,,... e j=,,...,m. Para truncar as equações (.9.e,f) lmta-se a quantdade de potencas transformados T n ( t) e T m ( t), com n=,,..., e m=,,...,m.

35 Com base nas equações (.9.c-d), determnam-se os valores ncas do sstema truncado: f, com =,,...,, e f j, com j=,,...,m. As fórmulas de nversão defndas nas equações (.6.c,d) são truncadas em e M termos, respectvamente. Para encontrar a ordem de truncamento (valores M e ) que satsfaz a tolerânca prescrta de erro, basta verfcar a convergênca numérca das séres de expansão de autofunções (fórmulas de nversão) após sucessvas varações na ordem de truncamento do sstema transformado.

36 ..3 Procedmento Adaptatvo O procedmento adaptatvo [04] permte o desenvolvmento de algortmos com controle automátco do erro global, através de seleção adaptatva da ordem de truncamento das fórmulas de nversão, o que reduz sensvelmente o tempo de CPU. Consdere-se a escolha de um valor ncal superestmado para a ordem de truncamento do problema de valor ncal ordnáro transformado. Efetua-se então a prmera ntegração numérca sobre o ntervalo t 0 a t, onde t 0 corresponde ao níco do processo e t é o prmero estágo a ser alcançado. A natureza analítca da fórmula de nversão permte a utlzação de procedmentos de verfcação dreta sobre cada posção dentro do meo em que uma solução é desejada. Assm sendo, a ordem de truncamento pode ser reduzda gradualmente até o menor valor * que satsfaça o segunte crtéro de convergênca: max x D = * = / / ψ ( µ, x) T ( t) ψ ( µ, x) T ( t) Tol onde Tol corresponde à tolerânca prescrta para o erro relatvo global da solução (fórmula de nversão); o domíno espacal D corresponde ao conjunto de pontos onde se deseja calcular as soluções. Enquanto não for encontrado um ntero * menor do que e que satsfaça o crtéro acma, este deverá ser ncrementado, a últma ntegração numérca repetda e um novo * deverá ser procurado. Após a redução de ao valor *, a ntegração numérca do próxmo ntervalo, t a t, sendo t < t, envolverá um sstema truncado de menor ordem, respetando-se a precsão

37 3 requerda para a solução fnal. a seqüênca, um novo * deverá ser encontrado, o valor de ajustado para * e a ntegração numérca do ntervalo segunte efetuada. Este cclo se repete até a obtenção da solução para o últmo tempo desejado. O procedmento adaptatvo torna-se mas efcente à medda que se marcha no tempo físco, quando um número cada vez menor de termos é necessáro para atngr a convergênca da fórmula de nversão.

38 4. Algortmo Matemátco GITT para Solução de Problemas de Dfusão A partr dos formalsmos da técnca de transformada ntegral e dos recursos provdos pelos sstemas de computação smbólca (SCS), apresentados anterormente, vablzou-se o desenvolvmento do algortmo matemátco GITT (Generalzed Integral Transform Technque), descrto a segur [8], vsando a solução do sstema de equações dferencas parcas (EDPs) acopladas. A montagem da solução a partr do algortmo GITT pode ser dealzada pela composção de duas saídas: o sstema ordnáro transformado e a fórmula de nversão. A prmera saída deve fornecer à segunda os dados necessáros para compor os potencas desejados. A forma de solução do sstema ordnáro transformado deve ser defnda e aplcada externamente ao algortmo. O tratamento do problema pode ser consegudo fazendo-se múltplas chamadas ao algortmo GITT, uma para cada equação governante, obtendo-se múltplas fórmulas de nversão e sstemas ordnáros transformados, acoplados. Sobre estes últmos, aplcam-se as fórmulas de nversão, de manera a elmnar quasquer referêncas aos potencas desconhecdos, formando assm um únco sstema ordnáro acoplado, cuja solução permtrá a representação explícta dos potencas desejados através das fórmulas de nversão. Um outro aspecto mportante deste algortmo é a possbldade de hbrdzação com outras técncas de solução de EDPs, tas como: transformada de Laplace, transformada de Fourer, método de dferenças fntas e método de elementos fntos [5]. a Fgura., são lstados os argumentos de entrada para o algortmo GITT, cujos passos são apresentados em detalhe nas Fguras.,.3 e.4. Duas funções são consderadas prevamente mplementadas: a função changefuncton(expr,old,new) que retorna expr, após a substtução da varável old pela expressão new, e a função

39 5 getoperatorlnear(expr,var) que retorna o operador lnear, relatvo à varável var, presente na expressão expr. O prmero passo do algortmo GITT é verfcar se o argumento de entrada flter contém uma expressão não nula. Se este for o caso, a solução para unknown será defnda por: flter + unknownh. Aplcando esta defnção sobre as equações eqgov e eqcbc, obtémse um problema fltrado, possvelmente homogêneo, que deverá ser resolvdo para unknownh através de nova chamada ao algortmo GITT, agora com um valor nulo para flter. Este passo está descrto na Fgura.. Em seguda, determnam-se o problema auxlar assocado e o par de transformação ntegral. O prmero tem é determnado com base nos operadores lneares, relatvos à unknown, presentes nas equações eqgov e eqcbc. O segundo tem é determnado com base na propredade de ortogonaldade das autofunções do problema auxlar assocado. este ponto, é requerdo que o problema auxlar assocado apresente solução analítca, a ser obtda através dos recursos dsponíves nos SCS. Os autovalores v podem ser obtdos numercamente, na ausênca de uma representação analítca e em função do ndexador. A Fgura.3 descreve estes passos. XYZf De posse do problema auxlar assocado e do par de transformação ntegral, operase a equação eqgov com o operador f ( XYZ ) dxyz, onde f (XYZ) é a autofunção XYZ correspondente ao -ésmo autovalor do problema auxlar assocado, para obter a -ésma equação do sstema ordnáro transformado (eqtrfgov), dependente de t e que possurá um número fnto de equações conforme a ordem de truncamento especfcada em nterms. O algortmo encerra-se retornando, como resultado, uma lsta de expressões contendo a fórmula de nversão (nverse) e o sstema ordnáro transformado truncado (ordsys). Estes passos estão descrtos na Fgura.4.

40 6 Para o algortmo fornecer o resultado esperado, o problema de entrada deve atender aos seguntes requstos: a) A equação governante eqgov deve ter um operador lnear, relatvo ao potencal unknown, na forma L ( k( XYZ ) ) + d( XYZ ), tal que k(xyz) 0 em toda a regão delmtada por XYZ e XYZf. b) As equações de contorno em eqcbc devem ter operadores lneares, relatvos ao potencal unknown, da forma B α( XYZ ) + β( XYZ ) k( XYZ ) / η, tal que α(xyz) + β(xyz) >0 ao longo do contorno da regão delmtada por XYZ e XYZf. c) Se a equação eqauxgov do problema auxlar assocado não apresentar solução analítca, um problema auxlar alternatvo deverá ser fornecdo ao algortmo GITT pelo usuáro ou por um sstema especalsta. o apêndce A, são lstados os códgos fonte mplementados no Mathematca, dstrbuídos da segunte forma: dos packages, GITT.m e CITT.m, o prmero contendo a mplementação do algortmo matemátco GITT e o segundo, de suas funções auxlares. o apêndce B, encontra-se a lstagem de um notebook, GITTSamp.ma, contendo resultados relatvos à utlzação do package GITT.m na transformação de equações de calor (problemas parabólcos).

41 7. eqgov - Equação dferencal parcal governante a ser transformada;. eqcbc - Lsta de equações relatvas às condções ncas e de contorno; 3. unknown - Potencal a ser obtdo; 4. nterms - Ordem de truncamento do sstema ordnáro transformado; 5. t - Varável ndependente a ser mantda com a transformação; 6. XYZ - Varáves ndependentes a serem elmnadas com a transformação; 7. XYZ - Lmtes nferores do domíno de XYZ; 8.XYZf - Lmtes superores do domíno de XYZ; 9. flter - Função que satsfaça as condções de contorno. É utlzada para fltrar a solução de regme permanente e elmnar termos não-homogêneos do problema. Fgura. Lstagem dos argumentos de entrada para o algortmo matemátco GITT.. Se flter <> 0.. Faça eqgovh = changefuncton(eqgov,unknown,flter+unknownh).. Faça eqcbch = changefuncton(eqcbc,unknown,flter+unknownh).3. Faça reth = GITT(eqgovH,eqcbcH,unknownH,nterms,t,XYZ,XYZ,XYZf,0).4. Redefna fórmula de nversão em reth para unknown == flter+unknownh.5. Retorne reth Fgura. Prmero passo do algortmo matemátco GITT.

42 8. Extraa os operadores lneares de eqgov e eqcbc.. Faça opgov = getlnearoperator(eqgov,unknown).. Faça opcbc = {}.3. Para cada equaton em eqcbc, tal que equaton dependa de t,.3.. Faça opcbc = opcbc { getlnearoperator(equaton,unknown) } 3. Determne o problema auxlar assocado 3.. Faça w gual à função que multplca n unknown/ t n em eqgov, para o maor n. 3.. Faça eqauxgov = ( opgov( f(xyz) ) == w v^ f(xyz) ) 3.3. Faça eqauxbc = {} 3.4. Para cada operator em opcbc, Faça eqauxbc = eqauxbc { operador( f(xyz) ) == 0 } 4. Obtenha os autovalores e autofunções do problema auxlar assocado 4.. Encontre a solução analítca para f(xyz) em eqauxgov 4.. Encontre os autovalores v que satsfazem v em eqauxbc 4.3. Determne a autofunção normalzada f (XYZ) correspondente a cada v 5. Determne o par de transformação ntegral XYZf 5.. Faça transform = ( T ( t) == w f ( XYZ) unknown dxyz ) XYZ nterms 5.. Faça nverse = ( unknown == T ( t) f ( XYZ ) ) = Fgura.3 Passos a 5 do algortmo matemátco GITT.

43 9 6. Obtenha o sstema ordnáro transformado XYZf 6.. Aplque o operador f ( XYZ ) dxyz sobre eqgov XYZ XYZf 6.. Aplque o operador unknown d XYZ sobre eqauxgov XYZ 6.3. Subtraa (6.) de (6.), membro-a-membro 6.4. Faça eqtrfgov gual ao resultado de (6.3) 6.5. Smplfque eqtrfgov utlzando as equações de eqcbc e eqauxbc 6.6. Faça eqtrfcbc = {} 6.7. Para cada equaton em eqcbc, tal que equaton ndependa de t, XYZf Aplque o operador w f ( XYZ) dxyz sobre equaton XYZ Substtua a fórmula transform na equação (6.7.) Insra em eqtrfcbc o resultado de (6.7.) 6.8. Gere o sstema ordnáro transformado truncado Faça ordsys = {} Para cada varando de a nterms, Faça ordsys = ordsys { eqtrfgov,eqtrfcbc } 7. Retorne nverse (fórmula de nversão) e ordsys (sstema ordnáro transformado) Fgura.4 Passos 6 e 7 do algortmo matemátco GITT.

44 CAPÍTULO 3 Aplcação a um Problema de Transferênca Smultânea de Calor e Massa Para efeto de aplcação da técnca de transformada ntegral generalzada (GITT), resolve-se um problema de secagem undmensonal, correspondente a uma varante do modelo de Lukov [05,06,09], composto por duas equações dferencas parcas, lneares e acopladas, decorrentes dos balanços de energa e massa no nteror de um meo caplar poroso e sotrópco. A escolha deste problema deve-se ao fato de que números modelos matemátcos de secagem são representados por sstemas de equações dferencas acopladas [5-68]. Com o advento da GITT, a partr do fnal da década de otenta foram publcados trabalhos mostrando soluções de varantes do problema de Lukov, desenvolvdas através de procedmentos sstemátcos, sendo observado que algumas soluções anterormente apresentadas estavam ncompletas [69]. Seja a forma admensonalzada para o modelo matemátco em foco [09,50,70], onde θ (X,τ) e θ (X,τ) representam as dstrbuções admensonas de temperatura e umdade, em função das coordenadas espacal X e temporal τ. As dstrbuções ncas de temperatura e umdade no meo poroso são constantes, sendo o mesmo então submetdo às seguntes condções de contorno: a superfíce nferor (X=0) solada, enquanto a superfíce superor (X=) é mantda em valores de temperatura e umdade prescrtos e constantes, conforme lustrado na Fgura

45 3 Sem perda de generaldade, o problema de secagem em análse é expresso da segunte forma [09,50]: balanço de energa no nteror do meo poroso θ( X, τ) θ( X, τ ) θ( X, τ ) = ε Ko, τ > 0, 0 < X < (3..a) τ X τ balanço de massa no nteror do meo poroso θ ( X, τ ) θ ( X, τ ) θ ( X τ = Lu Lu Pn, ), τ > 0, 0 < X < (3..b) τ X X com condções ncas θ ( X, τ ) = 0, θ ( X, τ) = 0, τ = 0, 0 X (3..c,d) e condções de contorno θ ( X, τ ) θ ( X, τ) θ ( X, τ ) = 0, Lu = 0, τ > 0, X = 0 (3..e,f) X X X θ ( X, τ ) =, θ ( X, τ) =, τ > 0, X = (3..g,h) onde Lu, Pn e Ko representam, respectvamente, os números admensonas de Lukov, Posnov e Kossovtch, que relaconam parâmetros físcos assocados ao processo de secagem; ε corresponde ao crtéro de mudança de fase do líqudo no nteror do meo poroso. O problema acma formulado será crtcamente analsado antes de se proceder ao uso dos formalsmos de GITT. Incalmente verfca-se que o mesmo não é homogêneo no contorno, o que requer o uso de funções fltro [04,7], vsando a posteror obtenção de expansões de autofunções de melhor convergênca numérca, prncpalmente nas