Modelagem de Problema de Acústica para Estruturas Aeronáuticas pela Técnica dos Elementos de Contorno, com Aplicação para Detecção de Danos

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Modelagem de Problema de Acústca para Estruturas Aeronáutcas pela Técnca dos Elementos de Contorno, com Aplcação para Detecção de Danos Autor: Maurco Eduardo Lopes Orentador: Prof. Dr. Arosto Bretanha Jorge Co-Orentador: Prof. Dr. Sebastão Smões da Cunha Jr. Itaubá, Feverero de 2009

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Modelagem de Problema de Acústca para Estruturas Aeronáutcas pela Técnca dos Elementos de Contorno, com Aplcação para Detecção de Danos Autor: Maurco Eduardo Lopes Orentador: Prof. Dr. Arosto Bretanha Jorge Co-Orentador: Prof. Dr. Sebastão Smões da Cunha Jr. Curso: Mestrado em Engenhara Mecânca Área de Concentração: Proeto e Fabrcação Dssertação submetda ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca como parte dos requstos para obtenção do Título de Mestre em Engenhara Mecânca. Itaubá, Feverero de 2009 M.G. Brasl

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Modelagem de Problema de Acústca para Estruturas Aeronáutcas pela Técnca dos Elementos de Contorno, com Aplcação para Detecção de Danos Autor: Maurco Eduardo Lopes Orentador: Prof. Dr. Arosto Bretanha Jorge Co-Orentador: Prof. Dr. Sebastão Smões da Cunha Jr. Composção da Banca Examnadora: Prof. Dr. Webe João Mansur - UFRJ Prof. Dr. Eder Lma de Albuquerque - UNICAMP Prof. Dr. Antôno Marcos Gonçalves de Lma - IEM/UNIFEI Prof. Dr. Arosto Bretanha Jorge (Orentador) - IEM/UNIFEI Prof. Dr. Sebastão Smões da Cunha Jr. (Co-orentador) - IEM/UNIFEI

4 Dedcatóra À mnha famíla, em especal aos meus pas Pedro e Ester E à mnha nova Ingrd.

5 Agradecmentos Ao meu Orentador, Prof. Dr. Arosto Bretanha Jorge, pela competênca, dedcação, pacênca e amzade. Aos amgos, Bruno Sousa, Adrana Isdoro, Valquíra e a mnha Irmã Patríca, pelo permanente ncentvo, colaboração, amzade, momentos de lazer e nesquecível convívo profssonal. Aos Professores da Unversdade Federal de Itaubá, Wlamr, Genéso José Menon, José Célo, Necéso, José Julano e André. Ao Prof. Dr. Webe João Mansur, e ao seu orentado de mestrado Pablo, da Unversdade Federal do Ro de Janero pela colaboração e amzade. Ao Insttuto de Engenhara Mecânca da UNIFEI, representado pelos seus dedcados Professores e Funconáros, pela oportundade que me concedeu na realzação deste trabalho, e aos amgos desse Insttuto, pelo convívo profssonal. Ao CNPq, através do Programa de bolsas, pelo apoo fnancero. Aos meus pas, Pedro e Ester, que me deram total ncentvo para a realzação deste trabalho. A mnha querda nova Ingrd pela pacênca, compreensão e apoo nos momentos dfíces desta empretada.

6 Lute em busca de seus obetvos, e sto lhe trará uma felcdade duradoura.

7 Resumo LOPES, M. E. (2009), Modelagem de Problema de Acústca para Estruturas Aeronáutcas pela Técnca dos Elementos de Contorno, com Aplcação para Detecção de Danos, Itaubá, 66p. Dssertação (Mestrado em Proeto e Fabrcação) - Insttuto de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Itaubá. Neste trabalho é utlzado o método de elementos de contorno na modelagem do problema dreto em acústca. Por meo do método de elementos de contorno, as varáves de nteresse no nteror de um elemento (estrutura) são obtdas a partr das varáves prescrtas (condções de contorno) no contorno do mesmo. A aplcação desta técnca será em defnr quas varáves são mas sensíves e sgnfcatvas na presença ou não de um dano (furo) em uma estrutura quando aplcado um snal acústco por este meo. Técncas de otmzação podem ser utlzadas na resolução do problema nverso. Neste trabalho fo utlzado o algortmo genétco como uma técnca de otmzação. Por meo do uso do algortmo genétco, a localzação de um furo numa placa pode ser obtda, consderando uma melhor proxmdade entre o dano numérco e o dano real. Palavras-chave Método dos Elementos de Contorno, Acústca, Algortmos Genétcos, Fortran, Matlab, Detecção de Danos.

8 Abstract LOPES, M. E. (2009), Modeled of Acoustc Problem about to Aeronautc Structures by Technque of Boundary Elements, wth Applcaton about to Damage Detecton, Itaubá, 65p. MSc. Dssertaton Mechancal Engneerng Insttute, Federal Unversty of Itaubá. In ths work the drect method n boundary elements for the modelng of the acoustcs problem wll be used. Ths method conssts of obtanng the varable of nterest n the nsde of an element (structure) from the prescrbed varable (boundary condtons) n the contour of plate. The applcaton of ths technque wll be to defne whch varable s more sensble and sgnfcant n the presence or not of a damage (hole) n an structure when appled a sgnal acoustc through t. Concernng the nverse method as optmzaton technque, the applcaton of the genetc algorthm wll defne the localzaton of the hole for a better dentfcaton of the proxmty between the numercal damage and the real damage. Keywords Detecton. Boundary Element Methods, Acoustc, Genetc Algorthm, Fortran, Matlab, Damage

9 Sumáro DEDICATÓRIA IV AGRADECIMENTOS V RESUMO VII ABSTRACT VIII SUMÁRIO I LISTA DE FIGURAS IV LISTA DE TABELAS VI SIMBOLOGIA VII LETRAS LATINAS E GREGAS VII SUPERESCRITOS XI SUBSCRITOS XI SIGLAS XI CAPÍTULO 1 1 INTRODUÇÃO REVISÃO DA LITERATURA OBJETIVOS

10 1.3 CONTEÚDO CAPÍTULO 2 8 EQUAÇÕES INTEGRAIS DE CONTORNO PARA PROBLEMAS TRANSIENTES GOVERNADOS PELA EQUAÇÃO DA ONDA ESCALAR INTRODUÇÃO O PROBLEMA DE VALOR INICIAL DE CONTORNO EQUAÇÃO DE ONDA ESCALAR TRANSIENTE DELTA DE DIRAC E FUNÇÕES HEAVISIDE EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO BIDIMENSIONAL EQUAÇÃO DE ONDA ESCALAR TRANSIENTE CAPÍTULO 3 14 MÉTODO DO ELEMENTO DE CONTORNO PARA PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS GOVERNADOS PELA EQUAÇÃO DE ONDA ESCALAR INTRODUÇÃO IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA Integras de contorno Integras de domíno Nós duplos O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA O PROBLEMA DE ACÚSTICA CAPÍTULO 4 41 APLICAÇÃO NA DETECÇÃO DE DANOS ÁREA SOB A CURVA

11 4.2 OTIMIZAÇÃO GLOBAL INTRODUÇÃO AOS ALGORITMOS GENÉTICOS Incalzação Avalação e Adequabldade Operadores Genétcos Condções de Térmno CONFIGURAÇÃO DO CROMOSSOMO DO ALGORITMO GENETICO CAPÍTULO 5 53 RESULTADOS E DISCUSSÕES CÁLCULOS DAS ÁREAS SOB AS CURVAS MINIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO PELO ALGORTIMO GENÉTICO CAPÍTULO 6 63 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS CONCLUSÕES PERSPECTIVAS FUTURAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 66

12 v Lsta de Fguras Fgura 2.1 A função Heavsde Fgura 2.2 Domíno bdmensonal com um contorno Γ do tpo Kellog Fgura 3.3 Ilustração da stuação na qual H = G = Fgura 3.4 Interpolação de tempo constante para p Fgura 3.5 Dscretzação lnear do contorno Γ Fgura 3.6 Funções de nterpolação de espaço lnear para u e p no contorno Γ Fgura 3.7 Posção dos nós quando funções de nterpolação constantes η e ν são usados.26 Fgura 3.8 Integrações sobre parte de um elemento Fgura 3.9 Dscretzação do domíno Ω em células trangulares Fgura 3.10 Áreas para a defnção de coordenadas trangulares Fgura 3.11 Coordenadas polares baseados no ponto fonte S Fgura 3.12 Domínos usados para ntegrar sobre uma célula Fgura 3.13 Defnções com propósto de ntegração de células Fgura 3.14 p descontínuo no contorno Γ Fgura 3.15 Elementos descontínuos lneares Fgura 3.16 Fluxograma do programa Fgura 4.1 Área entre os valores de potencas ou fluxos no ntervalo de tempo t Fgura 4.2 Placa com furos se aproxmando do furo real Fgura 4.1 Área entre os valores de potencas ou fluxos no ntervalo de tempo t Fgura 4.2 Placa com furos se aproxmando do furo real Fgura 5.1 Dmensões da placa e furo usados no programa, em (cm) Fgura 5.2 Condções de contorno da placa e do furo

13 v Fgura 5.3 Furos na placa se aproxmando do furo real Fgura 5.4 Curvas dos potencas acústcos u do furos arbtráros e o furo real ao longo do tempo Fgura 5.5 Curvas dos fluxos acústcos p dos furos arbtráros e do furo real ao longo do tempo Fgura 5.6 Curva com valores das áreas do potencal acústco u Fgura 5.7 Curva com os valores das áreas do fluxo acústco p Fgura 5.8 Caracterzação da placa 6x6 (cm) utlzada no programa Fgura 5.9 Furos varados obtdos com o AG e o furo real (azul)

14 v Lsta de Tabelas Tabela 3.1 Cruzamento ponto únco Tabela 3.2 Cruzamento dos pontos Tabela 3.3 Cruzamento unforme Tabela 3.4 Processo de mutação Tabela 5.1 Resultados obtdos com o refnamento da malha Tabela 5.2 Resultados das áreas sob as curvas Tabela 5.3 Resultados obtdos pelo AG

15 v Smbologa LETRAS LATINAS E GREGAS x, x Coordenadas cartesanas 1 x2, 3 x Vetor posção de um ponto com as coordenadas cartesanas x 1, x2, x3,, k Vetores untáros na dreção das coordenadas dos exos x 1, x2, x3 Símbolo do delta de Kronecker e Símbolo de permutação k ( r,θ ) Coordenadas polares Ω Γ π [ f ] Corpo do domíno Corpo do contorno Propagação da superfíce de onda sngular = f + f xc yc Coordenada x do furo Coordenada y do furo

16 v r A J I q Rao do furo Area sob a curva Funconal J Indvíduo do cromossomo Gene do cromossomo q, Q Pontos campo s, S Pontos fontes q, Q Vetores posção dos pontos q e Q s, S Vetores posção dos pontos s e S ( q s) r, = q s t τ Tempo Tempo na qual um mpulso é aplcado t,0 Tempo ncal o ξ Coordenada ntrínseca em uma dmensão µ Coordenadas homogênea k n Vetor exteror untáro normal do Γ n Coordenada na dreção paralela a n n Componente cartesano de n t Vetor untáro tangente a Γ

17 x v Vetor untáro paralelo a r( s, Q) = Q s ( q s) Função Delta de Drac ( k ) ( r ct) k = [ ( r ct) ] r k ( t ' r / c) Dervada do tempo da função Delta de Drac ( x a) H Função Heavsde u v p Potencal escalar Velocdade escalar gual a dervada do tempo de u Dervada de u com respeto a n ou fluxo acústco u Potencal ncal gual a u em t = to o v Velocdade ncal gual a v em t = to o γ Densdade da fonte u * Solução fundamental para a equação da onda escalar * u u * em τ = 0 o * v v * em τ = 0 o u Componente de deslocamento v Componente de velocdade u o Componente do deslocamento ncal v o Componente da velocdade ncal

18 x e Dlatação b k Componente da força corpo * u k Componente do deslocamento fundamental * v k Componente da velocdade fundamental * u ok u em τ = 0 * k * v ok v em τ = 0 * k ρ Densdade λ,g Constantes de Lamé E c Módulo de Young Velocdade de propagação da onda para problemas relatvos a equação da onda escalar c S Velocdade de propagação das ondas equvolumnas c d Velocdade de propagação de ondas dlataconas φ m, θ m Função da nterpolação do tempo n, ν Função de nterpolação do espaço 2 Laplacano J N n Jacobano Quantdade de dados dsponíves Quantdades de sensores na placa

19 x A Área sob a curva f Valor do p ou v de um dado ponto nteror T Quantdade de furos SUPERESCRITOS m Referente ao tempo SUBSCRITOS S V t Relatvo à superfce Relatvo ao volume Relatvo ao tempo, k, o Referente ao espaço SIGLAS IEM MEC MEF AG Insttuto de Engenhara Mecânca Método dos elementos de contorno Método dos elementos fntos Algortmo genétco

20 x AG s Algortmos genétcos

21 Capítulo 1 INTRODUÇÃO O comportamento acústco é de grande nteresse no desenvolvmento de produtos. Através da emssão de um snal acústco numa superfíce pode-se descrever o comportamento do materal sueto as condções normas de uso. Mudanças neste comportamento podem tanto ndcar nterferêncas por fontes externas de emssão de snas acústcos, ou sea, ruídos que podem nterferr na medda do snal, ou mudanças na estrutura do materal (dano). O snal acústco emtdo pela fonte é captado por sensores (transdutores) espalhados pela superfíce do materal, estes sensores podem ser fxos ou móves, dependendo da acessbldade à superfíce de nteresse e a quantdade de tempo dsponível para a análse do snal. Neste trabalho é utlzado o método dos elementos de contorno em acústca para se analsar o comportamento acústco de placas com a presença de um dano (furo). Este método é utlzado para modelar numercamente o problema dreto, é um método de excelente precsão. O método dos elementos de contorno é uma técnca de análse numérca usada para obter soluções de equações dferencas parcas de uma varedade de problemas físcos com condções de contorno prescrtas. A equação dferencal, a qual é defnda sobre o domíno do problema, é transformada numa equação ntegral de superfíce, sobre a superfíce ncluída nteramente no domíno do problema. A equação ntegral de superfíce pode então ser resolvda pela dscretzação da superfíce em pequenas regões elementos de contorno. A maor vantagem do método dos elementos de contorno sobre o método dos elementos fntos é que a dscretzação ocorre somente na superfíce do que sobre o domíno ntero, e o número de elementos de contorno requerdo é geralmente muto menor que o número requerdo pelos

22 elementos fntos. Isto é partcularmente vantaoso para aplcações acústcas onde o domíno do problema, frequentemente envolve espaço em tercera dmensão e em campo lvre. 2 A prncpal desvantagem do método dos elementos de contorno são que equações ntegras de superfíce transformada são algumas vezes bem conduzdas como a equação orgnal dferencal, e as equações matrcas resultantes não são necessaramente dspersas, defnda postvamente, ou smetrcamente, e então não podem ser resolvdas tão faclmente como aquelas dos elementos fntos. A formulação do problema para a localzação da proxmdade do dano será a mzação das dferenças entre os dados acústcos obtdos por meo computaconal e os dados meddos obtdos pelos sensores. A formulação do problema é apresentada por meo de um funconal que representa a dferença entre os valores de potencal ou fluxo acústco teórcos e os valores meddos de ambas varáves pelos sensores. Na formulação deste problema, ou sea, o problema nverso, os algortmos genétcos (AGs) são utlzados para determnar o ótmo global do funconal. Nos próxmos capítulos são apresentados: o desenvolvmento do tema referente ao método dos elementos de contorno em acústca, os AG s e os resultados obtdos com o uso das lnguagens de programação. É usada a lnguagem de programação Fortran para a formulação do método dos elementos de contorno na modelagem do problema dreto e a lnguagem de programação Matlab para modelar o problema nverso, através do uso dos AGs para se detectar a localzação do dano no materal. No próxmo tópco são mostrados os trabalhos referentes ao assunto abordado nesta dssertação. 1.1 REVISÃO DA LITERATURA No trabalho de Jorge (2008) é apresentado o problema nverso de dentfcação de danos em uma estrutura em placa usando as técncas de otmzação. A modelagem numérca consste em dos problemas, ou sea, um problema dreto, no qual o método dos elementos de contorno é usado para obter o potencal, a tensão, ou dstrbução acústca na estrutura com o dano; e um problema nverso, no qual um modelo de otmzação é usado para localzar o dano

23 3 na estrutura, dada a nformação medda da quantdade de nteresse em algum ponto nteror (posção do sensor). Neste trabalho foram dscutdos assuntos relaconados com o uso do MEC como método dreto, para melhorar a dentfcação do dano e também a confança nos resultados da localzação e tamanho do dano. A dscussão feta no artgo nclu prmeramente o uso das quantdades obtdas das dervadas e das densdades orgnas no lugar das própras densdades, como a prncpal varável na função obetvo e equações de restrções, para a rápda convergênca do processo de otmzação. Posterormente a habldade do método dreto para devdamente capturar a proxmdade entre o dano numérco e o dano real. Há também o uso de quantdades escalares ndependentes nos pontos nterores de nteresse (onde a nformação medda e numérca são comparadas no processo de otmzação). Por últmo fo dscutda a exstênca da nfluênca da dscretzação do MEC (refnamento da malha) nos resultados numércos, o que fo verfcado para o caso elastotátco avalado, como o resultado da melhora na dentfcação do dano. Dural & Delnavaz (2004) propõem um método de análse do formato de um submarno para mzar a emssão de ruído causada pelo mesmo. O método dos elementos de contorno e o método dos elementos fntos foram empregados neste trabalho para determnar o campo acústco ao redor do obeto. É mostrado um esquema desenvolvdo por rede neural artfcal e algortmo genétco combnados para encontrar uma mía energa emtda em certos pontos de referênca do submarno. O valor da geometra ótma que fo obtda fca em uma extensão normal para as forças hdrodnâmcas mías e mostra uma proxmdade de acordo com a tendênca de mudança para modelos vndos a operar. No trabalho de Warszawsk et al. (2008) é desenvolvda uma aproxmação numérca para o modelo da propagação da onda acústca em corpos axssmétrcos. Nele o meo acústco fo modelado pelo método dos elementos de contorno (MEC). As ntegras de convolução no tempo foram avaladas analtcamente, empregando o conceto de ntegras de parte fnta. No artgo algumas aplcações foram apresentadas para que os autores demonstrassem a valdade das expressões analítcas geradas pelo MEC. No trabalho são comparados os resultados obtdos com a aproxmação apresentada com aqueles gerados pela aplcação da ntegração numérca no tempo. No trabalho de Ala & Soul (2004) é apresentada a smulação vbro-acústca baseada na acústca do método dos elementos de contorno da varaconal ndreta (VIBEM) recentemente

24 4 mplementada em LSDYNA, um códgo de elementos fntos explícto para problemas de estruturas em geral e estruturas fluídas. Na formulação, a qual fo assumda a teração fraca na estrutura-acústca, a resposta transente da estrutura fo prmeramente calculada. Os resultados obtdos foram consderados como condções de contorno para a acústca do MEC. Conseqüentemente, o ruído radado em qualquer ponto dentro do espaço pode ser calculado. A efcênca do presente método fo checada pelos autores para ambos os problemas de acústca pura e vbro-acústca. Segundo os autores os resultados obtdos estão de acordo com as soluções analítcas. Montgomery (2004) desenvolveu um processo de modelagem para baxa freqüênca, resposta acústca estrutural de estruturas aeronáutcas devdo às fontes aleatóras. A análse fo baseada no uso do método dos elementos fntos (MEF) para representar a estrutura, em conunto com o método dos elementos de contorno (MEC) na representação do domíno acústco nteror e exteror. O módulo da fonte aleatóra dentro da análse do MEC fo usado para ncorporar as fontes, as quas são defndas em termos da freqüênca cruzada do campo de pressão flutuante exteror. Neste trabalho a mplementação ncal fo feta em termos do campo dfuso, o qual tnha uma formulação relatvamente smples e extensos dados utlzáves para valdação. A defnção de fonte fo estendda para nclur o ruído turbulent boundary layer (TBL), devdo à prevalênca como uma fonte de ruído na cabne de passageros, ou sea, a defnção de freqüênca cruzada pelo TBL é baseada na formulação sem-analítca do campo de pressão flutuante meddos em aeronaves e em testes no túnel de vento. É também estendda para nclur o mpacto do ruído da gnção, onde a alta aderênca e a baxa freqüênca contendo a fonte fazem uma melhor sére para o uso conunto da análse MEF/MEC. A expressão geral para a freqüênca cruzada consste em três termos: o poder espectral, aderênca, e o fator de fase. As formas detalhadas destes termos foram determnados tas que produzram a melhor gualdade com meddas do campo das fontes. No trabalho de Holmstrom (2001) é descrto o processo de mplementação entre o método dos elementos de contorno (MEC) e o método dos elementos fntos (MEF) para o modelo de uma estrutura acústca no tempo harmônco em três dmensões em CALFEM, a qual é uma ferramenta de elementos fntos do Matlab. O autor afrma que anterormente nenhum método dos elementos de contorno tnha sdo representado em CALFEM. O desenvolvmento e mplementação de elementos de contorno lnear e constante foram também descrto neste trabalho. Para a verfcação da ntegrdade das funções de mplementação e para

25 mostrar como elas foram usadas, três modelos foram desenvolvdos: um usando somente o MEC, e os outros dos usando as estruturas-acústcas. 5 Segundo Mansur et al. (1998) a formulação tradconal para a análse da propagação da onda escalar no domíno do tempo fo estendda para uma nova classe de problemas. Para a formulação dessa nova classe de problemas, um processo fo apresentado consderando a nterpolação do tempo lnear para as tensões no contorno devdo aos esforços externos. Descontnudades no tempo foram ncluídas pela adção da equação padrão do MEC à equação ntegral da velocdade. No artgo os exemplos numércos foram apresentados para melhorar a precsão da formulação proposta. No trabalho de Pacheco (2007) foram apresentados os prncípos báscos e aplcações dos algortmos genétcos. Segundo Pacheco (2007) os AG s foram nsprados no prncípo Darwnano da evolução das espéces e na genétca. Ele defnu que os AG s são algortmos probablístcos que fornecem um mecansmo de busca paralela e adaptatva baseado no prncípo de sobrevvênca dos mas aptos e na reprodução. O artgo fez uma ntrodução as técncas computaconas ntelgentes, Redes Neuras Artfcas, Lógca Fuzzy e Sstemas Especalstas. O trabalho de Ávla (2002) apresenta uma breve revsão dos AG s, descrevendo os concetos báscos e as ferramentas usadas para a melhora da convergênca deste método de otmzação. Como contrbução do trabalho de Ávla (2002) fo desenvolvda uma nova metodologa para os operadores genétcos, utlzando codfcação real, com o obetvo de melhorar a varredura do espaço de busca da solução ótma. A efcáca dos AG s e destes novos operadores genétcos fo verfcada através de sua aplcação em dversas funções teste. Para a aplcação deste método de otmzação em um problema eletromagnétco, Ávla optou pela conformação da superfíce do refletor de uma antena refletora offset. O obetvo da otmzação era obter uma antena de satélte que produza um dagrama de radação que cubra unformemente o terrtóro braslero. Conforme fo demonstrado pelos resultados obtdos pelo autor, tanto para a antena como para as funções teste, ele afrma que os AG s são um método efcente e confável para a otmzação de problemas complexos. No trabalho de Gumarães & Ramalho (2001) é mostrado uma dscussão sobre os AG s, como sua estrutura e seus componentes. O artgo apresenta uma função conhecda que fo

26 testada para a mplementação do AG no ntuto de usar uma técnca para gerar a população ncal que é posterormente comparada com a dstrbução aleatóra. 6 No próxmo capítulo é apresentada uma revsão de lteratura mas aprofundada do método dos elementos de contorno em acústca para um melhor entendmento do método. Também é mostrada uma revsão sobre os AG s que será empregado no sstema de localzação do dano (furo) exstente na placa fna. 1.2 OBJETIVOS Os prncpas obetvos da pesqusa são: Utlzação do método dos elementos de contorno em acústca para se obter o comportamento acústco de uma placa fna, com a presença de um dano (furo); Reformulação de um problema em acústca utlzando o método dos elementos de contorno baseado no trabalho de Mansur (1983); Descobrr qual varável melhor representa o problema de acústca aplcado na localzação do dano; Interlgar as lnguagens de programação, Fortran e Matlab, para a modelagem do problema dreto e nverso da localzação do dano (furo), respectvamente; Uso dos AG s para determnar o ótmo global de uma função, ou sea, mzação das dferenças entre valores meddos e computados pelo programa para localzação do dano. 1.3 CONTEÚDO Este trabalho é dvdo em ses capítulos. No capítulo 1 é feta uma revsão dos trabalhos referentes ao tema abordado. Referêncas na área de acústca usando o método dos elementos de contorno (MEC), e trabalhos na área de otmzação usando os algortmos genétcos (AG s). Em seguda são lstados os prncpas obetvos da pesqusa.

27 7 No capítulo 2 são apresentados os fundamentos, funções e equações em acústca, determnando-se a função de Heavsde e o delta de Drac, e a equação ntegral de contorno bdmensonal que servrão para posteror formulação do MEC. No capítulo 3 é apresentada o Método do Elemento de Contorno para problemas bdmensonas governados pela equação da onda escalar. O capítulo 4 apresenta o procedmento para resolver o problema da localzação do dano (furo). É aplcada a técnca heurístca de otmzação, os AG s, com o obetvo de se obter o mío de uma função, ou sea, a localzação da proxmdade do furo. No capítulo 5 são apresentados os resultados e as dscussões referentes ao assunto estudado, exemplfcando as soluções obtdas com o uso do método dos elementos de contorno em acústca e dos AG s. Fnalmente no capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho e sugestões para trabalhos futuros. No fnal do trabalho é dexado para consulta as referêncas bblográfcas utlzadas para a concretzação desta dssertação.

28 Capítulo 2 EQUAÇÕES INTEGRAIS DE CONTORNO PARA PROBLEMAS TRANSIENTES GOVERNADOS PELA EQUAÇÃO DA ONDA ESCALAR Os fundamentos no campo da acústca são apresentados abaxo baseados no trabalho de Mansur (1983). Os fundamentos, funções e equações em acústca, servrão para posteror formulação do MEC, determnando-se a função de Heavsde e o delta de Drac, e a equação ntegral de contorno bdmensonal equação de onda escalar transente. 2.1 INTRODUÇÃO Segundo Mansur (1983) as equações dferencas mas complcadas podem algumas vezes ser reduzdas a um conunto de equações de onda, devdo à smplcdade destas. Por meo do estudo dessa equação é mas fácl entender os concetos báscos e nvestgar técncas de análse que podem ser estenddas a problemas mas complcados. Este capítulo trata da redução da equação da onda escalar (equação dferencal) a uma equação ntegral. Para este propósto funções de Green (soluções fundamentas) para domínos nfntos unto com uma relação resdual ponderada são empregadas. A representação ntegral de Krchhoff obtda e então o problema bdmensonal é formulado usando o método de descda (descent).

29 2.2 O PROBLEMA DE VALOR INICIAL DE CONTORNO EQUAÇÃO DE ONDA ESCALAR TRANSIENTE 9 (3.2.1) A equação da onda elástca pode ser escrta em termos de um potencal u como a Eq. u&& u γ c 2 = 2 (2.2.1) onde c é a velocdade de propagação da onda, γ descreve espaço e tempo dependendo da densdade fonte e 2 2 &&. A regão Ω na qual soluções bdmensonas da Eq. (2.2.1) u = u t são procuradas, ou sea, o contorno Γ de Ω pode ser composto de váras superfíces regulares fechadas nas quas podem ter cantos ou extremdades fornecdas que não são muto acentuados. A fm de encontrar a solução partcular para a Eq. (2.2.1) que corresponde a um problema específco que necessta ser resolvdo, é necessáro especfcar as condções ncas apresentadas pela Eq. (2.2.2) (,0) = ( ) u x u x (,0) = ( ) 0 v x v x 0 no Ω em t = 0 (2.2.2) E as condções de contorno defndas pela Eq. (2.2.3) são u = u em Γ 1 (2.2.3) u p = u,n = = p n Γ em 2 Onde Γ = Γ 1 + Γ 2 e n é a coordenada na dreção paralela ao vetor untáro externo n, normal a Γ.

30 2.3 DELTA DE DIRAC E FUNÇÕES HEAVISIDE 10 Quando se estuda a função de Green é convenente empregar a função delta de Drac. Em uma dmensão o delta de Drac é defndo pela Eq. (2.3.1) ( x a) 0 δ = quando x a e + δ ( x a) f ( x) dx = f ( a) (2.3.1) As dervadas do delta de Drac são funções tas que pela Eq. (2.3.2) + ( k ) ( ) 0 δ x a = quando x a e δ ( k ) ( ) ( ) = ( ) 1 k ( k ) ( ) x a f x dx f a (2.3.2) ( ) ( ) k onde δ x a e k x a k x δ ( k f ) ( a ) representam ( ) k e f ( x) k x= a x, respectvamente. A defnção da função delta de Drac pode ser faclmente estendda a domínos que não seam undmensonas. Quando um domíno Ω b ou trdmensonal é consderado, o delta de Drac pode ser defndo como pela Eq. (2.3.3), ( q s) 0 δ = quando s q e + δ ( q s) f ( q) dω ( q) = f ( s) (2.3.3) onde s e q representam dos pontos dentro de Ω. As Funções de Green bdmensonas que correspondem a Eq. (2.2.1) pode ser convenentemente representada usando a função Heavsde, como mostrado na Fgura 2.1, dada pela Eq. (2.3.4),

31 1 se x > a H ( x a) = 0 se x < a (2.3.4) 11 Fgura 2.1 A função Heavsde O delta de Drac e as funções Heavsde podem estar relaconados recprocamente mostrado na Eq. (2.3.5): d H ( x a ) = δ ( x a ) (2.3.5) dx Na dscussão apresentada anterormente, defnções e também certas propredades báscas do delta de Drac e das funções Heavsde são apresentadas. Propredades adconas àquelas prevamente descrtas serão ntroduzdas onde for necessáro. 2.4 EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO BIDIMENSIONAL EQUAÇÃO DE ONDA ESCALAR TRANSIENTE Mansur (1983) mostra que um problema bdmensonal pode ser vsto como um problema trdmensonal no qual u é uma função de somente duas coordenadas retangulares, ou sea, como se pode observa na Eq. (2.4.1)

32 (, ) u ( x, x, t) u x t = (2.4.1) A equação (2.4.1) mplca que trações, densdade fonte e coordenadas ncas são também ndependentes de x 3. Neste caso, o domíno no qual o problema é estudado pode ser consderado ser um clndro cuo exo tem comprmento nfnto e é paralelo à dreção x 3. Então, o domíno Ω bdmensonal e o contorno Γ são defndos pela ntersecção do clndro com o plano (, ) x x como representado na Fgura Fgura 2.2 Domíno bdmensonal com um contorno Γ do tpo Kellog. Após algumas formulações pode-se chegar a ntegral fnal que descreve o contorno Γ. A ntegral fnal declara que para pontos localzados no contorno Γ é escrta como a Eq. (2.4.2) 4π 1 + c ( S) u( S, t) Ω = * Bou o + t 0 Γ + u + t * r * * v 1 u p dγdτ + B u + u dγdτ + 0 Γ 2 n c c + u u t o * o * + uo dω + γu d dτ r r Ω 0 Ω * o Ω * u v dω o o (2.4.2) Onde * u e * u o são dados respectvamente pelas Eqs. (2.4.4) e (2.4.3),

33 13 v u * o * o * u = τ = u * τ = 0 τ = 0 (2.4.3) A solução fundamental em 2D expandda para fora da ntegração é defnda pela Eq. (2.4.4) u c, = H[ c( t τ ) r] (2.4.4) c r ( q t; s, t) * 2 ( t τ ) No entendmento do fenômeno da propagação da onda, a fórmula de Volterra pode ser usada para obter soluções analítcas. De qualquer forma prmeramente, tem-se que provar maores transformações para se poder usar a fórmula na análse numérca. Para uma dscussão mas detalhada neste assunto, a atenção devera ser dreconada ao trabalho de Mansur (1983).

34 Capítulo 3 MÉTODO DO ELEMENTO DE CONTORNO PARA PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS GOVERNADOS PELA EQUAÇÃO DE ONDA ESCALAR Na formulação do problema dreto é utlzado o método dos elementos de contorno em acústca (MEC-Acústca), baseada no trabalho de Mansur (1983). O problema dreto consste em determnar os efetos provocados por nformações conhecdas que são aplcadas na estrutura por meo de um processo matemátco. Exstem dos tpos de formulação para a utlzação do MEC, uma no domíno da freqüênca e outra no domíno do tempo. Neste trabalho é utlzado o problema acústco no domíno do tempo harmônco. Neste capítulo será apresentada o Método do Elemento de Contorno para problemas bdmensonas governados pela equação de onda escalar. 3.1 INTRODUÇÃO Mansur (1983) defne que as funções de nterpolação de tempo e espaço, smlares áquelas usadas em elementos fntos, podem ser empregadas para transformar a equação ntegral (2.4.2) em um sstema de equações algébrcas cua solução fornece os contornos desconhecdos u e p. O potencal u ( s, t ) em pontos nternos pode então ser calculado pelo uso da Eq. (2.4.2) com c( S ) = 1.

35 O esquema de tempo frontera (tme marchng) consdera cada passo de tempo como um novo problema e consequentemente no fnal de cada ntervalo tempo, valores de deslocamentos e velocdades são calculados para um número sufcente de pontos nternos; sto é, a fm de usá-los como pseudo condções ncas para o próxmo passo, ou sea, a equação ntegral (2.4.2) é aplcada de 0 a t, 15 t a 2 t, etc. Entretanto, o processo de ntegração de tempo é sempre consderado começar no tempo 0 e, então, os valores de deslocamento e velocdades não necesstam ser calculados em passos ntermedáros. Com este procedmento, a dscretzação do domíno é restrngda a regões onde a densdade fonte e condções ncas não desaparecem. Integrações do domíno no passo de tempo são então evtadas no custo de ter que computar ntegrações de tempo para todos passos de tempo anterores a. Esta técnca é especalmente aproprada para domínos nfntos e semnfntos. 3.2 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA Nesta seção a mplementação numérca da equação (2.4.2) é dscutda Integras de contorno A fm de mplementar um esquema numérco para resolver a equação (2.4.2), é necessáro consderar um conunto de pontos dscretos (nós) e, também, um conunto de valores de tempo t n, n 1,, N Q, = 1, K, J no contorno Γ, = K. u ( Q, t ), v( Q, t ) e p( Q, t ) podem ser aproxmados usando um conunto de funções de nterpolação como ndcado pela Eq. (3.2.1) m (, ) = φ ( ) η ( ) (, ) J N u Q t t Q u v Q t = = 1 n= 1 J N = 1 n= 1 J N ( t) ( ) m (, ) = θ ( ) υ ( ) = 1 n= 1 m dφ dt η m Q u p Q t t Q p m m (3.2.1)

36 16 onde m e referem-se ao tempo e espaço, respectvamente. φ m ( t), η ( Q), m ( t) ( Q) υ são escolhdos tas como na Eq. (3.2.2) θ e η ν m φ m θ ( Q ) ( Q ) ( tn ) ( t ) n = δ = δ = δ = δ mn mn (3.2.2) onde δ é o delta de Kronecker é defndo pela Eq. (3.2.3) e δ 1 quando = = 0 quando 0 quando = = 1 quando,, k estão em todas permutações de1,2,3, -1quando,, k estão em permutação sngular de1,2,3. (3.2.3) Portanto, pela Eq. (3.2.4) u (, ) (, ) = u Q t m m p = p Q t m m (3.2.4) Se a Eq. (2.4.2) é escrta para todo nó e para cada valor de tempo t n, e u, v e p são substtuídos por suas aproxmações dadas pela expressão (3.2.1), o segunte sstema de equações algébrcas é então obtdo pela Eq. (3.2.5)

37 c( S ) u H u G p F S M J M J n m m n n + = + + 4π m= 1 = 1 4π m= 1 = 1 (3.2.5) Onde H, G, n F e n S são defndos pelas Eqs. (3.2.6), (3.2.7), (3.2.8) e (3.2.9), respectvamente (, ) n( Q) m φ ( τ ) t r S Q n m H = η ( Q) φ ( τ ) B ( Q, tn; S, τ ) + Γ o 1 d + u Q tn S d dγ Q c dτ (, ;, τ ) τ ( ) (3.2.6) t n m ( ) ( ) (, ;, ) ( ) (3.2.7) G = ν Q θ τ u Q t S τ dτ dγ Q Γ o n n 1 F = u0 ( q, t 2 n; S ) v0 ( q) d ( q) c Ω + Ω 1 u + u0 ( q, tn; S ) d ( q) c Ω + Ω r S q 0 ( q) (, ) 1 + t B q t S u q dω q (, ; ) ( ) ( ) n 0 n 0 Ω r ( S, q) (3.2.8) t n n 0 Ω n (, ;, ) (, ) ( ) (3.2.9) S = u q t S τ γ q τ dω q dτ Devera ser reconhecdo que o tercero termo no lado dreto da equação (3.2.8) é a soma do prmero e do tercero termo do ntegrando da quarta ntegral no lado dreto da Eq. (2.4.2) Consdere t m ser tal que φ m ( τ ) = 0 sempre que τ < tm tm, (Fgura 3.1.a) e, um contorno de domíno por um círculo de rao c( t t t ) 3.1.b). n m m c ser + com o centro no nó (Fgura

38 18 a) b) m Fgura 3.1 Função de nterpolação φ ( τ ), domíno Γ. Ω e segmentos de contorno Γ c e Um coefcente H dado pela Eq. (3.2.6) é nulo sempre que Γ Γ c = ; é o espaço vazo, Γ c é Γ c e Γ é tal que ( Q) 0 φ = sempre que que uma dscussão smlar conduz a conclusões smlares para os coefcentes Eq. (3.2.7). Q Γ. Devera ser notado G dados pela Se Ω é c Ω, então devdo à propredade de causaldade, n F e n S, dadas respectvamente pelas Eqs. (3.2.8) e (3.2.9), podem ser obtdas efetuando ntegrações do domíno sobre no Ω somente, onde no Ω é equvalente a Ω para t = t = 0. Se a dscussão que acabou de ser realzada é levada em consderação, o tempo de computação pode ser economzado. Devdo à dfculdade de vsualzar como ncógntas do contorno varam com o tempo, é usual adotar a Eq. (3.2.10) m m t m 1 t = + m t = constante (3.2.10)

39 Neste caso, m ( t) sea, pela Eq. (3.2.11) φ pode ser desgnado como a propredade de translação de tempo, ou 19 m 1 ( t) ( t 1 t) m φ φ + = + (3.2.11) Assm, a Eq. (3.2.12) H G = H = G ( n+ 1)( m+ 1) ( n+ 1)( m+ 1) (3.2.12) Se a Eq. (3.2.12) é levada em consderação, um grande número de operações redundantes pode se evtado na análse numérca. Um esquema passo-tempo (tme-steppng), no qual a equação (3.2.5) é resolvda com sucesso para n = 1, K, N, pode ser usado para calcular as ncógntas (unknowns) tempo N u e N q no t N. A mplementação numérca atual de tal esquema requer, naturalmente, a especfcação do tpo de função de nterpolação a ser usada; sto será consderado adante. m m Incalmente, funções de nterpolação de tempo lneares φ ( τ ) e ( ) serão consderadas pela Eq. (3.2.13), ou sea, θ τ (Fgura 3.2) 1 ( τ t ) se t < τ < t t m m 1 φ ( τ ) = θ ( τ ) = ( t τ ) se t < τ < t t 0 caso contráro m 1 m 1 m m+ 1 m m+ 1 (3.2.13)

40 20 Fgura 3.2 Funções de nterpolação de tempo lneares para u e p no contorno Γ. A substtução da expressão (3.2.13) nas Eqs. (3.2.6) e (3.2.7) fornece a Eq. (3.2.14) ( ) ( ) I ( ) ( ) H = H + H F G = G + G I F (3.2.14) onde 1 r n 1 n H = η Q τ tm B + u dτ dγ t n m 1 c 1 r n 1 n H = η Q tm τ B u dτ dγ t n m c 1 n G = ν Q τ tm u dτ dγ t m 1 1 n G = ν Q tm τ u dτ dγ t m tm ( ) ( ) ( 1) I Γ t tm+ 1 ( ) ( ) ( 1 ) F + Γ t t m ( ) ( ) ( 1) I Γ t t m+ 1 ( ) ( ) ( 1 ) F Γ t + (3.2.15) Onde pela Eq. (3.2.16) tem-se (, ;, τ ) (, ;, τ ) u = u Q t S n n B = B Q t S n n (3.2.16)

41 m m Quando φ ( τ ) e ( ) θ τ são lneares, stuação a Eq. (3.2.17) mostra que H e 21 G são nulos sempre que m > n porque, nesta H c t H c t m ( n τ ) r φ ( τ ) m ( τ ) r θ ( τ ) n = 0 = 0 (3.2.17) Como lustrado na Fgura (3.3). Fgura 3.3 Ilustração da stuação na qual H = G = 0 A ntegração de tempo ndcada na equação (3.2.15) pode ser efetuada analtcamente dada pela Eq. (3.2.18)

42 2 r H = Q D dγ c t Γ n I ( ) η ( )( ) I 2 r H = Q D dγ c t Γ n F ( ) η ( )( ) F 2 G = Q E dγ c t I ( ) ν ( )( ) I Γ 2 G = Q E dγ c t F ( ) ν ( )( ) F Γ (3.2.18) 22 (3.2.19) m m Quando θ ( τ ) é constante (Fgura 3.4), θ ( ) τ pode ser representado da pela Eq. θ m 1 se t < m 1 τ < tm ( τ ) = (3.2.19) 0 caso contráro Fgura 3.4 Interpolação de tempo constante para p. A substtução da Eq. (3.2.19) na Eq. (3.2.7) ( ) t m n ν Γ tm 1 (3.2.20) G = Q u dτ dγ A ntegração de tempo analítca pode agora ser efetuada pela Eq. (3.2.21)

43 23 2 G = ν ( Q) F dγ c t (3.2.21) Γ onde ( D ), ( D ), ( E ), ( ) I trabalho de Mansur (1983). F I E e F F podem ser computados como mostrado no A fm de realzar numercamente as ntegrações ndcadas na equação (3.2.18) e (3.2.21), o contorno Γ deve ser substtuído por um contorno aproxmado. A dscretzação lnear é usada neste trabalho, ou sea, Γ é representado por uma sére de segmentos de lnha retos, e k (elementos), cada segmento lgado a dos nós consecutvos de Γ. l k e comprmento de e k e o vetor externo untáro normal à e k, respectvamente (Fgura 3.5). n k são o Quando dos elementos e p e e q com um nó comum são consderados, e a função de nterpolação η ( Q) e ( Q) (3.2.22) (vea a Fgura 3.6) ν são lneares, o uso de coordenadas naturas fornece a Eq. 1 ( ξ p + 1) Q ep 2 1 η ( ξ ) = ν ( ξ ) = ( ξ p 1) Q ep 2 0 caso contráro (3.2.22)

44 24 Fgura 3.5 Dscretzação lnear do contorno Γ. Fgura 3.6 Funções de nterpolação de espaço lnear para u e p no contorno Γ. Quando a Eq. (3.2.22) é consderada, a Eq. (3.2.18) é dada pela Eq. (3.2.23)

45 25 2 r r H = I D dγ p + D dγq c t ep n I eq n I ( ) η ( ) η ( ) 2 r r H = D dγ F p + D dγq c t ep F eq F n n 2 G = I E dγ p + E dγ q c t ep I eq I ( ) η ( ) η ( ) ( ) ν ( ) ν ( ) 2 G = E dγ F p + E dγ q c t ep F eq F ( ) ν ( ) ν ( ) (3.2.23) Desde que as funções de nterpolação são expressas em termos de coordenadas homogêneas ξ, uma mudança de coordenada tem que ser efetuada antes de realzar a ntegração ndcada na expressão (3.2.23). m Quando θ ( ) escrta como na Eq. (3.2.24) τ é constante e a Eq. (3.2.22) é levada em consderação, a Eq. (3.2.21) é 2 G = G = ν F I dγ p + ν F dγ q c t e p eq ( ) ( G ) F = 0 (3.2.24) Quando n = m, o coefcente ( H ) na expressão (3.2.23) contém ntegras que devem I ser avaladas no sentdo do valor prncpal de Cauchy. A função sendo ntegrada tem uma sngulardade do tpo 1 r. Entretanto, quando a dscretzação lnear é usada, estas ntegras desaparecem devdo à ortogonaldade de Γ k e n k (vea a Fgura 3.5) que faz com que r n = 0. Este problema merece atenção especal quando funções de nterpolação de ordem mas alta do que a lnear são usadas para aproxmar a geometra do contorno Γ.

46 Quando n = m, o coefcente ( G ) na expressão (3.2.23) e (3.2.24) contém ntegras I que têm uma sngulardade do tpo ln r. Estas ntegras podem ser computadas no sentdo ordnáro usando quadratura Gaussana. Entretanto, uma grande precsão pode ser obtda se estas ntegras são resolvdas analtcamente no lugar de resolvê-las numercamente. O restante dos coefcentes nas expressões (3.2.23) e (3.2.24) pode ser calculado usando a fórmula da quadratura padrão de Gauss. Outra stuação que pode ser examnada é aquela na qual η ( Q) e ( Q) constantes, ou sea, pela Eq. (3.2.25) 26 ν são η 1 quando Q e = = (3.2.25) 0 caso contráro ( Q) ν ( Q) Neste caso um nó pode ser consderado como pertencente a um conunto dscreto de pontos Q no contorno Γ, = 1, K, J onde cada Q é colocado no meo de um elemento e como mostrado na Fgura 3.7. Fgura 3.7 Posção dos nós quando funções de nterpolação constantes η e ν são usados.

47 m m Quando φ ( τ ) e θ ( ) τ são lneares, a segunte expressão pode ser escrta pela Eq. 27 (3.2.26) 2 r H = D dγ c t e n I ( ) ( ) I 2 r H = D dγ c t e n F ( ) ( ) F 2 G = E dγ c t I ( ) ( ) I e 2 G = E dγ c t F ( ) ( ) F e (3.2.26) m Devera ser reconhecdo que neste caso c( S ) é sempre 1 2. Quando θ ( ) constante, ( G ) e ( ) I G pode ser calculado da Eq. (3.2.27) F τ é 2 G = F dγ I c t e ( ) ( G ) F = 0 (3.2.27) Por causa da propredade da causaldade (causalty property) uma stuação exste, na qual é necessáro realzar ntegrações numércas de funções que são nulas sobre parte de um elemento. Neste caso, torna-se óbvo que uma grande precsão podera ser obtdo se tas ntegrações forem realzadas de a 1 k em lugar de a k como descrto na Fgura 3.8. Fgura 3.8 Integrações sobre parte de um elemento.

48 28 A solução fundamental do problema sob consderação sugere que o número de pontos de Gauss pode ser gradualmente reduzdo quando ( t τ ) torna-se maor Integras de domíno As contrbuções de domíno devdo às condções ncas podem ser calculadas da Eq. (3.2.8) que pode ser escrta como na Eq. (3.2.28) n 1 n 1 n u 1 n F = u 2 0 v0 dω q + u0 dω q + tn B0 u0 dω q c Ω c Ω r Ω r 0 ( ) ( ) ( ) (3.2.28) n onde u n = u ( q t S ) e B B ( q t S ) 0 0, ; n 0 = 0, n;. A fm de efetuar as ntegrações ndcadas na Eq. (3.2.28), o domíno Ω é dvddo em L subdomínos trangulares, pode ser escrta como a Eq. (3.2.29) O l (células), como mostrado na Fgura 3.9. Então a Eq. (3.2.28) L n 1 n 1 n u0 F = u 2 0 v0 d ( q) u0 d ( q) Ol Ol l 1 c Ω + c Ω + = r 1 n + tn B0 u0 dω( q) Ol r (3.2.29)

49 29 Fgura 3.9 Dscretzação do domíno Ω em células trangulares. A posção de um ponto q dentro de uma célula pode ser convenentemente defnda por coordenadas trangulares, ou sea, pela Eq. (3.2.30) tem-se A1 µ 1 = A A2 µ 2 = A A3 µ 3 = A µ + µ + µ = (3.2.30) l l l onde A 1, A 2 e A 3 são respectvamente as áreas dos trângulos O 1, O 2 e O 3 representados na Fgura 3.10, e A = A1 + A2 + A3 é a área da célula O l. Devera ter sdo mas consstente, consderando a notação, ter usado l µ, l A e l A, quando estes parâmetros referem-se à célula O l. Entretanto, a fm de evtar ter um número excessvo de índces, será usado somente quando confusão for provável.

50 30 Fgura 3.10 Áreas para a defnção de coordenadas trangulares. Quando u 0 e v 0 são nterpolados lnearmente dentro de cada célula, a segunte Eq. (3.2.31) pode ser escrta u v = u µ 0 0 = v µ 0 0 ( = 1,2,3) (3.2.31) onde u 0 e v 0 são respectvamente o deslocamento ncal e a velocdade ncal no nó da célula (3.2.32) O l. u0 r é também requerdo e pode ser calculado da Eq. (3.2.31), dando a Eq. u0 µ = uo r r (3.2.32)

51 Coordenadas trangulares podem ser relaconados a coordenadas retangulares do segunte modo mostrado na Eq. (3.2.33) 31 0 Aα 1 µ α = + ( bα x1 + aα x2 ) (3.2.33) A 2A onde a = x x 2 α γ β 1 1 B = x x α β γ β γ γ β Aα = x1 x2 x1 x2 1 A = b a b a 2 ( ) (3.2.34) Na equação (3.2.34) α = 1, 2,3 para β = 2,3,1 e γ = 3,1,2. Consderando um sstema de coordenadas ( r, θ ) com orgem no ponto fonte representado na Fgura 3.11, a equação (3.2.33) torna-se na Eq. (3.2.35) S como onde ( ) µ = C + D θ r (3.2.35) α α α 0 Cα = Aα A 1 Dα = bα + aα sen 2A ( cosθ θ ) (3.2.36)

52 32 Fgura 3.11 Coordenadas polares baseados no ponto fonte S. Tomando as fórmulas (3.2.31), (3.2.32) e (3.2.35) em consderação, u 0, v 0 e u0 r pode ser expressa pela Eq. (3.2.37) ( θ ) u0 = u0α Cα + Dα r ( θ ) v0 = v0 α Cα + Dα r u0 = u0 α Dα ( θ ) r ( α = 1, 2,3) (3.2.37) Integrações sobre uma célula podem ser realzadas usando coordenadas polares. Neste trabalho, tas ntegras são obtdas como uma soma de três ntegras sobre o domíno E 1, E 2 e E 3 representados na Fgura 3.12, uma maor dscussão sobre essas equações pode ser encontrada no trabalho de Mansur (1983). Portanto, quando a fórmula (3.2.37) é substtuída na expressão (3.2.29), torna-se a Eq. (3.2.38)

53 33 α α ( 0α 0α ) ( α 1, 2,3) L n n n l l l= 1 F = R v + T u = (3.2.38) onde v0 α e u0 α representam respectvamente os valores de v 0 e u 0 em um nó α da célula e pela Eq. (3.2.39) O l, 3 1 θv gt ( θ αn ) n Rl = u0 Cα + Dα ( θ ) r rdrdθ c 2 θu 0 t= 1 3 θv gt ( θ αn ) 1 n n Tl = u0 ( ) 0 ( ) u 0 Dα θ r tnb Cα Dα θ r rdrdθ θ + + t= 1 c l l (3.2.39) Na expressão (3.2.39), t = 1,2,3 para u = 2,3,1 e v = 1,3,2, g t ( θ ) ( θ ) quando ( θ ) quando ( θ ) r r < ct = ctn rt > ctn t t n (3.2.40) e r ( ) t θ, θ t, θ u e θ v são mostrados na Fgura A expressão (3.2.39) pode agora ser ntegrada analtcamente com relação a r, dando a Eq. (3.2.41) 2 2 { 2 ( ) ( ) ( ) α } 1 2 α R c ct VV D θ g θ VV c t V dθ 3 θ αn v l = n t n c + θ + u t= 1 3 θ αn v V 1 V 1 Tl = 2 cα 1 + Dα ( θ ) ctn V3 + VV 1 2 dθ θu t= 1 V2 V2 l l (3.2.41) onde

54 V = ct g 1 2 t ( θ ) ( θ ) ( θ ) t V3 = arcsen ct n n V = ct + g n t g (3.2.42) 34 Fgura 3.12 Domínos usados para ntegrar sobre uma célula. Fgura 3.13 Defnções com propósto de ntegração de células. Integração em relação a θ pode ser efetuada usando quadratura Gaussana undmensonal. Isto pode ser feto pela troca smples da varável θ como segue na Eq. (3.2.43)

55 ξ 1 θ = ( θv θu ) + ( θv + θu ) (3.2.43) onde ξ é defndo no ntervalo [ 1,1]. Se a dstrbução espacal da densdade fonte pode ser representada pela função delta de Drac, ou sea, pela Eq. (3.2.44) tem-se ( q ) f ( ) ( q q ) γ τ = τ δ (3.2.44), c A ntegração sobre Ω mostrado na Eq. (3.2.9) pode ser efetuada analtcamente dando a Eq. (3.2.45) S = f τ u q t S τ dτ (3.2.45) ( ) (, ;, ) n t n 0 c n Quando f ( τ ) é nterpolado lnearmente sobre o tempo, a segunte expressão pode ser escrta pela Eq. (3.2.46) f N = m f (3.2.46) m= 1 m ( τ ) θ ( τ ) m m onde θ ( τ ) é dado pela Eq. (3.2.13) e ( ) escrto como na Eq. (3.2.47) f = f t m. Então, a equação (3.2.45) pode ser S = w f (3.2.47) N n m m= 1

56 onde e 1 m n m n = m + m t t + 1 ( τ )( ) τ ( 1 τ )( ) τ t tm 1 c + (3.2.48) tm c w t u d t u d n ( u ) u ( qc, tn; S, τ ) c = (3.2.49) 36 A ntegração analítca da Eq. (3.2.48) fornece a Eq. (3.2.50) 2 c c = ( ) + ( ) I F w E E c t (3.2.50) onde ( ) c I E e ( E ) c foram obtdas por Mansur (1983) para calcular ( E ) c e ( E ) c F I F fazendo r = rc ; c r é dada pela Eq. (3.2.51) r = q q (3.2.51) c c Quando a densdade fonte é dstrbuída sobre Ω, ntegrações de volume e tempo podem faclmente ser efetuadas usando funções de nterpolação de tempo de domíno respectvamente como aparece nas equações (3.2.13) e (3.2.31) Nós duplos Uma stuação muto comum em problemas de propagação de onda dz respeto a p sendo descontnuo no contorno. Um modo convenente de analsar este tpo de problema é aquele no qual dos valores dstntos de trações, r p e l p, e dos valores de deslocamentos, r u e l u, são consderados na vznhança de cada ponto onde uma descontnudade pode ocorrer (vea a Fgura 3.14). Então, para cada um destes pontos dos contorno desconhecdos extras