SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DO CALOR BIDIMENSIONAL COM CONDUTIVIDADE TÉRMICA DEPENDENTE DA TEMPERATURA E GERAÇÃO DE CALOR

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1 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DO CALOR BIDIMENSIONAL COM CONDUTIVIDADE TÉRMICA DEENDENTE DA TEMERATURA E GERAÇÃO DE CALOR E. T. CABRAL,. A. ONTES, H. K. MIYAGAWA, E. N. MACÊDO 3 e J. N. N. QUARESMA 3 Unversdade ederal do ará, rograma de ós-graduação em Engenhara Químca Unversdade ederal do ará, rograma de ós-graduação em Engenhara de Recursos Naturas da Amazôna 3 Unversdade ederal do ará, aculdade de Engenhara Químca E-mal para contato: et.cabral@yahoo.com.br RESUMO O presente trabalho busca aplcar a solução híbrda da Técnca da Transformada Integral Generalzada na solução da equação da condução de calor em aletas longtudnas bdmensonas de perfl não-varável com condutvdade térmca dependente da temperatura com geração de energa decando exponencalmente com a posção caracterzando um problema não-lnear e não-homogêneo. ara sso, fo utlzada a formulação em termos de varáves admensonas com objetvo de smplfcar o estudo do domíno da solução, a partr do balanço de energa aplcado no volume de controle. oram estudados dos casos lmtes para Bot tendendo a zero e nfnto obtendo-se resultados semelhantes aos obtdos pela sub-rotna SH da bbloteca ISML contda na lnguagem de programação centífca ortran 9/95.. INTRODUÇÃO Uma varedade de problemas de condução de calor não-lneares tem sdo tratada pela Técnca da Transformada Integral Generalzada (em nglês GITT), a qual tem se mostrado como uma poderosa ferramenta na solução dessa classe de problemas (Cotta, 99; Cotta, 993; Cotta e Mkhalov, 997). Essa técnca é baseada no uso de expansões de autofunções ortogonas para expressar as varáves dependentes desconhecdas (Slva e Sphaer, ; Sphaer et al., ). Aletas (ou superfíces estenddas) são projetadas com o objetvo de ntensfcar a transferênca de calor através do aumento da área de troca térmca em equpamentos térmcos (Ramos, 993), em função dsso sua análse desempenha um papel fundamental no estabelecmento da efcênca da transferênca de calor para dversas geometras (Malk e Rafq, ). O presente trabalho vsa contrbur com o entendmento do fenômeno de transferênca de calor em superfíces estenddas de perfl não-varável a partr da aplcação da GITT em um problema tdo como complexo em vrtude da condutvdade térmca ser dependente da temperatura e a exstênca do termo de geração de energa, o qual deca exponencalmente com a posção caracterzando, desta Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos

2 forma, um problema não-lnear e não-homogêneo. A gura a segur apresenta o modelo físco concetual para o problema a ser estudado.. ANÁLISE gura Representação concetual do problema estudado. O problema da condução de calor bdmensonal com condutvdade térmca varável e geração de calor na sua forma admensonal pode ser escrto como: K K G e X X Y Y Y ( ) ( ), X, Y (a) (, Y) ; X (, Y ), ( X,) ; ( X,) K( ) B ( X,), Y Y (a, b) X (3a, b) Com os seguntes grupos admensonas: T T x y k k T T T T L L k k w ; X ; Y ; ( ) b ; b ; w x y hly L g L x x B ; cl ; ; G y k L k T T y w (4a e) (5f-) ropondo-se K( ) U X, Y b X, Y e W( X, Y) U X, Y são modfcadas, resultando:, as Equações a 3 Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos

3 W W X Y * W, Y X G Y ; W, Y, Y W X, W X d f B W X B X Y *, ;,, m (6) (7a, b) (8a, b) em que: b (9) * Y G Y G Y bg e B * B Bm () / / W W O sstema composto pelas Equações 6, 7 e 8 é smplfcado em um problema partcular e um fltrado ( W e W, respectvamente) a partr da segunte proposta de solução:,,, W X Y W X Y W X Y ().. roblema partcular - W X, Y W W G X Y * W X, Y Y ; W, Y, Y W X, W X, f ; B W X, B, X m m Y () (3a, b) (4a, b) Consderando-se a segunte proposta de solução:,, W X Y W Y W X Y (5) roblema partcular -W ( ) Y : dw Y bg e dy (6) Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos 3

4 dw W f ; B W m B (7a, b) m dx roblema fltrado -W (, ) X Y : W W X W X, Y Y ; W, Y W, Y W X, W X,, B W X,, X m Y (8) (9a, b) (a, b) O sstema formado pelas Equações 6 e 7 é soluconado analtcamente. O descrto pelas Equações 8, 9 e possu solução analítca pela Técnca da Transformada Integral Clássca (em nglês CITT), cujo problema de autovalor assocado é: d dy () l l l dl ; B (a, b) l m l dy onde os autovalores são as raízes da equação: B cos sn (3) l l m l e a autofunção é: ( Y) sen( Y) (4) l A norma é defnda por: l sen l ( ) ( ) dy (5) N Y dy sen Y l l l 4 O par transformada-nversa é: l ( ) (, ) Transformada l l (6) W X Y W X Y dy Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos 4

5 W X, Y ( Y) W X Inversa (7) l l l em que a autofunção normalzada é: l (8) l N l Operando-se o sstema de Equações 8, 9 e com a ntegral l ( Y) dy, resulta: dw l W l l dx dw l dx (9) ; W l W dy (3a, b) l O sstema de Equações 9 e 3 fo soluconado analtcamente para cada índce l de forma analítca utlzando a rotna DSolve do software Mathematca... roblema fltrado - W X, Y W W X W X, Y Y ; W, Y, Y (3) (3) W X, f W ; (33),, W X W X B W X, W X, B, X m m Y Y O sstema de Equações 3, 3 e 33 é soluconado pela GITT. Cujo problema de autovalor assocado é defndo pelas Equações 34 e 35 a segur: d dx d (34) dx ; (35a, b) Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos 5

6 onde os autovalores são calculados a partr de: cos( ) (36) e a autofunção é defnda como: ( X) cos( X) (37) A norma é calculada: N X dx X dx ( ) cos( ) (38) O par transformada-nversa para, W X Y é: ( ) (, ) Transformada (39) W Y X W X Y dx W X, Y ( X ) W Y Inversa (4) onde a autofunção normalzada é: (4) N Operando-se as Equações 8, 9 e com a ntegral ( X ) dx, o resultado é: dw W dy (4) nt nt nt dw W f W dx ; C W W C W B B W C (43a, b) jk j k 3j j m m j k j dy O sstema defndo pelas Equações 4 e 43 fo soluconado numercamente pela rotna NDSolve do software Mathematca, onde os coefcentes são calculados pelas Equações 44 a segur: W C dx C W dx C dx Y ; ; jk j k 3j (44a, b, c) j Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos 6

7 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Dos casos lmtes foram escolhdos para verfcação da solução proposta neste trabalho, e os resultados foram comparados com os obtdos através método de dferenças fntas pela subrotna SH da bbloteca IMSL (IMSL, 99) contda na lnguagem de programação ortran 9/95. No Caso consdera-se b =, B e as demas constantes guas à undade enquanto que no Caso, b =, B e as demas constantes guas à undade. A convergênca da solução pela GITT fo realzada consderando o número de termos do problema partcular (NT) e o número de termos do problema fltrado (NT). A Tabela mostra a convergênca para os Casos e para NT = 35 e NT =, e 5. Tabela - NT = 35, NT varável Caso Caso NT = NT = X\Y X\Y NT = NT = X\Y X\Y NT = 5 NT = 5 X\Y X\Y Como pode ser notado na Tabela, nos casos estudados, o problema não é nfluencado pelo número de termos na solução do problema fltrado. Já a Tabela mostra a convergênca da solução para NT = com NT =, 3 e 4. Nota-se a convergênca da solução de acordo com o aumento do número de termos da solução partcular e a dfculdade da convergênca em X =. Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos 7

8 Tabela - NT =, NT varável Caso Caso NT = NT = X\Y X\Y NT = 3 NT = 3 X\Y X\Y NT = 4 NT = 4 X\Y X\Y Nas Tabelas 3 e 4 os dados dos Casos e, com 4 termos, podem ser observados e comparados com a solução do mesmo problema pela sub-rotna SH. A sub-rotna converge para uma malha unforme x. Tabela 3 - Resultados Caso GITT (resente Trabalho) X\Y SH X\Y Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos 8

9 Na Tabela 3 nota-se que os resultados obtdos pela GITT possuem boa concordânca com os obtdos pela sub-rotna SH prncpalmente para pontos não muto próxmos do contorno em X =. Na Tabela 4, para o Caso, o comportamento observado na Tabela 3 é repetdo. Tabela 4: Resultados Caso GITT (resente Trabalho) X\Y SH X\Y Em ambos os casos estudados, os valores em X = apresentam comportamento osclatóro característcos de soluções por séres. orém, esse comportamento é suavzado aumentando-se o número de termos na solução do problema partcular. Além dsso, é observado nas Tabelas 3 e 4 que em X = esse comportamento também é suavzado nos pontos próxmos de Y =. Verfca-se que nas Tabelas 3 e 4 no ponto (,) para os resultados da GITT e da sub-rotna SH não são nformados valores em vrtude de nesses pontos ocorrerem sngulardades. 4. CONCLUSÃO A partr da análse de convergênca da solução pela GITT, realzada levando em conta NT e NT com b = e as demas constantes guas à undade, conclu-se que nos casos estudados o problema não é nfluencado pelo número de termos na solução do problema fltrado, uma vez que quando b = a solução do problema é uma solução do problema partcular. ercebe-se também que a convergênca da solução melhora a medda que é aumentado o número de termos da solução partcular e que exste uma dfculdade na convergênca em X =. o possível observar que os resultados obtdos pela GITT possuem boa concordânca com os obtdos pela sub-rotna SH para pontos não muto próxmos do contorno em X =. Os resultados em X =, em ambos os casos estudados, apresentam comportamento osclatóro, o que é comum em soluções por séres, no entanto, é possível suavzar essa osclação a medda que se aumenta o número de termos na solução do problema partcular. Nota-se também que em X = esse comportamento é atenuado nos pontos próxmos de Y =. Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos 9

10 Conclu-se, deste modo que o objetvo deste trabalho fo alcançado, uma vez que fo demonstrada a complexdade do comportamento do fenômeno de transferênca de calor em superfíces estenddas quando a condutvdade vara com a temperatura, bem como a técnca empregada fo capaz de resolver os casos propostos alcançando convergêncas satsfatóras. 5. REERÊNCIAS BIBLIOGRÁICAS COTTA, R. M. Hybrd numercal/analytcal approach to nonlnear dffuson problems. Num. Heat Transfer, art B: undamentals. v. 7, p. 7-6, 99; COTTA, R.M. Integral transforms n computatonal heat and flud flow. Boca Raton: CRC ress, 993; COTTA, R.M.; MIKHAILOV, M.D. Heat conducton: lumped analyss, Integral transforms, Symbolc Computaton. Chchester: John Wley & Sons Ltd., 997; IMSL Lbrary. Houston: Math/Lb, 99; MALIK, M. Y.; RAIQ, A. Two-dmensonal fn wth convectve base condton. Nonlnear Analyss: Real World Applcatons. v., p , ; RAMOS, R. Análse bdmensonal e não-lnear de aletas longtudnas de perfl varável va técnca de transformada ntegral generalzada. Tese (Mestrado em Cêncas em Engenhara Mecânca) Unversdade ederal do Ro de Janero. Ro de Janero, 993; SILVA, L. M.; SHAIER, L. A. Integral transform soluton of one-dmensonal dffuson problems usng an enclosng doman approach. In roc. of the 6th Natonal Congress of Mechancal Engneerng (CONEM). Campna Grande, B, Brazl, ; SHAIER, L. A.; COTTA, R. M.; NAVEIRA-COTTA, C..; QUARESMA, J. N. N. The UNIT algorthm for solvng one-dmensonal convecton-dffuson problems va ntegral transforms. I. C. Heat and Mass Transfer. v. 38, p , ; Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de rocessos