PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO MULTI-ÁREA COM RESTRIÇÕES DE CAPACIDADE DE TRANSMISSÃO RESOLVIDO ATRAVÉS DE UMA REDE DE HOPFIELD MODIFICADA

Transcrição

1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO MULTI-ÁREA COM RESTRIÇÕES DE CAPACIDADE DE TRANSMISSÃO RESOLVIDO ATRAVÉS DE UMA REDE DE HOPFIELD MODIFICADA Letca Takahash Unversdade Estadual Paulsta UNESP Bauru SP Departamento de Engenhara Elétrca takahash_let@yahoo.com.br Leonardo Nepomuceno Unversdade Estadual Paulsta UNESP Bauru SP Departamento de Engenhara Elétrca leo@feb.unesp.br Ivan Nunes da Slva Unversdade Estadual Paulsta UNESP Bauru SP Departamento de Engenhara Elétrca van@feb.unesp.br Resumo: Problemas de Despacho Econômco (DE) têm sdo resolvdos por redes neuras artfcas. As redes neuras envolvem estruturas massvamente paralelas não necesstam de tratamento especal para mplementação em computadores com arqutetura paralela. Entretanto, alguns métodos neuras apresentados na lteratura possuem problemas de convergênca efcente para os pontos de equlíbro (solução do DE). Outra defcênca apontada na lteratura dz respeto ao número de terações que em geral é muto grande para que a precsão desejada seja atendda. Além dsso, a maora dos métodos neuras aplcados à resolução de problemas de despacho econômco não trata problemas de despacho econômco mult-área. Este artgo desenvolve um método neural efcente para resolver problemas de DE mult-área com restrções da capacdade de transmssão. No método de Hopfeld modfcado proposto para a solução do DE, os pontos de equlíbro são obtdos efcentemente e a vabldade da solução do DE é garantda pela adoção da técnca do subespaço váldo. Resultados são realzados utlzando o sstema IEEE de 14 barras, que é subdvddo em 3 subsstemas, sendo fxados lmtes de segurança relaconados à capacdade de transmssão entre os subsstemas vznhos. As soluções do DE quando o sstema de transmssão é subdvddo nestas 3 áreas são comparadas com soluções do DE quando apenas uma únca área é representada. Os resultados também destacam a efcáca do método proposto para resolver problemas de DE mult-área. Palavras-Chave: Despacho Econômco, Fluxo de Potênca Ótmo DC, Redes Neuras, Otmzação Neural. Abstract: Economc Dspatch (ED) problems have been recently solved by neural approaches. Neural networks nvolve nherently massve parallel structure and are easy to be mplemented n hardware, thus specal treatment for parallel mplementaton are not necessary. However some neural approaches presented n the lterature fal to converge effcently to the equlbrum ponts (ED soluton) or take a large number of teraton to convergence. Also, major neural approaches for solvng ED problem do not address mult-area ED problems wth transmsson capacty constrants. Ths paper develops an effcent neural approach to solve mult-area ED problems wth transmsson capacty constrants. In the modfed approach proposed the equlbrum ponts are obtaned effcently and the feasblty of the ED soluton s guaranteed by the vald subspace technque adopted. Results are carred-out n the IEEE 14 test system,

2 whch s subdvded n three subsystems. Comparson between sngle area and mult-area representaton for the transmsson system s performed. The results also pont-out the effectveness of the proposed method for solvng mult-area ED problems. Keywords: Economc Dspatch, DC Optmal Power Flow, Neural Networks, Neural Optmzaton. 1. INTRODUÇÃO O propósto dos modelos de DE é calcular uma polítca ótma de despacho de geração, levando em consderação város aspectos relaconados à representação dos sstemas de transmssão, geração, etc. Mutos problemas de DE têm sdo propostos na lteratura apresentando dferentes níves de representação para a transmssão e sstema de geração. Em [2] é feta uma revsão dos avanços desta área. O modelo de DE clássco descrto em [1][2] é provavelmente o ponto ncal para modelos de despachos modernos. Modelos de Despacho Econômco Clássco (DEC) são lmtados para problemas de otmzação puramente atvos, levando em consderação as perdas, mas desprezando todos os aspectos relaconados à representação da rede de transmssão. Neste artgo, o DE é formulado com um problema de Fluxo de Potênca Ótmo DC, onde o sstema de transmssão é representado por equações de fluxo de carga lneares e lmtes nos fluxos de potênca atva. O modelo é formulado como um problema de DE mult-área e as restrções da capacdade de transmssão são levados em consderação. Como apresentado em [19], o sstema pode operar em estados nseguros quando restrções de capacdade de transmssão são gnoradas. Para evtar tas estados de rscos, as restrções da capacdade de transmssão têm sdo ncorporadas [10][20][21] nos modelos de DE recentes. Problemas de DE têm sdo resolvdos por uma varedade de técncas de otmzação, tas como: fluxo em rede [3], programação quadrátca [4], método dos pontos nterores [5], etc. A solução do problema de DE mult-área proposto é obtdo por uma abordagem neural. Algumas aplcações efcazes de redes neuras artfcas para o problema de DE têm sdo apresentadas recentemente na lteratura. Em [6], um método tentando unfcar o problema de unt commtment e funções de despacho de geração são descrtas. Em [7], uma rede neural de Hopfeld é proposta para resolver problema de DEC com função custo não-convexa. O esforço computaconal para resolver o problema é alto devdo ao grande número de terações para obter a precsão desejada. Em [8], um método de Hopfeld reduzndo consderavelmente o esforço computaconal é proposto. Entretanto, o método não é aplcado para funções não-convexas. Em [9], um modelo de Hopfeld para problema de DE consderando zonas probdas é desenvolvdo. Em [10] [11], um método de rede neural para resolver DEC com restrções de capacdade de transmssão fo prmeramente ncorporado ao problema de DE como uma extensão para os modelos resolvdos em [12] [17]. Neste trabalho, o método neural descrto em [18] é aplcado para resolver o problema de despacho mult-área levando em consderação restrções de capacdade do sstema de transmssão. Resultados de smulação envolvendo o sstema teste IEEE de 14 barras são apresentados para valdar a metodologa da solução. O sstema é subdvddo em 3 áreas, os resultados são comparados com o sstema dvddo em uma únca área e os despachos multáreas são analsados. O artgo é organzado como se segue. Na Seção 2 é apresentada a formulação do problema. Na Seção 3, é apresentada a rede de Hopfeld Modfcada e descrta a técnca do subespaço váldo para projetar os parâmetros da rede. Um mapeamento do problema de DE usando a rede de Hopfeld Modfcada é apresentada na Seção 4. Na Seção 5, resultados da 2322

3 smulação dos resultados são apresentados para valdar o método desenvolvdo. Na Seção 6, as conclusões prncpas são apresentadas. 2. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA O problema de DE é formulado como um fluxo de potênca ótmo DC através do segunte problema de otmzação: Mnmzar : sujeto a : DE onde: C T é o custo total de combustível. NG é o número de geradores dsponíves. C (P ) = a b P c 2 P (6) P é a potênca atva de saída da undade. a, b and c são os coefcentes de custo para. P é o vetor das njeções de potênca atva. B é a matrz de susceptânca da rede. θ é o vetor dos ângulos de tensão. mn P é a mínma geração de saída da undade. max P é a máxma geração de saída da undade. F (θ)=(θ k θ l ) / x k l (7) F é o fluxo de potênca atva no ramo (lnha ou transformador) conectando as barras k e l. θ k é o ângulo de tensão na barra k. x kl é a reatânca no ramo conectando as barras k e l. k F j é o fluxo de potênca atva sobre uma lnha (conectando as áreas j e k). Ω j é o conjunto das áreas conectando a área j fx F : é o fluxo de potênca atva fxo (por contrato) entre as áreas j e k. jk No modelo de DE, a segunda equação representa as equações de fluxos lneares. A tercera e quarta equações representam, respectvamente, os lmtes na geração de potênca atva e nos fluxos de potênca atva no sstema de transmssão. No sstema esses fluxos são representados por equações lneares. 3. A REDE DE HOPFIELD MODIFICADA mn mn P = B. θ P F P ( P ) As redes de Hopfeld têm sdo aplcadas em dversas classes de problemas de otmzação, demonstrando grande habldade na resolução destes tpos de problemas efcentemente. Pode ser verfcado em [14][15] que os pontos de equlíbro da rede de Hopfeld F C P T k Ω = j F NG = 1 ( θ ) k j C = F max max fx jk F (1) (2) (3) (4) (5) 2323

4 correspondem aos valores v(t) para os quas a função de energa (8) assocada com a rede, é mnmzada: 1 E t) = v T 2 () t T v() t v T () t b ( (8) Um mapeamento do DE usando uma rede de Hopfeld consste em se determnar a matrz de pesos T e o vetor de entradas b para obter os pontos de equlíbro. Uma função de energa modfcada E m (t) é usada neste processo. Esta função é defnda como segue: E conf op () t E ( t) E ( t) = (9) m onde E conf (t) é um termo de confnamento que agrupa as restrções de gualdade e desgualdade; e E ot (t) é um termo de otmzação que conduz a saída da rede aos pontos de equlíbro. Este método é contrastante com a maora das abordagens neuras usadas em problemas de DE, que se tornam nefcentes pelo fato de tratarem estes termos em uma únca função de energa. A operação da rede de Hopfeld modfcada consste de três passos prncpas: Passo (I): Mnmzação de E conf, correspondendo à projeção de v(t) no subespaço-váldo defndo por: conf conf ( t) v ( t 1) = T v (10) onde: T conf é uma matrz projeção (T conf. T conf = T conf ) e o vetor conf é ortogonal ao subespaço (T conf. conf = 0). Uma análse da técnca do subespaço-váldo é apresentada em [13]. Passo (II): Aplcação de uma função de atvação do tpo rampa smétrca não-lnear restrngndo v(t) em um hpercubo: nf nf lm, se lm > v nf sup g ( v ) = v, se lm v lm (11) sup sup lm, se v > lm nf sup onde v ( t) [lm, lm ]. Passo (III): Mnmzação de E op, o que envolve a atualzação de v(t) na dreção da solução ótma (defnda por T op e op ) correspondendo aos pontos de equlíbro da rede. Estes pontos são também as soluções para o problema do despacho econômco. Aplcando o gradente em relação ao termo de energa E op (t): op dv( t) E ( t) = v& = dt v op op op ( v) = t( T v ) v = t E (12) Desta forma, a mnmzação do termo E op (t) consste em atualzar v(t) na dreção oposta ao gradente de E op (t). Cada teração possu 2 estágos dferentes. Prmero, como descrto no Passo (III), v é atualzado usando o gradente do termo E op (t) separadamente. Em seguda, após cada atualzação, v é dretamente projetado no subespaço-váldo. Este é um processo teratvo, 2324

5 no qual v é prmeramente projetado ortogonalmente no subespaço-váldo defndo em (10). Em seguda, os seus elementos são lmtados pela função de atvação rampa-smétrca (11) dentro do nf sup. ntervalo [lm, lm ] 4. MAPEANDO O PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO Consdere o segunte problema de otmzação restrta, com m-restrções e n-varáves, defndo pelas seguntes equações: op Mn E () v = CT (13) s. a. : conf T E ( v) : A v b (14) mn max z v z (15) onde A R nxm, b R m, e c, v, z mn, z max R n. As condções em (14) e (15) defnem as fronteras de um poledro convexo. Neste caso, o vetor v, que corresponde às varáves no problema de DE {.e. v T = [P T θ T ]}, deve permanecer dentro deste poledro caso o mesmo represente uma solução válda para o problema de otmzação defndo em (13). Uma solução desse problema pode ser obtda através de uma rede de Hopfeld modfcada, na qual a técnca do subespaço-váldo garante que a condção (14) seja satsfeta. Além dsso, o hpercubo ncal representado pelas restrções em (15) é mapeado dretamente pela função rampa-smétrca (11) usada como uma função de atvação da rede. Os termos T conf e conf são calculados pela transformação das desgualdades (14) em gualdades. Introduzndo uma varável de folga [16] w R n para cada restrção de desgualdade, tem-se: q g ( v ) δ j. w j = 0 (16) j= 1 onde w j são as varáves de folga, tratadas como as varáves v e δ j é defndo pela função mpulso de Kronecker: 1, se = j δ j = (17) 0, se j Após esta transformação, o problema defndo em (13), (14) e (15) pode ser rescrto como: op Mn E ( v) = CT (18) s. a. : conf T E ()( v : A ) v = b (19) mn max z v z { 1.. n} (20) max 0 v z { n 1.. N } (21) onde N = n m, e v T = [v T w T ] R N é um vetor de varáves estenddas. Nota-se que E ot não depende da varável de folga w. Se as lnhas de A são lnearmente ndependentes, então a solução para (19) será dada por: 2325

6 v 1 T ( A ) A = A b (22) e a expressão do subespaço-váldo em (10) deve levar em consderação esta solução,.e.: conf 1 T ( A ) A = A b (23) A partr de (23), o parâmetro T conf é deduzdo como segue: v conf v = T v conf 1 T ( A ) A conf = T v A b Inserndo o valor de (19) em (25), a expressão para Tconf é dada por: ( ) T 1 A A ( ) T T = I A A onde I é a matrz dentdade. conf (24) (25) (26) Os parâmetros T op e op neste caso são tas que o vetor v é atualzado na dreção oposta ao gradente da função de energa E op. Uma vez que as condções dadas por (19), (20) e (21) defnem um poledro convexo fechado, então a função objetvo (18) possu um únco mínmo global ( T op =0 ). Assm, usando (8) e (12), os pontos de equlíbro da rede podem ser calculados assumndo-se os seguntes valores para T op and op : op f ( v) f ( v) f ( v) op = L ; T = 0 v1 v2 v N (27) 4. RESULTADOS DA SIMULAÇÃO Nesta seção, resultados da smulação e análses comparatvas são apresentados para valdar o método desenvolvdo. Testes são realzados utlzando o sstema teste IEEE de 14 barras, que é subdvdo em três áreas, de acordo com a Fgura 1. Neste sstema, cnco undades geradoras suprem uma demanda de 259 MW. Os parâmetros relatvos à função custo são apresentados na Tabela 1. Alguns casos são analsados como segue para lustrar a efcênca da solução do método em relação a algumas característcas específcas do modelo (restrções, função custo, etc). Tabela 1 Parâmetros Incas mn Undade a b c P max P

7 A A A Fgura1 - Sstema Mult-área Caso I) Despachos báscos, calculados pelos modelos únca-área e mult-área são apresentados na Tabela 2. Modelo DE Tabela 2 Resultados da Smulação (Caso I). P 1 P 2 P 3 P 6 P 8 Únca área Mult-área Fg.2. Evolução da Função Custo (únca área Caso I). Fg.3. Evolução da Função Custo (mult-área - Caso I). O modelo de DE únca área não consdera restrções de capacdade de transmssão entre subsstemas vznhos. A evolução da função custo é mostrada nas Fguras 2 e 3. O despacho fornecdo pelo modelo de DE com uma únca área não é seguro, dado que os lmtes nas lnhas não são tratados. Tas despachos foram rearranjados no DE mult-área para tratar essas restrções. O custo para operar em tas estados seguros é maor, como mostram as Fguras 2 e 3. As Fguras 2 e 3 mostram anda que a convergênca dos modelos para os pontos de equlíbro foram alcançadas em 25 e 50 terações, respectvamente. Essa é uma melhora consderável da abordagem proposta, já que as abordagens neuras descrtas em [6] [7] [9] geralmente levam mlhares de terações para atngr os pontos de equlíbro. 2327

8 Caso II) No Caso II, o lmte máxmo de geração para a undade 8 fo modfcado para 20 MW de modo a verfcar o comportamento da rede nos casos em que lmtes na geração devam ser tratados. O despacho calculado pelo método proposto é mostrado na Tabela 3. Como pode ser vsto nesta tabela, a geração de saída para a undade 8 fo convenentemente fxada em 20 MW. Tabela 3 - Resultados da Smulação (Caso II). Modelo DE P 1 P 2 P 3 P 6 P 8 Únca área Mult-área A evolução da função custo para problemas de DE únca área e mult-área são apresentadas, respectvamente, nas Fguras 4 e 5. A rede de Hopfeld Modfcada (HM) obteve a solução em 12 terações para o modelo de DE únca área e em 40 terações para o caso multárea. Fg.4. Evolução da Função Custo (Únca Área Caso II). Fg.5. Evolução da Função Custo (Mult-área - Caso II). Caso III) No Caso III, a solução do método HM é analsado quando lmtes no fluxo de potênca atva são tratados. Lmtes nas lnhas 1-5 e 7-9 são fxados em zero, smulando uma contngênca na lnha. O novo despacho calculado para problemas de DE únca área e mult-área é apresentado na Tabela 4 como segue: Tabela 4. Resultados da Smulação (Caso III). P Modelo DE 1 P 2 P 3 P 6 P 8 Únca área Mult-área Fg.6. Evolução da Função Custo (Únca área Caso III). Fg.7. Evolução da Função Custo (Mult-área Caso III). 2328

9 As fguras 6 e 7 mostram a evolução da função custo. O tratamento das restrções de fluxo de potênca atva não dfcultam a solução da abordagem HM proposta. A partr das fguras, nota-se que o número de terações é muto pequeno (somente 8 terações para o DE únca área e 10 terações para o modelo de DE mult-área). Os resultados descrtos nessa seção apontam as dscrepâncas entre problemas de DE únca área e mult-área. Os resultados mostram que quando as restrções na capacdade de transmssão não são levadas em consderação, podem ocorrer stuações operaconas de rsco. Os resultados também revelam que a nclusão de restrções de transmssão em modelos de DE podem ser mplementadas no método de HM proposto. Um despacho seguro pode ser calculado pelo problema de DE mult-área. A polítca do despacho seguro é, portanto, geralmente mas dspendosa, como destacado nos resultados. Na equação (12), t é o únco parâmetro de ajuste requerdo pelo método de HM. Todos os resultados foram obtdos utlzando o mesmo t. Assm, o método evta a sobrecarga adconal de ajustes de um grande número de parâmetros para resolver dferentes problemas de DE. 4. CONCLUSÃO Este artgo desenvolve uma abordagem neural efcente para resolver problemas de DE mult-área com restrções da capacdade de transmssão. No método de Hopfeld modfcado proposto os pontos de equlíbro são obtdos efcentemente e a vabldade da solução do DE é garantda pela técnca de subespaço váldo adotada. Os resultados focalzam as dscrepâncas entre o modelo de DE únca área e mult-área com restrções da capacdade de transmssão. Os resultados mostram que o método de Hopfeld Modfcado (HM) proposto é sufcentemente robusto para resolver problemas de DE mult-área. Apesar de neste trabalho as aplcações terem sdo fetas em sstemas teste do IEEE, a abordagem (com uma únca área) também tem sdo aplcada a sstemas de dmensões reas [18]. A nclusão de restrções de capacdade de transmssão torna o DE em uma solução segura. A segurança é obtda à custa de maores custos de geração. A abordagem HM apresenta as seguntes vantagens, quando comparadas a outras abordagens neuras: ) grande precsão nos pontos de equlíbro que representam as soluções dos problemas de DE; ) nclusão de termos dos termos de restrção em um únco termo de energa, representado por E conf (t); ) smplcdade de mplementação de problemas de despacho econômco de carga. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] H. H. Happ, Optmal Power Dspatch - A Comprehensve Survey, IEEE Trans. Power Apparatus and Syst., vol. PAS-96, pp , [2] B. H. Chowdhury and S. Rahman, A Revew of Recent Advances n Economc Dspatch, IEEE Trans. Power Systems, vol..5, pp , [3] J. S. Luo, E.F. Hll, T. H. Lee, Power System Economc Dspatch Va Network Approach, IEEE Trans. Power App. and Systems, vol. PAS 103, pp , [4] G.F. Red, L. Hasdorff, Economc dspatch usng quadratc programmng, IEEE Trans. Power App. and Systems, vol. PAS 92, pp , [5] Yan X. and Quntana V. H. An Effcent Predctor-Corrector Interor Pont Algorthm for Securty-Constraned Economc Dspatch, IEEE Trans on Power Syst. Vol 12, no. 2, pp , [6] M. J. Walsh and M. J. O Malley, Augmented Hopfeld Network for Unt Commtment and Economc Dspatch, IEEE Trans. Power Systems, vol. 12, pp ,

10 [7] J. H. Park, Y. S. Kn, I. K. Eom and K. Y. Lee, Economc Load Dspatch for Pecewse Quadratc Cost Functon Usng Hopfeld Neural Network, IEEE Trans. Power Systems, vol. 8, pp , [8] C. -T. Su and G.-J Chou, A Fast-Computaton Hopfeld Method to Economc Dspatch of Power Systems, IEEE Trans. Power Systems, vol. 12, pp , [9] C.-T. Su and G. -J. Chou, An Enhanced Hopfeld Model for Economc Dspatch Consderng Prohbted Zones, Electrc Power Systems Research, vol. 42, pp , [10] T. Yalcnoz and M. J. Short, Neural Networks Approach for Solvng Economc Dspatch Problem wth Transmsson Capacty Constrants, IEEE Trans. Power Systems, vol. 13, pp , [11] T. Yalcnoz, B. J. Cory and M. J. Short, Hopfeld Neural Network Approaches to Economc Dspatch Problems, Electrcal Power and Energy Systems, vol. 23, pp , [12] I. N. Slva and L. Nepomuceno, An Effcent Neural Approach to Economc Load Dspatch n Power Systems, IEEE PES Summer Meetng, Vancouver, CD-ROM, [13] I. N. Slva, L. V. R. Arruda and W. C. Amaral, A Modfed Hopfeld Archtecture for Solvng Nonlnear Programmng Problems wth Bounded Varables, Neural Network World, vol. 10, pp , [14] J. J. Hopfeld, Neurons wth a Graded Response Have Collectve Computatonal Propertes Lke Those of Two-State Neurons, Proc. of the Natonal Academy of Scence, vol. 81, pp , [15] S. V. B. Ayer, M. Nranjan and F. Fallsde, A Theoretcal Investgaton nto the Performance of the Hopfeld Model, IEEE Trans. on Neural Networks, vol. 1, pp , [16] M. S. Bazaraa and C. M. Shetty, Nonlnear Programmng, John Wley & Sons, New York, [17] I. N. Slva, L. Nepomuceno and T. M. Bastos. Desgnng a modfed Hopfeld network to solve an economc dspatch problem wth nonlnear cost functon, IEEE World Congress on Computatonal Intellgence, Honolulu, Hawa, [18] L. Nepomuceno, I. N. Slva, and T. M. Bastos. Solvng an economc dspatch problem wth transmsson system representaton by a modfed Hopfeld network, 15th IFAC World Congress, Barcelona, Span, [19] S. Soares, C. T. Salmazo Mnmum Loss Predspatch Model for Hydroelectrc Systems, IEEE Trans. Power Systems, vol. 12, n. 3, pp , [20] C.-L Chen, N. Chen Drect Search Method for Solvng Economc Dspatch Problem Consderng Transmsson Capacty Constrants, IEEE Trans. Power Systems, vol. 16, no. 4, [21] A. J. Conejo, J. A. Aguado, Mult-area Coordnated Decentralzed DC Optmal Power Flow, IEEE Trans. Power Systems, vol. 13 no. 4,