por Recife, setembro de 2008.

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1 ANDRÉA ARAÚJO SOUSA FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO GLOBALMENTE CONVERGENTE UTILIZANDO MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES COM ESTRATÉGIAS DE REGIÃO DE CONFIANÇA Recfe - Pernambuco - Brasl Setembro de 2008

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO GLOBALMENTE CONVERGENTE UTILIZANDO MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES COM ESTRATÉGIAS DE REGIÃO DE CONFIANÇA por ANDRÉA ARAÚJO SOUSA Tese submetda ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca da Unversdade Federal de Pernambuco como parte dos requstos para obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca ORIENTADOR: PROF. GERALDO LEITE TORRES, PHD Recfe, setembro de c Andréa Araújo Sousa, 2008

3 S729f Sousa, Andréa Araújo. Fluxo de Potênca Ótmo globalmente convergente utlzando métodos de pontos nterores com estratégas de regão de confança / Andréa Araújo Sousa. - Recfe: O Autor, xx, 147 folhas, l : fgs., tabs. Tese (Doutorado) Unversdade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca, Inclu Bblografa, Anexo e Índce Remssvo. 1. Engenhara Elétrca. 2.Fluxo de Potênca Ótmo. 3.Otmzação Não-Lnear. 4.Métodos de Regão de Confança. 5.Convergênca Global. I. Título. UFPE CDD (22. ed.) BCTG/

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5 A meu mardo, Rômulo, a mnha mãe, Lourdes, a meu pa, Orlando (n memoran), e a meus gatos, Laranja e Mlady, pelo carnho, amor, apoo e companha, DEDICO.

6 Agradecmentos A Deus, por cudar de mm e de mnha famíla. A Jesus Crsto, por me sustentar e proteger. Ao meu orentador, Geraldo Lete Torres, pela orentação, pela nstrução e pela confança. Sua ajuda fo fundamental para a conclusão deste trabalho. Aos professores Benemar Alencar de Souza e Edson Guedes da UFCG por terem dado referêncas que me ajudaram a ngressar no doutorado. Aos professores Antôno Jerônmo Belfort, Francsco de Asss dos Santos Neves e Manoel Afonso de Carvalho Jr. pelo conhecmento que adqur nas dscplnas mnstradas por eles. A Vcente, Carlos, Davd e Raner pela convvênca e auxílo no LOASP. A Govanna Angels, pela amzade e companha. A Renata e Marcus André pela acolhda em sua casa nos meses de conclusão do doutorado. À CAPES e à Coordenação de Pós-Graduação pela bolsa concedda durante o doutorado. Agradecmentos Especas A Rômulo e a meus pas, Lourdes e Orlando (n memoran), que me apoaram quando decd pedr demssão da CHESF e começar o mestrado. Hoje, Rômulo e mnha mãe me acompanham e me dão todo o suporte que precso para realzar meus sonhos. Sem eles, eu nunca tera concluído este doutorado.

7 Resumo da Tese apresentada à UFPE como parte dos requstos necessáros para obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca. FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO GLOBALMENTE CONVERGENTE UTILIZANDO MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES COM ESTRATÉGIAS DE REGIÃO DE CONFIANÇA Andréa Araújo Sousa Setembro de 2008 Orentador: Prof. Geraldo Lete Torres, PhD Área de Concentração: Processamento da Energa Palavras-chave: Fluxo de Potênca Ótmo, Otmzação Não-Lnear, Métodos de Regão de Confança, Métodos de Pontos-Interores, Convergênca Global. Número de Págnas: 147 O problema de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO) vem sendo estudado desde a década de 1960 e város métodos de resolução são encontrados na lteratura. Em partcular, os métodos de Pontos-Interores (PI) vêm tendo um grande destaque devdo a sua robustez e efcênca, alcançando convergênca com reduzdo número de terações mesmo em problemas com um grande número de varáves. Apesar do seu bom desempenho computaconal no que se refere a número de terações e tempo de processamento, os métodos de PI não possuem convergênca global, que consste em encontrar uma solução ndependente da escolha do ponto ncal. Um dos objetvos desta pesqusa é o desenvolvmento de um algortmo de FPO globalmente convergente, ou seja, capaz de encontrar uma solução sempre que esta exstr. Para atngr esse objetvo, o algortmo proposto assoca métodos de Regão de Confança com os efcentes métodos de PI. Algortmos globalmente convergentes são sempre computaconalmente ntensvos, de forma que três abordagens dstntas para a resolução dos subproblemas de regão de confança foram estudadas. Quanto à formulação do problema de FPO, foram desenvolvdos modelos que consderam dspostvos FACTS, como o UPFC (Unfed Power Flow Controller), e restrções de establdade de tensão. Algumas opções de função objetvo, como mnmzação de perdas, mnmzação de corte de carga e maxmzação de carregamento, foram testadas e o desempenho do algortmo proposto fo avalado comparando-o ao desempenho de algortmos de PI já conhecdos. v

8 Abstract of Thess presented to UFPE as a partal fulfllment of the requrements for the degree of Doctor n Electrcal Engneerng. GLOBALLY CONVERGENT OPTIMAL POWER FLOW BY INTERIOR-POINT METHODS WITH TRUST REGION STRATEGIES Andréa Araújo Sousa September 2008 Supervsor: Prof. Geraldo Lete Torres, PhD Area of Concentraton: Energy processng Keywords: Optmal Power Flow, Nonlnear Optmzaton, Trust Regon Methods, Interor- Pont Methods, Global Convergence. Number of Pages: 147 The Optmal Power Flow (OPF) problem has been studed snce the 1960 s and several methods for ts resoluton are avalable n the lterature. In partcular, the Interor-Pont (IP) methods have been wdely used n nonlnear OPF solutons due to ther robustness and effcency, reachng convergence wth few teratons even for problems wth a large number of varables. Despte ther good performance, the IP methods are not globally convergent, whch means that convergence to a soluton pont s not dependent on the choce of the ntal pont. In ths doctoral thess, a globally convergent OPF soluton algorthm based on trust regon methods s proposed. The proposed OPF algorthm combnes trust regon methods wth prmal-dual IP methods. Because globally convergent optmzaton algorthms are always tme consummng, three dfferent approaches for solvng the trust regon subproblems are consdered. Concernng the OPF problem formulaton, t was developed OPF models that ncorporate FACTS controllers, lke the UPFC (Unfed Power Flow Controller), and voltage stablty constrants. A number of objectve functons, lke actve loss mnmzaton, load sheddng mnmzaton and loadablty maxmzaton, have been mplemented to assess the performance of the proposed OPF soluton algorthm, and ts performance s compared wth that of wdely used IP algorthms. v

9 Sumáro Lsta de Fguras x Lsta de Tabelas x Lsta de Algortmos xv Lsta de Símbolos e Abrevaturas xv 1. Introdução Objetvos da Pesqusa Composção da Tese Modelos de Fluxo de Potênca Ótmo Forma Geral do Problema Equações Báscas de Fluxo de Potênca v

10 SUMÁRIO v Fluxos de Potênca e Correntes nos Crcutos Injeções de Potêncas nos Nós Equações de Balanço de Potênca Exemplos de Formulações de Fluxo de Potênca Ótmo Mnmzação de Perdas Atvas na Transmssão Mnmzação do Corte de Carga Maxmzação do Carregamento do Sstema Maxmzação da Capacdade de Transferênca Smultânea FPO com Restrção de Establdade de Tensão Estado-da-Arte das Técncas de Solução Consderações Fnas Modelagem de Dspostvos FACTS no Fluxo de Potênca Ótmo Tpos de Controladores FACTS Compensador Estátco Paralelo: STATCOM Compensador Estátco Sére: SSSC Controlador Unfcado de Fluxo de Potênca: UPFC Modelo do Conversor Sére Modelo do Conversor Paralelo Modelo Completo do UPFC Inclusão do UPFC no Cálculo de Fluxo de Potênca Equações de Fluxo de Potênca sem UPFC Solução pelo Método de Newton-Raphson Equações de Fluxo de Potênca com UPFC Fluxo de Potênca Ótmo com UPFC Resultados Numércos

11 SUMÁRIO v 3.8. Consderações Fnas Métodos de Pontos-Interores para Programação Não-Lnear O Método Prmal-Dual de Pontos-Interores Cálculo das Dreções de Busca Atualzação das Varáves Redução do Parâmetro de Barrera Testes de Convergênca O Método Predtor-Corretor de Pontos Interores O Passo Predtor O Passo Corretor Consderações Fnas Globalzação da Convergênca va Métodos de Regão de Confança Regão de Confança para Otmzação Irrestrta O Algortmo de Byrd e Omojokun para Otmzação Restrta Resolvendo os Subproblemas de Regão de Confança Os Passos de Cauchy e de Newton O Método Dogleg O Método do Gradente Conjugado de Stehaug Aspectos da Implementação Computaconal Cálculo da Hessana da Função de Lagrange Escolha entre o Método Dogleg e o Método de Stehaug Função Mérto Modfcando o Tamanho da Regão de Confança Assegurando as Restrções de Lmtes Smples Sumáro do Algortmo de Byrd-Omojokun

12 SUMÁRIO x 5.5. Consderações Fnas Métodos de Regão de Confança Assocados a Métodos de Pontos-Interores Método Prmal-Dual de Pontos-Interores para PQ Cálculo das Dreções de Busca Atualzação das Varáves Redução do Parâmetro de Barrera Testes de Convergênca Método Predtor-Corretor de Pontos Interores para PQ O Passo Predtor O Passo Corretor Solução do Subproblema Horzontal sem Calcular Z k Sumáro do Algortmo de Regão de Confança Consderações Fnas Resultados Numércos Atualzação dos Multplcadores de Lagrange Influênca do Cálculo da Matrz Z k Resultados Numércos Resolução dos Subproblemas de Regão de Confança Convergênca para Casos Crítcos Consderações Fnas Conclusões Perspectvas de Trabalhos Futuros Referêncas Bblográfcas 127

13 SUMÁRIO x A. Elementos das Matrzes Jacobana e Hessana para as Barras com UPFC 138 A.1. Equações de Balanço de Potênca A.2. Equação de Intercâmbo de Potênca no Enlace CC Índce Remssvo 147

14 Lsta de Fguras 2.1. Representação geral de lnhas de transmssão Representação geral de transformadores Confguração básca do STATCOM Esquema smplfcado do STATCOM e dagrama fasoral Conexão do SSSC na lnha de transmssão Confguração do UPFC Confguração do UPFC com duas fontes de tensão Confguração do conversor sére Substtução da fonte de tensão por uma fonte de corrente Modelo do conversor sére Confguração do conversor paralelo Modelo do conversor paralelo Modelo completo do UPFC x

15 LISTA DE FIGURAS x Potênca na barra de folga Perfl de tensão Trajetóra dogleg O mnmzador é o passo de Newton O mnmzador é o passo de Cauchy O mnmzador é a ntersecção

16 Lsta de Tabelas 7.1. Dmensões dos sstemas e do problema de FPO (2.1) Carga ncal (atva e reatva) e perdas atvas Número de terações para convergênca Número de terações e perdas atvas fnas do Algortmo RCPI Processo de convergênca do sstema-teste IEEE 30 barras Processo de convergênca do sstema-teste IEEE 118 barras Processo de convergênca do sstema Real Processo de convergênca do Subproblema Vertcal - IEEE 118 barras Processo de convergênca do Subproblema Horzontal - IEEE 118 barras Número de terações e perdas atvas fnas - Casos Crítcos Processo de convergênca do sstema-teste IEEE 30 barras - Crítco Processo de convergênca do sstema-teste IEEE 118 barras - Crítco Processo de convergênca do sstema-teste IEEE 300 barras - Crítco x

17 Lsta de Algortmos 3.1. Cálculo de fluxo de potênca pelo método de Newton Método prmal-dual de PI para resolver (2.1) Método predtor-corretor de pontos nterores para resolver (2.1) Método Dogleg Método de Stehaug O método de Stehaug aplcado a (5.15) Heurístca para modfcar o parâmetro de penaldade Análse da acetação do novo ponto Algortmo de Byrd-Omojokun Método prmal-dual de pontos nterores para resolver (6.8) Método predtor-corretor de pontos nterores para resolver (6.8) Algortmo de regão de confança xv

18 Lsta de Símbolos e Abrevaturas Abrevaturas CA CC CSC FACTS FPO GTO IGBT IPFC KKT LTC MCC PDPI : Corrente Alternada : Corrente Contínua : Convertble Statc Compensator : Flexble AC Transmsson Systems : Fluxo de Potênca Ótmo : Gate Turn Off Thyrstor : Insulated Gate Bpolar Transstor : Interlne Power Flow Controller : condções Karush-Kuhn-Tucker : Load Tap Changer : Múltplas Correções de Centraldade : Prmal-Dual de Pontos-Interores xv

19 ABREVIATURAS xv PCPI PI PL PLS PNL PQ PQS RC RCPI SSSC : Predtor-Corretor de Pontos-Interores : Pontos Interores : Programação Lnear : Programação Lnear Sucessva : Programação Não-Lnear : Programação Quadrátca : Programação Quadrátca Sucessva : Regão de Confança : Pontos-Interores e Regão de Confança : Statc Synchronous Seres Compensator STATCOM : Statc Synchronous Shunt Compensator SVC TCR TCSC TR TSC TSSC UPFC : Statc Var Compensator : Thyrstor Controlled Reactor : Thyrstor Controlled Seres Condensador : Trust Regon : Thyrstor Swtched Condensador : Thyrstor Swtched Seres Condensador : Unfed Power Flow Controller

20 SÍMBOLOS xv Símbolos B B j b se b sh C δ P P E Q η f(x) f(x) F F j φ(x) φ(x) g(x) g(x) G G j H k I I L I se : conjunto de pares de barras termnas dos ramos do sstema : elemento j da matrz susceptânca B : susceptânca da lnha de transmssão e do conversor sére combnadas : susceptânca do conversor paralelo : conjunto das barras de carga elegíves ao controle de reatvos : ângulo de defasagem entre as tensões da barra e do STATCOM : rao da regão de confança : balanço de potênca atva : ntercâmbo de potênca no enlace CC do UPFC : balanço de potênca reatva : parâmetro de penaldade da função mérto : função objetvo : aproxmação quadrátca da função objetvo : conjunto das barras com fontes fxas de reatvos shunt : fluxo de potênca no ramo j : função mérto : aproxmação quadrátca da função mérto : vetor das funções de restrções de gualdade : aproxmação quadrátca das funções de restrções de gualdade : conjunto de todas as barras de geração : elemento j da matrz condutânca G : Hessana da função de Lagrange : corrente complexa : corrente através da reatânca X L : corrente equvalente de Thévenn do conversor sére

21 SÍMBOLOS xv I sh I S R : corrente do conversor paralelo : corrente flundo da barra S para a barra R J PF (V,θ) : Jacobana do problema de fluxo de potênca não otmzado λ m se m sh : multplcadores de Lagrange das restrções de gualdade : fator de escala da tensão do conversor sére : fator de escala da tensão do conversor paralelo µ : parâmetro de barrera N Ñ P sere P G P D P L P R P cal P UPFC P S P se P sh S Q G Q D Q R Q cal Q se Q UPFC Q S Q sh S : conjunto de todas as barras do sstema : conjunto de todas as barras exceto a barra de folga : potênca atva demandada pelo conversor sére : potênca atva gerada na barra : potênca atva demandada na barra : perdas atvas : potênca atva na barra R : potênca atva njetada na barra : potênca atva njetada na barra pelo UPFC : potênca atva na barra S : potênca atva njetada na barra pelo conversor sére : potênca atva njetada na barra S pelo conversor paralelo : potênca reatva gerada na barra : potênca reatva demandada na barra : potênca reatva na barra R : potênca reatva calculada na barra : potênca reatva njetada na barra pelo conversor sére : potênca reatva njetada na barra pelo UPFC : potênca reatva na barra S : potênca reatva njetada na barra S pelo conversor paralelo

22 SÍMBOLOS xx R redr redp S R se S S se S S sh t j T θ θ se θ sh U ν V I V L V V S 1 X X L X se X sh Z k u : resstênca : redução real : redução prevsta : potênca complexa njetada no nó R pelo conversor sére : potênca complexa njetada no nó S pelo conversor sére : potênca complexa njetada no nó S pelo conversor paralelo : tape entre os ramos j : conjunto das barras termnas dos transformadores com LTC : ângulo da tensão na barra : ângulo da tensão do conversor sére : ângulo da tensão do conversor paralelo : conjunto das barras com UPFC conectado : passo vertcal : tensão no STATCOM : tensão sobre a reatânca X L : tensão na barra : tensão da lnha depos do UPFC : reatânca : reatânca da lnha de transmssão : reatânca da lnha de transmssão e do conversor sére combnadas : reatânca do conversor paralelo : passo horzontal

23 Capítulo 1 Introdução A cênca se compõe de erros que, por sua vez, são os passos até a verdade. Júlo Verne NA OPERAÇÃO DIÁRIA de um sstema elétrco de potênca, a decsão sobre uma ação de controle ótma, objetvando a operação tanto econômca quanto segura do sstema, é uma tarefa extremamente dfícl, a qual é mas efcentemente executada por uma ferramenta de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO) no centro de controle do sstema. Problemas de FPO de grande escala vêm sendo, ultmamente, resolvdos de modo efcente por métodos de Pontos-Interores (PI) [1 5], em especal os métodos Predtor-Corretor 1

24 2 (PC) e de Múltplas Correções de Centraldade (MCC) [6]. Apesar do bom desempenho computaconal desses métodos em termos de número de terações e tempo de processamento, os algortmos de PI carecem de convergênca global. Convergênca global é uma propredade desejável para qualquer algortmo de otmzação, pos garante a convergênca para um ponto solução do problema, se ao menos um houver, ndependente da escolha do ponto ncal. Com a reestruturação dos sstemas elétrcos de potênca e a ntrodução de competvdade no mercado de energa elétrca, a tendênca natural é que as empresas de energa elétrca, ao postergarem nvestmentos na expansão dos sstemas e almejarem maores lucros com os atvos exstentes, operem os seus sstemas próxmos aos lmtes de capacdade, ou seja, em pontos de operação altamente não-lneares, desafando, assm, a robustez dos métodos numércos comumente utlzados nas análses de modelos matemátcos. No caso específco de modelos de FPO, em [7, 8] são analsadas váras condções crítcas para as quas um algortmo de FPO pode dvergr. Uma das prncpas motvações para o desenvolvmento deste trabalho é a crescente necessdade por algortmos de FPO com propredade de convergênca global, ou seja, capaz de obter a solução ótma sempre que ao menos uma exstr. Pode-se eleger, então, como prncpal objetvo desta pesqusa de doutorado o desenvolvmento de um algortmo de solução de FPO com grande robustez de convergênca. Esse objetvo será persegudo assocando-se métodos de Regão de Confança (RC) [9, 10] com os efcentes e rápdos algortmos de PI do tpo Prmal-Dual de Barrera Logarítmca. O termo regão de confança (do nglês trust regon) fo ncalmente usado por Cels, Denns e Tapa [11] em 1985, mas estudos prelmnares já eram desenvolvdos desde 1970 por Powell [12, 13]. Os prncpas métodos de regão de confança são descrtos em [9, 10, 14]. Esses métodos pertencem a uma classe relatvamente nova de algortmos de otmzação não-lnear e consstem na mnmzação de uma aproxmação f(x) da função objetvo f(x) dentro de uma regão fechada, chamada de regão de confança. A expectatva é de consegur uma redução em f(x) e que esta represente também uma redução na função orgnal, f(x). Os métodos de regão de confança dferem entre s tanto na forma de modelar a função objetvo quanto no tratamento das restrções, sendo a estratéga clássca a utlzação da aproxmação quadrátca para mnmzação rrestrta, dada por uma expansão em sére de

25 3 Taylor truncada. Essa modelagem pode ser encontrada, por exemplo, em [9, 15]. Aplcações com restrções de gualdade, desgualdade e/ou de canalzação podem ser encontradas em [9, 16 18]. Problemas de otmzação restrtos podem ser resolvdos também por meo de algortmos de regão de confança para otmzação rrestrta. Para esse fm, usa-se uma função mérto para ncorporar as restrções à função objetvo, transformando, assm, o problema restrto em rrestrto. Nessas transformações são usadas, por exemplo, a função Lagrangeano Aumentado [19], funções de penaldade [9] e função barrera logarítmca [20]. Aplcações de métodos de regão de confança em sstemas de potênca começaram a surgr apenas recentemente e há poucos trabalhos desenvolvdos. Pajc e Clements [21, 22] utlzam um método de regão de confança na estmação de estados de sstemas de potênca, o qual mnmza uma aproxmação quadrátca da função objetvo que é construída por mínmos quadrados ponderados. Zhou, Zhang e Lu [23] apresentam um algortmo para otmzação de potênca reatva que combna Programação Quadrátca Sucessva com regão de confança. Nessa metodologa a função mérto usada é a função de penaldade l 1. Costa, Salgado e Haas em [24] utlzam métodos de RC na solução de problemas de estmação de estado. Métodos de regão de confança podem ser assocados a outras técncas de otmzação na construção de novos algortmos. Nesta pesqusa de doutorado, busca-se a assocação de métodos de regão de confança a métodos de pontos-nterores tpo prmal-dual de barrera logarítmca. Espera-se assm obter um algortmo de solução de FPO que apresente a robustez de convergênca do método de regão de confança assocada a rapdez e flexbldade do método de pontos-nterores. O problema a ser tratado é de otmzação de larga escala com restrções de gualdades e desgualdades, de forma que a estratéga clássca de resolução (mnmzação rrestrta) não poderá ser dretamente usada nesse caso. Pode-se eleger como uma contrbução mportante desta pesqusa o desenvolvmento de uma algortmo de PI com estratégas de regão de confança para otmzação restrta de larga escala, levando em conta a forma padrão dos problemas de FPO, ou seja, problemas de otmzação não-lnear com restrções de gualdades e desgualdades tpo canalzação (lmtes mínmos e máxmos sobre a mesma varável ou função de restrção). Alguns trabalhos assocando métodos de pontos-nterores a métodos de regão de confança podem ser encontrados em [25 30]. Contudo, nenhum desses trabalhos é aplcado a FPO nem leva

26 4 em consderação a forma padrão desse problema. Além de robustez de convergênca e bom desempenho computaconal em termos de tempo de processamento, é mportante que um programa de FPO seja abrangente, ou seja, dsponha de váras opções de função objetvo e de flexbldade na especfcação de restrções. Uma vez que o algortmo de solução em desenvolvmento leva em consderação uma forma padrão geral do FPO, o mesmo poderá ser faclmente aplcado à solução de dversos problemas de FPO, como: mnmzação de perdas atvas, cálculo do máxmo carregamento do sstema, mnmzação de corte de carga, etc. Esta pesqusa de doutorado propõe também contrbur com novas formulações de FPO, as quas devem levar em consderação restrções de establdade de tensão e a presença de dspostvos FACTS (Flexble AC Transmsson Systems) no sstema elétrco. A motvação para nclusão de dspostvos FACTS na formulação de FPO derva da crescente evolução da tecnologa de eletrônca de potênca e a ntrodução cada vez mas freqüente desses dspostvos nos sstemas. Os maores problemas envolvendo a operação e o planejamento de um sstema elétrco devem-se às lnhas de transmssão, pos os seus lmtes técncos de operação restrngem o nível de potênca que pode ser transmtdo com segurança [31]. Por causa dsso, tornou-se necessáro o desenvolvmento de novos meos de controle do fluxo de potênca na rede elétrca. A utlzação de novos dspostvos de eletrônca de potênca, como controladores FACTS, tornou-se uma necessdade mperatva. Dspostvos FACTS são capazes de mudar, de forma rápda e efetva, os parâmetros da rede elétrca, tornando possível o controle de fluxo de potênca atva e reatva, de módulo e de ângulo da tensão, vsando a operação ótma, além de melhorar, de forma generalzada, a establdade do sstema [32 34]. A coordenação otmzada dos dferentes dspostvos de controle conectados à rede só é possível por meo de programas de FPO que os ncorporem em suas formulações. Um dspostvo FACTS consderado nesta pesqusa é o Unfed Power Flow Controler (UPFC). A mplementação de programas de fluxo de potênca com UPFC ou qualquer outro dspostvo FACTS requer uma modelagem matemátca do dspostvo nserdo na rede elétrca. De uma forma geral, o UPFC é modelado por dos conversores, um sére e outro paralelo, que trabalham de forma ndependente, mas com nteração va o enlace CC entre os dos, conforme desenvolvdo por Nabav-Nak e Iravan [35]. Noroozan et al [36] e Tumay e Vural [37] propõem um modelo smplfcado do UPFC,

27 5 no qual o conversor paralelo tem a função prncpal de prover potênca atva para o conversor sére, não partcpando, portanto, do controle de fluxo. Tal função é desempenhada somente pelo conversor sére. Em [36] as perdas entre os conversores sére e paralelo são desprezadas, enquanto que em [37] essas perdas são estmadas em 2%. Modelos mas completos, consderando a atuação do conversor paralelo no controle de fluxo, podem ser encontrados em [34, 38 40]. Programas de FPO ncorporando UPFC foram desenvolvdos por La e Ma [41], usando algortmos genétcos, por Ambrz-Pérez et al [38], usando método de Newton, por Zhang e Handschn [34], usando um método de pontos-nterores e por Sngh, Verma e Gupta [42], Lehmköster [43] e Palma-Behnke et al [44] usando programação quadrátca seqüencal. Slva e Almeda apresentam em [45] a mplementação dos dspostvos FACTS STATCOM e SSSC no FPO por pontos-nterores. O FPO é utlzado para determnar as melhores localzações para esses equpamentos e os seus mpactos na operação de regme permanente. A motvação para a nclusão de restrções de establdade de tensão no programa de FPO derva da conjuntura polítca e econômca atual: a preocupação com a escassez dos recursos naturas, as polítcas de raconamento e a reestruturação do mercado de energa têm lmtado o crescmento da capacdade de transmssão e de geração dos sstemas de energa elétrca. Isso tem levado as empresas de energa a operarem seus sstemas altamente carregados e muto próxmos dos lmtes de establdade. Os problemas de establdade em sstemas de potênca estão relaconados à capacdade das máqunas síncronas manterem-se em sncronsmo e à habldade do sstema em manter as tensões nas barras em níves acetáves em condções de operação normal e após uma contngênca [46]. O prmero caso dz respeto à establdade angular e está relaconado com a transferênca de potênca atva. O segundo caso refere-se à establdade de tensão e está fortemente lgado à capacdade do sstema em suprr a demanda de potênca reatva. Embora os problemas de establdade de uma forma geral venham sendo estudados desde a década de 1920, os problemas de nstabldade de tensão em partcular vêm tendo uma atenção especal a partr da década de 1970, prncpalmente depos de alguns epsódos mportantes de colapso de tensão no Japão, nos Estados Undos e na Europa [46]. Os programas de FPO têm sdo largamente usados para soluconar problemas como despacho de potênca atva e reatva, mnmzar perdas elétrcas, maxmzar o carregamento, mnm-

28 1.1. OBJETIVOS DA PESQUISA 6 zar corte de carga e melhorar o perfl de tensão. Tradconalmente, esses problemas são consderados desacoplados e têm sdo tratados de forma ndependente. Entretanto, em um sstema fortemente carregado esses problemas não são, necessaramente, deslgados, sendo necessáro ncorporar ndcadores de establdade de tensão nos lmtes operaconas dos programas de FPO para que os problemas sejam tratados de forma ntegrada [47]. Índces de establdade de tensão podem ser calculados efcentemente e exstem város trabalhos dsponíves na lteratura, como, por exemplo, [48 51]. Tranucht e Thomas [52] e Löf et al [53] propuseram o uso do valor sngular mínmo da matrz Jacobana das equações de fluxo de potênca como um índce para detectar o lmte de establdade de tensão. Esse índce fo usado mas tarde no conjunto de restrções de um programa de FPO por Cañzares et al [47]. Posterormente, Kods e Cañzares [54] e Muñoz [55] propuseram restrções de establdade de tensão baseadas em um índce proposto por Cañzares et al [56], calculado pela segunte expressão: σ = u T J PF(V,θ)w (1.1) em que u e w são os autovetores à dreta e à esquerda, respectvamente, assocados ao menor autovalor da Jacobana do problema de fluxo de potênca não otmzado, J PF (V,θ). A restrção de establdade tensão consste, então, em mpor um valor mínmo para esse índce, ou seja,σ σ mn. Uma relatva dfculdade com a mplementação da restrção de establdade de tensão u T J PF(V,θ)w σ mn (1.2) é que a função de restrção é uma função mplícta da solução do FPO, uma vez que os autovetores à esquerda e à dreta, u e w, da Jacobana do fluxo de potênca J PF (V,θ) devem ser calculados no ponto solução. Para contornar essa dfculdade, utlza-se um procedmento teratvo em que váras soluções de FPO são obtdas. 1.1 Objetvos da Pesqusa Os prncpas objetvos desta pesqusa de doutorado podem ser resumdos como segue:

29 1.2. COMPOSIÇÃO DA TESE 7 Estudar detalhadamente os prncpas métodos de regão de confança para otmzação rrestrta e restrta que podem ser aplcados na otmzação de sstemas elétrcos de potênca; Desenvolver, a partr dos estudos do tem anteror, um algortmo de otmzação nãolnear de larga escala, utlzando métodos de pontos-nterores com estratégas de regão de confança, levando em consderação a forma geral de um problema de FPO. Implementar computaconalmente, na lnguagem MATLAB, o algortmo de FPO que utlza métodos de pontos-nterores e métodos de regão de confança, levando-se em conta os prncpas aspectos para maor efcênca computaconal, como estrutura de dados, montagem efcente de matrzes Jacobanas e Hessanas esparsas, ncalzação de varáves, etc; Estudar os prncpas modelos para análse em regme permanente do dspostvo FACTS UPFC e descrever a sua mplementação efcente no algortmo de FPO desenvolvdo; Desenvolver e mplementar formulações de FPO que contenham: modelagem do dspostvo FACTS UPFC; nclusão de restrções de establdade de tensão. Testar exaustvamente o programa computaconal de FPO desenvolvdo em dversos sstemas testes, vsando comprovar a efcáca do algortmo de otmzação proposto, sobretudo com relação à robustez de convergênca, comparando o seu desempenho ao desempenho dos algortmos de PI largamente utlzados na solução de problemas de FPO. 1.2 Composção da Tese Esta tese encontra-se organzada em oto capítulos, descrtos a segur: Capítulo 1 Apresentam-se a motvação para a pesqusa, a análse de alguns trabalhos relaconados com o tema da Tese e os prncpas objetvos do trabalho proposto.

30 1.2. COMPOSIÇÃO DA TESE 8 Capítulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Anexo A São apresentadas a formulação geral dos problemas de FPO e as funçõesobjetvo estudadas nesta Tese. Faz-se uma revsão teórca sobre dspostvos FACTS em geral, e em partcular sobre os dspostvos STATCOM e SSSC, com o objetvo de facltar a compreensão do funconamento do UPFC. É apresentada detalhadamente a formulação matemátca para nclusão do UPFC em programas de fluxo de potênca convenconal (não otmzado) e em programas de FPO. Faz-se uma apresentação detalhada dos métodos de Pontos-Interores do tpo Prmal-Dual e Predtor-Corretor. Esses dos métodos, adaptados para programação quadrátca, são usados no algortmo de regào de confança para resolução dos subproblemas vertcal e horzontal. Faz-se uma revsão teórca sobre a técnca clássca de regão de confança para mnmzação rrestrta. Depos, apresenta-se o método de regão de confança para mnmzação restrta de Byrd-Omojokun adaptado para mnmzação com restrções de gualdades e de lmtes smples. Apresenta-se a técnca de regão de confança de Byrd-Omojokun adaptada por Plantenga assocada aos métodos de pontos-nterores para resolução dos subproblemas de regão de confança. O algortmo de FPO proposto nesta Tese usa os métodos descrtos neste capítulo, que se consttu um dos mas mportantes desta Tese. Apresentam-se os resultados numércos obtdos com o programa de FPO na lnguagem MATLAB mplementando o método proposto e os métodos de PI, e faz-se uma dscussão detalhada desses resultados. Apresentam-se as conclusões e as perspectvas de trabalhos futuros. Traz as expressões matemátcas das dervadas prmeras e segundas não-nulas das restrções de gualdades dos termos correspondentes às barras com UPFC.

31 Capítulo 2 Modelos de Fluxo de Potênca Ótmo AOPERAÇÃO ECONÔMICA E SEGURA de um Sstema Elétrco de Potênca (SEP) requer que város níves de controle, envolvendo um complexo conjunto de dspostvos, sejam seleconados e apropradamente coordenados. Na operação de um SEP, as demandas das cargas por potêncas atva e reatva modfcam-se constantemente e mutas vezes resultam em níves de tensões que estão bem além dos lmtes toleráves, provavelmente volando restrções de operação de equpamentos de consumdores e da própra empresa de energa elétrca. Para corrgr essas condções de operação nacetáves, os operadores do sstema são constantemente requstados para controlarem a produção, a absorção e o fluxo de potênca em todos os níves do sstema, através do ajuste de dversas varáves de controle do SEP, tas como a geração de potênca atva e a tensão termnal dos geradores, o tape dos transfor- 9

32 2.1. FORMA GERAL DO PROBLEMA 10 madores com dspostvos LTC (comutação de tape sob carga), o ângulo de defasagem dos transformadores defasadores (phase shfters), a susceptânca de capactores e de reatores em paralelo, etc. Devdo ao fato de que os SEPs recebem njeções de potênca de váras undades de geração, e de que eles suprem potênca para um grande número de cargas que são dspersas em áreas geográfcas de grandes dmensões, a tarefa de manter as tensões dentro dos lmtes requerdos pode ser bastante complexa. O controle de tensão é largamente reconhecdo como sendo fortemente relaconado ao controle da potênca reatva. Porém, face ao elevado número de varáves de controle que podem ser manpuladas, assocado com o elevado número de restrções que são mpostas à operação do sstema, a seleção aproprada e a coordenação dos equpamentos para exercer esse controle está entre os maores desafos da engenhara de potênca. No entanto, essa tarefa pode ser efcentemente executada por programas de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO) exstentes nos centros de controle do sstema elétrco, seja de forma totalmente automátca ou como ferramenta de auxílo a tomada de decsão pelo operador. O FPO é uma sofstcada ferramenta computaconal que se utlza de técncas avançadas de otmzação na determnação do estado operatvo ótmo do SEP, mnmzando ou maxmzando um determnado índce de desempenho do sstema enquanto satsfaz um conjunto de restrções mpostas sobre a operação. 2.1 Forma Geral do Problema Város problemas de FPO podem ser expressos na segunte forma geral de um problema de programação não-lnear: Mnmze f(x) (2.1a) sujeto a g(x) = 0 (2.1b) x l x l x l (2.1c) em que: x R n é um vetor com as varáves de decsão explíctas, nclundo as varáves de

33 2.1. FORMA GERAL DO PROBLEMA 11 controle (tensões das barras de geração, tapes dos transformadores, compensação de reatvo em paralelo, potênca atva dos geradores, fator de carregamento, etc) e as varáves dependentes que não são funções (ângulo de fase das tensões, tensões das barras de carga, potênca reatva dos geradores, etc); f : R n R é a função escalar que representa um dado objetvo de otmzação da operação ou do planejamento do SEP, tal como o custo da geração, perdas de potênca no sstema de transmssão, corte de carga para tornar operatvo um sstema não operatvo, etc; g : R n R m é um vetor não-lnear que contém as equações usuas de balanço de potênca nas barras, ocasonalmente aumentado por algumas restrções especas de gualdades, tal como o controle do fluxo de potênca entre sstemas numa operação em pool, ou fluxos que são estabelecdos em um determnado valor, etc; x l R p é o vetor com as varáves x sujetas a lmtes máxmos x l e mínmos x l correspondentes a lmtes físcos de equpamentos e lmtes operaconas do sstema. Em vez de mnmzar, o objetvo pode ser de maxmzar uma função. Dentre os objetvos usualmente utlzados, encontram-se: Mnmzação de custos de geração: mnmza o custo da geração da potênca atva para a confguração base da rede elétrca enquanto assegura a vabldade nas confgurações de contngêncas; Mnmzação de perdas atvas: mnmza as perdas atvas na confguração base enquanto assegura a vabldade nas confgurações de contngêncas; Mnmzação de corte de carga: mnmza o corte de carga para corrgr volações de restrções operaconas tas como sobrecargas em crcutos, problemas de tensão, etc, no caso base e nas confgurações de contngêncas; Mnmzação do movmento de varáves de controle: determna o menor número de dspostvos de controle a serem ajustados de forma a corrgr volações de restrções operaconas;

34 2.1. FORMA GERAL DO PROBLEMA 12 Maxmzação do fluxo atvo em um conjunto de crcutos: maxmza o fluxo atvo através de um conjunto de crcutos na confguração base enquanto assegura a vabldade nas confgurações de contngêncas; Maxmzação da carga em um conjunto de barras: maxmza a carga num conjunto de barras, mantendo o mesmo fator de potênca da carga e a vabldade no caso base e confgurações de contngêncas; Maxmzação da potênca transferda entre duas barras: maxmza a potênca transferda entre duas barras, mantendo a vabldade no caso base e confgurações de contngêncas. Para otmzar (mnmzar ou maxmzar) a função objetvo especfcada, as seguntes varáves de controle podem ser utlzadas: Potênca reatva de bancos de capactores e ndutores chaveáves, de compensadores síncronos, de compensadores estátcos, etc; Tapes dos transformadores com dspostvo LTC; Tensão termnal dos geradores; Potênca atva dos geradores; Ângulo dos defasadores controlando fluxo atvo; Corte de carga, etc. O conjunto de restrções geralmente é consttuído por: Lmtes (máxmos e mínmos) das tensões das barras; Lmtes dos fluxos nos crcutos (MVA, MW e/ou MVAr); Lmtes dos tapes dos transformadores com dspostvo LTC; Lmtes dos ângulos dos defasadores; Lmtes das gerações de potênca atva e potênca reatva;

35 2.2. EQUAÇÕES BÁSICAS DE FLUXO DE POTÊNCIA 13 Lmtes das njeções de potênca reatva de fontes em paralelo controláves; Intercâmbo de potênca atva e reatva entre áreas, etc. Além do caso base, a solução pode contemplar a operação do sstema sob contngêncas, tas como: Perda de crcuto (lnha de transmssão ou transformador); Perda de barramento; Perda de gerador; Adção de crcuto (reconfguração), etc. Idealmente, a formulação de FPO deve permtr a defnção de controles e lmtes dferentes na condção base e nas confgurações de contngêncas. 2.2 Equações Báscas de Fluxo de Potênca As equações báscas do problema de fluxo de potênca tradconal [57], ou seja, o fluxo de potênca não-otmzado, são de fundamental mportânca para a formulação matemátca de uma ampla varedade de problemas de FPO. Para o desenvolvmento dessas equações, são ncalmente apresentados os modelos de dos componentes báscos da rede elétrca: as lnhas de transmssão e os transformadores. No caso de transformadores, é apresentado um modelo bastante geral, que modela até os sofstcados transformadores defasadores Fluxos de Potênca e Correntes nos Crcutos Lnhas de Transmssão Nos estudos de fluxo de potênca, as lnhas de transmssão são, geralmente, modeladas pelo crcuto Π, lustrado na Fgura 2.1, em que y j = g j + jb j representa a admtânca sére da lnha e y sh j = jb sh j representa o efeto do carregamento capactvo da lnha (metade do carregamento total concentrado em cada termnal).

36 2.2. EQUAÇÕES BÁSICAS DE FLUXO DE POTÊNCIA 14 V V j y j I j I j y sh j y sh j Fgura 2.1: Representação geral de lnhas de transmssão. Deduz-se, da Fgura 2.1, que a corrente complexa que flu do nó para o nó j é dada por: I j = y sh j V + y j ( V V j ) = ( y j + y sh j ) V y j V j (2.2) Analogamente, a corrente complexa que flu do nó j para o nó é calculada por: I j = y sh j V j + y j ( V j V ) = y j V + ( y j + y sh j ) V j (2.3) Matrcalmente, temos a relação entre as correntes I j e I j e as tensões de nós V e V j dada por: I j I = ( y j + y sh j ) y j V j y j ( y j + y sh j ) V. (2.4) j A potênca complexa que flu do nó para o nó j é calculada por: S j = V I j [ = V ( y j + y sh j ) ] V y j V j = V [ y j ( V V j ) + y sh j V ] (2.5)

37 2.2. EQUAÇÕES BÁSICAS DE FLUXO DE POTÊNCIA 15 A potênca complexa que flu do nó j para o nó é calculada por: S j = V j I j = V j [ y j V + ( y j + y sh j ) V j ] = V j [ y j ( V j V ) + y sh j V j ] (2.6) Matrcalmente, temos a relação entre os fluxos de potêncas complexas e as tensões de nós dada por: S j S j = V 0 ( y j + y sh 0 V j y j j ) y j V ( y j + y sh V j j ) (2.7) Transformadores em Fase e Defasadores Uma representação geral de transformadores (em-fase e defasadores) é lustrada na Fgura 2.2, a qual consste de uma admtânca sére y j e de um auto-transformador deal com relação de transformação complexa na forma 1 : t j, ou seja, o tape t j no lado da admtânca sére. Temos que t j = t j e jφ j, sendoφ j = 0 no caso de transformadores em-fase. Para a V 1 : t j y j V j I j V s I j Fgura 2.2: Representação geral de transformadores. representação de transformadores da Fgura 2.2, na qual o tape está do lado da admtânca sére y j, a relação entre as tensões dos nós termnas do transformador deal é como segue: V s V = t j (2.8) Uma vez que as potêncas complexas na entrada e na saída do transformador deal devem ser guas, temos: V I j + V s I j = 0 (2.9)

38 2.2. EQUAÇÕES BÁSICAS DE FLUXO DE POTÊNCIA 16 Podemos, agora, a partr das relações (2.8) e (2.9), deduzr a relação entre as correntes complexas I j e I j njetadas nos termnas do transformador, sto é: I j I j = V s V = t j (2.10) Podemos deduzr, da Fgura 2.2, que a corrente complexa que flu do nó j para o nó é dada por: ( ) I j = y j V j V s (2.11) Utlzando as expressões (2.10) e (2.11), calculamos a corrente complexa que flu do nó para o nó j como: I j = t ji j = t j y ( ) j V j V s (2.12) Matrcalmente, temos a relação entre os fluxos de correntes e as tensões dos nós termnas na forma: I j I j = ( t j t j ) y j t j y j A potênca complexa que flu do nó para o nó j é calculada por: t j y j V V. (2.13) j y j S j = V I j ( = V t j y ( )) j V j V s (2.14) ( ( )) = V s y j V s V j A potênca complexa que flu do nó j para o nó é calculada por: S j = V j I j ( ( )) = V j y j V (2.15) j V s Matrcalmente, temos a relação entre os fluxos de potêncas complexas e as tensões de nós

39 2.2. EQUAÇÕES BÁSICAS DE FLUXO DE POTÊNCIA 17 na forma: S j S j = V 0 ( t j t j ) y j 0 V j t j y j t j y j V V j y j (2.16) Equações Geras de Fluxos Comparando as equações de transformadores (2.13) e (2.16) com as equações de lnhas de transmssão (2.4) e (2.7), podemos deduzr as seguntes equações geras de fluxos de correntes e de potêncas complexas: em que: I j I j S j S j = ( t j t j y j + y sh j ) t j y j V t j y j ( y j + y sh j ) (2.17) V j = V 0 ( t j t j 0 V y j + y sh j ) t j y j V j t j y j ( y j + y sh V (2.18) j j ) t j = 1 eφ j = 0, no caso de lnhas de transmssão; y sh j = 0 eφ j = 0, no caso de transformadores em fase; y sh j = 0 e t j = 1, no caso de defasadores puros; e y sh j = 0, no caso de transformadores defasadores Injeções de Potêncas nos Nós A potênca líquda njetada em uma barra é defnda como sendo a dferença entre a geração total e a carga total naquela barra. Essa potênca vem a ser também a soma das potêncas que fluem nos crcutos que têm aquela barra como um de seus termnas. Ou seja: S = S G = j S D S j + k S k (2.19)

40 2.2. EQUAÇÕES BÁSICAS DE FLUXO DE POTÊNCIA 18 A potênca complexa líquda njetada no nó é calculada por: S = V I (2.20) em que I é a corrente líquda njetada no nó, ou seja, a -ésma componente no vetor I da equação de rede: Y V = I (2.21) Temos, portanto, de (2.20) e (2.21), que as potêncas complexas líqudas njetadas nos nós e j são: S = V ( k I Y k V k ) (2.22) S j = V j ( k J Y jk V k ) (2.23) em que Y jk e Y k são elementos da matrz admtânca de nó Y;Iéoconjunto das barras adjacentes a barra, nclundo a própra barra ej é o conjunto das barras adjacentes à barra j, nclundo a própra barra j. Admtndo que as barras e j são nterlgadas, seja por lnhas de transmssão ou por transformadores, e explctando em (2.22) e (2.23) os termos das tensões dessas barras, V e V j, obtemos: S = V ( Y V + Y j V j + S j = V j ( Y j V + Y j j V j + (k, j) I (k, j) J Y k V k ) (2.24) Y jk V k ) (2.25) Consderando que Y 0, Y 0 j, Y 0 j e Y 0 j j denotam elementos da matrz admtânca de nó antes da nclusão do crcuto- j (que pode ser uma lnha ou um transformador), temos que a nclusão do crcuto- j (que assummos ser um transformador) modfca as equações de njeções de

41 2.2. EQUAÇÕES BÁSICAS DE FLUXO DE POTÊNCIA 19 potênca da segunte forma: ( ( S = V Y 0 + t j t j y ) j + y sh j V + ( Y 0 j t j y j) V j + ) Y k V k (2.26) (k, j) I ( ( S j = V j Y 0 j ) t j y j V + ( Y 0 j j + y j + y sh j ) V j + ) Y jk V k (2.27) (k, j) J Equações de Balanço de Potênca As formulações matemátcas dos problemas de FPO usam as equações de balanço de potênca atva e de potênca reatva nas barras do sstema. Faz-se necessára, portanto, a dentfcação das componentes real (potênca atva) e magnára (potênca reatva) das njeções de potênca complexa nas barras. Uma vez que: S = P + jq (2.28) as njeções líqudas de potênca atva (P =R{ S }) e de potênca reatva (Q =I{ S }) são dadas por: P = V V j (G j cos(θ θ j ) + B j sn(θ θ j )) (2.29) j I Q = V V j (G j sn(θ θ j ) B j cos(θ θ j )) (2.30) j I em que V eθ são, respectvamente, a magntude e o ângulo de fase da tensão complexa da barra, V = V e jθ, G j é o elemento j da matrz condutânca de barra, G, e B j é o elemento j da matrz susceptânca de barra, B. Os tapes de transformadores estão presentes mplctamente em elementos das matrzes G e B. Seja: S j = P j + jq j (2.31) então, os fluxos de potênca atva, P j =R{ S j }, e de potênca reatva, Q j =I{ S j }, no

42 2.3. EXEMPLOS DE FORMULAÇÕES DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 20 sentdo do nó para o nó j, são calculados por: P j = V 2 g j V V j g j cos(θ θ j ) V V j b j sn(θ θ j ) (2.32) Q j = V 2 (b j + bsh j ) + V V j b j cos(θ θ j ) V V j g j sn(θ θ j ) (2.33) e no sentdo do nó j para o nó, por: P j = V 2 j g j V V j g j cos(θ θ j ) + V V j b j sn(θ θ j ) (2.34) Q j = V 2 j (b j + bsh j ) + V V j b j cos(θ θ j ) + V V j g j sn(θ θ j ) (2.35) em que g j, b j e b sh j são, respectvamente, a condutânca sére, a susceptânca sére e a susceptânca em paralelo do crcuto- j. A partr dos fluxos de potênca atva (2.32) e (2.34), em sentdos opostos, calcula-se a perda de potênca atva no crcuto j como: P j + P j = g j (V 2 + V 2 j 2V V j cos(θ θ j )). (2.36) As perdas atvas globas no sstema de transmssão, P perdas, são calculadas como a soma das perdas atvas em todos os crcutos do sstema, ou seja: P perdas = (, j) B g j (V 2 + V 2 j 2V V j cos(θ θ j )). (2.37) FPO. As equações (2.29) a (2.37) formam a base para o desenvolvmento dos modelos de 2.3 Exemplos de Formulações de Fluxo de Potênca Ótmo Problemas de FPO podem ser matematcamente formulados de váras maneras. Nesta seção são apresentadas, como exemplos, as formulações em quatro varantes mportantes nessa ampla famíla de problemas de otmzação da operação: (a) mnmzação de perdas atvas no sstema de transmssão, conhecdo como despacho ótmo da potênca reatva; (b) mnmzação do corte de carga; (c) maxmzação da capacdade de carregamento; e (d)

43 2.3. EXEMPLOS DE FORMULAÇÕES DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 21 maxmzação da capacdade de transferênca smultânea da potênca. Os seguntes conjuntos de índces são utlzados neste capítulo: representa-se por N o conjunto de todas as barras do sstema, porñ, o conjunto de todas as barras exceto a barra de referênca, porg, o conjunto de barras de geração, porf, o conjunto de barras de carga com fontes de reatvos em paralelo fxas e porc, o conjunto de barras de carga canddatas ao controle da potênca reatva. As seguntes relações entre conjuntos são observadas: N =G F C eg F =G C =F C =. Representa-se porn o conjunto de todas as barras eletrcamente vznhas a barra, ou seja, que estão dretamente conectadas a barra. O conjunto de pares de índces ordenados B ={(, j) N, j N e j>} é defndo como sendo o conjunto dos pares de barras termnas de todos os ramos (lnhas de transmssão e transformadores) do sstema. Defne-se T B como o conjunto das barras termnas (, j) dos transformadores com dspostvo LTC e U o conjunto de barras conectadas ao termnal do UPFC Mnmzação de Perdas Atvas na Transmssão O problema da mnmzação da perda de potênca atva no sstema de transmssão, como formulado nesta seção, apresenta como restrções: as equações báscas de balanço de potênca atva e reatva nas barras; os lmtes de operação em relação aos níves de tensões em todas as barras; os lmtes de operação em relação a geração de reatvos pelos geradores; e os lmtes físcos das susceptâncas em paralelo e dos tapes dos transformadores com LTC. Assume-se que as njeções de potênca atva em todas as barras do sstema, exceto a barra de referênca, são conhecdas e permanecem fxas nos valores defndos pelo despacho econômco (DE) de geração, ou seja, as gerações de potênca atva não são consderadas como varáves do problema. As varáves de controle (aquelas que podem ser dretamente manpuladas pelo operador) são: as tensões termnas dos geradores, as susceptâncas em paralelo dos capactores e reatores, e os tapes dos transformadores com dspostvo LTC. As varáves de estado ou dependentes são: as tensões nas barras de carga, o ângulo de fase das tensões nodas, e a