HEURÍSTICA BASEADA NA BUSCA TABU PARA ALOCAÇÃO DE CAPACITORES EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 HEURÍSTICA BASEADA NA BUSCA TABU PARA ALOCAÇÃO DE CAPACITORES EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Mara A. Bago Departamento de Estatístca Unversdade de Brasíla - UnB Brasíla DF - Brasl mamela@u.br Marco A. Coelho Pablo E. Cuervo Franco Departamento de Engenhara Elétrca Unversdade de Brasíla UnB Brasíla DF Brasl egto@ene.u.br pablo@ene.u.br Resumo Este artgo apresenta metodologa computaconal desenvolvda para alocação de bancos de capactores em redes de dstrbução de energa elétrca com almentadores de 3.8kV. O procedmento heurístco basea-se no consumo de reatvos das cargas e fo mplementado em lnguagem computaconal VB para resolver modelo da programação matemátca ntera não lnear para a otmzação de perdas de energa elétrca. Resultados sobre a efcênca do algortmo são apresentados. Palavras-Chave: heurístca, perdas de transmssão, otmzação oombnatóra Abstract Ths paper presents a computatonal methodology developed for capactor allocaton n radal 3.8 kv dstrbuton networks. The heurstc procedure s based on reactve loads and was mplemented n VB language wth the goal of solvng a nonlnear nteger mathematcal programmng model for optmzng energy losses n a dstrbuton network. Results on the algorthm performance are presented. Keywords: heurstc, network losses, combnatory optmzaton. Introdução Durante as últmas décadas, o número de técncas propostas para a alocação de capactores em redes de energa elétrca têm sdo bastante sgnfcatvo. As metodologas utlzadas são varadas e cada vez mas sofstcadas, dada a crescente dsponbldade de recursos computaconas. Dentre os trabalhos desenvolvdos utlzando programação matemátca, cta-se Duran (968), que trata o problema de alocação de capactores fxos através de modelo de programação dnâmca, e Baran e Wu (989a, 989b) que utlzam técncas de decomposção para tratar problemas de alocações de capactores fxos e varáves.

2 Métodos heurístcos foram propostos na década de 980; dentre eles cta-se aqueles desenvolvdos por Granger and Lee (982), Granger et al. (984), Kaplan (984), e Cvanlar e Granger (985). Mas recentemente encontra-se o trabalho de Deng et al (2002). O aparecmento de técncas como algortmos genétcos, smulated annealng, lógca fuzzy, sstemas especalstas, e redes neuras artfcas permtram a concepção de modelos para a alocação de capactores como problemas de otmzação combnatóra. Chang et al (990) utlzaram a técnca de smulated annealng baseada em processos de crstalzação térmcos de sstemas físcos, consderando restrções de carga e de tensão; Boone e Chang (993) utlzaram algortmos genétcos para determnar localzações ótmas de capactores fxos; Kagan e Olvera (998) utlzaram algortmos genétcos para mnmzar perdas consderando abertura de nterruptores; Ferrera (2002) e Sundhararajan e Pahwa (994) utlzaram algortmo genétco para a alocação de capactores levando em consderação capactores fxos e varáves. Técncas de Busca Tabu foram utlzadas por Huang et al (996), e Mu et al (997). Recentes trabalhos têm-se concentrado em metodologas híbrdas. Dentre eles, cta-se Mu et al (997) que utlzaram procedmento heurístco conjuntamente com algortmo genétco; neste trabalho, um algortmo genétco é aplcado ncalmente para atngr regões contendo soluções de alta qualdade, que servem de estmatvas ncas para a técnca heurístca. Gallego et al (200) utlzaram metodologa baseada em algortmos genétcos, heurístcos e de Busca Tabu; nesta abordagem um algortmo genétco é utlzado para a geração de dversdade das soluções ncas que servem de base para a avalação por parte da Busca Tabu e enfatza a utlzação do path relnkng para a geração de novas populações. O presente trabalho apresenta uma metodologa heurístca baseada na Busca Tabu para resolver o problema de alocações de bancos de capactores em redes de dstrbução de energa elétrca com almentadores de 3.8kV. O procedmento heurístco basea-se no consumo de reatvos das cargas no ramal prncpal e ramas lateras de um almentador, e fo mplementado em lnguagem computaconal VB para resolver modelo da programação ntera não lnear de alocação de capactores para a otmzação de perdas de energa elétrca. A seção 2 resume o modelo utlzado, a seção 3 descreve a heurístca desenvolvda, a seção 4 apresenta resultados prelmnares alcançados e a seção 5 dscussão e conclusões. 2. Modelo Matemátco Clássco Uma formulação geral do problema de alocação de capactores consste em mnmzar uma função de custo de um almentador, composta pela soma das perdas de energa, C perdas, com os custos de nvestmento de nstalação dos bancos de capactores, C nv, sujeto às les físcas e aos lmtes operatvos do sstema, para um dado horzonte de tempo (Ferrera, 2002). Neste processo de otmzação, o tpo, tamanho, localzação e o controle dos bancos de capactores são defndos. Do ponto de vsta operaconal, uma das prncpas preocupações é manter a varação do perfl de tensão dentro de valores acetáves, ndependentemente das varações da carga. Uma forma de se representar o problema proposto pode ser vsta nas equações de (2.) a (2.7). Este modelo corresponde a um sstema de dstrbução composto de apenas um almentador prmáro prncpal com patamar de carga constante. As barras e os ramas que ncam nestas barras são dentfcados pelo mesmo índce,. Elas são enumeradas em ordem crescente a partr da prmera barra conectada na subestação. Mnmzar s. a. f = = C nv ( Qc ) + n = ket.. P loss (2.) 636

3 ( r + x )( P + Q ) V + = V 2( r P + x Q ) +, =,..., 2 (2.2) V 2 2 P + Q P + = P r. PL, =,..., 2 + (2.3) V 2 2 P + Q = Q x. QL + Qc, 2 = + + V mn max V V, = Q +,..., (2.4) V,..., (2.5) sh 2 Qc = u. bc. V, =,..., (2.6) Neste modelo, potênca atva e reatva, níves de tensão, localzação e tamanho dos capactores são as varáves. Níves de carga, lmtes de tensão e parâmetros das lnhas são conhecdos. A função objetvo (2.) possu dos componentes, onde o prmero está relaconado ao custo total de nvestmento (aqusção, nstalação e manutenção) em bancos de capactores, sejam fxos ou varáves. Esta função de custo é dscreta e cresce com o número de undades capactvas nstaladas (Huang et al, 996); o segundo termo está relaconado com o custo total das perdas de energa durante o horzonte de planejamento, T. Esta função também é não lnear, caracterzada pelo comportamento não lnear das perdas. As equações (2.2), (2.3) e (2.4) modelam o fluxo de carga para sstemas de dstrbução radas (Baran e Wu, 989b). As nequações em (2.5) representam as varações de tensão acetáves para cada barra do sstema. O módulo ao quadrado da corrente nos trechos nas equações (2.2) a (2.4) é destacado na equação (2.7), que é utlzado para calcular as perdas de potênca atva e reatva nos trechos. I P + Q = (2.7) ( ) 2 V A restrção (2.6), que é parte da equação (2.4), representa a njeção de potênca reatva quando undades capactvas são nstaladas. A quantdade de reatvos njetados depende do número de undades capactvas nstaladas (varáves nteras u) em cada barra canddata. Esta njeção, Q c, também é um termo não lnear, já que é um produto de uma varável contínua, V 2, com uma varável ntera, u, ambas desconhecdas durante o horzonte de planejamento. A susceptânca capactva, b c sh, pode ser consderada fxa e obtda dos valores nomnas de tensão e potênca nomnal nformados pelo fabrcante. Por exemplo, um capactor de potênca nomnal 300 kvar projetado para trabalhar num nível de tensão de 3.8 kv, tem uma susceptânca capactva de S. Dessa forma, o problema de otmzação descrto acma compõe um programa não lnear ntero msto. Dada sua natureza combnatoral, o modelo matemátco (2.) a (2.6) requer escolha cudadosa de metodologa para obtenção de uma boa solução. 2. Patamares de carga O número de equações e varáves cresce proporconalmente quando város níves de carga são consderados. Se topologas mas complexas forem modeladas, outros índces adconas serão necessáros e as condções de frontera relaconadas com o balanço de potênca nas bfurcações dos trechos devem ser observadas. O modelo matemátco utlzado neste trabalho consdera três níves dáros de carga: leve, médo e pesado, com tempos de permanênca T3, T2 e T, respectvamente, onde T3 + T2 + T = 24 horas em um da típco de operação. 637

4 3. Heurístca A metodologa heurístca aqu proposta basea-se na segunte justfcatva: os bancos de capactores, dealmente, devem ser alocados em quantdade/potênca sufcente para suprr o consumo de reatvos das cargas nas barras e de forma a mnmzar as perdas nas lnhas. Como em toda metodologa para resolução de problemas combnatoras, a estmação de um lmte superor para os valores das varáves nteras, neste caso o número de capactores a serem nstalados, é de fundamental mportânca para sua efcênca computaconal. A dversdade de soluções ncas, o reconhecmento de regões promssoras e a defnção de uma lsta tabu são apresentados a segur. 3. Incalzação O procedmento se nca com a geração de uma dversdade de soluções, que dependerá da topologa da rede em questão. A obtenção destas soluções dá-se através de uma herarquzação dos ramas de cada almentador da rede, que segue os fluxos de carga reatvos exstentes nos mesmos. O número de soluções a serem geradas depende da capacdade de nstalação de capactores dos dferentes ramas e do número máxmo de capactores que cada almentador comporta. Dessa forma, um determnado número de capactores será explorado quando atender o fluxo de carga reatvo dos ramas que apresentam maor consumo, tomados ndependentemente ou em conjunto. Assm, sejam max o número de capactores que um almentador da rede comporta, e seja m(k) o número de capactores calculado de acordo com o fluxo de potênca que chega no k-ésmo ramal. Tomando-se o prmero ramal como aquele com maor fluxo de potênca reatvo, então para dstntos números de capactores, u = m, tas que m=m(), m=m()+m(2),..., m=m()+m(2)+...+m(nr), onde nr é o número de ramas do almentador, gerar solução ótma local. Segundo mesmo procedmento, dstntas soluções ncas também são geradas explorando os fluxos de potênca reatvos que passam pelos ramas que apresentam menor consumo reatvo. 3.2 Busca Local Para cada número de capactores gerado em 3., uma busca local é realzada. Além de sua natureza combnatoral, outro fator que onera computaconalmente a resolução do problema é o cálculo das perdas e tensões nas lnhas, que deve ser realzado sempre que um número determnado de capactores for alocado, pos as tensões nas barras devem ser controladas dentro de certos lmtes. Com o objetvo de mnmzar custos computaconas, o procedmento de busca local fundamenta-se na ordenação das barras (e correspondentes trechos) do almentador, de forma que aquelas que apresentam maor potênca reatva sejam, naturalmente, as prmeras a receberem bancos de capactores. Assm, nas barras com maor consumo reatvo são alocados tantos capactores quanto suas capacdades reatvas comportarem. Este procedmento de busca local é rápdo, pos requer apenas uma teração. 3.3 Soluções Elte e Lsta Tabu As soluções elte são aquelas que delmtam as regões que devem ser exploradas na fase de ntensfcação do algortmo as regões promssoras do espaço-solução do problema, e são reconhecdas utlzando-se o fato de que o custo com as perdas de energa elétrca pode ser 638

5 mnmzado através da alocação de capactores na rede de transmssão. Para tanto, testes são realzados durante a fase de ncalzação do procedmento, descrto em 3., como seguem abaxo: () () Para cada u = m, sejam f(m) e p(m) os valores (custos) das funções objetvo (2.) e de sua segunda parcela, relatva às perdas de energa na rede de dstrbução, respectvamente. Os valores dos custos f(0), p(0), f(max) e p(max) são guardados na memóra, pos servem de lmtes tanto para o número de capactores a serem alocados, quanto para a busca da melhor solução para o problema. Sejam f(nf) e p(nf), f(sup) e p(sup), o menor e maor valor encontrado, até o momento, para a função objetvo (2.) e o custo relatvo às perdas anda exstentes na rede após a alocação de m=nf e m=sup capactores, respectvamente. Uma solução m, f(m) é classfcada como solução-elte quando : a) f(m)<f(sup) com p(m)>p(sup) ; neste caso exste possbldade de se alcançar um menor custo com adção do número m de alocações de capactores. Ou, b) f(m)>f(nf) com p(m)<p(nf), o que ndca a possbldade de se obter um menor custo com subtração do número m de capactores alocados na rede. () A lsta tabu é composta, ncalmente, por todas as soluções geradas no processo de ncalzação da heurístca, defndo em 3.. O teste () permte defnr fronteras para as regões promssoras, que podem conter melhores soluções que aquelas já obtdas, de tal forma que a topologa da rede de dstrbução de energa elétrca seja explorada. 3.4 Intensfcação A fase de ntensfcação do procedmento heurístco consste na obtenção das soluções relaconadas aos números de capactores pertencentes às regões promssoras, através da busca local descrta em Convergênca O número máxmo de capactores que um almentador comporta pode ser estmado através do fluxo de carga reatvo localzado na barra subjacente à subestação barra ncal. Este número garante que o procedmento termna em um número fnto de terações. 4. Resultados Prelmnares A modelagem descrta acma permte consderar qualquer horzonte de planejamento; entretanto, a aplcação só terá sentdo prátco se exstrem prevsões razoáves de economa de custos. Para tanto, é sabdo que o custo de nvestmento em nstalação de capactores só se justfca quando consderada perda de energa acumulada ao longo de no mínmo um período de um ano. O procedmento heurístco descrto na seção anteror fo mplementado em lnguagem computaconal VB e testado, em computador PC Pentum(R) 4,.80 GHz, para dos sstemas de dstrbução de energa elétrca. O prmero, com 49 barras, cujos resultados são apresentados na sbseção 4., é relatvo ao crcuto CN0 pertencente à rede de dstrbução elétrca do Dstrto Federal (DF) (ver Apêndce). Neste teste consderou-se horzonte de planejamento de um ano. O segundo teste 639

6 computaconal fo realzado com o crcuto utlzado em Gallego et al (200) e Kagan e Olvera (998), que consderam horzonte de dez anos, cujos resultados são apresentados na subseção Teste O crcuto do problema-teste, que pode ser vsualzado através da fgura do Apêndce, fo reduzdo a um sstema com 49 barras. Neste trabalho, utlzou-se os seguntes dados: Ke0 = 0.06 US$/kWh, Ke = 0.06 US$/kWh, Ke2 = US$/kWh, são os custos da função objetvo, S0 =., S = 0.6, S2 = 0.3 são multplcadores da carga para os três patamares e T0 = 000, T = 6760, T2 = 000 são tempos de permanênca de carga, em horas, no período de um ano. Consderou-se horzonte de planejamento de um ano, e capactores fxos a um custo de US$ 470 por banco de 300kVAr. Sem capactores nstalados, o problema apresentou valor da função objetvo f(m)= 24,45408, m=0. A execução do procedmento heurístco descrto na seção 3 ndcou max=3 capactores e solução de menor custo com m=2 capactores, com 300 kvar cada, f(m)= 2,496, onde um capactor fo nstalado na barra 37 e outro na barra 46. O tempo computaconal gasto para resolução do problema fo de 0,2 segundos. Este resultado é comparável a um procedmento combnatoral exaustvo, podendo-se afrmar que a solução obtda é a solução ótma para o problema enuncado. 4.2 Teste 2 O problema utlzado neste teste possu 69 barras e fo extraído da lteratura. Para sua execução, utlzou-se os dados: Ke0 = US$/kWh, Ke = US$/kWh, Ke2 = 0.09 US$/kWh, são os custos da função objetvo, S0 =.0, S = 0.8, S2 = 0.5 são multplcadores da carga para os três patamares e T0 = 000, T = 6760, T2 = 000 são tempos de permanênca de carga. Consderou-se horzonte de planejamento de dez anos, com crescmento anual unforme da carga de 9.55% até o lmte de 5000 kw, que é atngdo no quarto ano. Para o problema, consderou-se capactores fxos a um custo de US$ 564 por banco de 300kVAr. Sem capactores nstalados, o problema apresentou valor da função objetvo f(0) = , enquanto Gallego et al (200) obtveram f(0) = 08890, e Kagan e Olvera (998) f(0) = Estas pequenas dferenças podem ser explcadas pelas tolerâncas de convergênca admtdas para cada fluxo de carga utlzado em cada patamar de carga, para cada ano do horzonte de planejamento. As soluções geradas na ncalzação do procedmento heurístco foram para m=0, m=max=9, m=2, e m=4, sendo f(2)= e f(4)= Uma regão promssora fo reconhecda, onde foram obtdas soluções para m = 5,6, 7 e 8 capactores alocados, com custos f(5)= , f(6)= 70272, f(7)= e f(8)= O tempo computaconal gasto para a resolução do problema fo de 0,359 segundos. A execução do procedmento heurístco descrto na seção 3 ndcou max=9 capactores e solução de menor custo com m=max capactores, com 300 kvar cada, f(m)=702048, com alocações de capactores conforme Tabela: Barra Capac. 3 Tabela : Alocação de capactores para o crcuto de 69 barras 640

7 A exploração da regão promssora ndcou a exstênca de uma solução ótma local, para m=5 capactores alocados, bastante próxma daquela de menor custo encontrada. Acredta-se que ambas as soluções obtdas pela heurístca proposta neste trabalho, para m=9 e m=5, são sub-ótmas, porém com a mportante vantagem de possurem custo menor que aquela apontada por Gallego et al (200) onde f(m)=7655, e m=8 bancos de capactores alocados. Comparando os custos sobre as perdas de energa na rede sem capactores alocados, ou seja para m=0, com aqueles para nove capactores alocados, m=9, a economa obtda através da mnmzação das perdas de energa elétrca é de US$ , contra US$ em Gallego et al (200). 5. Dscussão e Conclusões O procedmento heurístco proposto neste trabalho demonstrou rapdez e efcênca em ambos os testes realzados, com destaques à metodologa de geração de soluções em sua fase de ncalzação, e à herarquzação das barras empregada em sua busca local. No prmero teste, para o problema de 49 barras, o número de soluções ncalmente geradas fo gual ao número máxmo de capactores que a rede comporta, ou seja, max=3, obtendo resultado ótmo comparável a um procedmento combnatoral exaustvo. Este resultado mostra a efcênca do procedmento de busca local utlzado. No segundo teste, para o problema de 69 barras, a solução ndcada pela heurístca apresentou menor custo que a solução apresentada por Gallego et al (200), com quatro soluções geradas no processo de ncalzação, e reconhecmento de uma regão promssora. Para os testes aqu realzados, não houve necessdade de se lmtar o tamanho da lsta tabu devdo ao fato do número estmado max apresentar-se relatvamente pequeno. Este fato traz outra vantagem para o procedmento aqu adotado, que é a quantdade de parâmetros adotados; neste caso apenas um parâmetro este necessáro para os testes () descrtos na seção 3.3. Testes com problemas de maor porte deverão ser realzados de forma a possbltar conclusões mas precsas sobre a efcênca da heurístca proposta neste trabalho. 6. Referêncas Bblográfcas Deng, Y., Ren, X., Zhao, C., Zhao, D., (2002) A Heurstc and Algorthmc Approach for Reactve Power Optmzaton wth tme varng Load Demand n Dstrbuton Systems, IEEE Transactons on Power Systems, Oct.. Ferrera, H., (2002) Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca: Um algortmo Genétco para Alocação Ótma de Capactores, Departamento de Engenhara Elétrca, Unversdade de Campna Grande, Tese de mestrado, Julho. Gallego, R.A., Montcell, A., Romero, R., (200) Optmal Capactor Placement n Radal Dstrbuton Networks, IEEE Transactons on Power Systems, Vol. 6, No. 4, Nov.. 64

8 Kagan, N., Olvera, B., (998) Utlzação de algorítmos genétcos para a mnmzação de perdas em redes de dstrbução de energa elétrca, Anas 998 III Congresso Latno Amercano de Dstrbução de Energa Elétrca, pp Mu, K., Chang, H., Darlng, G., (997) Capactor placement, replacement and control n large scale dstrbuton systems by a GA-based two-stage algorthm, IEEE Trans. Power Systems, vol. 2, No.3, pp , Aug.. Huang Y., Yang H., Huang C., (996) Solvng the Capactor Placement Problem n Radal Dstrbuton System usng Tabu Search Aproach, IEEE Transactons on power Systems, Vol., No. 4, Nov.. Sundhararajan S., Pahwa A., (994) Optmal Capactor Placement on Radal Dstrbuton Systems Usng a Genetc Algorthm, IEEE Transactons on power Systems, Vol. 9, No. 3, Aug.. Boone, G., Chang, H., (993) Optmal capactor placement n dstrbuton systems by genetc algorthm, Electrc power & Energy Systems, vol. 5, No.3, pp Chang, H., Wang, C., Cockngs, O., Shn, H., (990) Optmal capactor placement n dstrbuton systems, part I and part II, IEEE Trans. Power Delvery, vol. 5, pp , Aprl. Baran, M., Wu, F., (989a) Optmal szng of capactors placed on a radal dstrbuton system, IEEE Transactons on power Delvery, Vol.4, No., pp , Jan.. Baran, M., Wu, F., (989b) Optmal capactor placement on a radal dstrbuton system, IEEE Transactons on power Delvery, Vol.4, No., pp , Jan.. Cvanlar, S., Granger, J., (985) Volt/var control on dstrbuton system wth lateral branches usng shunt capactors and voltage regulators, part II: the soluton method, IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, vol. 04, No., pp , Nov.. Kaplan, M., (984) Optmsaton of Number, Locaton, Sze, Control Type, and Control Settng of Shunt Capactors on Radal Dstrbuton Feeders, IEEE Transactons on power Systems, Vol. PAS-03, No. 9, Sept.. Granger, J., Cnvalar, S., Clnard, K., (984) Optmal voltage dependent contnuos-tme control of reactve power on prmary feeders, IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, vol. 03, pp , Sep.. Granger, J., Lee, S., (982) Capacty release by shunt capactor placement on dstrbuton feeders: a new voltage dependent model, IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, vol. 0, pp , May. Duran, H., (968) Optmum number, locaton, and sze of shunt capactors n radal dstrbuton: a dynamc programmng approach, IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, vol., 87, pp , Sep.. 642

9 APÊNDICE O crcuto da Fgura abaxo corresponde a um Sstema de Dstrbução real da Companha de Eletrcdade de Brasíla - CEB, conhecdo como CN0, o qual atende a cdade satélte Celânda. O crcuto é composto por 34 transformadores dstrbuídos entre 260 trechos, que, para fns deste estudo, foram reduzdos, sem descaracterzação, para 49 trechos. Este crcuto teve seus dados de lnha (resstênca e reatânca) extraídos da base de dados de um sstema nterno da CEB, o GEOCEB. Fgura. Almentador Prmáro da CEB CN0 643