ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO PARA ALOCAÇÃO DE BANCOS DE CAPACITORES EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO PARA ALOCAÇÃO DE BANCOS DE CAPACITORES EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA José Federco Vzcano González Departamento de Engenhara de Sstemas DENSIS Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação FEEC Unversdade Estadual de Campnas UNICAMP Av. Albert Ensten, 400. C. P.: 6101 Cdade Unverstára Campnas, SP jfvg@denss.fee.uncamp.br Celso Cavellucc Departamento de Engenhara de Sstemas DENSIS Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação FEEC Unversdade Estadual de Campnas UNICAMP Av. Albert Ensten, 400. C. P.: 6101 Cdade Unverstára Campnas, SP celsocv@denss.fee.uncamp.br Chrstano Lyra Flho Departamento de Engenhara de Sstemas DENSIS Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação FEEC Unversdade Estadual de Campnas UNICAMP Av. Albert Ensten, 400. C. P.: 6101 Cdade Unverstára Campnas, SP chrlyra@denss.fee.uncamp.br RESUMO Este artgo apresenta um algortmo evolutvo híbrdo para reduzr perdas elétrcas em redes de dstrbução de energa elétrca por meo da nstalação de bancos de capactores. Um método de otmzação baseado na técnca de algortmos memétcos é usado para defnr melhores estratégas de alocação dos bancos de capactores. O algortmo proposto usa uma nova codfcação de cromossomo e uma nova busca local no fenótpo para melhorar o desempenho. Estudos de casos em redes de dstrbução de tamanho real destacam os benefícos obtdos pelas modfcações propostas. PALAVRAS CHAVE. Perdas elétrcas, redes de dstrbução de energa elétrca, nstalação de bancos de capactores, algortmo memétco. ABSTRACT Ths paper presents an evolutonary algorthm to reduce electrcal losses n power dstrbuton systems. An optmzaton method based on memetc algorthm technques s used to defne the best strateges for capactors bank allocaton. The proposed algorthm uses a new codfcaton for the chromosome and a new phenotype local search to mprove ts performance. Case studes wth real sze dstrbuton networks show the benefts of the modfcatons ntroduced. KEYWORDS. Electrcal losses, capactor bank allocaton, power dstrbuton systems, memetc algorthm. 2710

2 1. Introdução As perdas elétrcas são nerentes aos sstemas de dstrbução de energa elétrca. Exstem dversas estratégas que podem ser utlzadas para sua redução, entre elas pode-se ctar a reconfguração das redes, nstalação de bancos de capactores e a troca de cabos e equpamentos. A nstalação de capactores é uma alternatva bastante utlzada, pos além de reduzr os fluxos de energa reatva nos condutores da rede prmára, leva a melhoras nos perfs de tensão nos crcutos de almentação, aumento da capacdade das subestações e, conseqüentemente, aumentando também a vda útl das redes e equpamentos. No planejamento de sstemas de dstrbução, defnem-se os locas de nstalação e a capacdade dos bancos de capactores, consderando-se um perfl de carga assocada à sua varação no horzonte de planejamento. Os bancos de capactores nstalados podem ser fxos ou varáves, permtndo a njeção de dferentes níves de energa reatva no sstema. Neste trabalho aborda-se o problema de localzação e dmensonamento de bancos de capactores fxos (PLDC) para mnmzar as perdas elétrcas, satsfazendo as restrções operaconas das redes de dstrbução de energa elétrca. Metodologas para soluconar o problema de localzação e dmensonamento de capactores (PLDC) são estudadas desde a década de 50. Mesmo exstndo metodologas capazes de produzr boas soluções para o problema, anda é uma área de ntensa pesqusa. Trabalhos mas recentes procuram dentfcar novas propredades estruturas do PLDC e explorar novos métodos em computação evolutva, buscando melhorar a qualdade das soluções e tratar detalhes na representação do problema. Os prmeros métodos propostos para resolver o PLDC foram analítcos, usando hpóteses smplfcadoras. Por exemplo, Neagle e Samson (1956) apresentam uma metodologa baseada em curvas de perdas, para alocação de um únco banco de capactores em cada um dos almentadores. Durán (1968) propõe uma abordagem utlzando programação dnâmca, um método formal de otmzação que permte a obtenção da solução ótma, para uma representação smplfcada do problema. Baran e Wu (1989b, 1989b) formulam o PLDC como um problema de otmzação não lnear com varáves reas e nteras. Chang, Wang, Cockngs e Shn (1990a, 1990b) aplcam a técnca de Smulated Annealng na resolução do PLDC, onde a função de custo de nstalação dos capactores é não dferencável e os tpos de capactores são representados por varáves nteras. Gallego, Montcell e Romero (2001) utlzam um algortmo híbrdo baseado em Busca Tabu para resolver o PLDC. Um dos prmeros artgos a explorar o enfoque evolutvo na solução do PLDC deve-se a Boone e Chang (1993). No artgo de Mendes et al. (2002) é detalhada uma abordagem por algortmos memétcos (Moscato, 1989) com população estruturada, com bons resultados em redes de grande porte (mas de 2000 barras). Vzcano et al. (2004) aplcaram o algortmo memétco proposto por Mendes et al. (2002) ao PLDC para redes de tamanho real, com restrções de tensão na rede. Este artgo descreve uma abordagem baseada em algortmo genétco híbrdo para a solução do PLDC. As contrbuções mas relevantes são: um novo modelo de cromossomo e uma nova busca local para o algortmo proposto por Mendes et al. (2002), mportantes para melhorar o desempenho global do algortmo. Na próxma seção apresenta-se uma formulação para o PLDC. Na Seção 3 descreve-se a metodologa proposta para resolver o PLDC. Os resultados obtdos pela aplcação da metodologa proposta são mostrados na Seção 4. Conclusões e comentáros são apresentados na Seção Formulação do Problema A formulação (e solução) do PLDC apóa-se na representação da rede de dstrbução por grafos (Ahuja et al., 1993; Cavelucc e Lyra, 1997). Grafos são entdades matemátcas formadas por um conjunto de nós (N) e lgações entre esses nós, denomnadas arcos (A). Nesta 2711

3 representação, assoca-se o grafo G = [N,A] ao sstema de dstrbução, onde os nós do conjunto N representam pontos sgnfcatvos da rede, como transformadores, barras de carga e pontos de ramfcações de lnhas. Os arcos do conjunto A estão assocados a lnhas de dstrbução e chaves - os arcos que fazem a conexão das subestações ao nó raz podem ser assocados com as lnhas de transmssão. A maora das redes de dstrbução de energa elétrca é operada usando uma estrutura radal; essa estrutura pode ser representada por uma árvore T=[N,A ] do grafo G, sendo A A. Consderando-se o conjunto de perfs de demanda (L λ ) assocado a um certo horzonte de planejamento (λ = 1, 2,...np), o PLDC sob varações de demandas, para uma rede prmára de dstrbução representada pela árvore T = [N,A ], pode ser caracterzado na forma a segur. s.a.: Mn QC np ( φ ( )) + a QC ϕeη τ λ 2 Pλ k + Q r k k vλ N λ= 1 N A 2 2 λk (1) Pλ ( k 1) = P P np k λk + Lλ, N, λ = 1,2,... A (2) Qλ ( k 1) = Q Q Q np k λk + Lλ C, N, λ = 1,2,... A (3) ( rk Pλ k + xkqλ k ), j D, k A, N, = 1,2 np (4) 2 2 vλ j = vλ 2 λ,... vλ vλ vλ, N, λ = 1,2,... np (5) Q c Q, N (6) Onde Q c é o conjunto de capactores nstalados na rede; N é o conjunto de nós da rede; A é o conjunto de arcos com orgem no nó ; D é o conjunto de nós destnos de A ; φ a (Q C ) representa o custo anualzado de um capactor nstalado no nó capaz de fornecer a potênca reatva Q C ; ϕ e é o valor médo da energa; η é o fator de transformação de kw em MWh; np é o número de perfs de carga; τ λ é o tempo de duração (em horas) do perfl λ; P λk é o fluxo de potênca atva no arco k que sa do nó para o perfl λ; P Lλ é a potênca atva consumda no nó no perfl λ; Q λk é o fluxo de potênca reatva no arco k que sa do nó no perfl λ; Q Lλ é a potênca reatva consumda no nó para o perfl λ; v λ é a tensão no nó no perfl λ; v λj é a tensão no nó j pertencente a D para o perfl λ; r k e x k representam, respectvamente, resstêncas e reatâncas assocadas ao arco k; Q é o conjunto de capactores dsponíves. A prmera parcela em (1) representa o custo anualzado dos bancos de capactores Q c nstalados na rede, enquanto a segunda parcela representa o custo total da energa dsspada (perdas elétrcas do sstema) ao longo de um ano na rede de dstrbução em estudo. As equações (2) (3) e (4) representam as equações de fluxo de carga, enquanto a equação (5) representa as restrções de tensão. A equação (6) restrnge os tpos de bancos de capactores dsponíves aos bancos defndos no conjunto Q. 3. Descrção do algortmo genétco híbrdo aplcado ao PLDC O método proposto neste artgo basea-se numa técnca evolutva para resolver o PLDC em especal nos algortmos memétcos (Moscato, 1999). Este método fo proposto ncalmente por Mendes et al. (2002) e aperfeçoado para condções reas de operação em Vzcano et al. (2004). Algortmo memétco (AM) é uma classe de algortmos do tpo populaconal que, como o algortmo genétco (AG), utlza analogas com concetos do processo de evolução da natureza. De forma geral, consste em fazer uma população de ndvíduos (representando soluções factíves do PLDC) evoluírem através de processos de seleção, recombnação e mutação. Os ndvíduos mas adaptados deverão sobrevver por mas tempo, perpetuando assm seu materal genétco. Após um número sufcente de gerações, espera-se que a população de soluções seja formada apenas por ndvíduos de excelente qualdade, que representem boas confgurações de localzação 2712

4 de capactores. A dferença básca dos AM em relação aos AG stua-se no emprego de uma fase de otmzação a que são submetdos os novos ndvíduos gerados (Moscato, 1999). A segur mostra-se um pseudo-códgo smplfcado de um AM, ressaltando que é a ntrodução de uma etapa de busca local que dá a caracterzação memétca ao algortmo. Algortmo Memétco() GerarPopulaçãoIncal(); geração = 1; faça Seleconar(); Reconbnar(); Mutação(); BuscaLocal(); AtualzaPopulação(); geração = geração + 1; enquanto(crtéro de parada não for satsfeto) Fgura 3.1: Algortmo genétco híbrdo. A realzação da busca local a cada geração depende da complexdade do algortmo de busca utlzado. Caso seja necessáro é possível adotar a polítca de fazer uma busca local ao fnal de um determnado número de gerações, de forma a dmnur o mpacto da busca no tempo computaconal do algortmo. No método proposto, a busca local é executada após um número defndo de gerações. A atualzação da população é realzada para ndvíduos do mesmo subgrupo; como por Mendes et. al (2002). O crtéro de parada será descrto na seção Codfcação do Cromossomo A representação escolhda para o cromossomo no método proposto é um vetor de números nteros, enquanto no algortmo proposto por Mendes et al. (2002) era usado um cromossomo msto com duas partes: a prmera bnára e a segunda ntera. A representação proposta smplfca o operador de mutação e permte que o algortmo ganhe em rapdez sem prejudcar a representação adequada do problema. O cromossomo codfca os locas canddatos (nós da rede de dstrbução) para a nstalação dos bancos de capactores. Se o alelo correspondente à posção (para = 1... N ) tem valor gual a -1, sgnfca que esta posção não receberá banco de capactores. Caso contráro, receberá um valor ntero postvo correspondendo ao tpo de banco de capactor. A Fg. 3.2 mostra um exemplo da codfcação proposta. A posção 3 no cromossomo recebe um banco de tpo 0, que corresponde no exemplo um banco de 300 kvar e na posção 6 um banco de tpo 1 correspondendo um banco de 600 kvar (sto depende dos valores propostos para os tpos de banco). As outras posções do cromossomo não possuem bancos de capactores nstalados (valor gual a -1 ). [ ] Nós do almentador / Capacdade dos bancos Fgura 3.2: Estrutura do cromossomo. Neste trabalho, utlzamos uma população herarqucamente estruturada proposta em (Mendes et al., 2002). A estrutura herárquca é composta por uma árvore ternára de 13 elementos representada na Fg

5 Líder Subgrupo Segudores Fgura 3.3: Estrutura populaconal herárquca utlzada no AGH. A população utlzada é formada por um conjunto de 4 subgrupos com 4 ndvíduos cada um, sendo um líder e três segudores. Em cada subgrupo, o líder é sempre o ndvíduo mas adaptado (com melhor função de avalação). Nesta estrutura herárquca os ndvíduos dos níves superores são mas adaptados que aqueles que ocupam os níves nferores. A população ncal é crada aleatoramente, tanto em relação ao número de bancos e localzação quanto nos tpos de bancos. O número máxmo de bancos de capactores a serem representados no cromossomo é lmtado pela relação entre o maor valor de potênca reatva que crcula pela rede de dstrbução para demanda máxma (Q max ) e o banco de menor capacdade (Q c mn) do conjunto Q. Utlza-se este lmtante porque não é desejável que a rede fque em estado capactvo (njete reatvos no sstema de subtransmssão). Por exemplo, se Q={300, 600, 1200} e Q max =3000 kvar, o número máxmo de bancos a serem alocados é gual a 10 ( ). O lmtante do número máxmo de bancos de capactores nos ndvíduos na população ncal permte explorar de forma ntensva as regões mas promssoras do espaço de soluções. 3.2 Função de Avalação A função de avalação tem por fnaldade quantfcar a qualdade dos ndvíduos gerados. No caso do PLDC, a função de avalação de cada ndvíduo é representada pela Equação 1 função objetvo do modelo de otmzação e seu valor quantfca a solução assocada a cada ndvíduo. A segunda parcela da Equação 1 é calculada utlzando um algortmo de fluxo de potênca adequado a redes de dstrbução (Baran e Wu, 1989c). As perdas são calculadas supondo-se nstalados os capactores representados pelo ndvíduo em avalação. A outra parcela da Equação 1 representa o custo anualzado de compra, nstalação e manutenção dos capactores. O valor de compra dos capactores, CustoCap, é anualzado levando-se em conta a taxa de amortzação do equpamento, n, e a taxa de juros anuas,. Usando a formula clássca da engenhara econômca para valor presente, pode-se calcular o custo anual dos capactores pela Equação 7. n CustoCap = ( CustoCap) /(1 (1/(1 + ) )) (7) anual 3.3 Operadores Na seleção dos ndvíduos para recombnação é sempre escolhdo um dos líderes e um de seus segudores de forma aleatóra e com gual probabldade para todos. Este artfíco restrtvo na seleção mta um comportamento mult-populaconal, pos as recombnações só ocorrem entre subpopulações (subgrupos). Essa característca confere maor robustez ao algortmo, garantndo-lhe um desempenho superor quando comparado ao uso de populações não estruturadas (Mendes et al., 2002). 2714

6 Como resultado da recombnação é crado um novo ndvíduo um flho a partr das nformações contdas nos pas. Fo adotada uma recombnação unforme, o alelo do flho é determnado escolhendo-se aleatoramente o alelo de um dos pas. A mutação vsa acrescentar dversdade à população de ndvíduos. O operador mplementado escolhe aleatoramente uma posção do ndvíduo e troca o valor do alelo. Se a posção escolhda não tem capactor (valor do alelo gual a -1), é escolhdo um valor aleatoramente no conjunto Q. Caso contráro é somado ou subtraído aleatoramente uma undade a seu valor, respetando os lmtes mpostos pela codfcação. Por exemplo, se exstem dos tpos de bancos em Q, então os valores que um alelo pode receber são -1, 0 e 1, se o resultado da soma ou subtração de uma undade ao valor do alelo exceder os lmtes permtdos, o alelo receberá o respectvo valor lmte, -1 ou Busca Local A otmzação dos descendentes é realzada através de uma busca local com três tpos de estratégas no genótpo (cromossomo) e uma estratéga de busca local no fenótpo (rede de dstrbução), que são detalhadas a segur. Adção e retrada: busca local feta retrando os bancos exstentes e nstalando em locas que não exstem capactores. O tpo de banco a ser nstalado é escolhdo aleatoramente. Capacdade: busca local baseada na modfcação da capacdade dos bancos, verfcando a qualdade das soluções para bancos de capactores com capacdade medatamente nferor e superor à capacdade do capactor nstalado subtrando e somando uma undade ao valor do alelo. Troca: retra-se um capactor e procura-se colocá-lo em outra posção dsponível posção sem capactor nstalado. Deslocamento: esta estratéga de otmzação é mplementada no fenótpo do ndvíduo. Ela consste em deslocar cada um dos bancos de capactores nstalados numa determnada vznhança, com o objetvo de melhorar a função objetvo. A Fgura 3.4 lustra esta estratéga. n=2 Fgura 3.4: Busca local de deslocamento. No dagrama mostrado na Fgura 3.4 o banco nstalado no nó é deslocado em profunddade na dreção do nó folha para certa vznhança, defnda, por exemplo, por dos nós (n=2), ou em dreção a níves superores. A busca termna quando são alcançados os nós extremos da vznhança ou quando for observada uma melhora na função de avalação do ndvíduo. O valor atrbuído a n estabelece um compromsso entre o desempenho computaconal 2715

7 do algortmo e os benefícos esperados. Nos testes computaconas adotou-se n= Resultados Para verfcar a abordagem proposta neste artgo foram realzados testes computaconas utlzando 5 redes com as característcas descrtas na Tabela 4.1. Rede Número de nós Número de almentadores Perdas Elétrcas A B C D E Tabela 4.1: Característcas das redes utlzadas para estudo de casos. O estudo fo realzado consderando o perfl de carga dára representado pelo gráfco mostrado na Fgura 4.1. Perfl de Carga 80% 80% 100% 60% 30% Madrugada Manha Tarde Pco Note Horas Fgura 4.1: Perfs de carga horára consderada para o estudo de caso. O preço médo da energa elétrca fo estmado em 100,00 R$ /MWh no horáro de pco e 20,00 R$/MWh nos outros horáros, utlzando juros de 12 % ao ano e um período de amortzação de 5 anos. No estudo foram usados dos tpos de bancos de capactores com característcas que são mostradas na Tabela 4.2. O horzonte de tempo do estudo é de 1 ano, ou 8760 horas. Tpo Capacdade (kvar) Custo Tabela 4.2: Bancos de capactores utlzados no estudo. Os algortmos foram codfcados em C++, usando como sstema operaconal GNU/Lnux e o complador GCC 4.2 em um Pentum D 3.4 GHz. Os testes computaconas foram dvddos em dos grupos: no prmero, o algortmo proposto (AM2) fo aplcado às redes A, B e C, e os resultados comparados com os resultados obtdos pela aplcação do algortmo memétco AM1 proposto em Mendes et al. (2002), utlzando um crtéro de parada varável, assocado ao processo de melhora da solução. Um segundo estudo analsa os resultados dos algortmos AM1 e AM2 para as redes D e E, com um crtéro de parada estátco (número fxo de terações). Para essas duas redes é conhecda a melhor solução, encontrada através da execução do algortmo AM2 durante 2 horas. Para o prmero teste computaconal a taxa de mutação utlzada fo de 10%. São utlzados cnco renícos da população. Cada reníco é aplcado quando não é encontrada uma 2716

8 nova melhor solução em 50 terações. A busca local é executada a cada 50 terações. A Tabela 4.3 apresenta os resultados para a melhor solução após cnco repetções do método. Rede Número de fluxos de carga executados Tempo computaconal (s) Custo Incal das Perdas Custo Fnal das Perdas Capacdade Instalada (kvar) Custo da Redução de Custo (%) A ,0 B ,0 C ,0 Tabela 4.3: Resultados computaconas para o algortmo proposto (AM2). Um teste comparatvo fo realzado usando os algortmos AM1 e AM2. Os resultados são apresentados na Tabela 4.4. Rede Tempo AM1 (s) Tempo AM2 (s) T AM2 vs T AM1 (%) AM1 AM2 A B C Tabela 4.4: Comparação entre o algortmo AM1 e AM2 para as redes A, B e C. Na Tabela 4.4 observa-se que as soluções obtdas pelos dos algortmos são equvalentes (sempre a solução de AM2 é um pouco melhor que AM1), porém a dferença em tempo computaconal chega a ser de até 28% para a rede B. Isto ndca uma exploração mas efcente do espaço de busca por parte do algortmo proposto. O segundo teste computaconal utlza um número de terações gual a 750 e a busca local é executada a cada 50 terações para os dos algortmos. A Tabela 4.5 mostra os resultados de 10 repetções dos algortmos AM1 e AM2 para as redes D e E. Rede Iterações Incal Melhor Tempo AM1 (s) Tempo AM2 (s) AM1 AM2 AM1 (%) AM2 (%) D ,1 35, ,1 0,2 E ,9 35, ,2 0 Tabela 4.5: Resultados para as redes D e E. As ses últmas colunas da Tabela 4.5 referem-se às médas dos valores obtdos em 10 repetções da execução dos algortmos. As duas últmas colunas representam o desvo percentual médo das soluções encontradas em relação à melhor solução, calculadas no ntervalo entre a solução ncal (sem capactores nstalados) e a melhor solução conhecda, para cada um dos algortmos. Os resultados da Tabela 4.5 revelam que, enquanto o algortmo AM2 encontra sempre a melhor solução para a rede E (desvo gual a 0%), o desvo do algortmo AM1 é de 6,2% acma da melhor solução; por outro lado, este algortmo não fo capaz de encontrar a melhor solução. Para a rede D o algortmo encontrou 5 vezes a melhor solução e fcou com um desvo médo de 0,2% nas 10 repetções, enquanto o algortmo AM1 teve um desvo de 4,5% e não encontrou a melhor solução. 2717

9 As fguras 4.2 e 4.3 mostram a evolução da solução a cada teração para a melhor das 10 repetções AM1 AM2 melhor_sol Func. Aval Iter Fgura 4.2: Evolução da função de avalação no estudo com a rede C AM1 AM2 melhor_sol Func. Aval Iter Fgura 4.3: Evolução da função de avalação no estudo com a rede D. 2718

10 5. Conclusões Este artgo descreve um algortmo genétco híbrdo aplcado ao problema de localzação e dmensonamento de capactores. A nstalação de capactores em redes de dstrbução de energa elétrca tem como objetvo a redução do fluxo de reatvos com a conseqüente redução das perdas no sstema e melhora no perfl de tensão. Uma nova codfcação do cromossomo e uma nova busca local, realzada no fenótpo do ndvíduo, foram propostas para o problema. Essas melhoras foram motvadas pela observação dos resultados obtdos pelo algortmo proposto por Mendes et al. (2002) em redes reas de grande porte. Dos estudos de casos foram realzados para avalar os benefícos das modfcações ntroduzdas no algortmo. Prmeramente um teste comparatvo entre os algortmos genétco proposto por Mendes et al. (2002) e o descrto neste artgo fo realzado, utlzando três nstancas de grande porte. Os resultados obtdos mostram que soluções equvalentes são obtdas em um tempo computaconal em méda 25% menor. Em seguda, fo realzado um estudo com duas redes pequenas com uma solução ótma conhecda. Os resultados mostraram que o novo algortmo encontra soluções um pouco melhores, possu maor robustez e requer tempos computaconas muto menores. Agradecmentos Este trabalho teve o apoo da CNPq (Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco), entdade do governo braslero voltada para pesqusa e desenvolvmento. Referêncas Ahuja, R., Magnant, T. and Orln, J. (1993). Network Flows: Theory, Algorthms, and Applcatons, Prentce Hall, Englewood Clffs. Baran, M. E and Wu, F. F. (1989a). Optmal capactor placement on radal dstrbuton systems, IEEE Trans. Power Delvery, vol. 4(1): Baran, M. E and Wu, F. F., (1989b). Optmal szng of capactors placed on a radal dstrbuton systems, IEEE Trans. Power Delvery, vol. 4(1): Baran, M. E, Wu, F. F., (1989c). Network Reconfguraton n Dstrbuton Systems for Loss Reducton and Load Balancng. IEEE. Transactons on Power Delvery, vol. 4, pp Boone, G. and Chang, H. (1993). Optmal capactor placement n dstrbuton systems by genetc algorthm, Electrc Power & Energy Systems 15(3): Cavellucc, C. and Lyra, C. (1997). Mnmzaton of energy losses n electrc power dstrbuton systems by ntellgent search strateges, Internatonal Transactons n Operatonal Research 4(1): Chang, H.,Wang, J., Cockngs, O. and Shn, H. D. (1990a). Optmal capactor placements n dstrbuton systems: Part 1: A new formulaton and the overall problem, IEEE Transactons on Power Delvery, vol. 5(2):

11 Chang, H., Wang, J., Cockngs, O. and Shn, H. D. (1990b). Optmal capactor placements n dstrbuton systems: Part 2: Soluton algorthms and numercal results, IEEE Transactons on Power Delvery, vol. 5(2): Duran, H. (1968). Optmum Number, Locaton, and Sze of Shunt Capactors n Radal Dstrbuton Feeders: A Dynamc Programmng Approach, IEEE Transacton. On Power Apparatus and Systems, vol. 87, pp , Sept. Gallego, R. A., Montcell, A. J. and Romero, R. ( 2001) Optmal Capactor Placement n Radal Dstrbuton Networks, IEEE Transactons On Power Systems, 16(4): Moscato, P. (1989). On evoluton, search, optmzaton, genetc algorthms, and martal arts: Towards memetc algorthms, Techncal Report, Caltech Concurrent Computaton Program, C3P Report 826. Moscato, P, (1999). Memetc algorthms: A short ntroducton. In Glover F., Corne D. and Dorgo, M., edtors, New Ideas n Optmzaton. McGraw-Hll. Mendes, A., França, P., Lyra, C., Pssarra, C. and Cavellucc, C. (2002). An evolutonary approach for capactor placement n dstrbuton networks, Proceedngs of Thrd Internatonal NAISO Symposum on Engneerngof Intellgent Systems, Natural and Artfcal Intellgence Systems Organzatons (NAISO), Malaga, Span. Neagle, N. M. and Samson, D. R. (1956). Loss reducton from capactor nstalled on prmary feeders, AIEE Transactons pt. III 75: Vzcano, J. F., Lyra C., Bueno E. and Cavellucc, C. (2004). Técncas Evolutvas para Otmzação do Controle de Reatvos com Sazonaldade das Demandas, XV Congresso Braslero de Automação, Gramado-RS. 2720