MÉTODOS ITERATIVOS PARA PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA COM INCERTEZAS

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1 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável MÉTODOS ITERATIVOS PARA PROBLEMAS DE PRORAMAÇÃO MATEMÁTICA COM INCERTEZAS Rcardo Coêlho Slva Departamento de Telemátca Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação Unversdade Estadual de Campnas UNICAMP Caxa Postal 6, 38-97, Campnas SP rcoelhos@dt.fee.uncamp.br Luza Amala Pnto Cantão Departamento de Engenhara Ambental Unversdade Estadual Paulsta UNESP Av. Três de Março, 5, 887-8, Sorocaba SP luza@sorocaba.unesp.br Akebo Yamakam Departamento de Telemátca Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação Unversdade Estadual de Campnas UNICAMP Caxa Postal 6, 38-97, Campnas SP akebo@dt.fee.uncamp.br Resumo: Neste trabalho foram desenvolvdos alguns métodos teratvos, adaptados de modelos clásscos, que soluconam problemas de programação não-lnear com ncertezas na função objetvo e no conjunto de restrçõe Apresenta-se aqu uma relação entre alguns destes métodos teratvo Usando alguns exemplos, formalzados matematcamente, comprovamos a efcênca destes algortmos propostos comparando os seus resultados com os encontrados na lteratura. Palavras-Chave: Teora Fuzzy, Otmzação Não-Lnear, Programação Matemátca Fuzzy Abstract: In ths work we develop some teratve methods that solve the nonlnear programmng problems wth uncertantes n the objectve functon and n the set of constrant We derve a relaton among some of ths teratve method Selected examples from the lterature are presented to valdate the effcency of the methods and algorthms addressed. Key-Words: Fuzzy Theory, Nonlnear Optmzaton, Fuzzy Mathematcs Programmng. Introdução O surgmento da pesqusa operaconal (PO) forneceu uma base quanttatva e raconal para as tomadas de decsão. A PO é um ramo da cênca que tem por fnaldade desenvolver técncas para otmzar o desempenho de sstema Suas aplcações encontram-se nas áreas ndustras, de negócos, mltares e governamentas, entre outra O estudo da PO pode ser dvddo em algumas sub-áreas, sendo a programação matemátca (PM) uma dela Essa tem como meta soluconar problemas que envolvem mnmzação (ou maxmzação) da função objetvo, onde estes podem ser do tpo rrestrto ou restrto. Um grande avanço tecnológco e centífco se deve a apresentação da teora de conjuntos fuzzy dealzada por L. A. Zadeh [ZADEH(965)], ntroduzndo concetos matemátcos de natureza vaga e ambígua. O surgmento desta teora benefcou o tratamento dos elementos de ncerteza encontrados em váras áreas do conhecmento. Assm, essa teora fo aplcada em dversos ramos das engenharas e da matemátca, entre outro

2 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável Um conjunto fuzzy é defndo por uma função de pertnênca à (, que estabelece para cada x um grau de pertnênca ao conjunto A, com à [,]. Assm, podemos expressar um conjunto fuzzy como: x anf x [ anf, amod ] a mod anf asup x ( = x [ amod, asup ] A asup amod caso contráro onde a mod é o valor modal, a nf e a sup são os lmtantes nferor e superor, repectvamente. A Fgura lustra a função de pertnênca descrta pela equação acma. à ( a nf a mod a sup Fgura : Função de pertnênca à ( x A proposta prncpal deste trabalho está na construção de três métodos adaptados que soluconem problemas de PM com ncertezas na função objetvo e no conjunto de restrçõe Um problema de programação matemátca fuzzy pode ser modelado da segunte forma: mn a. f ( a ; g k ( < b h ( = c l k l n x Ω R k =, K, m l =, K, n () onde a representa os parâmetros fuzzy na função objetvo do problema a ser otmzado, enquanto < e = representam a ncerteza no conjunto de restrçõe O snal de gualdade fuzzy do problema () representa um problema, pos a lteratura recomenda o desmembramento de cada restrção de gualdade em duas restrções de desgualdade. Este artgo está organzado em 5 seçõe Na Seção 2 são apresentados mas detalhes referentes a este problema matemátco, pos o esforço computaconal desta mplementação aumenta consderavelmente. Na Seção 3 estão apresentados os três métodos adaptados para soluconar os problemas de programação matemátca com parâmetros fuzzy na função objetvo e com ncertezas no conjunto de restrçõe Na Seção 4 apresenta-se a formulação matemátca dos problemas usados neste trabalho junto com os resultados obtdos e uma breve análse. Na Seção 5 estão expressas as consderações fnas sobre este trabalho. 938

3 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável 2. Conjunto de restrções fuzzy Exstem três tpos de problemas de programação matemátca com restrções: (a) conjunto de restrções de gualdade; (b) conjunto de restrções de desgualdade e (c) conjunto de restrções msta Nos problemas abordados neste trabalho a natureza fuzzy está nserda nos símbolos, ou seja, nos snas de gualdade e de desgualdade de cada restrção. As funções de pertnênca assocadas às restrções de gualdade são apresentadas da segunte forma: c l T l c l c l + T l h l Fgura 2: Função de pertnênca da restrção de gualdade Já as funções de pertnênca assocadas às restrções de desgualdade podem ser escrtas de duas formas que estão representadas grafcamente nas Fguras 3 e 4. b k b k + T k Fgura 3: Função de pertnênca da restrção de desgualdade decrescente. g k b k T k b k g k Fgura 4: Função de pertnênca da restrção de desgualdade crescente. Os métodos adaptados apresentados no decorrer deste trabalho, soluconam somente problemas com restrções de desgualdade. Assm, cada restrção de gualdade é reescrta em duas restrções de desgualdade. Portanto, a Fgura 2 é dvdda nas Fguras 3 e 4, com c l = bk e T l = Tk. Devdo à decomposção das restrções de gualdade, o número de restrções do problema () passa a ter m + 2n restrções, onde m é o número de restrções de desgualdade do problema orgnal e 2n representa o número de restrções de desgualdade geradas pelas n restrções de gualdade. 3. Métodos adaptados para programação matemátca fuzzy Os métodos apresentados nesta seção são propostos para soluconar problemas de programação matemátca com ncertezas, tanto na função objetvo quanto no conjunto de restrçõe Estes métodos são adaptações de métodos desenvolvdos para soluconar problemas com ncertezas no conjunto de restrções, descrtos em [LEE et. al(999), TRAPPEY et. al(988) e XU(989)], os quas adaptam métodos clásscos que resolvem problemas de programação matemátca clássca. Zmmermann [ZIMMERMANN(983)] desenvolveu uma adaptação de métodos clásscos para resolver problemas de programação lnear fuzzy, enquanto Lee et. al e Trappey et. al [LEE et. 939

4 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável al(999), TRAPPEY et. al(988)] expandram este método para soluconar problemas de programação não-lnear fuzzy. Baseando-se nesta expansão, na Sub-seção 3., propomos algumas modfcações para resolver problemas do tpo descrto em (). Outro método de otmzação para problemas de programação não-lnear fuzzy fo descrto em [XU(989)]. Na Sub-seção 3.2 é apresentada uma proposta para soluconar problemas com parâmetros fuzzy na função objetvo e com ncertezas no conjunto de restrçõe A proposta descrta na Sub-seção 3.3 refere-se ao acréscmo de um termo de penalzação na função objetvo. Este método fo baseado na técnca de nserr varáves auxlares no problema orgnal com o ntuto de facltar a resolução do mesmo. 3.. Método de Zmmermann adaptado Um problema de programação matemátca com ncertezas na função objetvo e nas restrções pode ser escrto genercamente, utlzando como base o problema (), da segunte forma: mn g ( a; a g ( < b =, K, m + 2n (2) x Ω onde a representam os parâmetros fuzzy na função objetvo e < representa as ncertezas no conjunto de restrção do problema. A função objetvo com parâmetros fuzzy pode ser nterpretada como I ( g ( ; )) a x < I( b ) onde I ( ) representa a função de defuzzyfcação, onde usamos o prmero índce de Yager, descrto em [CANTÃO(23), KLIR & YUAN(995) e PEDRICZ & OMIDE(998)]. A transformação das restrções com ncertezas em restrções clásscas de desgualdade é feta acrescentando uma varável t j, com j =,, K, m + 2n, que ndca o nível de volação das restrções fuzzy; então, pode-se modfcar o problema (2) da segunte forma: I( g ( a ; ) I( b ) + I( t ) g ( b + t x I( t ) I( T ) =, K, m + 2n t T onde t j = [ I( t ), t, K, t m + 2n ], com j =,, K, m + 2n, representa a varação de volação de cada restrção j, e = I( T ), T, K, ] o valor máxmo de volação admssível de cada restrção T j [ T m + 2n j. As funções de pertnênca ( f ( a; ) e ( g ( ), com =, K, m + 2n, estão descrtas abaxo:, se I( t ) I( T ) ( t ( g a; ) =, se < I( t ) < I( T ) T, se I( t ) 94

5 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável ( g, t ( ) = T,, se se < t se t t T < T onde cada uma representa o grau de satsfação que a solução x fornece para cada restrção j, com j =,, K, m + 2n. Contudo, pode-se defnr uma função de agregação de todas as restrções como I I ( ( ) [,] j m+ 2n x j onde I é o símbolo de ntersecção. Usando a regra de mnmzação para a ntersecção de múltplos conjuntos fuzzy, o método tenta encontrar a ntersecção satsfatóra das pertnêncas dentro de cada restrção. Então, o método tenta maxmzar o grau de todas as restrções satsfeta Fazendo S = mn j ( g j ( ), o modelo não-lnear fuzzy pode ser formulado como um modelo j m+ 2 n clássco. Assm, max S a. ( a) I( g a ( ; b T ( S ) ( b) g ( b + T ( I( S )) (3) S [,], x Ω T, T =, K, m + 2n Nota-se que a restrção (a) é a função objetvo do problema orgnal, e as restrções sumarzadas em (b) representam o conjunto de restrções do problema orgnal. O objetvo S é representado como número fuzzy porque a função de pertnênca da função objetvo orgnal fornece um valor fuzzy Método de Xu adaptado O método duas fases começa transformando um problema fuzzy em um problema clássco equvalente, consderando o problema (2) como: mn g ( a; a g ( b + T =, K, m + 2n (4) x Ω Contudo, utlzando uma função de pertnênca ( ) : R n x [,], teremos dferentes graus de satsfação dentro do ntervalo untáro [, ], da segunte forma:, se g ( b + T ( b + T ) g ( ( =, se b < g j ( < b + T T, se g ( b (5) Para tanto, é precso parametrzar as restrções usando os níves α -cortes propostos na teora de conjuntos fuzzy [Zadeh(965)], tal que: g j 94

6 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável C α n { x x R, ( α}, [,] = α c (6) Depos de realzada a transformação e os cortes descrtos pela equação (6), faz-se a ntersecção de todas as restrções com um operador de agregação, da segunte forma: m n n c x = + 2 ( ) mn (, x R (7) = onde o operador de agregação é a função mínmo. Por fm, consegue-se escrever o problema de programação não-lnear fuzzy (PPNLF) em um problema de programação não-lnear clássco (PPNLC) correspondente. Entretanto, exstem város valores da nossa função objetvo, dependendo do valor parametrzado de α. Portanto, o problema (4) é reescrto como mn g ( a; a g ( b + T ( α) =, K, m + 2n (8) x Ω, α [,] A solução do problema (8) resulta em um conjunto de soluções, uma para cada valor de α dferente, e assm encerra-se a prmera fase do método. A segunda fase consste em calcular D, que defne a função de pertnênca da decsão ótma, sendo a ntersecção da função de pertnênca da função objetvo, defnda por, com a função de pertnênca da ntersecção de todas as restrções da fase anteror, defndas por. Assm, C = I onde,, : I( R n D C ) [,]. A decsão ótma no espaço factível é obtda com a função de pertnênca D C D ( x*) = max D ( n (9) x R Este método de resolução é proposto por Bellman e Zadeh [BELLMAN & ZADEH(97)]. Pode-se obter da equação (9) um nível ótmo α * e o ponto ótmo x * tal que ( *) max x = ( x C () α * onde C α* é o nível α * -corte do conjunto de restrções fuzzy C. A solução fuzzy é dada dentro de um ntervalo lmtado pelos valores superor e nferor fornecdos pela função (, sendo m = g ( ( a; x()) = mn g a; x C M = g ( a ; x()) = mn g ( a ; onde, C, C são os níves de corte para α gual a e, respectvamente, do conjunto de restrções fuzzy C. Em alguns problemas de otmzação fuzzy, para achar mínmos de uma função objetvo sujeta a determnadas restrções, pode-se estabelecer a segunte função: x C 942

7 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável m ( = g ( a () ; por: Claramente, os lmtes superor e nferor da função objetvo são dados, respectvamente, u l = m = I M (2) Substtundo a equação () na equação (), obtemos: x*) = mn g ( a ; (3) m x C α * ( Desta manera, a metodologa empregada tem capacdade de otmzar um problema fuzzy pelo método de busca nos lmtes do conjunto de soluções factíve 3.3. Método com penalzação na função objetvo O tercero algortmo adaptado para resolver Problemas de Programação Não-Lnear com ncertezas na Função Objetvo e no Conjunto de Restrções, descrto no Problema (), transforma o parâmetro α, do Problema (8), numa varável de decsão do problema. Assm, mn ( m g a; + ( α) M a g ( b + T ( α) =, K, m + 2n (4) x Ω, α [,] Sendo α uma varável de decsão, temos que ntroduz-la na função objetvo com algum fator de penalzação. Este valor de penalzação fo escolhdo medante o seu uso nas adaptações descrtas em Slva [SILVA(25)], onde os valores m e M são adotados, respectvamente, como guas a b e T. 4. Resultados Computaconas Aqu estão os problemas seleconados para verfcar a efcênca da teora demonstrada na seção anteror. Esta seção está dvdda em duas categoras: (a) uma formulação matemátca dos problemas seleconados; e (b) os resultados computaconas, junto com uma breve análse. A análse dos resultados confronta a solução determnada por métodos clásscos com a solução encontrada pelos métodos adaptados que soluconam problemas com ncerteza Os algortmos foram mplementados em C++. A máquna que usamos para smular todos os casos fo um Pentum 4, 2.53Hz, com 52Mb de memóra RAM. 943

8 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável 4.. Formulação dos problemas Uma formulação matemátca tenta representar, através de funções, as relações exstentes em um problema específco, o qual pode representar um caso real ou hpotétco. As formulações apresentadas neste trabalho são casos hpotétco Nesta sub-seção apresentamos três problemas de programação matemátca, dos quas pertencem ao conjunto dos problemas com restrções de desgualdade. Prob. f ( a ; 2 + x 2 2 P ( ) ( ) 2 Varação fuzzy x % 2 2 P2 x + x + 4x 4 % P3 2 9x + + x % 2 2 x Soluções clásscas x ncal Restrções Volação T x f ( x T ) 2 [.5; g ( = x x2 < T =.35 [.;.5] 2 ( ). g 2 x = x2 x < T 2 =.35.] g ( = x2 x 2 < T =. 2 [.; g 2 ( = x x2 + < T 2 =.5 [.5536; ] g 3 ( = x T 3 =..36] g 4 ( = x 2 T 4 =. [.; g ( = xx2 < T =.5 [.5774;.; g 2 ( = x2 T 2 =..732; 6. 5.] g ( = x T = e ] Tabela : Problemas com restrções de desgualdade. Nestes problemas as ncertezas nos dados foram nserdas nas constantes da função objetvo com uma varação de % do valor modal, por exemplo, o número 2 pode varar em.2 undades para mas ou para meno A solução ótma dos problemas, expostos aqu, sem nserr ncertezas em seus dados estão apresentados nas colunas x T e f ( x T ). Os problemas com restrções de desgualdade, descrtos na Tabela, foram retrados de Schttkowsk [SCHITTKOWSKI(987)] Resultados e análses Mostramos aqu os resultados obtdos dos problemas apresentados na sub-seção acma, os quas foram soluconados pelos métodos adaptados apresentados na Seção 3. Na Tabela 2 estão descrtos os resultados ótmos dos problemas de duas formas: () restrções totalmente satsfetas, que soluconam problemas atendendo rgorosamente as restrções, sto é, não permtndo o relaxamento de nenhuma delas; Prob. P P2 P3 Restrção satsfetas voladas satsfetas voladas satsfetas voladas Mínmo de f ( a x * ( a f I ( f ( a ) Tempo [.5;.4] [.8655,.9995,.25].4 4s [.274;.273] [.5443,.677,.86292] s [.5534;.352] [3.76, , 4.485] s [.57687;.2322] [2.928, , 4.743] s 2 [.5782;.7287;-.8 e ] [5.6945, , ] s [.54934;.6369; ;-. e ] [5.237, , ] s 944

9 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável Tabela 2: Níves máxmos e mínmos de tolerânca para o conjunto de restrçõe () restrções totalmente voladas, que representa o oposto da forma acma menconada, sto é, todas as restrções permtem relaxamento medante um nível de tolerânca nserdo para representar a condção fuzzy presente nas mesma Os dados da Tabela 2 mostram os resultados do problema (8) mpondo o parâmetro α =, no caso sem permtr volação, e α =, no caso totalmente volado. Medante os resultados apresentados na Tabela 2 podemos calcular o nível de satsfação mínmo para cada um dos problemas de programação matemátca fuzzy com ncertezas na função objetvo e no conjunto de restrções apresentados neste trabalho. O ntervalo de satsfação é determnado pelas equações descrtas em (2). A prncpal análse a ser feta dante de todos os resultados aqu apresentados está na escolha da relação entre o valor da função objetvo e o nível de satsfação calculado. Esta escolha depende do decsor, pos o conhecmento prévo do objetvo prncpal a ser alcançado lhe guará a uma escolha aproprada. Métodos Mínmo de f ( a x * f ( a I ( f ( a ) Tempo Zmmermann adaptado [.535;.534] [.7657,.8987,.59] s Xu adaptado [.58;.578] [.797,.8976,.974] s Penalzado [.5;.4] [.8655,.99895,.24].4. 3s Tabela 3: Resultados para o problema P. Na Tabela 3 mostra que o método adaptado de Zmmermann fo o que demandou mas tempo computaconal. O método penalzado apresenta o maor valor defuzzyfcado da função objetvo, porém o nível de satsfação é máxmo, sto é, não permte volação nas restrções, e conseguu resolver o problema P de forma mas rápda. O método adaptado de Xu fornece o menor valor defuzzyfcado de função objetvo e tanto o nível de satsfação quanto à velocdade de processamento são admssíve Métodos Mínmo de f ( a x * f ( a I ( f ( a ) Tempo Zmmermann adaptado [.5594;.2965] [3.63, 3.787, 4.4] s Xu adaptado [.55473;.35] [3.67, , 4.445] s Penalzado [.5577;.338] [3.765, , 4.479] s Tabela 4: Resultados para o problema P2. A Tabela 4 apresenta resultados mas parecdos no valor defuzzyfcado da função objetvo e nível de satsfação. O método penalzado anda contnua sendo o método que prorza estrtamente o nível de satsfação, porém o valor do objetvo ocorre pouca modfcação entre todo O método de Zmmermann adaptado fo o mas rápdo para este problema, segudo pelo método penalzado. Métodos Mínmo de f ( a x * f ( a I ( f ( a ) Tempo Zm. adaptado [.57749;.697;.9 e ] [5.5598, , 6.6] s Xu adaptado 8 [.5764;.79;-.2 e ] [5.6464, , ] s Penalzado 24 [.57935;.7247;-.2 e ] [5.6932, , ] s Tabela 5: Resultados para o problema P3. 945

10 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável A Tabela 5 apresenta que o nível de satsfação de todos os métodos estão acma de 9%. O tempo de processamento do método penalzado fo o maor, enquanto o método de Zmmermann adaptado fo o menor. Observando os tempos, os níves de satsfação e o valor de objetvo, método de Zmmermann adaptado forneceu melhores resultado 5. Conclusões Os três métodos teratvos adaptados que usam a dervada da função objetvo como dreção ótma desenvolvdos neste trabalho, apresentaram bons resultados para os problemas hpotétcos seleconado Os resultados obtdos, pelos métodos desenvolvdos, foram melhores que os ótmos clásscos fornecdos pela lteratura, porém com um nível de satsfação nferor a %, sto é, a solução encontrada permte volação de uma até todas as restrções do problema a ser otmzado. Agradecmentos Os autores agradecem ao CNPq pelo suporte fnancero. Referêncas BELLMAN, R. E. e ZADEH, L. A. (97). Decson markng n a fuzzy envronment, Management Scence 7(4): B4 B64. CANTÃO, L. A. P.(23). Programação não-lnear com parâmetros fuzzy. Tese de doutorado, FEEC UNICAMP, Campnas, Março. KLIR,. e YUAN, B.(995). Fuzzy Sets and Fuzzy Logc: Theory and Applcaton Prentce Hall. LEE, Y. H., YAN, B. H. e MOON, K. S. (999). An economc machnng process model usng fuzzy non-lnear programmng and neural network, Internatonal Journal Producton Research 37(4): PEDRICZ, W. e OMIDE, F.(998). An Introducton to Fuzzy Sets: Analyss and Desgn. MIT Press Complex Adaptve System TRAPPEY, J. F. C., LIU, C. R. e CHAN, T. C. (988). Fuzzy non-lnear programmng: Theory and applcaton n manufaturng, Internatonal Journal Producton Research 26(5): SCHITTKOWSKI, K.(987). More test examples for nonlnear programmng code Sprng-Verlag. SILVA, R. C.(25). Contrbuções ao estudo de programação não-lnear ncerteza Dssertação de mestrado, FEEC UNICAMP, Campnas, Mao. XU, C. (989). Fuzzy optmzaton of structures by the two phases method, Computers & Structures 3(4): ZADEH, L. A. (965). Fuzzy sets, Informaton and Control 8: ZIMMERMANN, H. J. (983). Fuzzy mathematcal programmng, Computer & Operaton Research (4):