MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE COLETA DE RESÍDUOS DE BIOMASSA DE MADEIRA PARA FINS ENERGÉTICOS

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE COLETA DE RESÍDUOS DE BIOMASSA DE MADEIRA PARA FINS ENERGÉTICOS Flávo de Almeda Galvão Jr. Programa de Mestrado em Engenhara de Sstemas Logístcos Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo Claudo Barber da Cunha 2 Departamento de Engenhara de Transportes Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo RESUMO Este artgo trata do problema de coleta de resíduos de madera para fns energétcos. O mesmo fo decomposto em dos problemas de otmzação: o problema de seleção dos produtores de madera que ofereçam menor custo de aqusção e transporte de resíduos e o problema de dmensonamento da frota e desgnação dos veículos. São apresentadas as formulações matemátcas, bem como a estratéga de solução em amb ente de planlha eletrônca, de forma ntegrada com um conjunto com pacotes de comercas de otmzação. Fo resolvdo um problema real envolvendo a geração de vapor e energa para uma nova planta de refno de açúcar. Os resultados demonstraram ser vável obter a solução ótma para o problema de seleção de fornecedores. Já para o problema de dmensonamento da frota e desgnação dos veículos os tempos de processamento resultaram muto elevados. ABSTRACT Ths paper deals wth the problem of wood waste collecton for energy generaton purposes. The problem has been decomposed nto two optmzaton problems: the producer selecton problem, amng to mnmze the waste procurement and transportaton costs and the fleet szng and vehcle assgnment problem. Both mathematcal formulatons are presented, as well as the soluton strategy based on spreadsheet optmzaton solvers. The proposed model was appled to a real world problem nvolvng steam and energy generaton for a sugar refnery plant. The producer selecton problem could be solved satsfactorly to optmalty. On the other hand, the CPU tmes for the the fleet szng and vehcle assgnment problem were excessvely hgh. INTRODUÇÃO O recente colapso no sstema de fornecmento de energa elétrca no Brasl, partcularmente nas regões sudeste e centro-oeste, determnaram novas soluções para a geração de energa elétrca, entre as quas a geração dstrbuída, ou seja, produzda nas proxmdades dos respectvos centros de consumo, e também o uso de combustíves alternatvos, como o resíduo de bomassa de madera. A questão dos preços do combustível é de vtal mportânca para a vabldade da geração própra de energa e vapor. Nesse sentdo, a exploração de bomassa é compettva em relação a outras fontes, como, por exemplo, gás natural, óleo combustível, carvão, etc. Adconalmente, estes últmos são mas prejudcas que os combustíves renováves, do ponto de vsta ambental. Forsberg (2000) argumenta que a bomassa para conversão de energa é concebda como um dos recursos renováves mas mportantes no futuro dos sstemas de energa. Exemplos de sucesso de nstalações exstentes noutros países, os quas ncentvam o uso destes combustíves renováves para gerar energa, vapor ou ambos, nduzem e estmulam estudos na área, contrbundo para a sua aplcação mas ampla no Brasl. Estudos e pesqusas dversas evdencaram que os combustíves provenentes de resíduos de bomassa são mas convenentes sob aspectos de custos e ambentas, porém as questões logístcas para organzar a coleta deste combustível têm oferecdo empeclhos à utlzação de forma mas ampla.

2 Os resíduos de madera são orgnados desde o corte de árvores nas florestas até a manufatura de produtos dervados, com aprovetamento global da ordem de 30 a 40%, em metros cúbcos. Em outras palavras, estas atvdades podem gerar até 70% de resíduos de madera que, até o momento, não estão sendo adequadamente tratados ou aprovetados. Em dversas regões brasleras exste concentração de empresas que manufaturam a madera, como as ndústras moveleras e serraras, dentre outras, que geram resíduos, tas como cavacos, serragem, pontaletes, sobra de planas, lascas, etc. Tem-se observado um sgnfcatvo crescmento dessas ndústras de benefcamento de madera, ou seja, ndústras moveleras e serraras, bem como das demas ndústras que, de modo geral, se valem de estruturas e estrados de madera (paletes). As evdêncas que justfcam tal crescmento englobam a mplantação de novos empreendmentos que se nstalaram em resposta aos ncentvos brasleros nos âmbtos federal, estadual e muncpal, na forma de redução temporára de mpostos, fnancamentos, trenamento de mão-de-obra, etc. Do ponto de vsta ambental, um aspecto fundamental a favor do aprovetamento dos resíduos de madera está assocado às pressões crescentes dos agentes ambentas e da socedade, em decorrênca da própra conscentzação da exstênca dos resíduos de madera, além do aumento dos volumes gerados e das dfculdades de descarte. Yan et al. (997), de manera uníssona ao demas estudosos da área, argumentam que, de modo geral, as centras térmcas que utlzam a bomassa como prncpal combustível produzem baxos índces de substâncas como NO x, CO, S, hdrocarbonetos e partculados. As emssões de CO 2 são consderadas quase zero, uma vez que não exste nenhuma contrbução adconal de carbono, por estar em equlíbro com os absorvdos pelas florestas donde se orgnam as respectvas bomassa. Além do mas, exstem sstemas efcentes para a coleta do subproduto da quema da madera (cnza), que pode vr a ser utlzado como nsumo para a ndústra de fertlzantes. O desconhecmento da logístca para coleta de resíduos de bomassa de madera a partr de dversas fontes geradoras tem mposto dfculdades à mplantação de novas usnas termoelétrcas. Tendo em vsta as característcas e a complexdade desses sstemas de abastecmento, tas como númeras fontes produtoras, dferentes capacdades produtvas, dspersão da localzação geográfca dos produtores, é mperatva a defnção de um sstema efcente de coleta e transporte desses resíduos, de forma a assegurar a compettvdade dessa alternatva de geração. Nesse contexto, este trabalho nspra-se no problema de uma empresa nternaconal, com forte atuação no mercado mundal de açúcar de alta qualdade, que passou a estudar a possbldade de mplantação de uma undade própra no Brasl para o refno de açúcar. Neste caso, o problema energétco é relevante, uma vez que o custo da geração de vapor na produção de açúcar pode atngr cfras da ordem de até 50% do valor fnal do produto. Assm, uma alternatva provável que passou a ser consderada consste na geração de vapor e energa elétrca a partr de uma usna própra, almentada por resíduos de madera. A

3 tecnologa da utlzação de resíduos de bomassa de madera como combustível para geração de vapor e energa, através da conversão térmca, é bastante conhecda. Insprado neste problema, e de outras empresas com problemas semelhantes, o presente trabalho aborda o problema de coleta de resíduos de bomassa de madera para fns energétcos. Em especal serão tratados os problemas de seleção dos produtores de madera que ofereçam menor custo de resíduos e transporte, o dmensonamento da frota quanto ao número de veículos e a determnação da seqüênca dára de coleta, de forma a mnmzar o custo total de abastecmento. Foram desenvolvdos modelos de otmzação cuja premssa é a sua utlzação em ambente de planlhas eletrôncas, em conjunto com pacotes de programas comercas de otmzação, dentro das mas modernas tendêncas observadas de modelagem matemátca através de planlhas (Ragsdale, 998; Wnston e Albrght, 997). Este trabalho ntegra um conjunto de pesqusas que vêm sendo realzadas nas áreas de logístca e transportes na Escola Poltécnca da USP e que envolvem genercamente, o desenvolvmento e a mplementação computaconal de novos algortmos de solução para problemas de roterzação e de programação de veículos. Entre os trabalhos desenvolvdos mas recentemente pode-se relaconar Cunha (997), que tratou do problema de roterzação de uma frota heterogênea de veículos com restrções de janelas de tempo; Souza (999), com o problema de transporte do tpo Carga Únca Coleta e Entrega ; Znamensk (2000), com o problema de roterzação e programação de veículos para o transporte de dosos e defcentes;texera (200), com o problema de dmensonamento e roterzação de uma frota heterogênea de veículos; Slva (2000), com o problema de programação de ônbus. O trabalho está organzado da segunte forma: no próxmo tem é apresentada a caracterzação do problema de coleta de resíduos de bomassa de madera para fns energétcos, segundo-se a revsão da bblografa no tem 3. A modelagem matemátca é apresentada no tem 4. Já o tem 5 descreve a aplcação dos modelos propostos a um problema real. Por fm, no tem 6 são apresentadas as consderações fnas sobre o problema tratado e sua modelagem matemátca. 2 CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA Dada uma usna de geração (central), cuja localzação é conhecda prevamente, e que deve produzr contnuamente vapor e energa ao longo de todo o ano com um mínmo de varações, o problema de coleta de resíduos de bomassa de madera para fns energétcos pode ser enuncado da segunte forma: dado um conjunto de potencas fornecedores de resíduos de bomassa de madera, deve-se seleconar um subconjunto de fornecedores que mnmze o custo global do fornecmento dos resíduos (aqusção mas transporte) para uma usna de geração; deverá também ser dmensonada a frota ótma de veículos, com a respectva desgnação das vagens dáras dos mesmos, observando que os veículos farão sempre vagens de da e volta redondas entre usna de co-geração de vapor e energa (central) e cada fornecedor, coletando carga correspondente à capacdade do veículo. O conjunto de fornecedores potencas também é conhecdo, assm como as respectvas capacdades de geração de resíduos, os preços dos resíduos e as dstâncas até a central.

4 No modelo proposto consderam-se como fornecedores (ou produtores) de resíduos as ndústras de madera de nível secundáro, ou seja, serraras, empresas de compensados, aglomerados, ndústras moveleras, entre outras, sem prejuízo para futuramente se consderar o aprovetamento dos resíduos produzdos por atvdades florestas e de resíduos urbanos. O período de tempo total desde a data de geração dos resíduos até a data do seu efetvo consumo deverá ser menor ou gual a 4 das corrdos, conforme recomenda Forsberg (2000), por razões de degradação decorrente de por fungos, causando rscos santáros, além de odores e redução do poder calorífco. Os veículos deverão fazer vagens ponto a ponto, entre cada fornecedor e a central, em cclos regulares e defndos em função das respectvas capacdades de produção de resíduos, a fm de que a capacdade do veículo seja atngda num únco carregamento. O carregamento do veículo num determnado fornecedor é realzado mesmo que a quantdade de resíduos não tenha atngdo a capacdade prevsta, cumprndo da mesma forma o cclo e retornando à central. Caso o volume dsponível exceda a capacdade do veículo, o resíduo deverá ser armazenado até a coleta segunte. Dadas as taxas de geração de resíduos, estma-se não ser necessára mas do que uma coleta por fornecedor por da. O transporte de resíduos deverá, em prncípo, ser realzado por uma ou mas empresas tercerzadas, porém com frota homogênea e jornada de trabalho pré-determnada. Os resíduos devem ser armazenados e transportados em contentores, de forma a aglzar as operações de carga e descarga e mnmzar o tempo de cclo em cada vagem, melhorando o aprovetamento da frota. Em suma, o modelo a ser proposto deverá seleconar os produtores que ofereçam menor custo de resíduos e transporte, dmensonar a frota quanto ao número de veículos e determnar a seqüênca dára de coleta dentro de um cclo a ser estabelecdo; ou seja, pretende-se saber quantos veículo são necessáros para atender ao servço de coleta e qual veículo atenderá cada produtor em cada da. Observa-se que a ordem da coleta em um da não é relevante, pos em cada vagem apenas um fornecedor é atenddo, não havendo horáros de coleta defndos. 3 REVISÃO DA BIBLIOGRAFIA Além do trabalho de Bodn et al. (983), que anda é um mportante referencal devdo a sua abrangênca, apresentando números problemas dferentes que envolvem a roterzação e a programação de veículos e trpulações, buscou-se na lteratura referencas teórcos que pudessem embasar este trabalho; entretanto, não foram encontrados trabalhos que abordam o problema de coleta de resíduos com fnaldade de aprovetamento energétco, como no presente trabalho. Wentraub et al. (996) desenvolveram uma heurístca para apoar e otmzar a programação dára de veículos para coleta de madera de florestas e transporte até pátos de seleção ou serraras. A prncpal característca do sstema é que os veículos se drgem a um ponto da floresta pré-determnado para serem carregados, de uma únca vez. O sstema operaconal computadorzado dealzado pelos autores baseou-se em um modelo de smulação com regras heurístcas para apoar a decsão de programação dára de camnhões, tendo sdo mplementado em 8 grandes florestas no Chle. A heurístca permtu às empresas

5 florestas ganhos quanttatvos relatvos às reduções de veículos, de gundastes, dos custos de transporte, bem como qualtatvos quanto às melhoras nos controles geras do sstema, através da organzação dos estoques de toras nas orgens, das condções operaconas dos camnhões e gundastes, do balanceamento dos fluxos de entregas nos pontos de demanda. Adconalmente, as empresas conseguram suavzar as operações a jusante; a jornada de trabalho dos motorstas fo reduzda, em méda, de 4 para 0 horas. Van Vlet et al. (992) trataram do problema de dstrbução de açúcar a granel por veículos em vagens com carga completa. A programação do veículo corresponde a determnar quas vagens cada veículo deve realzar. Após cada entrega, o veículo deve retornar à fábrca para novo carregamento. Ao contráro do presente problema, no problema tratado pelos autores hava restrções quanto aos horáros de entrega; adconalmente, a frota era heterogênea e os veículos podam carregar em dferentes undades produtvas, com restrções de capacdade de carregamento. Equ et al. (997) estudaram o problema de transporte e programação de veículos para entrega de um únco produto, produzdo em dversas plantas para entrega em dferentes destnos. Os veículos são carregados nas orgens e realzam uma únca entrega com carga completa em cada vagem; assm, uma ou mas vagens podem ser realzadas numa mesma jornada dára de trabalho. Nenhum dos trabalhos encontrados na lteratura aborda um aspecto essencal do presente trabalho: defnda, para cada fornecedor, a frequênca de coleta, deve-se determnar que fornecedores serão coletados em cada um dos das, de forma a mnmzar a frota necessára. Em outras palavras, busca-se dstrbur o esforço de coleta nos dferentes das que compõem o período, de forma a reduzr a frota necessára. 4. MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROBLEMA PROPOSTO Tendo em vsta a complexdade do problema proposto, que consste em: seleconar um subconjunto de fornecedores que mnmze o custo global de aqusção e transporte dos resíduos; determnar os das de coleta para os fornecedores e também defnr a programação dára de coleta de cada um dos veículos em cada um dos das do período, de forma a mnmzar a frota total necessára para a realzação do servço, atendendo restrções de duração máxma da jornada dos veículos; e uma certa ndependênca das duas decsões, já que cada vagem de coleta serve apenas um fornecedor, sto é, não ocorrem roteros, para a modelagem matemátca, foram defndos dos problemas, conforme exbdo na Fgura : seleção dos fornecedores e dmensonamento da frota e desgnação dos veículos. 4. Seleção dos fornecedores O problema consste, ncalmente, em seleconar fornecedores de madera que ofereçam menor custo de aqusção e transporte de resíduos, assegurando a quantdade mínma mensal a ser abastecda dentro de um certo período de das, que representa o período em que este deverá ser consumdo, ou seja, período entre a data da produção até a data do seu efetvo consumo.

6 Geradoras Canddatas problema Geradoras Seleconadas Seleção de Geradoras Custo Mínmo Geradoras Descartadas problema 2 Cálculo do Cclo de Vagens àgeradora Dmensonamento e Desgnação da FrotaDára Fgura - Fluxograma da Metodologa Proposta Seja j =,2,..., M o conjunto de potencas fornecedores de resíduos de bomassa provenentes da ndustra maderera secundára. Para cada potencal fornecedor (ou produtor ou geradora) j são conhecdos: PNT j = produção nomnal mensal de resíduos do fornecedor j, em peso (t/mês); CM j = custo mensal de abastecmento do resíduo do fornecedor j colocado na central ($/mês); TE j = período de tempo necessáro para o fornecedor j atngr a capacdade do veículo (das). Assume-se que toda a produção mensal PNT j de cada fornecedor seja coletada. O custo mensal CM j do fornecedor j é calculado com base na dstânca d j até a usna, em valores de frete untáros pratcados na regão e na produção mensal a ser coletada. O período de tempo necessáro para o fornecedor j atngr a capacdade do veículo é calculado com base na produção mensal e na capacdade de transporte do veículo em cada vagem. A localzação da central é conhecda e defnda a pror. A mesma tem por objetvo produzr contnuamente vapor e energa ao longo de todo o ano com um mínmo de varações. Seja Q mn a quantdade mínma de resíduo requerda, que corresponde à quantdade mensal mínma a ser coletada, expressa em toneladas por mês. Seja T o período máxmo admssível de tempo que o resíduo pode fcar armazenado nos fornecedores, tendo em vsta a sua degradação. Conforme menconado anterormente, segundo Forsberg (2000) esse período deve ser de, no máxmo, 4 das. A formulação matemátca do problema compreende as seguntes varáves de decsão: x j =,se o fornecedor j é seleconado; 0,caso contráro.

7 O problema de seleção de fornecedores pode ser formulado como segue: sujeto a: M [mn] j= M j= PNT CM j x j j x j Q mn (2) TE j x j T j =,2,..., M (3) A função objetvo () garante que o custo mensal dos resíduos consumdos pela usna seja mnmzado, enquanto que a restrção (2) mpõe a quantdade mínma total a ser fornecda e a restrção (3) lmta o tempo em que o resíduo poderá fcar armazenado em cada fornecedor, em função da capacdade do veículo. Esse problema apresenta uma estrutura smlar a do problema da mochla bnáro ( zero-one knapsack problem ). O problema da mochla bnáro pode ser descrto genercamente da segunte forma: dado um conjunto de objetos aos quas estão assocados pesos e lucros, seleconar quas os objetos que devem ser colocados na mochla, vsando maxmzar o lucro proporconado pelos objetos seleconados, e garantndo que o peso máxmo dos objetos colocados na mochla não ultrapasse o lmte de peso da mesma. (Martello e Toth, 988). A semelhança se dá na quantdade mínma de resíduos demandada, ou seja, a quantdade mensal mínma a ser coletada, Q mn, que sgnfca a mochla aonde deve ser nserdo o maor número de fornecedores que representem o menor custo possível Dmensonamento da Frota e Desgnação dos Veículos Uma vez seleconados os fornecedores de resíduos que rão abastecer a usna de geração, o dmensonamento da frota, prevsta como sendo homogênea, é obtdo através da programação e desgnação de veículos às geradoras; em outras palavras, deseja-se determnar qual veículo coletará resíduos de qual fornecedor e também a quantdade de veículos necessáros, a fm de atender a demanda durante um cclo pré-determnado de das para coleta. Os fornecedores geram resíduos contnuamente, que são armazenados em sstemas, cuja capacdade mínma é equvalente ao volume coletado, correspondente à capacdade de carga do veículo. Os fornecedores seleconados deverão ser atenddos por uma frota homogênea de veículos, que farão as coletas tendo como orgem a central, de onde sarão vazos para coletar os resíduos em únco fornecedor em cada vagem, sempre com carga máxma, e retornando dretamente à usna. Caso o volume dsponível no fornecedor seja maor que a capacdade do veículo, este será abastecdo até o lmte da sua capacdade; caso contráro, mesmo assm o veículo será carregado e deve retornar dretamente à usna, mesmo que anda haja possbldade de completar a carga com coleta em outro fornecedor. O ntervalo entre vagens consecutvas para um mesmo fornecedor é defndo a partr da taxa de geração de resíduos, a fm de que a capacdade do veículo seja atngda num únco carregamento. Assume-se que não seja necessára mas de uma vagem de coleta por da para cada fornecedor. ()

8 Para o atendmento dos fornecedores seleconados é necessáro dmensonar a frota necessára para a realzação desses servços, e a sua programação e desgnação; ou seja, pretende-se saber quantos veículo são necessáros para coleta, daramente, e qual dos veículos atenderá a que fornecedor. Observa-se que a ordem da coleta não é consderada no problema, pos, terse-ão cclos ponto a ponto, ou seja, de da e volta estabelecendo, portanto, roteros de vagens sempre entre a central e um únco fornecedor. Seja =,2,..., N o conjunto de fornecedores de resíduos de bomassa seleconados para abastecmento da usna, conforme descrto no tem 4.. Para cada fornecedor é conhecdo o tempo do cclo vecular (TC ) para coleta no fornecedor, o qual engloba os tempos de percurso (da e volta), o tempo de carga no fornecedor e o tempo de descarga na usna. Seja v=,2,.., N uma frota de veículos homogêneos que pode realzar as coletas de resíduos. Note-se que o número máxmo de veículos potencalmente necessáros é N, exatamente gual ao número de fornecedores, sendo, neste caso, cada veículo alocado a um únco fornecedor, uma vez que, conforme ctado acma, nenhum fornecedor requer mas de uma vagem por da. Os veículos coletarão os resíduos de acordo com a sua capacdade máxma de volume ou de peso, obedecendo uma duração máxma da jornada dára de trabalho H, expressa em h/da. O esquema de coleta de resíduos nos fornecedores está representado esquematcamente na Fgura 2, evdencando os tempo de cclos veculares e a perodcdade de coleta - nv vagens a cada nd das para o fornecedor. Essa perodcdade é determnada em função do tempo de enchmento, calculado a partr da taxa de produção de resíduos de cada fornecedor e da capacdade do veículos. No problema em questão assumu-se que não exstem fornecedores que requerem mas de uma vagem por da; assm, nv = e nd = ntervalo entre coletas. =k nv k / nd k TC k TC =,5 h = 5 v / d Central = k+ nv k+ / nd k+ TC k+ =(k+) h TC nv / nd Fgura 2- Esquema Smplfcado de Coleta de Resíduos Seja t=,2,.., T cada um dos das do período de programação, onde T é o período máxmo admssível de tempo que o resíduo pode fcar armazenado nos produtores. A partr do ntervalo entre coletas nd e da duração do período de programação, é possível calcular, para cada fornecedor, o total de vagens (totv ) que serão necessáras no período, dada pela expressão a segur:

9 = T nd totv onde = x menor ntero maor ou gual a x. A expressão acma defne um número ntero de vagens no período. Entretanto, esse arredondamento não tem mpacto no tempo de cclo TC de cada fornecedor, mesmo que a quantdade coletada seja um pouco nferor à capacdade do veículo. A formulação matemátca do problema compreende as seguntes varáves de decsão:, se o veículo v for utlzado; y v = 0, caso contráro. t x v =, se o veículo v efetua coleta no fornecedor no da t; 0, caso contráro. O problema de dmensonamento da frota e desgnação dos veículos pode ser formulado como segue: sujeto a: N [mn] (4) v= y v N = N TC x T v= t= t v Hy v t x v = totv v=,2,.., N ; t=,2,.., T; (5) =,2,..., N (6) N t+ ( nd ) v= t= x t v = =,2,..., N; t=,2,.., T-( nd +) (7) A função objetvo (4) vsa assegurar a mnmzação da frota total necessára para a realzação de todas as coletas no período T. Deve-se notar que já estão defndos o número total de vagens a ser realzada no período, dado pela somatóra de totv para todos os fornecedores, assm como a qulometragem total a ser percorrda, dado que todas as coletas são vagens redondas entre um fornecedor e a usna. A maor ou menor necessdade de frota é determnada pelos das de coleta em cada fornecedor e pelas vagens alocadas a cada veículo, de forma a respetar a restrção de duração máxma da jornada de trabalho do veículo, defnda pela expressão (5), que corresponde à somatóra dos tempos de cclo de todos os fornecedores atenddos por cada um dos veículos em cada um dos das do período T. As restrções (6) asseguram que sejam realzadas, para cada fornecedor, todas as vagens de coletas necessáras para o período. Já as restrções (7) garantem que as vagens programadas sejam realzadas de acordo com a perodcdade ndde cada fornecedor; desta forma, mpedese que o modelo programe, por exemplo, mas de uma vagem no mesmo da, ou vagens em das consecutvos, quando os resíduos não estão dsponíves para a coleta, por não terem sdo produzdos. Essa perodcdade é sempre maor ou gual a um.

10 Duas observações são mportantes em relação a este modelo matemátco. A prmera delas dz respeto à vabldade do problema. Da forma como fo formulado, o problema sempre admte uma solução vável, desde que TC H, uma vez que potencalmente podem ser utlzados até N dos veículos dsponíves, um para cada fornecedor. A outra observação tem a ver com o tamanho do problema. Embora a formulação matemátca aparente ser smples, o número de varáves de decsão é proporconal ao produto do quadrado do número de fornecedores (N) com a duração do período (T). 5. APLICAÇÃO DO MODELO Os dos modelos matemátcos propostos foram mplementados em ambente de planlha eletrônca Mcrosoft Excel, segundo uma tendênca mas recente de utlzação de planlhas eletrôncas para a modelagem matemátca de problemas de otmzação, conforme pode ser vsto nos trabalhos de Ragsdale (998), Wnston e Albrght (997) e Grossman Jr. (999). Os modelos foram aplcados ao problema real menconado no níco do trabalho, que envolve mplantação de uma a planta para o refno de açúcar na regão sul do Brasl, com geração de vapor e energa elétrca a partr de uma usna própra, almentada por resíduos de madera. Pesqusas de campo realzadas resultaram em um unverso de 77 empresas canddatas para fornecer resíduos de madera, consderando-se as peculardades locas de acesso ao local pretenddo para a nstalação da planta. Foram coletados todos os dados necessáros à modelagem do problema, conforme descrto no tem anteror. Tendo em vsta o porte do problema, ncalmente fo seleconada a versão denomnada Large-Scale LP Solver Engne Verson 4.0 para Mcrosoft Excel, capaz de resolver nstâncas com até 6 ml varáves de decsão, nclundo varáves nteras e bnáras. (Frontlne Systems Inc, 2000a). Essa é uma versão profssonal do sstema Solver, cuja versão básca, para pequenos problemas, é dsponblzada gratutamente com o Mcrosoft Excel (Wnston e Albrght, 997). O problema de seleção dos fornecedores fo resolvdo até a otmaldade sem nenhuma dfculdade, utlzando o Large-Scale LP Solver Engne. Conforme esperado, o tempo de processamento fo bem reduzdo, tendo em vsta a dmensão do problema (apenas 77 varáves bnáras). Como resultado da otmzação, foram seleconados 60 fornecedores, que atendem as necessdades de abastecmento da usna ao mínmo custo. Partu-se então para a resolução do problema de dmensonamento da frota e desgnação dos veículos. A solução desse problema consste na defnção dos das de coleta para cada fornecedor, de acordo com a perodcdade nd, e na programação de cada veículo em cada da, ou seja, nos fornecedores desgnados a cada veículo, atendendo as restrções de duração das jornadas de trabalho. Conforme dscutdo no tem anteror, este problema apresenta maor complexdade, tendo em vsta o número elevado de varáves de decsão bnáras e também de restrções. Para fns de avalação do software de otmzação, fo ncalmente preparado um problema menor, com cerca de 20 fornecedores, o que representa cerca de varáves de decsão. O tempo de processamento do Large-Scale LP Solver Engne até atngr a solução ótma fo elevado, superor a 2 horas. Para o problema real, com os 60 fornecedores e um cclo de coleta de 8

11 das, que resultava em varáves de decsão, o tempo de processamento tornou-se probtvo, superando 48 horas numa máquna com processador Intel Pentum-II e 28Mb de memóra RAM. A solução obtda garantu um bom aprovetamento dos veículos e uma boa dstrbução dos das de coletas, resultando numa frota de 8 veículos. Tas resultados já eram prevstos, mesmo para o problema de dmensões relatvamente reduzdas, uma vez que o Large-Scale LP Solver Engne não se destna a resolver problemas de programação lnear ntera, em partcular com varáves bnáras. Optou-se então por utlzar a versão mas avançada do conjunto de pacotes dsponblzados pela Frontlne Systems Inc.: o XPRESS Solver Engne Verson 3.5 para Mcrosoft Excel, que segundo o fabrcante, destna-se a problemas de programação lnear ntera e permte tratar até varáves de decsão (Frontlne Systems Inc, 2000b). Entretanto, mesmo com essa nova versão, o tempo de processamento contnuou muto elevado, superando 2 horas para o problema com varáves de decsão, número este anda muto nferor à capacdade nomnal do software de otmzação. A fm de valdar os testes, versões do problema com número anda menor de fornecedores foram testadas e resolvdas em tempo de processamento satsfatóro. Esses resultados sugerem que o problema de dmensonamento da frota e desgnação dos veículos pode ser do tpo NP-dfícl, ou seja, possu ordem de complexdade exponencal. Em outras palavras, o esforço computaconal para a sua resolução cresce exponencalmente com o tamanho do problema. Em termos prátcos, sto sgnfca que não é possível resolver até a otmaldade problemas de porte encontrados em stuações reas, que são do tpo NP-dfícl. Consequentemente, para o problema em questão pode ser necessáro lançar mão de alguma estratéga de solução heurístca efcente, que, embora não possa assegurar a obtenção da solução ótma, permte obter soluções de boa qualdade em tempos de processamento adequados, para nstâncas encontradas no mundo real. 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS Este trabalho tratou do problema de coleta de resíduos de bomassa de madera para fns de geração de energa e vapor. Mas especfcamente, o problema tratado estava relaconado à geração de vapor para uma nova planta de refno de açúcar de alta qualdade, em que o custo de geração é muto elevado, podendo atngr até cerca de 50% do custo fnal do produto. A tecnologa da utlzação de resíduos de bomassa de madera como combustível para geração de vapor e energa, através da conversão térmca, é bastante conhecda e, conforme fo vsto, também apresenta vantagens do ponto de vsta ambental. As característcas e a complexdade do abastecmento de uma usna a partr de resíduos de madera, dada pelo número de fornecedores e sua dspersão geográfca, requer um sstema efcente de coleta desses resíduos, de forma a assegurar o abastecmento ao mínmo custo. Não se encontrou na lteratura nenhuma referênca bblográfca que consderasse esse problema ou algum semelhante, apesar da relevânca e da exstênca de números problemas

12 reas smlares ao tratado, corroborando com a observação feta por Wentraub et al. (996) de que os problemas de alocação e seqüênca de coleta com veículos que atendam a vagens ponto a ponto têm sdo menos dscutdos na lteratura se comparados aos modelos de programação de veículos que fazem coleta em dversos produtores até que atnjam a respectva capacdade máxma de carga. O problema em questão fo decomposto em dos problemas: o problema de seleção dos produtores de madera que ofereçam menor custo de resíduos e transporte e o problema de dmensonamento da frota quanto ao número de veículos e a determnação da seqüênca dára de coleta, de forma a mnmzar o custo total de abastecmento. A complexdade do problema levou à sua decomposção, de forma a permtr a sua modelagem utlzando pacotes de otmzação comercalmente dsponíves, com ênfase na utlzação de planlhas eletrôncas, tão populares nos das atuas. Foram apresentados os modelos matemátcos desenvolvdos para cada um dos dos problemas. A estratéga de solução proposta vsou explorar a solução dos mesmos em ambente de planlha eletrônca, mas especfcamente o Mcrosoft Excel, em conjunto com pacotes de otmzação desenvolvdos pela Frontlne Systems Inc. Os modelos foram testados para um problema real que envolve a construção de uma planta de refno de açúcar de alta qualdade, com geração de vapor a partr de resíduos de bomassa de madera, localzada na regão sul do Brasl. O problema de seleção dos produtores de madera fo soluconado de manera satsfatóra utlzando os pacotes comercas de otmzação seleconados. Já para o problema de dmensonamento da frota e desgnação dos veículos foram observados tempos de processamento muto elevados, mesmo utlzando o pacote mas avançado dsponível, o que pode nvablzar a utlzação de pacotes para este problema. Deve-se destacar que não se pretendeu neste trabalho avalar os dferentes pacotes de otmzação para uso com planlhas eletrôncas. Partu-se do sstema Solver, cuja versão básca, para pequenos problemas, é dsponblzada gratutamente com o Mcrosoft Excel. As versões mas poderosas desse pacote foram utlzadas em decorrênca das dmensões do problema. Note-se que outros fabrcantes também possuem plataforma que aderem ao ambente de planlhas mas, segundo entendmento dos autores deste artgo, ra demandar algum tpo de ajuste, adaptação ou mesmo de nterpretação, o que podera vr a perturbar o ntento ncal. Fnalmente, recomenda-se a nvestgação de métodos heurístcos para a solução do problema proposto. Uma nova estratéga de solução, envolvendo a utlzação de alguma metaheurístca, possvelmente algortmos genétcos, está sendo consderada. Recomenda-se anda nvestgar a exstênca de algum outro pacote que possa ser aplcado ao problema em questão. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bodn, L.D.; B. Golden; A. Assad e M. Ball (983) Routng and schedulng of vehcles and crews: The state of the art. Computers and Operatons Research, vol.0, n.2.

13 Cunha, C. B. (997) Uma contrbução para o problema de roterzação de veículos com restrções operaconas. São Paulo: EPUSP, Departamento de Engenhara de Transportes. 222p. (Tese de Doutoramento). Equ, L.; G. Gallo; S. Marzale, Slva e A. Wentraub (997). A combned transportaton and schedulng problem. European Journal of Operatonal Research, v. 97, p Forsberg, G. (2000). Bomass energy transport. Analyss of boenergy transport chans usng lfe cycle nventory method. Bomass and Boenergy, v.9, p Frontlne Systems Inc. (2000a). Large-Scale LP Solver Engne Verson 4.0 for Mcrosoft Excel. Dsponível em < Acesso em 5 dez Frontlne Systems Inc. (2000b). XPRESS LP/MIP Solver for Mcrosoft Excel. Dsponível em < Acesso em 5 dez Grossman Jr., T. (999). Teachers Forum: Spreadsheet Modelng and Smulaton Improves Understandng of Queues. Interfaces, v.29, n.3, p Martello, S.; P. Toth (988) A new algorthm for the 0- knapsack problem. Management Scence, 34(5): Ragsdale, C.T. (998). Spreadsheet modelng and decson analyss. 2 nd ed. South Western College Publshng: Cncnatt, Oho. Slva, G.P. (200). Um algortmo de geração de arcos para o problema de programação de veículos 88 p. Tese de Doutoramento EPUSP, Departamento de Engenhara de Transportes. Souza, E. C. (999). Modelagem e Resolução de um Problema de Transporte do Tpo: Carga Únca-Coleta e Entrega com Janelas de Tempo. São Paulo, 89p. Dssertação de Mestrado EPUSP, Departamento de Engenhara Naval e Oceânca. Texera, R.G. (200) Heurístcas para o Problema de Dmensonamento e Roterzação de uma Frota Heterogênea utlzando o Algortmo Out-of-klter. 8p. Dssertação (Mestrado) Escola Poltécnca, Unversdade de São Paulo. Van Vlet, A.; C. G. Boender e A. H. G. Rnnooy Kan (992). Interactve Optmzaton of Bulk Sugar Delveres. Interfaces, v.22, n.3, p.4-4 Wentraub, A.; R. Epsten; R. Morales; J. Seron e P. Traverso (996). A Truck Schedulng System Improves Effcency n the Forest Industres. Interfaces, v26, n.4, p.-2. Wnston, W.L. e S.C. Albrght (997). Practcal Management Scence: Spreadsheet Modelng and Applcatons. Duxbury Press: Belmont, Calforna. Yan J.; P. Alvfors; L. Edensten e G. Svedberg (997). A future for bomass. The Amercan Socety of Mechancal Engneers. Znamensky, A. (2000). Um modelo para a roterzação e programação do transporte de defcentes. São Paulo: EPUSP, Departamento de Engenhara de Transportes. 44p. Dssertação (Mestrado). Flávo de Almeda Galvão Jr. Capote Valente, 85 apto. 64 São Paulo SP Cep Fone: / Fax: Emal: flavo.galvaojr@terra.com.br 2 Claudo Barber da Cunha Depto de Engenhara de Transportes Escola Poltécnca da USP Caxa Postal 6548 CEP São Paulo SP Fone: Fax: Emal: cbcunha@usp.br