MODELO ADAPTATIVO BASEADO EM REGRAS NEBULOSAS APLICADO À PREVISÃO DE SÉRIES DE VAZÕES SEMANAIS

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1 MODELO ADAPTATIVO BASEADO EM REGRAS NEBULOSAS APLICADO À PREVISÃO DE SÉRIES DE VAZÕES SEMANAIS IVETTE LUNA, SECUNDINO SOARES, ROSANGELA BALLINI Departamento de Engenhara de Sstemas DENSIS Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação FEEC Unversdade Estadual de Campnas UNICAMP Campnas, SP, Brasl Departamento de Teora Econômca DTE Insttuto de Economa IE Unversdade Estadual de Campnas UNICAMP Campnas, SP, Brasl Emals: luna@cose.fee.uncamp.br, dno@cose.fee.uncamp.br, balln@eco.uncamp.br Abstract Ths paper suggests an onlne algorthm for generatng Takag-Sugeno fuzzy systems appled for tme seres predcton. The model proposed s bult n two phases. Frst, the model structure s ntalzed va a constructve offlne adjustment, consderng only two ntal fuzzy rules. In the second phase, the system s modfed dynamcally, applyng a recursve learnng algorthm based on the expectaton maxmzaton technque, as well as addng and prunng operators. The adaptve learnng process reduces model complexty and defnes automatcally the model structure provdng an effcent model. The proposed approach s appled to buld a tme seres model for weekly streamflow forecastng and the results are compared wth evolvng Takag-Sugeno model. Results show the suggested model s effcent for tme seres modelng, provdng a smpler and parcmonous structure. Keywords Tme seres forecastng, EM algorthm, adaptve learnng. Resumo Este artgo propõe um modelo de aprendzado onlne baseado em regras nebulosas do tpo Takag-Sugeno, para modelos de séres temporas. A estrutura do modelo é construída em duas etapas. Na prmera etapa, o modelo é ncalzado utlzando um algortmo de aprendzado construtvo offlne, composto por duas regras nebulosas. Na segunda etapa, o modelo é modfcado de forma dnâmca, utlzando um algortmo de aprendzado recursvo baseado no algortmo de maxmzação de verossmlhança e em operadores de adção e punção de regras. O aprendzado adaptatvo, reduz a complexdade do modelo, e defne de forma automátca a sua estrutura. A proposta é aplcada na construção de um modelo de prevsão de vazões semanas e os resultados são comparados com o modelo evolutvo Takag-Sugeno. Os resultados obtdos mostram que a proposta é uma alternatva efcente para modelos de séres temporas, proporconando uma estrutura smples e parcmonosa. Palavras-chave Prevsão de séres temporas, algortmo EM, aprendzado adaptatvo. 1 Introdução Redes neuras e sstemas nebulosos têm se mostrado efcentes em dversas aplcações, destacando-se os modelos baseados em regras nebulosas, devdo a sua smplcdade e efcênca (Angelov and Flev, 24. Exstem dversas abordagens para a construção de sstemas baseados em regras. Uma técnca bastante dvulgada é a utlzação de algortmos de agrupamento, va a partção nebulosa do espaço de entrada em sub-regões, como o algortmo Fuzzy C-Means (Bezdek, 1981 e o algortmo da montanha (Yager and Flev, Por outro lado, exstem abordagens baseadas na alocação de modelos locas ou especalstas, as quas estão dretamente vnculadas ao prncípo de dvdr e conqustar, como é o caso dos modelos de mstura de especalstas (Jacobs et al., Devdo a complexdade dos problemas reas, os quas são, em geral, de natureza não lnear, tornase mpossível saber com antecedênca o número adequado de partções ou especalstas necessáros para a construção dos modelos. Como conseqüênca, abordagens de aprendzado onlne têm sdo desenvolvdas, fornecendo assm, estratégas de aprendzado com alta capacdade de adaptação a baxo custo computaconal. Segundo esta dreção, dversas técncas de aprendzado adaptatvas e não supervsonadas de modelos de redes neuras e de sstemas baseados em regras nebulosas vêm sendo desenvolvdas nos últmos anos. Os trabalhos descrtos em (Ramamurt and Ghosh, 1996, (Er and Wu, 22, (Angelov and Flev, 24 e (Leng et al., 25 são apenas alguns exemplos deste tpo de aprendzado, sendo que, estas propostas consderam tanto a adaptação dos parâmetros como da estrutura do modelo. Este artgo propõe um sstema adaptatvo baseado em regras nebulosas (A-FSM, sendo o algortmo de aprendzado baseado no algortmo de maxmzação da verossmlhança (EM (Jacobs et al., A vantagem de adotar técncas de aprendzado baseadas no algortmo EM, é a convergênca rápda do algortmo e a obtenção de ótmos locas, quando comparado ao algortmo de retropropagação temporal (Haykn, 21b. Além dsso, este artgo sugere uma versão adaptatva do algortmo EM tradconal, sendo este aplcado no ajuste de modelos baseados em regras nebulosas, efetuando o ajuste dos parâmetros e da estrutura do modelo a medda que os dados estão sendo apresentados ao sstema defnndo, de forma automátca, o número de regras necessáras a cada teração. O sstema adaptatvo é aplcado na prevsão de uma sére de vazões semanas do posto de Sobradnho.

2 O modelo A-FSM é comparado com o modelo evolutvo Takag-Sugeno ((ets, proposto em (Angelov and Flev, 24. Os resultados mostram que a técnca de aprendzado sugerda é efcente e mostra-se como uma alternatva para o ajuste dnâmco de modelos de séres temporas. Este artgo está organzado como segue. A Seção 2 descreve a estrutura geral do modelo (A-FSM. A Seção 3 detalha o algortmo de aprendzado. Os resultados de smulação são apresentados na Seção 4. Fnalmente, as conclusões são descrtas na Seção 5. 2 Estrutura do modelo A estrutura do sstema proposto é composta por um conjunto de M regras nebulosas de prmera ordem, do tpo Takag-Sugeno (TS (Takag and Sugeno, Sejam x k = [ x k 1, xk 2,..., xk p ] R p o vetor de entrada no nstante k, k Z +, e ŷk R a saída do modelo, para uma determnada entrada x k. A representação do sstema baseado em regras nebulosas, pode ser descrta por camadas. A partção do espaço de entrada é representada pelas prmeras duas camadas. Cada sub-regão gerada, é defnda por um centro c R p e por uma matrz de covarânca V de dmensão p p. Assm, cada vetor de entrada terá um grau de pertnênca assocado a cada uma das subregões geradas pela base de regras. A prmera camada é a responsável pelo cálculo das funções de pertnênca a cada teração k. Estas funções de pertnênca são defndas pelo produto α P k, sendo α coefcentes postvos tal que M =1 α = 1 e P k = P[ x k ] defnda como: P k = P[ x k ] = 1 (2π p/2 det(v 1/2 exp 1 2 (xk c V 1 (x k c T (1 na qual V e c são a matrz de covarânca e centro assocados à ésma regra, respectvamente. A Eq.(1 representa a probabldade de escolher a regra, dado que apenas a entradax k é conhecda, assm como os parâmetros V e c. Observa-se que P[ x k ] é uma função de densdade de probabldade condconal, que pode ser nterpretada como a probabldade do vetor de entrada x k pertencer à regão atva da ésma regra. O grau de pertnênca de cada padrão x k é representado por g (x k [, 1], dado por: M g (x k = g k = α P[ xk ] q=1 α q P[ q x k ] Estas funções de pertnênca g k são fornecdas pela segunda camada do modelo, tal que M =1 gk = 1. Os coefcentes α, = 1,...,M podem ser nterpretados como índces ndretos de relevânca para cada regra gerada durante o trenamento, de tal forma que, quanto mas alto seja o valor de α, maor será a mportânca da ésma regra nebulosa. (2 A saída do sstema ŷ k, é calculada na últma camada da estrutura do modelo, como uma combnação não lnear dos conseqüentes y k ponderados pelos seus respectvos graus de pertnênca g k, ou seja: ŷ k = M =1 g k y k (3 sendo, neste caso, a saída y k de cada regra R, defnda como: y k = φ k T θ (4 na qual φ k = [1 x k 1 x k 2...x k p] é um vetor que contém os dados de entrada x k e o termo constante; e θ = [θ θ 1... θ p ] é o vetor de coefcentes dos modelos locas lneares, de dmensão 1 (p + 1 para = 1,...,M, que representam os conseqüentes das regras nebulosas. Embora as Equações de (2-(4 consderem apenas uma únca saída, o modelo pode ser estenddo para múltplas saídas. Como pode ser observado, a dnâmca do modelo pode ser nterpretada como um mecansmo de nferênca nebulosa, sendo a base de regras composta por regras R, = 1,...,M, do tpo R k : Se x k pertence a ésma regão com grau de pertnênca g k Então y k = φk θ T. 3 Aprendzado Adaptatvo A dentfcação do modelo baseado em regras nebulosas é feta de forma que tanto a estrutura do modelo como os parâmetros sejam defndos smultaneamente durante o aprendzado. Assm, o objetvo do aprendzado adaptatvo é: Defnr o número de regras M que compõe a estrutura do modelo a cada teração k; Defnr os parâmetros dos antecedentes das regras nebulosas, ou seja, os centros c e as matrzes de covarânca V, = 1,...,M; Defnr os parâmetros dos conseqüentes ou modelos locas θ, = 2,...,M O processo de aprendzado pode ser dvddo em duas etapas: ncalzação do modelo e aprendzado onlne. Na prmera etapa, um método de aprendzado offlne construtvo é usado para um ajuste ncal de uma base de regras composta por duas regras. Para o ajuste dessa base de regras é utlzada uma pequena parte do hstórco da sére temporal. Essa ncalzação se faz necessára para que seja defndo um ótmo local factível. Na segunda fase, a estrutura ncal e os parâmetros do modelo são ajustados de forma dnâmca conforme os dados são apresentados ao modelo va um método de aprendzado onlne. A segur, cada uma dessas etapas é detalhada. 3.1 Incalzação A ncalzação do modelo utlza um aprendzado construtvo baseado no algortmo EM (Jacobs et al., Este algortmo é composto por uma seqüenca

3 teratva de passos EM que maxmza a função de verossmlhança por meo do ajuste dos parâmetros do modelo. O algortmo construtvo (Luna et al., 27, é uma modfcação do algortmo EM tradconal, pos consdera, durante o processo de ajuste dos parâmetros, operadores de adção de novas regras à estrutura, assm como, operadores de punção ou elmnação de regras exstentes e pouco relevantes para o modelo de prevsão. Este algortmo é aplcado para ncalzar o modelo adaptatvo, por meo de um processo de ajuste offlne, obtendo assm, uma ncalzação adequada, que dará níco à segunda etapa do processo de aprendzado. Seja V a matrz de covarânca dagonal e defnda postva, de tal forma que soluções nfactíves sejam evtadas. De acordo com o algortmo EM (Jacobs et al., 1991, e deduzndo as equações para a maxmzação da função de verossmlhança, uma solução ótma para o modelo proposto a cada passo M é defndo por: α = 1 N h k (5 N ( N N c = h k x k / h k (6 ( N N V = h k (xk c (x k c / h k (7 para = 1,...,M, onde N é o número de dados utlzado na fase de ncalzação e h k, = 1,...,M é a probabldade a posteror estmada no passo E do processo de otmzação. Uma solução ótma para θ surge a partr da solução va mínmos quadrados, para a segunte equação: N h k σ 2 ( y k φ k θ φ k = (8 na qual y k a saída desejada no nstante k e σ o desvo padrão assocado à saída local y, = 1,...,M, sendo a varânca σ 2 dada por: ( N N σ 2 = h k [y k y k ] 2 / h k (9 Maores detalhes referentes ao algortmo EM podem ser encontrados em (Jacobs et al., O algortmo de aprendzado construtvo é utlzado para ncalzar o modelo e defnr de forma automátca a base de regras ncal do aprendzado onlne. Como fo menconado no níco da seção, este algortmo utlza operadores de adção e elmnação de regras nebulosas. Estes operadores também serão utlzados como base para a adaptação da estrutura do modelo no aprendzado onlne Adção offlne de regras nebulosas O crtéro proposto para determnar uma stuação na qual é necessáro gerar uma nova regra nebulosa é chamado de crtéro do antecedente. Este crtéro verfca se a base de regras atual cobre o espaço de entrada de forma adequada. Assm, cada dado apresentado ao modelo deve pertencer a uma regão atva de pelo menos uma das regras nebulosas já exstentes na estrutura do modelo, com uma probabldade mínma superor a um lmar prevamente defndo. Supondo que os dados tenham uma dstrbução normal, para um dado nível de confança de γ%, os dados pertencentes à regão atva da ésma regra nebulosa estarão contdos no ntervalo [c z γ dag(v,c + z γ dag(v ], onde dag(v é a dagonal prncpal de V. Neste artgo fo adotado um nível de confança γ = 72, 86%, resultando em um z γ = 1, 1 (valor encontrado na tabela de dstrbução normal e um lmar gual a, Esta condção mplca que a máxma probabldade P[ x k ] de x k atvar pelo menos uma das regras nebulosas tem que ser maor que, Ou seja: max ( P[ x k ] >, 1357 (1 =1,...,M Se a condção defnda pela Eq. (1 não é satsfeta por um ou mas dados do conjunto de trenamento, sgnfca que estes dados possuem uma probabldade de pertencer a alguma regão atva coberta pela base de regras, nferor ao desejado. Denotando por Ω o conjunto contendo todos os dados entrada-saída que não satsfazem a Eq. (1, uma nova regra será nserda à estrutura do sstema. Assm, M = M + 1 (11 e a estmatva ncal do centro desta nova regra c M é dada por: c M = 1 x t (12 N Ω t Ω sendo N Ω o número de dados [x t y t ] em Ω. Além dsso, os demas parâmetros assocados a essa nova regra são ncalzados da segunte forma: σ M = 1, ; θ M = [ȳ... ] 1 (p+1, sendo ȳ o valor médo das saídas desejadas pertencentes ao conjunto Ω. Os parâmetros α e V, para = 1,..., M, devem ser re-ncalzados de acordo com: V = 1 4 I, onde I p p é a matrz dentdade; α = 1/(M. Como α ndca a relevânca de cada regra nebulosa, a sua re-ncalzação é necessára para que todas as regras tenham o mesmo peso, fazendo com que o ajuste dos parâmetros seja não-tendencoso, obtendo assm uma nova partção do espaço de entrada. A rencalzação de V é necessára já que o processo de re-ajuste defnrá novos valores de dspersão para cada regra nebulosa, de acordo com a nova partção gerada, ou seja, consderando neste processo a nova regra nserda na estrutura do modelo.

4 3.1.2 Elmnação offlne de regras nebulosas Como pode ser observado na Eq. (5, α pode ser nterpretado como uma medda da relevânca que cada regra nebulosa tem para a estrutura atual do modelo, quando comparadas entre s. Isto acontece porque α é proporconal a soma de todas as probabldades h k, as quas também podem ser consderadas como estmatvas a posteror das funções de pertnênca g k, sob o conjunto de dados de trenamento. Assm, quanto mas vezes a ésma regra nebulosa for atvada, maor será o valor de α. Logo, α é o parâmetro que defn se exste ou não alguma regra a ser punda e elmnada da estrutura do modelo. Para tal, a regra com menor α será uma boa canddata e, para um dado lmar α mn, toda regra com α < α mn a cada teração, será elmnada da estrutura do sstema. Após a nserção ou elmnação de alguma regra, o modelo será reajustado durante algumas terações EM por meo das equações defndas na Seção 2 e Subseção 3.1. O processo global de aprendzado é fnalzado após atngr a convergênca e quando não exstr mas mudanças na estrutura do modelo. Estes dos operadores de regras nebulosas também serão utlzados no aprendzado onlne, consderando algumas modfcações que serão descrtas a segur. 3.2 Aprendzado onlne O aprendzado onlne de modelos baseados em regras nebulosas, tem se tornado um método promssor, com dversos trabalhos propondo esta abordagem. Alguns exemplos de modelos com aprendzado onlne, que além de consderar o ajuste dos parâmetros, também consderam a adaptação da estrutura são os trabalhos desenvolvdos por J. Er (Er and Wu, 22 e os modelos produzdos por P. Angelov (Angelov and Flev, 24. O maor atratvo do aprendzado onlne, no caso da construção de modelos de séres temporas, é que não é necessáro re-ajustar o modelo com todo o hstórco da sére, toda vez que um novo dado é dsponblzado. Além dsso, a estrutura do modelo é modfcada de acordo com a necessdade ao longo do tempo. Este artgo propõe um aprendzado onlne de modelos de séres temporas baseados em regras nebulosas, transformando as Eqs. (5-(9 para uma versão recursva, de tal forma que o ajuste da estrutura e dos parâmetros do modelo sejam fetos dnâmca e smultaneamente. O aprendzado adaptatvo é realzado a cada nstante de tempo k, k = 1, 2,.... Neste tpo de aprendzado as nformações mas recentes têm uma maor nfluênca no ajuste dos parâmetros e na estrutura do modelo. Observando a Eq. (5, e consderando uma janela no tempo T = N, esta equação pode ser reescrta como segue: α N = 1 N N h k = 1 N 1 N ( h k + h N = 1 [(N 1αN 1 + h N ] N = α N N [hn α N 1 ] (13 onde h N é a estmação a posteror de g k e αn 1 é o valor estmado para α consderando apenas os N 1 dados ncas. Como pode ser observado, a Eq. (13 é uma estmação recursva de (5. Segundo este mesmo procedmento para um número genérco de terações k e com uma janela no tempo T, as Eqs. (5-(9 podem ser re-escrtas recursvamente, obtendo as seguntes aproxmações: V k+1 = V k + 1 α k+1 = α k + 1 T [hk α k ] (14 c k+1 = c k + 1 (σ 2 k+1 = (σ 2 k + 1 na qual: 1 [x k c k ] (15 [(x k c k (x k c k V k ] (16 [(y k y k 2 (σ 2 k ] (17 = hk+1 k+1 t=1 ht (18 Denotando por S k+1 = k+1 t=1 ht, e S (x k+1 =, uma aproxmação para k+1 pode ser obtda h k+1 como: Re-escrevendo S k+1 t=1 ht S k+1 S (x k+1 + T 1 T Sk (19 S k+1 tem-se: S k + [S (x k+1 Sk T ] (2 A Eq. (2 expõe alguns aspectos nteressantes referentes às estmatvas adotadas. S k /T pode ser nterpretada como uma estmatva do valor médo de α no ntervalo de tempo T, prévo a k + 1. Assm, quanto maor for S k /T, maor será a mportânca da ésma regra para a próxma teração. Se S (x k+1 obtém um valor baxo em T, então S k+1 dmnurá e a ésma regra terá um rsco maor de ser elmnada. Para estmar θ, aplca-se o algortmo recursvo dos quadrados mínmos ponderados (wrls, o qual consdera um fator de esquecmento ao longo do tempo (f forget. Maores detalhes concernentes a este algortmo de otmzação podem ser encontrados em (Haykn, 21a e em (Ramamurt and Ghosh, Assm, as equações do algortmo wrls adaptadas ao problema de otmzação de θ são defndas como: na qual: θ k+1 = θ k + C k+1 φ k h k (y k y k (21 C k+1 C k = fforget k + hk (φk T C k (22 φk é a matrz de covarânca para cada θ durante o ajuste onlne. Neste artgo, o fator de esquecmento f forget (, 1] fo ncalzado para k = como fforget =, 85 e suavemente ncrementado, tal que 1,. f forget

5 As condções ncas para θ, = 1,...,M foram dadas pelos valores obtdos na fase de ncalzação. Desta forma, e após a fase de ncalzação, o aprendzado onlne é aplcado. Enquanto os parâmetros dos modelos são ajustados utlzando as Eqs. (14- (22, para ajustar a estrutura do modelo a cada teração é necessáro adaptar os operadores de adção e elmnação utlzados na fase de ncalzação Geração onlne de regras nebulosas Smlar ao operador de geração de regras novas utlzado na fase offlne de ncalzação, a geração onlne de regras nebulosas será aplcada verfcando a condção defnda na Eq. (1 para o dado atual de entrada x k. Caso esta condção não seja satsfeta, uma nova regra é gerada, sendo os seus parâmetros ncalzados como segue: c k+1 M+1 = xk σ k+1 M+1 = 1.; θ k+1 M+1 = [yk... ] 1 p+1 V k+1 M+1 = 1 4 I, onde I é uma matrz dentdade de ordem p p; α k+1 M+1 = 1 5. Embora este valor ncal seja pequeno o sufcente para nterferr na dnâmca da estrutura atual, todos os parâmetros α, = 1,...,M +1 são re-normalzados tal que a soma de todos estes coefcentes seja sempre gual a undade Elmnação onlne de regras nebulosas O operador de punção ou elmnação de regras nebulosas no aprendzado onlne, basea-se no operador utlzado no aprendzado construtvo da fase de ncalzação. No entanto, uma condção a mas deve ser verfcada. Após uma regra ser gerada e nserda na estrutura do modelo, o seu respectvo α terá um valor pequeno. Caso o operador de punção seja aplcado dretamente, a regra recém gerada será elmnada, sem ter um tempo mínmo para o seu ajuste e posteror verfcação da sua relevânca para as futuras terações. Esta stuação é resolvda defnndo um índce chamado de índce de permanênca τ. Cada vez que uma nova regra é gerada, o seu respectvo índce de permanênca será ncalzado e ncrementado a cada atvação no futuro. Ou seja: τ k+1 = τ k + 1 (23 Assm, uma regra poderá ser elmnada apenas se o α assocado a essa regra for nferor ao lmar prédefndo e τ k > ɛt, onde ɛ > e T é a mesma janela no tempo utlzada durante o ajuste onlne. Esta condção garante que nenhuma regra seja elmnada logo após a sua nserção na estrutura do modelo, permtndo o seu ajuste durante um mínmo de tempo, elmnando assm, osclações bruscas e pouco necessáras na estrutura do modelo. 4 Prevsão de séres temporas O modelo proposto é utlzado na construção de um modelo de sére temporal para a sére de vazões semanas do posto de Sobradnho, localzado na baca do ro São Francsco, regão nordeste do Brasl. Estes dados abrangem o período da prmera semana de Janero de 1931 até a últma semana de Dezembro de 2. Os dados são separados em dos conjuntos. O prmero, composto apenas pelos prmeros cnco anos é utlzado na fase de ncalzação do modelo. Este mesmo conjunto de dados é analsado para a seleção adequada de entradas para o modelo de prevsão. Para tal, utlzou-se o crtéro de Informação Mútua Parcal (PMI, aplcando a metodologa descrta em (Luna et al., 26. De acordo com este crtéro, a partr de um conjunto ncal de possíves entradas gual a 15, foram seleconados os atrasos 1, 2, 3 e 6, para a construção do modelo de sére temporal. Assm, os vetores de entrada-saída são construídos, e procede-se a ncalzação do modelo, usando o algortmo offlne. O parâmetro α mn para a fase de ncalzação fo gual a, 1 obtendo uma estrutura ncal composta por 18 regras nebulosas. A fase de ajuste onlne fo ncalzada a partr da prmera semana de Janero de O parâmetro α mn para esta fase de ajuste dnâmco fo gual a, 25, T = 14, o qual representa uma janela de tempo equvalente aos dos últmos anos, e ɛ =.5. A Fgura 1 lustra a varação do número de regras durante o aprendzado onlne. Em geral, o número de regras durante o ajuste onlne da estrutura do modelo de sére temporal é sempre menor ou gual ao número ncal de regras obtdas na ncalzação offlne. Isto ocorre pos o aprendzado onlne permte que a estrutura do modelo mantenha apenas as regras nebulosas de maor relevânca no período T medatamente anteror ao nstante atual k+1, mesmo defnndo um α mn maor que o utlzado na fase de ncalzação. Para um nstante k > 5, nota-se que a estrutura do modelo osclou entre um total de 4 a 12 regras nebulosas. Número de regras nebulosas (M k Fgura 1: Varação do número de regras durante o aprendzado onlne. A Fgura 2 lustra a análse dos resíduos durante o aprendzado onlne para verfcar a adequação do modelo. A Fgura 2-(a lustra a função de autocorrelação parcal estmada e a Fgura 2-(b lustra a fun-

6 r k ção de correlação cruzada estmada a cada teração. Em ambas fguras, as lnhas tracejadas representam os lmtes ±2/ n, os quas fornecem uma ndcação geral de possível quebra do comportamento de ruído branco, com n gual ao número de graus de lberdade do modelo obtdo. Observa-se que, a medda que os dados são apresentados ao modelo, os resíduos estmados estão sendo menos correlaconados, localzandose dentro dos lmtes permtdos. Para comparação dos resultados, neste artgo o modelo ets fo ajustado para a sére de vazões semanas. Como o modelo pode ser ncalzado sem nenhuma nformação a pror, ou seja, sem nenhuma regra e com somente um dado, o modelo ets fo aplcado as séres de vazões para prevsão um passo à frente, a partr do ano de s k (a k (b k Fgura 2: Análse dos resíduos. A Fgura 3 apresenta as prevsões da sére de vazões para os modelos A-FSM e ets, na prevsão um passo à frente, a partr da prmera semana de Janero de 1991 até a últma semana de Dezembro de 2. A Tabela 1 apresenta os erros relatvo médo (ERM (%, raíz do erro quadrátco médo (REQM (m 3 /s, absoluto médo (EAM (m 3 /s e coefcente de correlação (ρ para os modelos A-FSM e ets, no período de Janero de 1936 a Dezembro de 2. Vazao (m 3 /s Vazao (m 3 /s Real A FSM tempo x tempo Fgura 3: Prevsão um passo à frente. Tabela 1: Erros de prevsão. Modelo M ERM REQM EAM ρ (rules (% (m 3 /s (m 3 /s A-FSM ,74 614,4 335,75,91 ets 13 17,52 57,77 341,88,92 Real ets 5 Conclusões Este artgo apresenta um modelo baseado em regras nebulosas com aprendzado adaptatvo para prevsão de séres temporas. A estratéga de aprendzado é baseada no algortmo de otmzação EM e em operadores de adção e elmnação de regras nebulosas da estrutura do modelo. Estes operadores são aplcados durante o aprendzado defnndo de forma automátca a estrutura do modelo. O modelo A-FSM fo aplcado para a geração de um modelo de prevsão de vazões semanas do posto de Sobradnho, e aplcado na prevsão um passo à frente e os resultados foram comparados com o modelo ets. A análse apresentada mostrou que o sstema nebuloso proposto fornece modelos de prevsão adequados e parcmonosos. Agradecmentos Os autores agradecem à Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo (FAPESP, ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq, pelo auxílo. Referêncas Angelov, P. P. and Flev, D. P. (24. An Approach to Onlne Identfcaton of Takag-Sugeno Fuzzy Models, IEEE Transactons on Systems, Man and Cybernetcspart B 34(1: Bezdek, J. (1981. Pattern Recognton wth Fuzzy Objectve Functon Algorthms, New York, USA: Plenum Press. Er, M. J. and Wu, S. (22. A fast learnng algorthm for parsmonous fuzzy neural systems, Fuzzy Sets and Systems 126: Haykn, S. (21a. Kalman Flterng and Neural Networks, John Wley & Sons, Inc.. Haykn, S. (21b. Redes Neuras, Prncípos e Prátca, 2 edn, Bookman. Jacobs, R., Jordan, M., Nowlan, S. and Hnton, G. (1991. Adaptve Mxture of Local Experts, Neural Computaton 3(1: Leng, G., McGnnty, T. and Prasad, G. (25. An approach for on-lne extracton of fuzzy rules usng a selforgansng fuzzy neural network, Fuzzy Sets and Systems 15(2: Luna, I., Balln, R. and Soares, S. (26. Técnca de dentfcação de modelos lneares e não-lneares de séres temporas, Sba: Controle & Automação Socedade Braslera de Automatca 17: Luna, I., Soares, S. and Balln, R. (27. A Constructve- Fuzzy Rube Based System for Tme Seres Forecastng, Internatonal Jont Conference on Neural Networks - IJCNN 7. Ramamurt, V. and Ghosh, J. (1996. Structural Adaptaton n Mxture of Experts, 13th Internatonal Conference on Pattern Recognton 4: Takag, T. and Sugeno, M. (1985. Fuzzy Identfcaton of Systems and Its Applcatons to Modelng and Control, IEEE Transactons on Systems, Man and Cybernetcs (1: Yager, R. and Flev, D. (1994. Essentals of Fuzzy Modelng and Control, John Wley and Sons. Inc.