RESTAURAÇÃO DE IMAGENS ATRAVÉS DE FILTRAGEM DE KALMAN USANDO PROGRAMAÇÃO EVOLUCIONÁRIA

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1 RESTAURAÇÃO DE IMAGENS ATRAVÉS DE FILTRAGEM DE KALMAN USANDO PROGRAMAÇÃO EVOLUCIONÁRIA RONALDO F. ZAMPOLO, RUI SEARA E ORLANDO J. TOBIAS LINSE: Crcutos e Processamento de Snas Departamento de Engenhara Elétrca Unversdade Federal de Santa Catarna Campus Unverstáro, Floranópols SC Brasl Tel: (0xx48) , Fax: (0xx48) , zampolo@lnse.ufsc.br RESUMO A restauração de magens através do Fltro de Kalman de Modelo de Ordem Reduzda (FKMOR) é obtda em conjunto com uma técnca baseada no crtéro de máxma verossmlhança. O referdo crtéro é adotado para estmação dos parâmetros da magem e da degradação. Tradconalmente, são usados algortmos de otmzação sensíves às condções ncas na etapa de otmzação. Este trabalho trata do uso de Programação Evoluconára (PE) na fase de estmação em restauração adaptável de magens va FKMOR. Comparações expermentas entre as duas estratégas menconadas são apresentadas. Os resultados de smulações sugerem que restaurações va FKMOR mas confáves são obtdas quando algortmos menos sensíves às condções ncas são adotados.. INTRODUÇÃO O objetvo da restauração de magens é recuperar a magem orgnal a partr de sua versão degradada. A maora das abordagens clásscas consdera o sstema de degradação conhecdo [,]. No entanto, essa não é a stuação prátca mas comum [3] e, além dsso, magens reas apresentam degradações varantes no espaço, as quas exgem uma abordagem de restauração adequada. Esses fatos têm encorajado ntensas pesqusas em técncas de restauração adaptável e autoddata (ou quase-autoddata). Devdo ao desempenho da teora do fltro de Kalman em aplcações undmensonas (-D), a mesma tem sdo estendda ao caso bdmensonal (-D). Contudo, a mplementação dreta do fltro de Kalman em -D apresenta alto custo computaconal [4]. Nesse sentdo, váras aproxmações do fltro de Kalman em -D têm sdo propostas, a fm de reduzr a carga computaconal [4]. Uma dessas aproxmações é o Fltro de Kalman de Modelo de Ordem Reduzda (FKMOR) [5]. De manera smlar às outras aproxmações do fltro de Kalman, o FKMOR possu adaptabldade espacal. A vantagem do FKMOR em relação às outras aproxmações está no uso de um vetor de estado reduzdo, o qual leva a um decrescmento consderável na carga computaconal. Por sso, o FKMOR é mas adequado à estmação dos parâmetros da magem/degradação, tendo-se em conta o volume de operações envolvdo. Em [5], uma técnca baseada em máxma verossmlhança, em conjunto com o FKMOR, é usada para estmação dos parâmetros da magem/degradação. Em [3], são usadas técncas de otmzação sensíves às condções ncas e, devdo à presença de ótmos locas na função de máxma verossmlhança, são realzadas múltplas rodadas do algortmo de otmzação. Nesse caso, a melhor solução para a restauração fnal é escolhda a partr de um conjunto de resultados. Neste trabalho, mostra-se que restaurações va FKMOR mas confáves são obtdas pelo uso, na etapa de estmação de parâmetros, de estratégas de otmzação menos sensíves às condções ncas. Essa maor confabldade nos resultados é alcançada quando Programação Evoluconára (PE) é usada na otmzação, devdo à sua, já bastante conhecda, baxa sensbldade às condções ncas [6,7]. Alguns exemplos do método proposto são apresentados para avalação de desempenho. Os resultados das smulações são baseados em magens degradadas sntetcamente. No processo de restauração, o modelo da degradação é assumdamente conhecdo, mas não seus parâmetros.. RESTAURAÇÃO DE IMAGENS VIA FKMOR. Modelos Matemátcos Os modelos das magens orgnal e degradada são representados, respectvamente, pelas seguntes expressões: f( x, y) = å a( k, l) f( x -k, y - l) + v ( x, y) () Î ( kl, ) D = å () ( mn, ) ÎD gxy (, ) hmnf (, ) ( x my, n) v( xy, ) onde (, ) f x y e (, ) gxy são as funções de ntensdade, representando a magem orgnal e a magem observada

2 (versão degradada), respectvamente. axy (, ) é uma medda de correlação entre pxels vznhos. A função de degradação é dada por hxy (, ). v ( x, y ) e v ( x, y ) são, respectvamente, os ruídos de entrada e adtvo de observação (gaussanos e de méda zero). D e D são a regão em torno do pxel presente de correlação não desprezível e a regão de suporte da função de degradação, respectvamente. Consderando a formulação do fltro de Kalman, () e () podem ser rescrtas como segue: f( xy, ) = A( xy, ) f( xy, - ) + D( xy, ) v( xy, ) + E( xy, ) u( xy, ) (3) gxy (, ) = H( xy, ) f ( xy, ) + v( xy, ) (4) onde f ( x, y), v ( xy, ) e ( xy, ) u são, respectvamente, o vetor de estado, que porta nformação sobre a magem orgnal; o vetor de entrada (ruído gaussano); e um vetor determnístco. A ( xy, ) e H ( xy, ) são chamadas, respectvamente, de matrz de transção de estado (que contém os coefcentes de correlação entre pxels vznhos) e matrz de observação (que é dependente dos parâmetros da função de degradação). D ( xy, ) e E ( xy, ) são matrzes de ponderação. Deve-se notar que (3) e (4) são ntrnsecamente varantes, uma característca bastante útl para processamento adaptável.. Defnção do Vetor de Estado Reduzdo e da Dreção de Recursão Na aproxmação do FKMOR, o vetor de estado da formulação orgnal do fltro de Kalman é substtuído por um vetor de estado reduzdo, a fm de dmnur a carga computaconal. Os tamanhos das regões D e D determnam a dmensão do referdo vetor de estado reduzdo. Neste trabalho, fo adotada a dreção de recursão conhecda como esquerda-para-dreta/de cma-parabaxo (left-to-rght/top-to-bottom) [4]. A Fg. lustra o modelo de suporte conhecdo como M M M3 non-symmetrc half-plane (NSHP), usado na defnção do vetor de estado reduzdo. M M M 3 Fgura. Modelo de suporte M M M3 NSHP..3 Etapa de Estmação de Parâmetros O algortmo de Kalman consdera que as matrzes A ( xy, ), H ( xy, ), D ( xy, ) e E ( xy, ) são conhecdas, assm como as estatístcas de segunda ordem de v ( x, y ) e v (, ) x y. Na prátca, contudo, aqueles parâmetros são parcalmente conhecdos ou mesmo desconhecdos. Logo, precsam ser estmados. Para que esta necessdade possa ser atendda, é usada a função custo de máxma verossmlhança, apresentada em [3,5] e dada por: J = Nln Ree + å a ( x, y) (5) R ee ( xy, ) Îg onde N é o número de pxels da magem g, R ee denota a matrz de correlação do processo novação (onde o índce ee sgnfca estado estaconáro), e a ( xy, ) caracterza o processo novação, descrto como: a ( xy, ) = gxy (, )-H( xy, ) f ˆ ( xy, ) (6) onde f ˆ ( xy, ) é a predção do vetor de estado. b.4 Dscussão A função custo defnda em (5) apresenta ótmos locas. Então, para superar os problemas de convergênca local, renícos sucessvos são sugerdos por Angwn e Kaufman [3]. Este procedmento resulta em um conjunto de soluções, a partr do qual a melhor solução é seleconada para que se proceda à restauração fnal. O prncpal argumento em defesa dos renícos é a certeza, ou pelo menos a crença, de que uma condção ncal aleatóra específca rá ocorrer após algumas tentatvas resultando em uma restauração ótma. A questão que surge é quantos renícos serão necessáros para que ocorra uma boa condção ncal? Por boa condção ncal, deve-se entender aquela que leva à solução ótma, ou pelo menos a uma solução perto da ótma. As smulações da Seção 4 mostram que o procedmento de renícos pode ser bem nefcente. Um camnho alternatvo para ldar com esse problema é o uso de técncas de busca baseadas em computação evoluconára, como a Programação Evoluconára (PE), que são menos sensíves às condções ncas. A próxma seção aborda a PE e suas prncpas característcas. 3. PROGRAMAÇÃO EVOLUCIONÁRIA A PE pertence a uma classe mas ampla de algortmos conhecda como Computação Evoluconára (CE) e é caracterzada por ter sdo nsprada nos sstemas de evolução ou adaptação natural [8]. O prncpal apelo para o uso da CE é sua habldade em atngr a solução ótma global, ndependentemente da conformação da superfíce b

3 de desempenho. O algortmo da PE usado neste artgo é descrto como segue [7]: ) É gerada a população ncal de m ndvíduos e atrbuído l =. Cada ndvíduo é representado pelo par ( p, h ), no qual p é o vetor de parâmetros a serem estmados e h é o desvo padrão usado nas mutações gaussanas. Esta é a população de pas; ) A aptdão de cada um dos pas ( p, h ) é " Î,..., m ; avalada, { } 3) Cada pa ( p, h) gera um flho ( p ', h' ), de acordo com os passos seguntes: para j =, K, P, p'( j) = p ( j) + N(0, h ) [ ] ' exp (0,) h = h tn onde P representa o número total de parâmetros; N ( 0,) é o número aleatóro de dstrbução gaussana de méda zero e desvo padrão gual a ; t é uma constante; 4) A aptdão de cada flho ( p ', h' ) é calculada; 5) Para cada ndvíduo, consderando-se todos os pas e flhos, q oponentes são sorteados. Cada ndvíduo é, então, comparado com seus q oponentes e sempre que a aptdão do ndvíduo for maor ou gual a aptdão do seu oponente, o ndvíduo ganha uma vtóra; 6) Dentre pas e flhos, m ndvíduos são seleconados, justamente aqueles que possuem maor número de vtóras, para formar a próxma geração de pas; 7) Se o crtéro de parada adotado for satsfeto, o processamento se encerra, senão l = l + e o algortmo retorna ao passo (3). 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS Dos casos são apresentados. O prmero compara o já bastante conhecdo algortmo Downhll Smplex Method (DHSM) [9] com a PE descrta na seção anteror, aplcados em restauração não-adaptável va FKMOR. No segundo caso, são apresentadas duas restaurações adaptáves va FKMOR usando PE, a título de exemplo do alcance da técnca. Nesse últmo caso, a magem degradada consste em duas regões não sobrepostas, em que uma das regões está degradada, enquanto a outra é mantda em sua forma orgnal. Nas smulações, a PE tem 0 ndvíduos por população e o número de oponentes q é gual a 0. Para a fase de estmação, é assumdo que o modelo de degradação é conhecdo, mas não seu parâmetro r que precsa ser dentfcado. O modelo de degradação é descrto por: = g ér r r r r r r ù ë û h (7) onde g é um termo de normalzação usado na manutenção da energa entre as magens observada e restaurada. As magens degradadas sntetcamente (Fgs. e 5) são obtdas para r=. Para ambos os expermentos, fo adotado um suporte de 6 NSHP e o blurred sgnal-to-nose rato ( BSNR ) [] das magens degradadas é gual a 40 db. O BSNR é defndo como: BSNR és ù g 0log = 0 ê ú ê s ë úû onde s g e s são, respectvamente, as varâncas da magem g ( x, y ) e v ( x, y ); e g ( x, y ) representa a magem degradada, desconsderando o efeto de v ( x, y ). Para calcular a qualdade das magens restauradas, o mprovement n sgnal-to-nose rato ( ISNR ) [] é usado. O ISNR é defndo como: ISNR å [ f( x, y) g( x, y)] ì - ü ï( xy, ) ï = 0log0 í ˆ ý ïå [ f( x, y) - f( x, y)] ï î( xy, ) þ onde f ˆ( x, y ) é a magem restaurada. 4. Prmero Expermento: Restauração Não-Adaptável Neste caso, fo usada uma degradação unforme e os parâmetros do FKMOR são consderados constantes em toda a magem processada. A magem degradada é apresentada na Fgura. A Tabela e a Tabela mostram os resultados obtdos em rodadas de restaurações obtdas por DHSM e PE, respectvamente. As Fgs. 3 e 4 apresentam as magens restauradas, as quas foram arranjadas por ordem de rodadas (lnha por lnha, da esquerda para a dreta). Fgura. Imagem degradada (caso não-adaptável). (8) (9)

4 Tabela. DSHM dados numércos (caso não-adaptável) a (,) a (, 0) a(, - ) a(0,) r J #0 0,3035-0,6947 0,9050 0,76 0,99046, #0 0,3899 0, ,5059-0,5339 0,83044, #03 0,6789-0, , ,378 0,8604, #04-0, , ,570 0, ,8388, #05-0,708 0,4578 0, ,4694 0,7580, #06-0,036 0,590 0,6073 0, ,385, #07-0, ,3890 0, , ,83795, #08-0,3030-0, ,987 0,9737 0,39388, #09-0,9887 0,4075 0,8933 0,6908 0,38795, #0 0, ,067 0,4759-0,47 0,7749, #, , ,573 0,374 0,5588, #, , ,388-0, ,4455 3, Méd. 0, , ,563 0,865 0,65555, Var. 0,489 0,405 0,83 0,5695 0, , Fgura 3. Restaurações DHSM (caso não-adaptável). Tabela. PE dados numércos (caso não-adaptável) a (,) a (, 0) a(, - ) a(0,) r J #0-0, ,7-0,995 0,907,0059, #0-0,04 0,86-0,5303 0,90483,0034, #03-0,6967 0,468 0, ,8733,095, #04 0, , , ,9065,00346, #05 0,993-0, ,066 0, ,99939, #06-0,8696 0, ,3436 0,884,0098, #07-0,3665 0,4855 0, ,79356,00509, #08-0, ,0879 0,455 0,83889,0453, #09 0,433 -, , ,9839,00353, #0-0,0679 0,499-0,435 0,9068,00387, # -0, , ,7598 0,8845,0070, # -0,5549-0,4536 0, ,88594,00965, Méd. -0,973-0, ,9655 0,88394,00648, Var. 0,0955 0,863 0,309 0,006,4 0-5, Fgura 4. Restaurações PE (caso não-adaptável). As restaurações DHSM apresentam ISNR varando de - 7,44 db (restauração #06) a 5,05 db (restauração #0). Por outro lado, as magens restauradas pelo método proposto (Fg.4) possuem ISNR de 9, 5 db (restauração #03) a,49 db (restauração #). Comparando-se as Fgs. 3 e 4, observa-se que todas as restaurações PE apresentam qualdade vsual e numérca smlares. O mesmo não acontece com as restaurações DHSM. Além dsso, as varâncas dos parâmetros estmados pela PE são menores do que as varâncas daqueles estmados pelo DHSM. Uma vez que a qualdade das restaurações é controlada pela função custo, que é comum para ambas as stuações, tanto os sstemas baseados em DHSM quanto os que usam PE podem levar aos mesmos resultados. Contudo, uma únca rodada da PE parece ser sufcente para estmar parâmetros próxmos do ótmo, enquanto é mpossível prever quantos renícos devem ser fetos para produzr boas restaurações quando o DHSM é empregado. Essa confabldade advnda da PE é essencal para restauração autoddata, especalmente quando magens completamente desconhecdas são consderadas (por exemplo, magens de outros planetas, galáxas, etc. nunca antes observadas). 4. Segundo Expermento: Caso Adaptável Neste caso, uma degradação não unforme é usada. Metade da magem é degradada usando-se a mesma função de degradação do prmero expermento e a outra metade é mantda sem degradação (Fg. 5). A Fg. 6 e a Tabela 3 mostram, respectvamente, a magem restaurada e os dados numércos da magem degradada que fo dvdda em duas regões para fns de processamento, (regão 0: metade esquerda; regão 0: metade dreta). A Fg. 7 e a Tabela 4 apresentam a restauração e os dados numércos da magem degradada que fo dvdda em quatro regões (regão 0: quadrante superor esquerdo; regão 0: quadrante superor dreto; regão 03: quadrante nferor esquerdo; regão 04: quadrante nferor dreto).

5 Fgura 5. Imagem degradada (caso adaptável). Tabela 3. PE dados numércos (caso adaptável regões) Regão a (,) a (, 0) a(, - ) a(0,) r ISNR (db) 0-0,5686 0,8369 0, ,6935,008 7, ,797 0,78 0,3353 0, ,07565 Fgura 6. Restauração PE (caso adaptável regões). Tabela 4. PE dados numércos (caso adaptável 4 regões) Regão a (,) a (, 0) a(, - ) a(0,) r ISNR (db) 0-0, ,678-0, ,7985 0, ,0349 0,555 0,3730 0,408 0,037 8, ,7949-0,4307 0,73 0,90009, ,490 0, ,3539 0,3766 0,59 Fgura 7. Restauração PE (caso adaptável 4 regões). Observando-se os dados numércos (Tabelas 3 e 4), pode-se constatar que o sstema consegue dferencar adequadamente quando uma regão sob processamento encontra-se degradada ou não (parâmetro r ). As restaurações, apresentadas nas Fgs. 6 e 7, mostram qualdade vsual semelhante. No entanto, numercamente, a segunda restauração (Fg. 7) possu ISNR maor (Tabelas 3 e 4), o que pode ser explcado pelo maor número de regões em que a magem degradada fo dvdda, resultando em maor capacdade de adaptação do sstema às característcas locas da magem em relação ao caso referente à restauração da Fg CONCLUSÕES Este artgo compara o desempenho entre duas classes de algortmos de otmzação aplcados na fase de estmação de parâmetros da restauração de magens va FKMOR. Os resultados mostram que o sstema de restauração consderado torna-se mas confável quando estratégas menos sensíves às condções ncas são usadas. Consderando estas estratégas, apesar de sua maor carga computaconal (nas smulações apresentadas, em torno de m vezes maor com relação ao DHSM), as smulações sugerem que apenas uma únca restauração é sufcente para se obter um resultado de boa qualdade, o mesmo não acontecendo com algortmos sensíves às condções ncas, os quas requerem um número ndefndo de renícos na tentatva de superar os problemas de convergênca local. REFERÊNCIAS [] H. C. Andrews e B. R. Hunt, Dgtal Image Restoraton. Englewood Clffs, New Jersey: Prentce-Hall, Inc., 977.

6 [] M. R. Banham e A. K. Katsaggelos, Dgtal Image Restoraton, IEEE Sgnal Processng Magazne, pp. 4-4, Mar [3] D. L. Angwn e H. Kaufman, Nonhomogeneous Image Identfcaton and Restoraton Procedures, In: A. K. Katsaggelos, Dgtal Image Restoraton, Sprnger Seres n Informaton Scences. New York: Sprnger-Verlag, 99, pp [4] L. W. Woods e C. H. Radewan, Kalman Flterng n Two Dmensons, IEEE Trans. on Informaton Theory, vol. IT-3, no.4, pp , July 977. [5] D. L. Angwn, Adaptve Image Restoraton Usng Reduced Order Model Based Kalman Flters, Ph.D. thess, Rensselaer Polytechnc Insttute, Troy, New York, 989. [6] Á. E. Eben, R. Hnterdng e Z. Mchalewcz, Parameter Control n Evolutonary Algorthms, IEEE Trans. on Evolutonary Computaton, vol. 3, no., pp. 4-4, July 999. [7] X. Yao, Y. Lu, G. Ln, Evolutonary Programmng Made Faster, IEEE Trans. on Evolutonary Computaton, vol. 3, no., pp. 8-0, July 999. [8] D. B. Fogel, What s Evolutonary Computaton?, IEEE Spectrum, pp. 6-3, Feb [9] W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky e W. T. Vetterlng, Mnmzaton or Maxmzaton of Functons, In:. Numercal Recpes n Pascal The Art of Scentfc Computng. Cambrdge: Cambrdge Unversty Press, 996. pp