PROGRAMAÇÃO DIÁRIA DE IMAGENS DE UM SATÉLITE DE OBSERVAÇÃO: UMA FORMULAÇÃO REDUZIDA

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1 PROGRAMAÇÃO DIÁRIA DE IMAGENS DE UM SATÉLITE DE OBSERVAÇÃO: UMA FORMULAÇÃO REDUZIDA Glaydston Mattos Rbero 1,2 e Luz Antono Noguera Lorena 2 1 Departamento de Cênca da Computação e Informátca Faculdade de Aracruz UNIARACRUZ 1,2 Laboratóro Assocado de Matemátca e Computação Aplcada Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas INPE {glaydston, RESUMO O problema da programação dára de magens de um satélte de observação consste em seleconar um subconunto de magens canddatas que mamzem uma dada função obetvo que, por sua vez, reflete a mportânca de cada magem. Entretanto, váras restrções devem ser respetadas, o que dfculta o processo de solução. Neste trabalho, é apresentada uma técnca de otmzação para redução do número de restrções e, conseqüentemente, uma nova formulação matemátca é proposta. Os resultados obtdos apresentam reduções consderáves na formulação e podem ser nteressantes para pesqusadores que estudam esse tpo de problema. Palavras-chave: Sensoramento remoto. Técncas de redução. Otmzação combnatóra. ABSTRACT The daly photographc schedulng problem of an earth observaton satellte conssts n to schedule a subset of canddate mages that mamze an obect functon whch represent a proft for each mage. However, several constrans must be respect and the soluton process becomes hard to be solved. Ths wor presents an optmzaton technque for reducton of constrants and, consequently, a new mathematcal formulaton s proposed. Our results show a large reducton for nstances of ths problem and t can be useful for researchers that are studyng ths nd of problem. Keywords: Remote sensng. Reducton technques. Combnatoral optmzaton.

2 2 INTRODUÇÃO O Brasl é o qunto maor país do mundo. Tem mas de 8,5 mlhões de qulômetros quadrados de área muto dversfcada e apromadamente qulômetros de lnha costera (SPACE IMAGING, 2005). Assm, a vsualzação de grandes áreas do espaço dá a planeadores urbanos, engenheros de telecomuncações, de concessonáras de servços públcos, de gás e petróleo e especalstas em emergêncas e stuações de calamdade, a ferramenta deal para o planeamento de um novo desenvolvmento, montoramento da nfra-estrutura estente e montoramento de mudanças e mpactos ambentas, mesmo em áreas remotas. Para obter vsualzações, são geradas magens por meo de satéltes, como é o caso do satélte Sno-Braslero CBERS-2. A geração dessas magens é possível por meo de técncas de sensoramento que estudam e defnem meos para obtenção de magens de alta resolução. Com um maor detalhamento desse tpo de nformação, os órgãos governamentas e as empresas prvadas podem admnstrar, por eemplo, o setor agrícola braslero de forma efcaz, aumentando a produção das culturas e melhorando sua produtvdade. A Fgura 1(a) apresenta de forma esquemátca o CBERS-2 e, em (b), é possível vsualzar uma magem produzda pelo CBERS-2 com nformações georreferencadas que permtem dentfcar a Cdade de Aracruz-ES. Entretanto, devdo à grande quantdade de magens a serem obtdas, surge, nesse meo, além de outros, o Problema da Programação Dára de Imagens Para um Satélte (PPDIS), que pode ser vsto como um problema de otmzação. (a) (b) Fgura 1. (a) Concepção artístca do Satélte CBERS-2 e (b) Imagem á trabalhada da cdade de Aracruz-ES, obtda pelo CBERS-2 Fonte: INPE em Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

3 3 O PPDIS é um dos problemas-chave para um satélte de observação (VASQUEZ; HAO, 2003). O obetvo desse problema é programar um subconunto de magens, que deverão ser obtdas de um conunto maor, denomnado conunto de magens canddatas. Porém, este um número grande de restrções que proíbem determnadas stuações e que dfcultam o processo de solução. A função obetvo deste problema reflete város crtéros, como a mportânca do clente, condções de demanda, prevsões meteorológcas, etc. As restrções ncluem restrções físcas, como a capacdade de armazenamento, e restrções lógcas, como a não sobreposção de magens e um tempo mínmo de transção. Com sso, este trabalho tem como obetvo apresentar uma técnca de otmzação a ser utlzada para reduzr o número de restrções geradas pelo PPDIS e, conseqüentemente, propor uma formulação reduzda para o PPDIS. Resultados mostram que as reduções são consderáves e sso pode ser útl aos pesqusadores que estudam esse tpo de problema. A próma seção apresenta uma breve revsão bblográfca sobre o PPDIS. Em seguda, é apresentada a formulação de Vasquez e Hao (2001). Após a formulação, é apresentada a técnca de redução proposta por Murray e Church (1997) para problemas modelados em grafos de confltos. Em seguda, é apresentada a formulação reduzda proposta, resultados computaconas e conclusões. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Estem na lteratura város métodos para resolver o PPDIS. Verfalle et al. (1996) apresentaram um algortmo eato denomnado Pseudo Dynamc Search, que nclu um Branch-and-Bound (B&B) dentro de um processo teratvo de solução. Esse método fo capaz de resolver quatorze nstâncas teste (as 13 nstâncas smples e 1 das 7 dfíces) que foram mas tarde apresentadas formalmente por Bensana et al. (1999). Essas nstâncas foram obtdas a partr de dados reas do programa francês CNES (Centre Natonal d Etudes Spatales) de desenvolvmento de satéltes de observação. Lemaître e Verfalle (1997) usaram programação lnear ntera e programação por restrções. Heurístcas e metaheurístcas á foram utlzadas como heurístcas Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

4 4 gulosas, Smulated Annealng e Busca Tabu (BENSANA et al., 1996). Vasquez e Hao (2001) apresentaram uma Busca Tabu que melhorou as melhores soluções conhecdas. Os autores também apresentaram uma formulação matemátca para o PPDIS. Mas tarde, Vasquez e Hao (2003) apresentaram bons lmtantes superores para esse problema, o que permtu avalar os resultados obtdos em Os lmtantes superores foram calculados usando uma representação em grafo de confltos do problema. O grafo obtdo fo partconado formando agrupamentos (clusters), em seguda, as arestas que conectam os clusters foram removdas e os subproblemas resolvdos separadamente. Ao fnal, os resultados das funções obetvos foram somados, gerando um lmtante superor. Por meo dessa técnca, Vasquez e Hao (2003) puderam demonstrar que as soluções obtdas em 2001 vararam de 0,00% a 3,45% da solução ótma, comprovando a efcênca da Busca Tabu desenvolvda. Entretanto, os tempos computaconas foram altos, varando de horas a das em um Pentum III com um B&B mplementado pelos autores. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PPDIS Sea F { f f,..., } = 1, 2 f n um conunto de magens canddatas do tpo mono e stereo, que devem ser programadas para o prómo da. Cada magem tem assocada: a) um benefíco, que representa uma sére de crtéros, como a mportânca do clente, demanda de urgênca, prevsões, dentre outros fatores; b) um tamanho, que representa o tamanho necessáro de memóra para armazenar a magem no momento em que ela é tomada; c) um conunto de possbldades que corresponde aos dferentes modos de obter a magem f : (1) para mono, que ndca três possbldades, ou sea, que a magem pode ser obtda por meo de uma das três câmeras do satélte (, y, ou z); ou (2) para stereo, que lmta em 1 o número de possbldades. Uma magem stereo necessta, smultaneamente, da câmera da frente () e da que está atrás (z). No PPDIS, estem três conuntos de restrções: Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

5 5 a) restrções bnáras (adacêncas) para alguns pares (magem, câmera), é probdo programar smultaneamente a magem f 1 na câmera e a magem f 2 na câmera y; b) restrções ternáras para alguns pares (magem, câmera), é probdo programar smultaneamente a magem f 1 na câmera, a magem f 2 na câmera y e a magem f 3 na câmera z; c) restrção de capacdade ou da mochla a soma dos tamanhos das magens programadas não pode eceder a capacdade de gravação dsponível no satélte. Com sso, o obetvo do PPDIS é encontrar um subconunto F ' de F que satsfaça todas as restrções defndas anterormente e que mamze a soma dos benefícos de cada magem em F '. Assm, sea n = F o número de magens canddatas. Cada magen mono está assocada a três pares de elementos: ( f,câmera1 ), ( f,câmera2 ) e ( f,câmera3 ). De modo smlar, cada magem do tpo stereo está assocada a um par ( f,câmera13 ). Sendo n 1 e n 2 os números, respectvamente, de magens mono e stereo em F ( n = n 1 + n2 ), este um total m = 3n1 + n2 de pares possíves de elementos. Agora, pode-se defnr uma varável de decsão bnára para cada um desses pares de elementos. Se = 1, o correspondente ao par (magem, câmera) está presente na programação, caso contráro, = 0. Sea anda g e c varáves que representam, respectvamente, o benefíco e o tamanho assocado à varável. Assm, conforme Vasquez e Hao (2001), o PPDIS pode ser formulado como: ( PPDIS ) m = Ma g = v 1 (1) Sueto a: m c CM =1 + 1 (, ) C (3) 2 (2) (,, ) C (4) (,, ) C (5) 32 { 0,1} {1,..., m} (6) Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

6 6 Onde: a) CM é a capacdade máma de armazenamento do satélte; b) C 2 é um conunto de restrções que evtam a sobreposção de magens, respeta o tempo mínmo entre duas magens sucessvas na mesma câmera e mpõe lmtações no fluo nstantâneo de dados; c) C 31 é um conunto de restrções que não podem ser epressas usando C 2 ; d) C 32 é um conunto de restrções assocadas às magens mono que evta que uma mesma magem sea tomada mas de uma vez. A restrção (2) é uma restrção da mochla; á a restrção (3) representa as restrções de adacêncas entre duas varáves; a restrção (4) apresenta restrções complementares ao conunto defndo em (3); a restrção (5) não permte que uma foto mono sea tomada mas de uma vez. Essa restrção também é uma restrção de adacênca. Por últmo, a restrção (6) garante que todas as varáves são bnáras. A formulação de Vasquez e Hao (2001) apresenta um número muto grande de restrções, nvablzando o processo de solução eata. Entretanto, Murray e Church (1997), trabalhando com o problema de mámo conunto ndependente de vértces, propuseram um conunto de restrções baseadas em clques mamas e empacotamento de vértces, que permtem reduzr o número de restrções de adacêncas em um grafo de confltos. Uma clque em um grafo G pode ser defnda como um subgrafo completo de G (HARARY, 1972), e a clque mamal é defnda, por Murray e Church (1997), como a maor clque que envolve um determnado vértce. A próma seção apresenta essa técnca de redução e uma nova formulação para o PPDIS. TÉCNICA DE REDUÇÃO Dada uma representação em grafo do PPDIS, em que cada vértce representa uma varável de decsão da modelagem de Vasquez e Hao (2001), e as arestas, as restrções de adacênca defndas em (3) e em (5), a redução proposta por Murray e Church (1997) nca-se dentfcando todas as clques mamas presentes no grafo. Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

7 7 Sea CL o conunto de vértces pertencentes à clque mamal, para = { 1,..., K}, tal que K representa o número total de clques mamas encontradas. Assm, as restrções de clques mamas podem ser epressas como: = CL 1 {1,..., K} Em seguda, a redução de Murray e Church (1997) propõe a adção de restrções de empacotamento de vértces às restrções de clques mamas. Assm, sea (7) N um conunto com todos os vértces que compartlham uma aresta com o vértce, e n um coefcente gual ao maor número de elementos de N que podem ser seleconados smultaneamente sem volar uma restrção de adacênca. Sendo assm, as restrções de empacotamento de vértces podem ser defndas como: n + N n = { 1,..., V} Onde V é o conunto de vértces do grafo. Entretanto, as restrções defndas em (7) aparecem também nas restrções de empacotamento (8), ndcando redundânca de restrções. Para evtar sso, sea Nˆ = { N, CL 1,..., K}, o conunto dos = vértces que compartlham uma aresta com, dado que a aresta (, ) não aparece em nenhuma clque mamal, e nˆ um coefcente gual ao maor número de elementos do conunto Nˆ que podem ser seleconados smultaneamente. Sendo assm, a restrção de empacotamento (8) pode ser reescrta como: nˆ + Nˆ nˆ = {1,..., V}: Nˆ Com sso, as restrções defndas em (7) e (9) podem substtur, sem perda de generaldade, o conunto de restrções de adacêncas presentes em um grafo de confltos, conseqüentemente, as restrções de adacêncas (3) e (5) do PPDIS. Para maores detalhes sobre esse processo de redução, ver Murray and Church (1997). A formulação orgnal do PPDIS pode ser reescrta como: (8) (9) ( PPDIS ) m = Ma g = v 1 m Sueto a: c CM =1 (10) (11) Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

8 8 = CL nˆ 1 {1,..., K} + Nˆ nˆ = {1,..., V}: Nˆ (12) (13) (,, ) C (14) 31 { 0,1} {1,..., m} (15) RESULTADOS COMPUTACIONAIS A formulação apresentada em (1)-(6) fo aplcada nas nstâncas teste propostas por Bensana et al. (1999), assm como a formulação reduzda apresentada em (10)-(15). Os resultados estão mostrados nas Tabelas 1 e 2, sendo: Inst: o nome da nstânca teste; Tpo 1: o número de restrções geradas por (3); Tpo 2: número de restrções geradas por (4); Tpo 3: número de restrções geradas por (5); Total 1: número total de restrções (Tpo 1 + Tpo 2 + Tpo 3); # clques mamas: número de clques mamas encontradas (restrção 12); Clque máma: tamanho da maor clque mamal encontrada; Rest. de nó: restrções de empacotamento geradas por (13); Total 2: Número total de restrções (clques mamas + restrções de nó + Tpo 2) produzdas pela formulação reduzda; Df: a dferença entre o número de restrções geradas pelas formulações (Total 1 Total 2). Pode-se perceber, nas Tabelas 1 e 2, que o processo de redução consegue dmnur bem o número de restrções. A maor redução aconteceu sobre a nstânca 1407, de para 9.806, uma redução de restrções. Para tentar garantr as soluções ótmas das nstâncas, fo utlzado o CPLEX 7.5 (ILOG, 2001), que é um solver muto conhecdo em otmzação. Os resultados estão mostrados na Tabela 3. Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

9 9 Observe que, para os problemas da Tabela 1, o CPLEX fo capaz de garantr a solução ótma para ambas as modelagens. Por outro lado, para os problemas da Tabela 2, o CPLEX apresentou dfculdades para defnr as soluções ótmas para as duas modelagens, não fechando o gap de dualdade em dez horas de eecução, com eceção da nstânca 1502, que fo resolvda. Em méda, as nstâncas foram resolvdas em 2,36s e 2,40s com a formulação de Vasquez e Hao (2001) e a formulação reduzda, respectvamente. A dferença entre os tempos não é muto sgnfcatva, pos todos os problemas são consderados smples, mesmo a nstânca Uma dferença consderável podera ser obtda nos problemas mas dfíces, porém não fo possível. Inst. Tabela 1. Resultado do processo de redução para as nstâncas smples Modelo de Vasquez e Hao (2001) Tpo Tpo Tpo Total # Clques mamas Modelo Reduzdo Clque máma Rest. de nó Tpo 2 Total Df. Inst. Tabela 2. Resultado do processo de redução para as nstâncas dfíces Modelo de Vasquez e Hao (2001) Tpo Tpo Tpo Total # Clques mamas Modelo Reduzdo Clque máma Rest. de nó Tpo 2 Total Df. Inst. Tabela 3. Resultados obtdos com o CPLEX 7.5 para o PPDIS Modelo de Vasquez e Hao (2001) Modelo reduzdo Solução Tempo (s) Solução Tempo (s) , , , ,07 Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

10 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,06 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Este trabalho apresentou uma modelagem reduzda para o problema da programação dára de magens de um satélte. A técnca utlzada permte reduzr, sgnfcatvamente, o número de restrções e sso pode aular pesqusadores da área no desenvolvmento de técncas eatas para esse problema. Por outro lado, as soluções eatas para város problemas teste na lteratura não puderam ser obtdas, usando a formulação reduzda. Isso mostra a dfculdade estente nesse problema. Com sso, a partr da modelagem reduzda, pretende-se aplcar uma relaação lagrangana com clusters (RIBEIRO, 2005) para tentar obter lmtantes melhores que os obtdos por Vasquez e Hao (2003). Além dsso, sobre a formulação reduzda, podem ser aplcadas outras metaheurístcas conhecdas como Algortmos Genétcos (LORENA; FURTADO, 2001) e Ant-Colony (DORIGO; STÜTZLE, 2004), de modo a obter resultados bons em um tempo computaconal bao, dado que a programação de magens é feta daramente nos centros de sensoramento. REFERÊNCIAS 1 BENSANA, E.; LEMAÍTRE, M.; VERFAILLIE, G. Earth observaton satellte management. Constrants, v. 4, n. 3, p , BENSANA, E.; VERFAILLIE, G.; AGNÉSE, J. C.; BATEILLE, N.; BLUMSTEIN, D. Eact and appromate methods for the daly management of an earth observaton satellte. In: PROC. OF THE INTL. SYMPOSIUM ON SPACE MISSION OPERATIONS AND GROUND DATA SYSTEMS, 1996, Munch Germany. Dsponível em: <ftp://ftp.cert.fr/pub/verfalle/spaceops96.ps>. Acesso em: 10 dez Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

11 11 3 DORIGO, M.; STÜTZLE, T. Ant colony optmzaton. EUA: MIT Press, HARARY, F. Graph theory. New Yor: Addson-Wesley, ILOG CPLEX 7.5 Reference manual. Copyrght by ILOG, France, LEMAÍTRE, M; VERFAILLIE, G. Daly management of an earth observaton satellte: comparson of Ilog solver wth dedcated algorthms for valued constrant satsfacton problems. In: PROC. OF THE ILOG INTL. USERS MEETING. 3 ND Pars France. Dsponível em: <ftp://ftp.cert.fr/pub/verfalle/log97.ps>. Acesso em: 15 dez LORENA, L. A. N.; FURTADO, J. C. Constructve genetc algorthm for clusterng problems. Evolutonary Computaton, v. 9, n. 3, p , MURRAY, A. T.; CHURCH, R. L. Facets for node pacng. European Journal of Operatonal Research, v. 101, p , RIBEIRO, G. M. Relaação lagrangana com dvsão em clusters para alguns problemas de otmzação modelados em grafos de confltos. Proposta de Tese de Doutorado em Computação Aplcada, Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas, SPACE IMAGING. Dsponível em <http://www.spacemagng.com.br/>. Acesso em: 20 un VASQUEZ, M.; HAO, J. K. A logc-constraned napsac formulaton and a tabu algorthm for the daly photograph schedulng of an earth observaton satellte. Journal of Computatonal Optmzaton and Applcatons, v. 20, p , VASQUEZ, M; HAO, J. K. Upper bounds for the SPOT 5 daly photograph schedulng problem. Journal of Combnatoral Optmzaton, v. 7, p , VERFAILLIE, G.; LEMAÍTRE, M.; SCHIEX, T. Russan doll search for solvng constrant optmzaton problems. In: NATIONAL CONFERENCE ON ARTIFICIAL INTELLIGENCE. 13 TH ed. Anas, Portland USA, p Revsta Educação e Tecnologa Ano 1 Número 2 Out/Mar 2006 Faculdade de Aracruz ES

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