8.16. Experimentos Fatoriais e o Fatorial Fracionado

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1 8.6. Expermentos Fatoras e o Fatoral Fraconado Segundo Kng (995) os arranos fatoras e fatoral fraconado estão dentre os arranos mas usados em expermentos ndustras. Veremos aqu alguns casos mas geras e smplfcados desses dos arranos, com exemplos. Neste tpo de expermento todos os fatores em estudo varam smultaneamente de forma a termos uma vsão mas realístca das operações conuntas de um processo. Dessa forma, ao nvés de estudarmos um fator por vez, como por exemplo, o fator temperatura, e seu efeto na varável resposta, podemos estudar o efeto da temperatura conuntamente com outros fatores (por exemplo, concentração de reagente, lumnosdade, etc) na varável resposta (por exemplo, qualdade sensoral do produto fnal). Essa avalação conunta permte o estudo da nteração exstente entre os fatores. Mas sobre o sgnfcados do termo nteração será dscutdo oportunamente Expermentos Fatoras Cada fator é colocado em dos ou mas valores (níves ou categoras) dependendo da stuação expermental. Na área ndustral geralmente os fatores são testados num mesmo número de níves, que vara de a 3. Uma notação convenente para esse tpo de expermento é p n, onde n corresponde ao número de fatores e p é o número de níves de cada fator. Por exemplo: Um expermento fatoral com fatores A e B, cada um com 3 níves, A, A e A 3, e B, B e B 3, respectvamente, sera representado por: expermento fatoral 3 ( 3 x 3). Veamos: nesse expermento teremos 9 3 tratamentos, que são: A B, A B, A B 3, A B, A B, A B 3, A 3 B, A 3 B, A 3 B 3. Assm, essa notação mostra o número de tratamentos (combnação dos níves dos fatores exstentes) do expermento; Se, por acaso, tvéssemos um fatoral com os tratamentos: A B, A B, A B 3, A B, A B, A B 3, teríamos dos fatores com níves dferentes. O fator A com níves, e o fator B com 3 níves. Assm, a representação sera: x 3, ou sea, fatoral x 3 ; Se temos, agora, 3 fatores, A, B e C. O fator A com 3 níves e os outros fatores com níves. Teremos, então, o fatoral 3 x x fatoral 3 x. 53

2 Os seguntes efetos podem ser estudados num expermento fatoral: (A) Efeto Prncpal: o efeto prncpal de um fator é a varação méda na resposta produzda por uma varação no nível do fator, ou sea, ao mudar o nível de um fator, ndependente do atual nível dos demas fatores, qual será a varação méda da varável resposta produzda? (B) Efetos de Interação: É o efeto smultâneo dos fatores sobre a varável em estudo. Exste nteração entre os fatores quando a dferença na resposta entre os níves de um fator não é a mesma para todos os níves dos outros fatores. máqunas). Grafcamente Teríamos: Suponha um expermento fatoral 3 x (3 operadores; Modelo Lnear para os Expermentos Fatoras Consdere um expermento fatoral com fatores, com a e b níves, segundo o delneamento nteramente casualzado, com K repetções. O modelo será: Y µ + α + β + αβ + k e k em que: Y k valor observado para a varável em estudo referente a k-ésma repetção da combnação do -ésmo nível do fator A com o -ésmo nível do fator B; µ méda geral; 54

3 α efeto do -ésmo nível do fator A no valor observado Y k ; β efeto do -ésmo nível do fator B no valor observado Y k ; αβ efeto da nteração do -ésmo nível do fator A como o -ésmo nível do fator B; e erro assocado à observação Y k. k OBS: Se o expermento fosse nstalado segundo o DBC, com K blocos, o modelo sera: Y µ + α + β + αβ + w + k em que, adconalmente: w efeto do k-ésmo bloco na observação Y k. k k e k A decomposção da varação total observada pode ser organzada no segunte quadro de análse de varânca (para o DIC): FV gl SQ QM F A b- SQA B b- SQB A*B (a-)(b-) SQAB Resíduo ab(k-) SQRes Total abk- SQTotal Tratamento por dferença SQTotal As fórmulas das Somas de Quadrados são: k Y k C onde C ( ) Y k abk SQTrat ( AB) k C em que AB é o total da combnação dos fatores A e B. A SQA C onde A é o total do nível do fator A. bk 55

4 B SQB C onde B é o total do nível do fator B. ak SQAB SQTrat SQA SQB SQ Re s SQTotal SQTrat OBS: se for DBC, precsamos da w SQBlo cos k ab k C O teste F é feto da manera usual (se efetos são fxos). Veremos aqu apenas o caso para modelo de efeto fxo. Nesse caso as hpóteses estatístcas seram: Efeto Prncpal: Interação: H 0 : m m... m H a : não H 0 H o : os fatores atuam ndependentemente H a : os fatores não atuam ndependentemente Se F F F reeta se ; calc crítco ( α g. l. numerador ; g. l. deno mn ador ) 0 ; H Se H 0 da nteração não for reetada estudar os fatores separadamente; Se H 0 da nteração for reetada estudar um fator dentro de cada nível de outro fator. OBS : Se todos os efetos, ou alguns, forem aleatóros, precsaríamos conhecer as esperanças dos quadrados médos assocados a cada fonte de varação. Nesse caso as razões usadas nos testes F não seram tão óbvas. O letor nteressado deve consultar Montgomery (997). OBS : Se o fator tem apenas níves, o teste F á é conclusvo. OBS 3: Se fator qualtatvo com mas de dos níves, pode-se aplcar teste de médas. OBS 4: Se fator quanttatvo com mas de dos níves, deve-se usar regressão. Os exemplos abaxo foram rodados no SAS e seus outputs estão dsponblzados no endereço eletrônco 56

5 Exercíco Extraído de Drumond, Werkema e Aguar, 996, v6, p64. Fatoral 3x6 (3 operadores e 6 engomaderas). Problema: na prátca estavam ocorrendo valores de y fora da fxa lmte de especfcação. Suspetas: exstam 6 engomaderas de marcas dstntas, as quas eram controladas por 3 operadores. Então podera estar havendo dferenças na forma de funconamento das engomaderas e no modo de trabalho dos operadores. Obetvo: dentfcar onde estara o problema. Pede-se: a) Realze a ANOVA; b) Realze a análse de resíduos; c) Se possível, conclua. d) Se for necessáro use o teste de Tukey para auxlar em suas conclusões. Exercíco Exemplo do Kng (data) p.33 e 84. O expermento fo conduzdo numa fábrca de tolos. Varável resposta: modulus of ruptura (MOR), que sera a resstênca do tolo. Os fatores em estudo foram: Tempo (Tme) e Temperatura (Temp) do processo de cozmento do tolo. Foram realzadas 4 repetções do expermento. Cada valor da varável rsposta fo obtda apoando-se os extremos do tolo num suporte e aplcando-se uma força crescente no seu centro até sua quebra. Pede-se: a) Realze a ANOVA; b) Realze a análse de resíduos; c) Se possível, conclua. d) Faça as análses necessáras para auxlar em suas conclusões. Apesar de ser possível delnear um expermento fatoral com qualquer número de fatores e níves de fatores, na área ndustral, prncpalmente, alguns tpos especas de expermentos fatoras são mas mportantes e freqüentemente usados. Estamos falando dos expermentos fatoras com K fatores, cada qual com apenas níves, ou sea, os expermentos fatoras K. 57

6 Aqu os níves poderão ser quanttatvos, como os valores da temperatura, pressão, ou tempo; ou eles poderão ser qualtatvos, como máqunas, ou operadores nos níves alto e baxo ou, talvez a presença ou ausênca do fator. Pressupõe-se: (A) Os fatores são fxos; (B) O delneamento é completamente casualzado; (C) A pressuposção usual de normaldade é satsfeta. Montgomery (997) enfatza que esses expermentos fatoras K são partcularmente útes nos estágos ncas de um trabalho, quando é provável exstr mutos fatores a serem nvestgados. Nesses expermentos teremos o menor número de ensaos (runs, em nglês) para que os fatores possam ser estudados num fatoral completo. Por sso esse tpo de expermento é usado na dentfcação de fatores mportantes no níco de estudos de processos. Como estamos consderando apenas níves para cada fator, deve ser assumdo que a resposta sea lnear no ntervalo escolhdo para os níves do fator. Por exemplo, consderando um únco fator: No gráfco (B) a resposta real não é lnear entre os níves do fator A estudado. Quando sso puder ocorrer, o pesqusador pode nclur pontos centras no delneamento, ou escolher outros delneamentos para avalar os efetos dos fatores. Veremos sso melhor ao falarmos de superfíce de resposta. Exemplo : P. 9 (Montgomery) Fatores: Concentração de um reagente (A) Quantdade do catalsador (B) 58

7 Resposta: Resultado da reação químca (Y) Níves do fator: A A 5%; A 5% B B undade de peso (pounds 0,5 Kg); B undades de peso Repetções: n k 3 Dados: Valores do Y obtdos Fatores Repetção Cod. Possível trat A B I II III A B Total méda 5 (5.) () 80 80/3 5 (5.) a 00 00/3 5 (5.) b 60 60/3 5 (5.) ab 90 90/3 O modelo estatístco sera: Y k µ + α + β + αβ + e k Da tabela acma, últma coluna, podemos fazer a segunte assocação: µ () ; α a ; β b ; e αβ ab, para podermos obter as estmatvas dos efetos de A, B e AB. O efeto de A pode ser obtdo como: + A Y A Y A De B: De AB: ab + a b + () n n + B Y B Y B.3.3 ( ) 8, 33 ( ) 5, 00 AB b.3.3 ( ab + () a ) ( ), 67 Observe que AB A*B, ou sea: A- B AB () - - ba ab Assm obtemos o snal de cada efeto. A metade da dferença entre a méda dos + e é o efeto deseado. 59

8 Baseado nas estmatvas dos efetos as seguntes conclusões poderam ser apresentadas: O efeto de A (concentração do reagente) é postvo. Isto ndca que aumentando-se A do nível baxo (5%) para o nível alto (5%), rá aumentar a produção ; O efeto do B (catalsador) é negatvo, sugerndo o contráro do anteror; O efeto da nteração parece ser pequeno, em relação aos efetos prncpas. Em expermentos envolvendo expermentos fatoras, K, nós examnamos a magntude e a dreção dos efetos dos fatores para dentfcar as varáves de mportânca. Uma manera mas fácl para dentfcá-las sera através da análse de varânca. Veremos sso no SAS. (a análse completa realzada no SAS está apresentada no endereço eletrônco Nesse exemplo o quadro da ANOVA sera: FV gl SQ QM F p-value A 08,33 08,33 53,5 < 0,0 B 75, ,3 < 0,0 A*B 8,33 8,33,3 0,86 Resíduo 8 3,34 3,9 Total ( n - ) 33,00 Onde n nº de observações n x x x n 4 x 3 OBS : As fórmulas para o cálculo das Somas de Quadrados são as usuas. OBS : Montgomery (997) apresenta fórmulas prátcas bastante smples para as Somas de Quadrados. No entanto, estamos magnando que tas análses serão realzadas no computador, de modo que usar ou não fórmulas prátcas sera rrelevante. O mas mportante no contexto dessa dscplna seram as nterpretações. Comparar o quadro da ANOVA acma com as saídas obtdas do computador. OBS 3: Após a dentfcação das varáves mportantes no processo, pode ser austado um modelo de regressão para que faclmente se possa obter a resposta para cada combnação de níves dos fatores mportantes. Se o modelo envolver duas varáves explcatvas, teremos os modelos de superfíce de resposta. No exemplo: 60

9 Yˆ 7,5 + 8,33 X + 5,00 X - se A 5 se A 5 - se B se B Exemplo Outro exemplo: Fatoral ³ Montgomery (997), p Estudo do efeto da porcentagem de carbonaton, A, pressão de operação, B, e velocdade da lnha de produção, C, sobre a altura de enchmento de refrgerantes A B C Rep Explcação do problema: p. 58 do lvro Incalmente pode-se rodar uma ANOVA para se avalar a sgnfcânca dos efetos. Vea o output no endereço: Posterormente podemos até austar um modelo de regressão: Yˆ β ˆ + βˆ X + βˆ X + β X + β X X ou βˆ X X. 4 ˆ 3,00 Y,00 + X,5 + X,75 + X 3 0,75 + XX Expermentos Fatoras com uma Únca Repetção pare aqu 6

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