Problemas Associados a Cones de Segunda Ordem

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1 Problemas Assocados a Cones de Segunda Ordem Dense S. Trevsol, Mara A. D. Ehrhardt, Insttuto de Matemátca, Estatístca e Computação Centífca, IMECC, UNICAMP, , Campnas, SP E-mal: Resumo: Este trabalho teve como foco o estudo de problemas SOCP (Second-Order Cone Programmng), tanto nos seus aspectos teórcos quanto prátcos. Problemas SOCP são problemas convexos de otmzação nos quas uma função lnear é mnmzada sob restrções lneares e restrções de cone quadrátco. Tvemos dos objetvos prncpas: estudar o conceto, as aplcações e os métodos de resolução de problemas SOCP, permtndo verfcar a vabldade de trabalhar com tas problemas; e verfcar na prátca o benefíco de se utlzar uma ferramenta específca de SOCP para a resolução de problemas que se enquadram nessa classe. Para a avalação prátca utlzamos um software de otmzação genérca (fmncon) e outro específco de SOCP (). Palavras-chave: Cone quadrátco, Programação convexa, Programação não-lnear 1 Introdução Problemas SOCP são problemas convexos de otmzação nos quas uma função lnear é mnmzada sobre restrções lneares e restrções de cone quadrátco. Defnmos por cone quadrátco o conjunto C = { (x,t) x R k 1,t R, x 2 t } R k. Um problema SOCP é escrto na forma: Mnmzar f T x sujeta a A x + b c T x + d, = 1,...N, onde x R n é a varável de otmzação, e os parâmetros do problema são f R n, A R (n 1) n,b R n 1,c R n, d R, F R m n, g R m. Chamamos a restrção A x + b c T x + d de restrção de cone quadrátco, ou restrção SOC, já que o conjunto de pontos que satsfazem essa desgualdade é a magem nversa de um cone quadrátco sobre a função afm f(x) = (Ax + b,c T x + d). Tratados como SOCP, mutos problemas, como por exemplo, programação lnear robusta, programação quadrátca, programação quadrátca com restrções quadrátcas, entre outros, podem ser otmzados com maor efcênca, estabelecendo um campo de pesqusa bastante amplo. Devdo à mportânca e aplcabldade do problema SOCP, podem ser encontrados softwares específcos para a sua resolução, como o [6], o SeDuM e o CVX, mantdos prncpalmente por pesqusadores e dsponblzados de forma lvre. O foco deste trabalho são problemas SOCP, tanto nos seus aspectos teórcos quanto nos seus aspectos prátcos. Como prncpas objetvos, temos: () estudar o conceto, as aplcações e os métodos de resolução de problemas SOCP, permtndo verfcar a vabldade de trabalhar com estes; e () avalar na prátca o benefíco de se utlzar uma ferramenta específca de SOCP para a resolução de problemas que se enquadram nessa classe. Esse artgo está organzado na segunte manera: a Seção 2 apresenta um estudo do método segudor de camnho para SOCP; a Seção 3 apresenta os resultados obtdos da aplcação de dos softwares em problemas teórcos e prátcos; por fm, a Seção 4 apresenta as conclusões deste trabalho. (1) 112

2 2 Um método Segudor de Camnho para SOCP Esta seção tem como objetvo fazer uma ntrodução do método segudor de camnho proposto por Nesterov e Todd [5], no qual se basea o algortmo mplementado no software. O problema (1) pode ser reescrto como Mnmzar f T x sujeta a Ax d, Fx = g. Assocada a um cone C, usaremos a ordenação parcal em R n : x C y x y C. Assm, reformulamos o problema (2): Mnmzar f T x sujeta a Ax C d, Fx = g. As condções KKT (Karush-Kuhn-Tucker [1]) deste problema são: f + λ T F + µ T A =, Ax C d, dag(µ)(ax d) =. µ C. O camnho central do problema SOCP (3) é defndo pelo conjunto de pontos que satsfazem o sstema KKT modfcado: f + λ T F + µ T A =, Ax d + s =, dag(µ)s τe =, (s,µ) > C, τ >. Um escalamento prmal-dual W é uma transformação lnear s = W T s, µ = Wµ, que mantém o cone e o camnho central nvarantes, sto é, s > C s > C, µ > C µ > C, dag(µ)s = τe dag( µ) s = τe. Se W é um escalamento, podemos escrever as equações do camnho central (5) como: s + F T A T F A x λ µ dag(w µ )w s = τe, (s,µ) > C, τ >, = onde w µ = Wµ e w s = W T s. Propredades da função barrera logarítmca fornecem um procedmento para construr um escalamento prmal-dual. O algortmo de Nesterov-Todd é baseado nas equações de camnho central, depos de ser aplcado ao problema um escalamento com uma matrz W obtda a partr da Hessana da função barrera. Para mas detalhes vde [5]. 3 Resultados Obtdos A avalação teve como foco um problema teórco, com dmensões varáves, e duas aplcações reas. O software específco utlzado para execução de problemas SOCP fo o Python Software for Convex Optmzaton [6], enquanto a função fmncon Fnd Mnmum of Constraned Nonlnear Multvarable Functon [4], natva do Matlab, fo utlzada como o software genérco. O problema teórco fo soluconado de três maneras dstntas: formato orgnal em fmncon, formato SOCP em fmncon e formato SOCP em. As aplcações reas são executadas sempre em seu formato SOCP, tanto em fmncon quanto em. Nessas smulações, 1121 f g d, (2) (3) (4) (5) (6)

3 avalamos o número de testes bem suceddos, o valor da função objetvo e a quantdade de terações. Foram utlzados o mesmo ponto ncal, vetor nulo, e os mesmos crtéros de parada nos dos softwares: gap relatvo: 1 6 ; tolerânca das restrções não lneares: 1 6 ; máxmo de terações: 5., no problema QCQP, 25. na aplcação de arranjo de antenas e 25. na aplcação garra de múltplos dedos (GRASP). Em zeramos o crtéro de gap absoluto. 3.1 Problemas Teórcos Um problema de otmzação convexa é chamado de QCQP (Quadratcally Constraned Quadratc Programmng) se a função objetvo e as restrções de desgualdade são quadrátcas e as restrções de gualdade são lneares. Um problema QCQP pode ser expresso na forma: Mnmzar x t Px + 2q t x + r sujeta a x t A x + 2b T x + c, = 1,...,N onde P R n n, A R n n, = 1,...,N, são smétrcas e semdefndas postvas, F R m n, x, q, b R n, g R m e r, c R. Tomando A = para todo, o problema QCQP acma transforma-se em um problema PQ. Logo, problemas QCQP ncluem problemas PQ, e consequentemente PL, como casos especas. Para smplfcar os cálculos trabalharemos apenas com problemas cujas matrzes P e A são defndas postvas. Tomando d = b t A 1 b c e ntroduzndo uma nova varável t, podemos escrever o problema (7) como: Mnmzar t sujeta a P 1 2x + P 1 2q t A1 2 x + A 1 2 b d, = 1,...N, o qual é um SOCP com varável de otmzação (t, x). Apresentamos problemas QCQP com varações de dmensão de matrzes e de quantdade de restrções. Geramos problemas QCQP teórcos, com objetvo de comparar os problemas em seus formatos orgnas e no formato SOCP. Foram avalados 18 problemas, com 2, 4, 6, 8, 1 ou 12 restrções. Para cada restrção varamos as dmensões de x em 2, 4, 6, 8, 1 e 12. Utlzamos 3 sementes dferentes para gerar todos os dados aleatoramente. Mostramos o desempenho dos softwares através de gráfcos. Convergênca Começamos com a análse da convergênca. A Fgura 2 nos mostra problemas que possuem quantdade de restrções gual a dmensão de x. Para estes casos, e fmncon com problema no formato SOCP realzaram todas as execuções com sucesso, já fmncon usando o formato orgnal não obteve convergênca em alguns problemas com 12 restrções. A Fgura 1 apresenta o número de testes bem suceddos de todos os problemas com varações de restrções e dmensões. Podemos observar que convergu em todos os problemas; fmncon usando o formato SOCP falhou em alguns problemas com dmensões maores ou guas a 8 e fmncon, usando o formato orgnal falhou em alguns problemas de todas as dmensões. Concluímos que fo o mas robusto. Iterações A análse de terações fo feta apenas com os problemas que obtveram testes bem suceddos. Prmero analsamos problemas que possuem quantdade de restrções gual a dmensão de x. Através da Fgura 2 verfcamos que para estes casos fmncon usando o formato orgnal, apresenta um desempenho muto abaxo dos demas, os quas, por sua vez, têm um comportamento parecdo. Já analsando a Fgura 3, que nos mostra todas as varações de restrções e 1122 (7)

4 5 4 restrções=1 5 4 restrções=1 5 4 restrções= (c) Fgura 1: por varação da dmensão de x e da quantdade de restrções em problema orgnal em fmncon, problema SOCP em fmncon, (c) 5 4 orgnal SOCP 12 1 orgnal SOCP Fgura 2: Problemas QCQP com número de restrções = n por testes bem suceddos, número de terações restrções= restrções= restrções= (c) Fgura 3: Número de terações por varação da dmensão de x e com varação das restrções em problema orgnal em fmncon, problema SOCP em fmncon, (c) dmensões, podemos perceber que exste uma dferença sgnfcatva na quantdade de terações realzadas por fmncon, formato SOCP, e por. Este últmo tem o melhor desempenho. 3.2 Problemas Reas Arranjo de Antenas Descrção do problema Em um arranjo de antenas, as captações de város sensores são lnearmente combnadas para produzr um snal mas apurado. É possível varar o foco dreconal de captação através do ajuste dos pesos relatvos (fatores escalares) utlzados no processo de combnação das saídas dos sensores. O objetvo é estabalecer os pesos que satsfaçam os requstos do fexe de ondas específco a ser captado de manera ótma. Consderemos o modelo mas smples, um arranjo omndreconal de antenas em um plano, nas posções (x j,y j ), j = 1,...n. Uma únca onda, de frequênca ω, ncde com ângulo θ. Assummos que o comprmento de onda é λ = 2π. Esta onda ncdente nduz no j-ésmo sensor um 1123

5 snal exp((x j cosθ +y j senθ ωt)), onde = 1. Este snal é demodulado, sto é, multplcado por e ωt e então multplcado por um fator complexo w j C. Assm, consderando γ j (θ) = x j cosθ + y j senθ, temos y j = (w re,j cosγ j (θ) w m,j senγ j (θ)) + (w re,j senγ j (θ) + w m,j cosγ j (θ)). A saída do arranjo de antenas é a soma das saídas ponderadas dos sensores, y(θ) = n j=1 y j(θ). Para um dado conjunto de pesos, estas saídas combnadas são uma função do ângulo de chegada θ da onda. O objetvo do problema é seleconar os pesos w que alcancem uma dreção padrão y(θ) desejável. A propredade fundamental é que, para qualquer θ, y(θ) é uma função lnear do vetor peso w. Esta propredade é verdadera para uma classe muto ampla de problemas de arranjos e utlzaremos o caso y(θ) = a(θ)w para algum vetor lnha complexo a(θ). Como exemplo de problema de um projeto smples, podemos utlzar a normalzação y(θ t ) = 1, onde θ t é chamado de dreção de destno. Se tvermos como objetvo fazer um arranjo relatvamente nsensível a ondas provenentes de outras dreções, teremos θ θ t, onde 2 é chamado de largura de fexe do padrão. Para mnmzar a maor sensbldade de ondas fora do fexe, resolvemos o problema: Mnmzar max θ θ t > sujeta a y(θ t ) = 1. Este problema pode ser aproxmado por um problema SOCP dscretzando o ângulo θ, por exemplo, consderando θ 1,...,θ m, onde m >> n. Assummos que a dreção de destno é um dos ângulos, tomemos θ t = θ k. O problema (8) pode ser expresso da segunte forma: Mnmzar t sujeta a y(θ ) t θ θ k > y(θ k ) = 1, o qual torna-se um SOCP quando é expresso em termos das partes reas e magnáras das varáves e dos dados [3]. Resultados expermentas Geramos 87 problemas, com n = 4,...,32 sensores e utlzamos 3 sementes dferentes para gerar aleatoramente os dados. Mostramos o desempenho dos softwares através de gráfcos. Convergênca A Fgura 4 nos mostra que convergu em todos os problemas testados, mostrando robustez. Já fmncon convergu para uma quantdade menor de problemas com mas de 15 sensores. (8) (9) Número de sensores Número de sensores Fgura 4: Problemas de arranjo de antenas com varação do número de sensores por testes bem suceddos, número de terações Iterações Para análse da quantdade de terações, utlzamos apenas os dados dos problemas que obtveram testes bem suceddos. Pela Fgura 4, podemos perceber que o número de terações 1124

6 de mantem-se aproxmadamente constante, com médas de 13 terações para 4 sensores e 17 terações quando utlzados 32 sensores. Já no caso do fmncon, exste uma grande varação, e o número de terações passa de 95 nas smulações com 32 sensores Garras Múltplos Dedos - Grasp Descrção do problema Este problema trata de uma garra múltplos dedos, também conhecda por mão mecânca, que deve agarrar um objeto de forma estável, o mas suave possível. Consderamos um corpo rígdo segurado por N dedos de um robô. Para smplfcar as fórmulas assummos que o centro de massa do corpo está na orgem. Os dedos exercem forças de contato em pontos dados: p 1,...,p N R 3. O vetor normal à superfíce no -ésmo ponto de contato é dado pelo vetor untáro v R 3 e a força aplcada no ponto é dada por F R 3. Cada força de contato F é decomposta em duas partes: uma componente v T F v normal à superfíce, e uma componente (I v v T )F, a qual é tangente à superfíce. Assumremos que a componente tangente ocorre pelo atrto estátco e sua magntude não pode exceder o produto da magntude da componente normal com o coefcente de atrto µ >. Por fm, assummos que forças e torques externos agem sobre o corpo. Isso é equvalente a uma únca força externa F ext agndo na orgem (que é o centro de massa do corpo) e um torque externo T ext. O objetvo do problema é encontrar forças de contato F que satsfaçam as restrções de atrto, as restrções de equlíbro estátco, e certos lmtes nas forças de contato, por exemplo, um lmte superor v T F F max na componente normal. É possível seleconar um conjunto partcular de forças por um certo crtéro de otmzação. Por exemplo, podemos calcular a pegada mas suave possível, sto é, o conjunto de forças F que realza uma pegada estável e mnmza o máxmo da força normal nos pontos de contato, resolvendo o SOCP Mnmzar t sujeta a v TF t, = 1,...,N, (I v v TF µv TF, = 1,...,N, N F + F ext =, N p F + T ext =. Para mas detalhes de otmzação da força de uma mão mecânca, vde [7] e [2]. Resultados expermentas Geramos 87 problemas, com N = 4,...,32 dedos e utlzamos 3 sementes dferentes para gerar aleatoramente os dados. Mostramos o desempenho dos softwares através de gráfcos. Convergênca (1) Número de dedos Número de dedos Fgura 5: Problemas de garras múltplos dedos com varação do número de dedos por testes bem suceddos, número de terações A Fgura 5 nos mostra que convergu em todos os problemas testados, mostrando robustez. Já fmncon falhou em alguns dos problemas. 1125

7 Iterações Para análse da quantdade de terações, utlzamos apenas os dados dos problemas que obtveram testes bem suceddos. Pela Fgura 5, podemos perceber que o número de terações de mantem-se aproxmadamente constante, enquanto que em fmncon vara de forma desordenada. Outra nformação deste gráfco é a dferença entre o número de terações nos dos softwares: apresenta um número de terações bem nferor a fmncon, varando entre 2 e 5 vezes menos terações. 4 Conclusões Através da análse da convergênca observamos que mostrou robustez, realzando todos os expermentos com sucesso enquanto o fmncon mostrou falhas de convergênca em problemas dos três tpos estudados. A análse de terações fo feta apenas com os dados dos problemas que obtveram testes bem suceddos. Observou-se que em todos os problemas analsados, o número de terações de manteve-se abaxo do número de terações na execução com o fmncon, uma varação que chegou a algumas centenas de vezes no expermento envolvendo arranjo de antenas. Observou-se anda que, ao contráro das execuções com fmncon, onde a varação do tamanho do problema levava a uma varação sngfcatva no número de terações necessáras, os problemas quando executados no mantveram pratcamente o mesmo número de terações. Dante dos resultados obtdos, podemos conclur que a reformulação de um problema de otmzação no formato SOCP, quando possível, mostra-se bastante vantajosa. Além dsso, é recomendada a utlzação de uma ferramenta específca de SOCP, como o. A resolução dos problemas com o fmncon mostrou-se muto menos efcente, por essa ferramenta ser genérca, e não explorar as especfdades de SOCP. Referêncas [1] Bazaraa, M. S. Sheral; H. D.; Shetty, C. M. Nonlnear Programmng - Theory and Algorthms. John Wley and Sons, Inc., New Jersey, 3rd edton, 26. [2] Han, L. ; Trnkle, J. C.; L, Z. Grasp analyss as lnear matrx nequalty problems. IEEE Transactons on Robotcs and Automaton, vol. 16, pp , [3] Lobo, M. S. ; Vandenberghe, L. ; Boyd, S. ; Lebret, H. Applcatons of second-order cone programmng. Lnear Algebra and ts Applcatons, vol. 284, pp , [4] MathWorks. Fnd mnmum of constraned nonlnear multvarable functon. URL: Acessado em: 11/4/211. [5] Nesterov,Y.E.; Todd, M.J. Self-scaled cones and nteror-pont methods n nonlnear programmng. In Workng Paper, CORE, Catholc Unversty of Louvan, [6] Vandenberghe, L. Python software for convex optmzaton. URL: 21. Acessado em: 11/4/211. [7] Vanderberghe, L. ; Boyd, S. Socp: Software for second-order cone programmng. Laboratory Stanford Unversty,

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