UM NOVO ALGORITMO GENÉTICO PARA A OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS DE INVESTIMENTO COM RESTRIÇÕES DE CARDINALIDADE

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1 Unversdade Estadual de Campnas Insttuto de Matemátca, Estatístca e Computação Centífca Departamento de Matemátca Aplcada DISSERTAÇÃO DE MESTRADO UM NOVO ALGORITMO GENÉTICO PARA A OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS DE INVESTIMENTO COM RESTRIÇÕES DE CARDINALIDADE Carlos Henrque Das Prof. Dr. Francsco de Asss Magalhães Gomes Neto - orentador Campnas, SP Março/008

2 FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP Bblotecára: Crsllene Queroz Custódo CRB8a 6/005 D543n Das, Carlos Henrque Um novo algortmo genétco para a otmzação de carteras de nvestmento com restrções de cardnaldade / Carlos Henrque Das -- Campnas, [S.P. : s.n.], 008. Orentador : Francsco de Asss Magalhães Gomes Neto Dssertação (Mestrado) - Unversdade Estadual de Campnas, Insttuto de Matemátca, Estatístca e Computação Centífca.. Otmzação de Carteras de Investmento.. Algortmos genétcos. 3. Restrções de cardnaldade. I. Gomes Neto, Francsco de Asss Magalhães. II. Unversdade Estadual de Campnas. Insttuto de Matemátca, Estatístca e Computação Centífca. III. Título. (cqc/mecc) Título em nglês: A new genetc algorthm for portfolo optmzaton wth cardnalty constrants Palavras-chave em nglês (Keywords):. Portfolo optmzaton.. Genetc algorthms. 3. Cardnalty constrants Área de concentração: Otmzação Ttulação: Mestre em Matemátca Aplcada Banca examnadora: Prof. Dr. Francsco de Asss Magalhães Gomes Neto (IMECC/UNICAMP) Profa. Dra. Vtóra Mara Mranda Pureza (DEP/UFSCar) Profa. Dra. Márca Aparecda Gomes Ruggero (IMECC/UNICAMP) Data da defesa: 6/03/008. Programa de Pós-Graduação: Mestrado em Matemátca Aplcada

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5 AGRADECIMENTOS Agradeço prmeramente a DEUS por sempre atender mnhas preces e permtr a realzação desta grande conqusta. Em segundo, quero agradecer à mnha nova Vanessa que sempre me apoou e compreendeu o sgnfcado da matemátca para mm. Peço desculpas pelos números fnas de semana que dexe de estar ao seu lado para estudar. Sou muto grato a sua famíla que sempre me tratou muto bem. Aos meus país e rmã não se nem como agradecer, agradeço a DEUS por ter uma famíla tão maravlhosa que sempre me apoou em meus estudos, mesmo não entendendo muto bem do que se tratava. Agradeço ao meu orentador e amgo Chco, que sempre acredtou em meu trabalho, mesmo não sendo um de seus melhores alunos. Sou muto grato pela sua grande pacênca e boa vontade em soluconar mnhas dúvdas. Sou grato aos meus amgos Pedro e Rodrgo por sempre se dsporem a ajudar-me quando precse. Agradeço novamente ao Pedro por fornecer-me os resultados obtdos em seu trabalho de dssertação mestrado. Fnalmente, agradeço a todos os meus amgos e parentes que sempre torceram pelo meu sucesso. v

6 RESUMO Este trabalho tem por fnaldade a determnação da frontera efcente de nvestmento através da otmzação do modelo de méda-varânca com restrções de cardnaldade e lmte nferor de nvestmento. Por tratar-se de um problema ntero e não lnear, cuja solução exata é de dfícl obtenção, optamos por empregar um algortmo genétco, na lnha desenvolvda por Chang et al. [3], que até hoje serve como referênca para a determnação da frontera efcente de Pareto para problemas de otmzação de nvestmentos. Entretanto, verfcamos que o algortmo proposto por Chang et al. apresenta uma dstrbução não unforme na geração de soluções aleatóras. Para contornar esse problema, ntroduzmos um novo esquema de geração de cromossomos, baseado na dscretzação do espaço, que permte a geração de soluções que satsfazem dretamente a restrção de montante total aplcado. Com essa nova abordagem, fo possível defnr operadores de seleção, crossover e mutação bastante efcentes. Os resultados obtdos mostram que o novo algortmo é mas robusto que aquele proposto por Chang et al. Palavras-chave: Otmzação de Carteras de Investmento. Algortmo Genétco. Restrção de Cardnaldade. x

7 ABSTRACT In ths work we consder the problem of determnng of the effcent fronter of a portfolo usng the mean-varance model subject to a cardnalty constran and to lower bounds on the amount nvested n the selected assets. As ths nonlnear nteger programmng problem s hard to solve exactly, we use an genetc algorthm, followng the lnes descrbed by Chang et al. [3], stll consdered as a reference n the feld. However, as the feasble solutons generated by the algorthm of Chang et al. are not unformly dstrbuted over the soluton set, we ntroduce a new scheme for defnng the chromosomes, based on the dscretzaton of the feasble regon, so that the amount nvested always sum up to one for every soluton obtaned by the algorthm. Ths new approach allows us to defne very effcent selecton, crossover and mutaton procedures. The numercal results obtaned so far show that the new method s more robust than the one proposed by Chang et al. Keywords: Portfolo Optmzaton. Genetc Algorthms. Cardnalty Constrants. x

8 SUMÁRIO RESUMO... x ABSTRACT... x INTRODUÇÃO... O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ...5. INTRODUÇÃO...5. MODELO DE MARKOWITZ Méda de retorno dos atvos Varânca da méda de retorno dos atvos Covarânca entre os atvos Méda de retorno de um portfolo Varânca da méda de retorno do portfolo O modelo méda-varânca de Markowtz A FRONTEIRA EFICIENTE DE INVESTIMENTOS CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS SOBRE O MODELO DE MÉDIA-VARIÂNCIA....5 FRONTEIRA EFICIENTE DE INVESTIMENTOS MODELO RESTRITO OS PONTOS INVISÍVEIS...5 PROPOSTA DE CHANG PARA A DETERMINAÇÃO DA F.E.I..... INTRODUÇÃO.... O ALGORITMO GENÉTICO....3 O ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO POR CHANG ET ALII Representação da solução Geração da população ncal Crossover Mutação Seleção Aptdão Algortmo genétco proposto por Chang et al ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO DE SIMPLEX PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS A DISTRIBUIÇÃO NÃO UNIFORME NO ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES INTRODUÇÃO O MÉTODO UTILIZADO PARA A DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO A dvsão dos smplex em camadas A contagem das camadas A determnação das coordenadas de centro do hpercubo...46 x

9 4.3 UM EXEMPLO DO MÉTODO DE DISCRETIZAÇÃO EM TRÊS DIMENSÕES EVITANDO PONTOS INFACTÍVEIS A BOA DISTRIBUIÇÃO GERADA PELO MÉTODO DE DISCRETIZAÇÃO UM NOVO ALGORITMO GENÉTICO INTRODUÇÃO NOVO ALGORITMO GENÉTICO PARA DETERMINAÇÃO DA F.E.I Representação Geração da população ncal Crossover Mutação Seleção O algortmo REFORMULAÇÃO DA LOCALIZAÇÃO DOS HIPERCUBOS O ERRO ASSOCIADO À DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO REFORMULAÇÃO DO MÉTODO DE LOCALIZAÇÃO DOS HIPERCUBOS Localzação por camadas ALTERAÇÃO NO NOVO ALGORITMO GENÉTICO Representação Geração da população ncal RESULTADOS COMPUTACIONAIS INTRODUÇÃO OS PROBLEMAS IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO DE CHANG ET ALII PÂRAMETROS DE ENTRADA DO NOVO ALGORITMO GENÉTICO COMPARAÇÃO COM O ALGORITMO DE CHANG ET ALII Prmera nstânca - Hang Seng Análse dos resultados obtdos pelas duas propostas Instânca Hang-Seng Segunda nstânca - DAX Análse dos resultados obtdos pelas duas propostas Instânca DAX Tercera nstânca FTSE Análse dos resultados obtdos pelas duas propostas Instânca FTSE Quarta nstânca S&P Análse dos resultados obtdos pelas duas propostas Instânca S&P Qunta nstânca Nkke Análse dos resultados obtdos pelas duas propostas Instânca Nkke A QUALIDADE DA SOLUÇÃO ENCONTRADA A INFLUÊNCIA DO TAMANHO DA CARTEIRA A INFLUÊNCIA DA POPULAÇÃO INICIAL ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS UMA TENTATIVA DE MELHORA...04 CONCLUSÕES...07 REFERÊNCIAS...09 xv

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11 INTRODUÇÃO O problema de otmzação de carteras de nvestmento consste na seleção de um conjunto de atvos que dê ao nvestdor um retorno esperado, mnmzando o rsco. Deste modo, a cartera de nvestmento (portfolo) pode ser composta por város atvos do mercado fnancero, em dferentes quantdades. Para alguns nvestdores, a montagem de uma cartera de nvestmento tem como objetvo prncpal a dmnução do rsco assocado à varação dos preços dos atvos. Já outros nvestdores, que preferem um ganho um pouco maor, montam sua cartera de forma a manter um nível de retorno, evtando grandes rscos. Obvamente, exstem também os nvestdores arrojados, aqueles que montam sua cartera apenas vsando os ganhos, ou seja, sem dar mportânca ao rsco. Em suma, o problema de otmzação de carteras de nvestmento possu uma varável que somente o nvestdor pode fornecer, que é a dsposção que cada um tem para o rsco. Desta forma, os modelos de otmzação de carteras de nvestmento devem ser capazes de fornecer não uma, mas uma famíla de soluções ótmas, ou seja, uma frontera efcente de nvestmento. A frontera efcente de nvestmento é uma curva que mostra ao nvestdor quas são os possíves ganhos para város níves de rsco. Assm, a solução de um modelo de otmzação de carteras de ações será útl para qualquer tpo de nvestdor: arrojado, conservador, etc. Fca claro, então, que uma das grandes utldades da frontera efcente de nvestmento é fornecer ao

12 nvestdor as melhores soluções de forma que este possa escolher o melhor nvestmento conforme sua aversão ao rsco. O desenvolvmento de modelos de otmzação de portfolos teve orgem na área econômco-fnancera. Uma das prncpas contrbuções nesta área fo o modelo de Méda- Varânca proposto por Markowtz [], que teve, e anda tem, uma boa acetação por parte dos nvestdores, pos utlza prncípos bem smples de análse do passado para determnar o futuro, além de mostrar que o retorno esperado e a volatldade (ou rsco) dos prováves retornos são aspectos crucas na defnção da cartera ótma. O modelo méda-varânca de Markowtz passou por dversas modfcações, em váras lnhas. Por exemplo, Konno [9] propôs um modelo de otmzação de carteras de nvestmento usando uma função lnear por partes que mede o desvo absoluto da méda de retorno de cada um dos atvos, ou seja, sem utlzar a covarânca. Este modelo tem a vantagem de exgr apenas a resolução de um problema de programação lnear, ao nvés de trabalhar com um problema quadrátco, como na formulação de Markowtz. Entretanto, Mtra et al. [5] julgam que este benefíco não supera a perda de um meddor de rsco como a covarânca. Tentando melhorar a mensuração do rsco, Konno & Suzuk [0] e Markowtz et al. [3] trabalharam com funções objetvo mas complexas, baseadas nas noções de skewness e sem-varânca, respectvamente. A necessdade de tornar os modelos mas próxmos da realdade do mercado de ações fez com que restrções mas complexas fossem nserdas no modelo de méda-varânca. Conseqüentemente, gerou-se um aumento na dfculdade da resolução destes modelos por métodos exatos. Com a crescente complexdade dos modelos, alguns dos quas classfcados como NP-Dfíces, dversos autores procuraram utlzar os algortmos meta-heurístcos para resolução dos problemas de otmzação. É nessa lnha que se destaca o artgo de Chang et al. [3], um dos mas ctados na determnação da frontera efcente de nvestmento, que propõe três Skewness é uma medda de smetra de dados, usada porque, segundo Konno et al., as taxas de retorno dos nvestmentos não são smetrcamente dstrbuídas. Sem-varânca é uma medda assmétrca de rsco que leva em conta a varânca somente para retornos abaxo de um lmte pré-estabelecdo.

13 3 meta-heurístcas (algortmos genétcos, busca tabu e têmpera smulada) para a resolução de seu modelo de otmzação, composto por varáves nteras e reas. Outras propostas envolvendo modelos de programação ntera foram fetas por Rolland [7] e Schaerf [8], que utlzam a busca tabu, por Kellerer & Marnger [8], que utlzam uma estratéga híbrda que combna prncípos da têmpera smulada com os algortmos evoluconáros, e por d Gaspero et al. [6] e Moral-Escudero et al. [6] que também utlzam uma estratéga híbrda, porém combnando algortmos meta-heurístcos com um algortmo exato de programação quadrátca. Neste trabalho, concentramo-nos na formulação de um novo algortmo genétco para a determnação da frontera efcente de nvestmento. No próxmo capítulo, fazemos uma ntrodução ao modelo de Markowtz e à frontera efcente. O capítulo é devotado ao algortmo de Chang et al [3]. Uma breve dscussão sobre o espaço de soluções e as desvantagens do método de Chang et al é apresentada no capítulo 3. No capítulo 4, mostramos como dscretzar o espaço de soluções, técnca que serve de base para um novo algortmo genétco, proposto no capítulo segunte. No capítulo 6, descrevemos uma reformulação da estratéga de representação das soluções factíves, com o propósto de acelerar o algortmo. Fnalmente, o capítulo 7 apresenta os resultados obtdos com a aplcação do novo algortmo a problemas reas, além de uma análse comparatva que mostra que este novo algortmo é bem melhor que aquele proposto por Chang et al.

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15 CAPÍTULO O MODELO MÉDIA- VARIÂNCIA DE MARKOWITZ. INTRODUÇÃO O modelo de Markowtz [] é um modelo de otmzação mult-objetvo usado para equlbrar o retorno esperado e o rsco de um portfolo, ou cartera de nvestmento, que é o conjunto de atvos fnanceros nos quas se nveste. Para um nvestdor, o retorno e a nstabldade de atvos são aspectos crucas na escolha de um portfolo. Markowtz usa meddores estatístcos de esperança e varânca de retorno para descrever, respectvamente, os benefícos e os rscos assocados a um nvestmento. Deste modo, o objetvo pode ser mnmzar o rsco para um dado nível de retorno ou maxmzar o retorno para um dado nível de rsco. 5

16 6 CAPÍTULO. O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ. MODELO DE MARKOWITZ Em geral, os atvos que compõem o mercado fnancero possuem um hstórco de retorno. Markowtz utlza este hstórco para construr seu modelo de méda-varânca. Este modelo é baseado no emprego de meddores estatístcos de méda de retorno e de varânca, tanto para os atvos e quanto para os portfolos. Estes meddores são descrtos a segur. Para mas detalhes, vde Luenberger []... Méda de retorno dos atvos. A méda de retorno dos atvos, em termos estatístcos, é representada pela esperança de retorno que cada um dos atvos possu, ou seja, E T T t ( r ) =, r t= onde t r é o retorno do atvo no período t e T é o número de períodos consderados. Por smplcdade, adotaremos o termo μ para representar a méda de retorno de um atvo... Varânca da méda de retorno dos atvos. Infelzmente, a méda de retorno não é sufcente para a escolha de um nvestmento, uma vez que alguns atvos, embora tenham uma boa méda de retorno, podem possur uma

17 .. MODELO DE MARKOWITZ 7 varação muto acentuada de preços. Um bom meddor de varação de dados é o desvo padrão, que é dado por σ = T r t= T t ( μ ). Para smplfcar o modelo de otmzação, o meddor de varação de dados usualmente utlzado é a varânca, que nada mas é que o desvo padrão ao quadrado, ou seja, σ = T r t= T t ( μ )...3 Covarânca entre os atvos. Como quasquer dos atvos que compõem o mercado fnancero podem possur uma correlação, torna-se necessára a utlzação de um meddor de relação mútua entre duas varáves. O meddor mas comumente empregado é a covarânca. A covarânca entre um atvo e um atvo j é dada por σ j = T T t t ( r μ )( rj μ j ). t= Obvamente, a covarânca entre um atvo e ele própro é a varânca, ou seja, σ = σ. A covarânca também pode ser determnada pelo coefcente de correlação ρ j, que também é um meddor de relação mútua entre duas varáves, com a dferença que [, ] ρ. Para descrever a covarânca entre um atvo e um atvo j em função do coefcente de correlação, usamos j σ = ρ σ σ. j j j (.)

18 CAPÍTULO. O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ 8..4 Méda de retorno de um portfolo. Embora tenhamos tratado, até agora, da méda de retorno de um atvo, também é possível determnar a méda de retorno de uma cartera de nvestmento, ou seja, a méda de retorno do nvestmento feto em um conjunto de atvos. O retorno para cada um dos T períodos de um dado nvestmento é onde w é a proporção de nvestmento no atvo. Logo, a méda de retorno do portfolo nos T períodos é Como, para o cálculo da méda de retorno do portfolo, as proporções de nvestmento w são as mesmas em todos os períodos, temos (.) Portanto, como a méda de retorno de cada atvo, μ, ndepende da proporção de nvestmento, w, é possível determnar as proporções escolhendo apenas um nível de retorno, T N N T T T N N N N r w w r w r r r w w r w r r r w w r w r r K M M M M K K + + = + + = + + = = = T t t r T r.. = = = = = N N T t t w r T w r μ

19 .. MODELO DE MARKOWITZ 9 para a cartera de nvestmento. As proporções de nvestmento no modelo de Markowtz são determnadas, desta mesma forma, a partr de um nível de retorno...5 Varânca da méda de retorno do portfolo. Além de determnar a méda de retorno de um portfolo, é mportante calcular a varânca deste retorno, que é dada por Usando a defnção de t r e a equação (.), obtemos (.3) Este resultado mostra como a varânca da méda de retorno do portfolo pode ser calculada a partr da covarânca dos retornos dos atvos. A esta medda de varação de retorno, representada por σ, damos o nome de rsco de nvestmento do portfolo. ( )( ) ( )( ).,,, = = = = = = = = N j j j N j T t j t j t j T t N j j t j t j w w r r T w w r r w w T σ μ μ μ μ ( ) = = T t t r r T. σ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).,,, j N j j T t j t j t N j j T t N j j t j t j T t N j j t j j N t T t t N T t N t N w w r r T w w r r w w T r w r w T r w T w w r T σ μ μ μ μ μ μ μ μ σ = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

20 0 CAPÍTULO. O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ..6 O modelo méda-varânca de Markowtz. O modelo méda-varânca de Markowtz tem como objetvo a mnmzação do rsco, dado por (.3), mantendo gual a R a méda de retorno do portfolo, dada em (.). Assm, supondo que o mercado fnancero possua N atvos dsponíves para nvestmento e que um nvestdor deseje obter um retorno R, o modelo clássco de médavarânca proposto por Markowtz para este tpo de problema será mn w s. a N N = j = N w w σ w μ = R = N w = = 0 w, =, K, N, j j (.4) onde w é o proporção de nvestmento no atvo, μ é o retorno esperado no atvo, e σ j é a covarânca entre os atvos e j. Com a resolução do modelo (.4) para város níves de retorno R, é possível montar uma frontera efcente de nvestmentos, ou lnha crítca de nvestmento (vde Mtra et al. [5]), conforme mostrado na Fgura..3 A FRONTEIRA EFICIENTE DE INVESTIMENTOS A frontera efcente de nvestmento (F.E.I.) ou frontera efcente de Pareto é uma curva não decrescente que contém as melhores possbldades de conclação entre rsco e retorno.

21 .3. A FRONTEIRA EFICIENTE DE INVESTIMENTOS Na Fgura apresentamos uma frontera efcente de nvestmento traçada a partr de atvos da bolsa de valores do Reno Undo. Retorno Portfolo seleconado contendo atvo. Portfolo seleconado contendo 30 atvos. Rsco - varânca Fgura F.E.I. dos atvos da bolsa de valores do Reno Undo (UK FTSE). Fonte: T. J. Chang, N. Meade, J.E. Beasley, Y.M. Sharaha; Heurstcs for cardnalty constraned portfolo optmsaton. Computers & Operatons Research 7: 000, p. 8. Na Fgura, o exo das ordenadas representa a méda de retorno do portfolo e o exo das abscssas a varânca da méda de retorno (ou rsco) do portfolo. A curva da Fgura mostra as dversas possbldades de nvestmento em termos do retorno esperado e da aversão ao rsco. Em geral, se o nvestdor tem aversão ao rsco, deverá procurar uma cartera que possua uma grande dversfcação de atvos. Por outro lado, se o nvestdor é mas audaz, normalmente optará por uma cartera pouco dversfcada. Observa-se, assm, a utldade da frontera efcente de nvestmento na análse prátca das condções do mercado fnancero. Outro modelo muto utlzado na prátca para a determnação da frontera efcente de nvestmento é o modelo parametrzado, defndo por mn w s. a λ N = j= N = N w 0 w w w σ ( λ) j = j N =, =, K, N, w μ (.5)

22 CAPÍTULO. O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ onde λ [0, ] é o parâmetro que determna o nível de acetação de rsco. Para valores de λ próxmos de zero, o rsco é consderado pouco mportante, de modo que o nvestdor está mas preocupado, neste caso, com o retorno. Já valores de λ próxmos de um evdencam um nvestdor mas preocupado com rsco que com o retorno. Assm, a escolha do λ deve ser feta de forma a consderar a preocupação que cada nvestdor tem com o rsco e com o retorno. No modelo (.5), a frontera efcente de nvestmento é construída a partr da varação de λ. Na prátca, os valores de λ são determnados a partr da partção do ntervalo [ 0,]. Consderando, por exemplo, o número de partções gual a E, temos E λ 0,,, L,. E E E Como fo observado por Chang et al. [3], a frontera efcente obtda pelo modelo clássco (.4) é exatamente gual àquele obtda a partr do modelo parametrzado (.5)..4 CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS SOBRE O MODELO DE MÉDIA-VARIÂNCIA O modelo de méda-varânca descrto anterormente fornece uma formulação matemátca adequada para o problema de decsão de nvestmento em sua forma mas geral. Porém, em stuações reas, é necessáro consderar alguns aspectos prátcos como o desejo do nvestdor em montar uma cartera com um número pré-estabelecdo de atvos (restrção de cardnaldade), ou o estabelecmento, pelo mercado fnancero, de uma proporção mínma de nvestmento em determnados atvos, ou anda a venda de ações somente em lotes. Embora mutas outras restrções estejam presentes no mercado real, vamos consderar, neste trabalho, apenas as restrções de cardnaldade e de lmte mínmo de proporção de nvestmento, dadas, respectvamente, por

23 .5. FRONTEIRA EFICIENTE DE INVESTIMENTOS MODELO RESTRITO 3 e N = z = K w ε z, =, K, N, (.6) (.7) onde z é uma varável bnára que vale zero se o atvo não pertence à cartera e vale se o atvo pertence à cartera, K é o número de atvos que a cartera deverá possur e ε é a fração mínma do montante dsponível que deve ser nvestda no atvo, caso este faça parte da cartera. Adconando as restrções (.6) e (.7) ao modelo parametrzado (.5), obtém-se mn w s. a λ N = j= = = w z N N N z w w w σ = = K ε z j, j ( λ) = =, K, N. { 0, }, =, K, N. N w μ (.8).5 FRONTEIRA EFICIENTE DE INVESTIMENTOS MODELO RESTRITO Da mesma forma como fo feto para o modelo sem restrção de cardnaldade, podemos traçar a frontera efcente para o modelo restrto a partr da varação do valor de λ. Porém, apesar desta curva contnuar sendo não decrescente, como a do modelo (.4), ela não é mas contínua. Para lustrar esta curva, consderemos o segunte exemplo. Suponha que exstam quatro tpos de atvos dsponíves para nvestmento, com méda de retorno, desvo padrão e coefcente de correlação conforme a Tabela.

24 4 CAPÍTULO. O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ Tomemos a restrção de cardnaldade K = (a cartera poderá ser composta somente por dos atvos) e desconsderemos a exstênca de lmte mínmo de proporção de nvestmento para cada um dos atvos. Consderando todos os possíves valores dos coefcentes construímos todas as possíves combnações de dos atvos. w, Tabela Méda de retorno, desvo padrão e correlação para o exemplo de quatro atvos. Atvo Retorno Desvo Matrz de Correlação (Méda) Padrão A Fgura representa o unverso de possíves portfolos (carteras) compostos por dos atvos. Certos portfolos são domnados, ou seja, são tas que exste um outro portfolo com menor rsco e maor retorno. Por exemplo, todos os portfolos da curva que começa no atvo 4 e termna no atvo são domnados. Se retrarmos, da Fgura, os portfolos domnados, teremos a frontera efcente representada na Fgura 3. Retorno Atvo Atvo 3 Atvo 4 Atvo Fgura Exemplo com combnação factível de dos atvos. Rsco - varânca

25 .6. OS PONTOS INVISÍVEIS 5 A frontera efcente representada na Fgura 3 é uma curva descontínua, pos os portfolos que faltam à curva para torná-la contínua são domnados. Retorno Rsco - varânca Fgura 3 Exemplo de frontera efcente para o modelo restrto..6 OS PONTOS INVISÍVEIS A resolução do modelo parametrzado restrto (.8) para város valores de λ não descreve completamente a frontera efcente de nvestmento. A justfcatva para este fato pode ser obtda a partr de uma análse detalhada da função objetvo deste modelo. Consderemos duas soluções sobre a frontera efcente de nvestmento de tal modo que as duas retas tangentes que passam por estas soluções tenham o mesmo coefcente angular. A exstênca destes dos tpos de soluções está relaconada com a presença de dos segmentos, provenentes de curvas dferentes, com a mesma taxa de crescmento nos pontos em questão (vde Fgura 4).

26 6 CAPÍTULO. O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ A ocorrênca de pontos com as mesmas taxas de crescmento decorre do fato da curva ser descontínua, embora não decrescente. A descontnudade ocorre porque o número de atvos pertencentes à cartera é menor que o número de atvos dsponíves para nvestmento, um fato muto comum em stuações prátcas, já que o mercado é composto por mutos atvos e o nvestdor tem nteresse em formar carteras que englobam uma pequena parte do unverso de atvos. Retorno b b Fgura 4 Frontera efcente para o modelo restrto com duas soluções seleconadas. Rsco - varânca Sejam Γ e Γ os valores da função objetvo do modelo (.8) para estas duas soluções seleconadas, conforme a Fgura 4. Esses valores podem ser escrtos como combnação do rsco e do retorno usando-se e Γ = λ [ RIS] ( λ )[ RET ] Γ = λ [ RIS ] ( λ )[ RET ].

27 .6. OS PONTOS INVISÍVEIS 7 Na frontera efcente, o exo das ordenadas representa o retorno e o das abscssas o rsco. Podemos reescrever as equações de modo que Γ e Γ fquem fxos e os valores do retorno varem em função do rsco. Assm, obtemos e λ [ RET ] = [ RIS] Γ λ λ λ [ RET ] = [ RIS ] Γ λ λ. (.9) (.0) Observa-se que λ λ e Γ λ são, respectvamente, o coefcente angular e o coefcente lnear da reta dada na equação (.9), enquanto λ λ e Γ λ são, respectvamente, o coefcente angular e o coefcente lnear da reta defnda pela equação (.0). Veja a Fgura 5 abaxo. Retorno RET RET b b = Γ λ b b = Γ λ RIS RIS Rsco - varânca Fgura 5 Retas que tangencam duas soluções frontera efcente para o modelo restrto.

28 8 CAPÍTULO. O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ Como as retas são paralelas, λ λ = λ λ, de modo que λ = λ. Além dsso, sabendo que Γ > Γ, a reta da equação (.9) estará sempre acma da reta λ λ assocada à equação (.0). Logo, Γ < Γ, ou seja, a solução gerada pela equação (.9) tem função objetvo de menor valor. Portanto, como Γ e Γ são geradas pelo mesmo parâmetro λ, a segunda solução torna-se nvsível. Ou seja, o algortmo de otmzação não rá consderar Γ como solução ótma. Assm, a solução do modelo parametrzado gerara uma frontera efcente ncompleta, como aquela mostrada na Fgura 6. Retorno Fgura 6 Frontera efcente somente com os pontos vsíves. Rsco - varânca A Fgura 7 mostra os pontos que não poderam ser encontrados pela smples otmzação do modelo parametrzado para város valores de λ.

29 .6. OS PONTOS INVISÍVEIS 9 Retorno Fgura 7 Frontera efcente somente com os pontos nvsíves. Rsco - varânca Como se observa, apesar do valor da função objetvo ser por nos pontos nvsíves, estes não são pontos domnados, ou seja, não exste nenhum outro nvestmento que tenha, ao mesmo tempo, menor rsco e maor retorno. Assm, a resolução do modelo parametrzado a partr de métodos exatos pode gerar uma frontera efcente ncompleta. Uma solução para evtar o problema da geração da frontera efcente ncompleta é a utlzação de algortmos meta-heurístcos na resolução do modelo (.8). Nos capítulos e 5 serão apresentadas propostas de algortmos para a resolução deste problema.

30 0 CAPÍTULO. O MODELO MÉDIA-VARIÂNCIA DE MARKOWITZ

31 CAPÍTULO PROPOSTA DE CHANG PARA A DETERMINAÇÃO DA F.E.I.. INTRODUÇÃO Para a construção da frontera efcente restrta, o artgo de Chang et al. [3] propõe a utlzação de três métodos heurístcos: algortmos genétcos, busca tabu e têmpera smulada. O artgo sugere a utlzação das heurístcas argumentando que o modelo restrto é um problema de programação quadrátca composto por varáves reas e bnáras, o que torna sua resolução dfícl por métodos exatos. Mtra et al. [5] classfcam este problema como NP-Dfícl, o que confrma a grande dfculdade em resolver esta classe de problemas com métodos exatos. Chang et al. emprega a formulação parametrzada do modelo (.8) para a determnação da F.E.I. A justfcatva é que, nesse modelo, o retorno dexa de consttur uma restrção para fazer parte da função objetvo, tornando mas fácl a resolução do problema por uma heurístca. Apesar do modelo parametrzado gerar pontos nvsíves, a utlzação de um

32 CAPÍTULO. PROPOSTA DE CHANG PARA A DETERMINAÇÃO DA F.E.I. algortmo heurístco mplca na nvestgação de mutas soluções, favorecendo, conseqüentemente, a localzação de város desses pontos nvsíves. Neste trabalho, concentramos-nos nos algortmos genétcos, pos os resultados obtdos por Chang et al. com esta heurístca foram superores.. O ALGORITMO GENÉTICO O algortmo genétco (AG) é um método de busca estocástco baseado na teora da evolução natural de Darwn [4], segundo a qual os organsmos de uma população que adaptam-se melhor ao meo em que vvem têm mas chances de sobrevver e reproduzr, enquanto os ndvíduos menos adaptados geralmente são elmnados. Esta combnação de boas característcas de ndvíduos produz descendentes cada vez mas adaptados ao meo. Os fundamentos teórcos do AG foram orgnalmente desenvolvdos por Holland [7]. Um AG smula o processo de evolução natural a partr de uma população de soluções ncas, através da aplcação de operadores genétcos de reprodução e mutação nesses ndvíduos. Em termos de otmzação, cada ndvíduo da população é uma solução codfcada, composta por um conjunto de genes, a que chamamos de cromossomo. Assm, cada cromossomo representa uma possível solução para um dado problema. A aptdão (ou ftness) do ndvíduo é calculada com base em uma dada função objetvo. Indvíduos com boa aptdão terão mas chance de serem seleconados para reprodução (geralmente chamada de crossover, ou cruzamento). Nesse processo de reprodução, seleconamse dos cromossomos (dos pas) e faz-se a combnação de seus genes, obtendo-se cromossomos flhos 3 que possuem uma fração cromossômca de cada um dos pas. Outra alteração nos cromossomos entre gerações é a mutação, em que se alteram alguns bts (ou genes) de um determnado cromossomo aleatoramente. 3 Em algortmos genétcos clásscos o crossover gera flhos.

33 .3. O ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO POR CHANG ET ALII 3 Os passos báscos de um AG são descrtos abaxo. Uma descrção mas detalhada pode ser encontrada em [] e [4]. Algortmo (Algortmo Genétco padrão).. Gerar uma população ncal.. Calcular a aptdão dos ndvíduos da população ncal. 3. Repetr: 3.. Seleconar pas da população para Crossover. 3.. Realzar o Crossover Realzar Mutação na população Calcular a aptdão dos flhos e dos ndvíduos que passaram pela mutação Seleconar os membros da população que formarão a próxma geração. 4. até atngr o número máxmo de terações..3 O ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO POR CHANG ET ALII Nesta seção, apresentaremos o algortmo genétco proposto por Chang et al. para a determnação da F.E.I. do modelo restrto. Como veremos, nesta formulação, alguns procedmentos clásscos dos AG foram defndos de forma bastante pecular. Assm, por exemplo, há apenas um crossover e uma mutação por teração. Outras modfcações foram empregadas para adequar o método ao modelo de otmzação, já que trabalhamos com a representação de soluções em duas partes, uma ntera e outra real.

34 4 CAPÍTULO. PROPOSTA DE CHANG PARA A DETERMINAÇÃO DA F.E.I..3. Representação da solução. No algortmo genétco utlzado por Chang et. al., a representação da solução tem duas partes dstntas: o conjunto Q, composto pelos K atvos seleconados, e o conjunto S dos K números reas s ( s, Q) 0 que fornecem os valores de nvestmento. A Fgura 8 fornece uma representação pctórca do cromossomo. s N s 5 s 3 s s N- s 4 Cromossomo = N 5 3 N- 4 K elementos Fgura 8 Representação do cromossomo. O valor de nvestmento s determna, através de uma mudança de varável, a proporção de nvestmento w no atvo. Naturalmente, esta mudança somente é realzada nos atvos escolhdos para nvestmento ( Q ). Os valores w são obtdos da segunte forma: w = ε + s F L, (.) onde é a fração lvre para nvestmento, e = F = ε = 0,, Q L. s Q Para tornar clara esta representação, tomemos o exemplo em que N = 0, K = e ε. Suponhamos que a solução (ou o cromossomo) seja dada por = { 3, 7 } { s =,9, 0,5 } S = s =. Assm, nvestmento dos atvos na cartera é F = ε = 0,8 e { 3,7} L = s { 3,7} Q e por =,4. Então, a proporção de

35 .3. O ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO POR CHANG ET ALII 5 e ( 0,8 /,4) 0, 643 w 3 = 0, + 0,9 = ( 0,8 /,4 ) 0, 3857 w 7 = 0, + 0,5 =. Podemos notar que esses valores satsfazem à restrção de lmte nferor e de soma gual a. O algortmo de Chang et al. permte também a defnção de lmtes superores para as frações de nvestmento. Ou seja, ele contempla restrções do tpo w δ z, =, K, N, onde δ é a máxma proporção que pode ser nvestda no atvo. Caso um valor w vole esta restrção, o algortmo utlza um procedmento teratvo para tornar factível a solução. A déa básca deste procedmento é a segunte: se exstr valor j Q tal que w j > δ j, então w j receberá o δ j e as outras frações de nvestmentos serão recalculadas utlzando-se F = ( ε + δ j ) e Q {} j L =. Este procedmento é repetdo até que w δ, Q. Q s {} j.3. Geração da população ncal. Para gerar um cromossomo da população ncal, constró-se dos vetores. O prmero, denomnado s, é composto por números aleatóros pertencentes a ( 0, ]. O segundo vetor, chamado de Q, é composto por números aleatóros nteros não repetdos entre e N. Os dos vetores têm comprmento gual a K (tamanho da cartera). Assm, o prmero vetor, após a mudança de varável, corresponderá às proporções de nvestmento e o segundo vetor corresponderá aos atvos nos quas se rá nvestr.

36 6 CAPÍTULO. PROPOSTA DE CHANG PARA A DETERMINAÇÃO DA F.E.I..3.3 Crossover. Chang et al. utlzam o crossover do tpo unforme para geração de novos ndvíduos. Neste tpo de crossover, dos pas geram apenas um flho. Assm, se um atvo está presente em ambos os pas, o flho herdará este atvo (o valor de nvestmento será escolhdo aleatoramente de um dos pas). Já para os atvos que estão presentes em somente um dos cromossomos, faz se um sorteo no qual cada atvo tem 50% de probabldade de ser nserdo no cromossomo flho. Um exemplo é dado na Fgura 9. Pa. s s 4 s 5 s 9 s 3 s Flho. s s s 5 s 0 s 3 s s Pa. s s 5 s 7 s 0 s s Fgura 9 Exemplo de crossover segundo a estratéga de Chang et al. No exemplo acma, os atvos 5 e foram ncluídos no flho por estarem presentes em ambos os pas. O valor de nvestmento do atvo 5 fo herdado do Pa, enquanto s fo herdado do Pa. Como os atvos que aparecem em apenas um pa são tratados ndvdualmente, o número de atvos no cromossomo flho pode ser nferor ou superor ao tamanho da cartera, como aconteceu no exemplo da Fgura 9. O algortmo de Chang et al. consdera esta possbldade. Se o flho possur mas atvos que o permtdo, excluem-se os atvos com menor valor de nvestmento, de forma que o número de atvos no cromossomo atnja o valor correto. Por outro lado, se o flho possur menos elementos que o desejado, nsere-se no cromossomo outros atvos que não foram escolhdos no crossover, até que seja atngdo o número correto.

37 .3. O ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO POR CHANG ET ALII 7 A seleção dos ndvíduos para crossover é feta por uma estratéga que Chang et al. chamam de torneo bnáro. Nesta estratéga, dos grupos são formados aleatoramente a partr da população e o ndvíduo com melhor ftness de cada grupo é seleconado. Deste modo, apenas dos cromossomos, dentre toda a população, são seleconados para o crossover, que ocorre apenas uma vez a cada teração..3.4 Mutação. A mutação ocorre somente no flho gerado pelo crossover e corresponde a um decréscmo ou aumento de s. O únco atvo alterado é escolhdo aleatoramente, tendo todos os atvos gual probabldade de serem seleconados. Uma vez determnado o atvo, soma-se a s o valor 0,( ε + ) ou,( ε + ) s 0. As probabldades de ocorrênca da soma e da subtração s também são guas. Um exemplo da mutação é dado na Fgura 0. Atvo escolhdo para mutação. Flho. s s s 5 s 0 s 3 s Flho após a mutação. s s s 5 s 0 s 3 s s 0 = s 0 ± ( ε0 + s 0 ) Fgura 0 Exemplo mutação estratéga de Chang et al.

38 8 CAPÍTULO. PROPOSTA DE CHANG PARA A DETERMINAÇÃO DA F.E.I..3.5 Seleção. Na seleção de novos ndvíduos para a população, Chang et al. utlzam uma estratéga smples de nserção de ndvíduos. Cada flho gerado é nserdo na população, exclundo-se, em contrapartda, o por cromossomo da população orgnal..3.6 Aptdão. Para seleconar cromossomos para o crossover, bem como para elmnar cromossomos da população, é necessáro defnr um crtéro que meça a aptdão de cada ndvíduo. Esta aptdão é representada pelo nverso adtvo do valor da função objetvo do modelo (.8), ou seja, N N N Aptdão = ( ) λ w w jσ j λ w μ. = j= = (.) Assm, ndvíduos mas aptos possuem função objetvo menor que os demas..3.7 Algortmo genétco proposto por Chang et al. Os procedmentos báscos do algortmo genétco proposto por Chang et al. estão resumdos a segur.

39 .3. O ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO POR CHANG ET ALII 9 Algortmo (Algortmo genétco proposto por Chang et al.).. Gerar uma população ncal com 00 ndvíduos.. Calcular a aptdão dos ndvíduos da população ncal. 3. Em cada teração, fazer: 3.. Seleconar pas da população para Crossover. 3.. Realzar o Crossover Realzar Mutação no flho gerado pelo crossover Calcular a aptdão do flho Substtur o por membro da população pelo flho. 4. até atngr o número máxmo de terações. Para gerar toda a F.E.I., o algortmo é repetdo para város valores de λ pertencentes ao ntervalo [ 0,]. Como o algortmo de Chang et al. realza apenas um crossover e uma mutação a cada teração, o número de terações deve ser elevado. Em [3], recomenda-se parar o algortmo após T * = 000N terações, em que N é o número de atvos dsponíves para nvestmento.

40 30 CAPÍTULO. PROPOSTA DE CHANG PARA A DETERMINAÇÃO DA F.E.I.

41 CAPÍTULO 3 3 ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX 3. INTRODUÇÃO Uma solução factível para o modelo parametrzado (.5) é composta pelos atvos seleconados para nvestmento e pelas frações de nvestmento w destes atvos. A soma das frações de nvestmento destes atvos é obrgatoramente gual a. Assm, os possíves valores de frações de nvestmento para uma cartera que contém n atvos formam um subconjunto de que é conhecdo como smplex. n R 3. DEFINIÇÃO DE SIMPLEX O smplex padrão de dmensão n- é defndo como o subconjunto de n {( x K, x ) R x = e x 0 p / }. n Δ =, n n R dado por 3

42 3 CAPÍTULO 3. ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX O smplex Δ n n mora em um hperplano defndo pela restrção = x =. O smplex padrão é claramente regular. Os vértces do smplex padrão (n-)-dmensonal são os pontos e e M e n = = (,0,0, K,0 ) ( 0,, 0, K,0 ) = ( 0,0,0, K, ). (3.) É mportante salentar que a dmensão deste smplex é sempre uma undade a menos que a dmensão do espaço no qual ele se encontra. A Fgura lustra os smplex que estão em 3 R, R e 4 R, respectvamente: Smplex de dmensão. Smplex de dmensão. Smplex de dmensão 3. Fgura Exemplos de smplex. 3.3 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS O conteúdo 4 de um smplex regular (.e. um smplex que possu arestas com mesmo comprmento) de tamanho s é dado por 4 Conteúdo é a generalzação de volume para sóldos n-dmensonas.

43 3.3. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS 33 V s n ( n )! n n = n. (3.) Doravante, trabalharemos apenas com smplex de dmensões regulares. O conteúdo de um smplex (n-)-dmensonal com vértces descrtos como em (3.), cujas arestas têm tamanho gual a, é dado por V n = n ( n )!. (3.3) O conteúdo de um smplex regular também pode ser calculado em função do conteúdo de um outro smplex regular, bastando para sso que se conheça a relação que exste entre as arestas destes dos smplex. Tomemos, por exemplo, um smplex de conteúdo V n, com arestas de comprmento s. O conteúdo V n de um outro smplex com arestas de comprmento s = c s, em que + c R, é dado por V n n ( c s) n n s = c n ( n )! ( n )! n n n n = = c V n. (3.4) O smplex de dmensão n- com arestas de tamanho s e com altura H n é formado pela sobreposção de um número nfnto de smplex de dmensão n-, com arestas que são menores ou guas a s. O comprmento das arestas dos smplex de dmensão n- mostrado na Fgura vara contnuamente com a varação da altura do smplex de dmensão n-. Assm, para cada valor da altura x (medda a partr do vértce superor do smplex de dmensão n-), determnamos a aresta do smplex posconado nesta altura através da fórmula s x = s. H n

44 34 CAPÍTULO 3. ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX Substtundo essa expressão na equação (3.4), obtemos o conteúdo do smplex de dmensão n-, que é dado por Sentdo de crescmento de x. Smplex de dmensão n-, com x arestas s = s. H n Smplex de dmensão n-, com aresta s = s. Fgura Smplex de dmensão n- formado pela sobreposção de smplex de dmensão n-. V n = H n 0 x H n n V n dx = n x n V n n n ( H ) H n 0 = H n V n n. onde V n pode ser determnado pela fórmula (3.3). Isolando a altura H n na fórmula de V n, chegamos a H n = ( n ) V V n n = s n n ( ). (3.5) A equação (3.5) fornece a altura de um smplex de dmensão n- com arestas de comprmento s. No caso do smplex padrão, com vértces descrtos em (3.) e arestas de tamanho, a altura é gual a H n = n. n (3.6)

45 3.4. A DISTRIBUIÇÃO NÃO UNIFORME NO ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX A DISTRIBUIÇÃO NÃO UNIFORME NO ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX nvestmento exposção: No algortmo genétco proposto por Chang et al. para obtenção das frações de w, utlza-se a mudança de varável (.), reproduzda aqu para facltar a w = ε + s F L, Q, onde L = s e = Q F ε. Q Esse procedmento faz com que um conjunto de frações de nvestmentos tenha mas chance de ocorrer que outros. Como exemplo, vamos smular a geração da população ncal do algortmo de Chang et al. para um problema na forma (.8), com três atvos. Para lustrar melhor a dstrbução dos ndvíduos, vamos consderar uma população composta por 5000 cromossomos. Como temos apenas três atvos, podemos assocar, a cada ndvíduo, um ponto em 3 R, de tal forma que as coordenadas do ponto representem as frações de nvestmento. Após a mudança de varável, a soma dos valores w de cada cromossomo é gual a. Obtemos, assm, pontos que pertencem a um smplex bdmensonal, conforme mostrado na Fgura 3. Observa-se, nesta fgura, que há uma grande concentração de pontos no centro do smplex. Para compreender a orgem dessa concentração, é precso lembrar que, ao construrmos a população ncal, geramos pontos unformemente dstrbuídos dentro de um hpercubo (ou caxa, como no exemplo). Em seguda, fazemos uma mudança de varável, transladando todos os pontos que estão dentro do hpercubo de dmensão n para um smplex de dmensão n-. Essa mudança de varável leva mas pontos para o centro do smplex do que para suas extremdades. A Fgura 4 lustra esse problema.

46 36 CAPÍTULO 3. ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX Fgura 3 Exemplo da dstrbução não unforme da população ncal. Pontos da caxa assocados à regão A. A Pontos da caxa assocados à regão A. A Fgura 4 O problema da concentração de soluções em uma regão do espaço.

47 3.4. A DISTRIBUIÇÃO NÃO UNIFORME NO ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX 37 Na Fgura 4, apesar da área da regão A ser gual à área da regão A exste um número maor de pontos da caxa assocados a A. Como o método de Chang et al. gera pontos unformemente dstrbuídos na caxa, a concentração de pontos na regão A será maor, fazendo com que stuações guas àquela mostrada na Fgura 3 ocorram. Obvamente, esta má dstrbução vale para qualquer espaço n-dmensonal. No próxmo capítulo, apresentaremos uma proposta de elmnação dessa dstrbução não unforme da população.

48 38 CAPÍTULO 3. ESPAÇO DE SOLUÇÕES SIMPLEX

49 CAPÍTULO 4 4 DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES 4. INTRODUÇÃO Uma manera de evtar o problema de dstrbução não unforme das soluções geradas pelo algortmo de Chang et al. sera gerar pontos dretamente dentro do smplex, em lugar de projetá-los. Entretanto, não é fácl crar números aleatóros com dstrbução unforme que satsfaçam as restrções x = e 0,. Para contornar essa dfculdade, podemos x dscretzar a regão factível, assocando a cada ponto do smplex dscretzado um número ntero únco que o represente. Deste modo, somos capazes gerar números aleatóros com dstrbução unforme sem nos preocuparmos com a factbldade. Neste capítulo, apresentamos essa nova estratéga de representação dos pontos e dscutmos como obter as coordenadas de um ponto a partr do número ntero a ele assocado. 39

50 40 CAPÍTULO 4. DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES 4. O MÉTODO UTILIZADO PARA A DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO Suponhamos que um computador gaste d bts para armazenar um número real. Neste caso, o armazenamento das coordenadas de um ponto sobre um smplex em n R consumra dn bts. Como se sabe, a precsão do computador é lmtada, de modo que não sera possível representar, na prátca, todos os nfntos pontos de um smplex. Esse nconvenente, entretanto, não costuma ser relevante, uma vez que o número de bts usados para armazenar números reas costuma ser grande. Pretendemos usar o mesmo número de bts para armazenar pontos de um smplex regular, empregando uma estratéga de representação baseada na assocação de um número ntero a cada ponto. Para tanto, vamos supor que o smplex S n (um smplex de dmensão n em n R ) seja dvddo em η = (n )d hpercubos, de forma que cada um destes esteja assocado a uma pequena regão de S n, representada pelo centro do hpercubo. Assm, o ηˆ ésmo hpercubo estará relaconado ao ponto x ˆ η ˆ η ˆ η ˆ η ( x x, K, x ), n =, onde ηˆ x é a ésma coordenada de seu centro. Naturalmente, a aproxmação de um smplex por um conjunto de hpercubos não é perfeta, pos é possível que um hpercubo possua pontos externos ao smplex. Entretanto, essa mprecsão perde relevânca à medda que refnamos a dscretzação, aumentando o número de hpercubos. Se utlzarmos, por exemplo, (n )d bts para ndcar a posção do hpercubo dentro do smplex (n )-dmensonal, teremos uma precsão comparável àquela obtda utlzando-se d bts para armazenar cada coordenada do ponto no sstema cartesano. Doravante, vamos supor que o número de hpercubos utlzados é grande o sufcente para que a aproxmação do smplex seja acetável. Neste caso, gualando o volume total dos

51 4.. O MÉTODO UTILIZADO PARA A DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO 4 hpercubos a V n, o conteúdo do smplex de dmensão n, dado pela equação (3.3), obtemos a segunte expressão para o comprmento das arestas do hpercubo: a = V n ( n ) d ( n ). (4.) 4.. A dvsão dos smplex em camadas. Em nossa aproxmação, dspomos os η hpercubos do smplex de dmensão n em camadas de altura a. A dvsão em camadas é feta a partr de um vértce do smplex doravante chamado vértce de referênca da camada 5 em dreção à face oposta a esse vértce, conforme lustrado na Fgura 5. Vértce de referênca da camada. Hpercubos de dmensão. Smplex de dmensões. Hpercubos de dmensão 3. Smplex de 3 dmensões. Fgura 5 Dsposção dos hpercubos nos smplex de 3 e dmensões. 5 Defnmos como o vértce de referênca de um smplex regular aquele no qual a últma coordenada (no sstema cartesano) é dferente de zero. Assm, por exemplo, para um smplex bdmensonal no espaço trdmensonal, o vértce de referênca será o ponto (0,0,).

52 4 CAPÍTULO 4. DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES Cada camada está apoada, ou assentada, sobre um smplex de dmensão n que denomnamos base. É esse smplex que determna o número de hpercubos que a camada contém. Assm, para saber quantos hpercubos possu a camada de índce k, cuja base está a uma dstânca ka do vértce de referênca, contamos os hpercubos que podem ser apoados sobre essa base. Deve-se observar que a base da últma camada é um smplex regular de dmensão n com arestas guas a. Para defnr de forma únca um hpercubo, é precso, em prmero lugar, dentfcar a camada à qual ele pertence. Em seguda, é precso dstnguí-lo dos demas hpercubos da camada. Isso é feto elmnando-se a dmensão do hpercubo já dentfcada pela camada e reduzndo-se o problema ao smplex de dmensão n que caracterza essa camada. Para o smplex trdmensonal lustrado na Fgura 5, as camadas estão assocadas a smplex bdmensonas, como o que é mostrado em destaque. Agndo de forma análoga àquela adotada para o smplex orgnal, o smplex de dmensão n também é dvddo em camadas que partem de um vértce e são paralelas à face oposta a este. Feta essa dvsão, podemos dentfcar a camada na qual o hpercubo está localzado, reduzndo, em seguda, o problema a um smplex de dmensão n 3. Esse procedmento é repetdo recursvamente até que atnjamos o smplex de dmensão, como mostrado na Fgura 6. Vértce de referênca da camada. Hpercubos de dmensão. Smplex de dmensão. Hpercubos de dmensão. Smplex de dmensões. Fgura 6 Dsposção dos hpercubos no smplex de e dmensão.

53 4.. O MÉTODO UTILIZADO PARA A DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO 43 Obtemos, assm, os índces das n camadas que dentfcam, de forma únca, um hpercubo dentro do smplex (n )-dmensonal. Essa notação é mas econômca que a adotada usualmente para representar os pontos de n R que pertencem ao smplex, uma vez que requer apenas n coordenadas. Contudo, a prncpal vantagem dessa abordagem é o fato de que ela permte que assocemos um número ntero únco a cada hpercubo, desde que sejamos capazes de relaconá-lo às camadas que o contêm. Felzmente, sso é possível, como veremos na próxma subseção. 4.. A contagem das camadas. Suponhamos que um smplex regular de dmensão n tenha sdo dvddo em hpercubos com arestas guas a a. Neste caso, o número de hpercubos usados para representar o smplex é dado aproxmadamente por Vn η = n. a O número de hpercubos contdos na porção do smplex que va da prmera até a camada de índce k, cuja base está a uma dstânca ka do vértce de referênca, é defndo por η ka n V k = n n n n = k n n H n a ( H n ) V, (4.) onde H n é a altura do smplex, ou seja, a dstânca entre o vértce de referênca e a face do smplex, de dmensão n, oposta a este vértce. Seja η o número de elementos até a camada k. Neste caso, o número de k n elementos da camada k é defndo como

54 44 CAPÍTULO 4. DISCRETIZAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES η n n Vn ( k ( k ) ). ( ) k k n ηn = n H n (4.3) Assm, o ηˆ ésmo hpercubo do smplex (n )-dmensonal estará na camada k do smplex se V V k ˆ η, ( ) n n n n k n n n n ( H ) ( H ) ou seja, quando k < n ˆ η V n H n k. Logo, a camada do smplex (n )-dmensonal à qual pertence o ηˆ ésmo hpercubo é defnda smplesmente por k n ˆ η = n H n. Vn (4.4) No algortmo genétco que descreveremos no próxmo capítulo, os cromossomos estarão assocados aos hpercubos nos quas dvdmos o smplex. Cada hpercubo será representado por um únco número ntero ˆ η {, K,η} e a camada do smplex de dmensão n que o contém será dada pela fórmula (4.4). Uma vez determnada a camada do smplex (n )-dmensonal, precsamos determnar a posção do hpercubo de índce ηˆ dentro desta camada. Para tanto, reduzmos o problema ao smplex de dmensão n que forma a base da camada recém determnada. Nosso objetvo, agora, passa a ser a determnação da camada, no smplex de dmensão n, do hpercubo de dmensão n formado pela projeção do hpercubo (n )- dmensonal sobre o novo smplex. Contudo, o volume e a altura desse smplex não são mas V n

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