2 Máquinas de Vetor Suporte 2.1. Introdução

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1 Máqunas de Vetor Suporte.. Introdução Os fundamentos das Máqunas de Vetor Suporte (SVM) foram desenvolvdos por Vapnk e colaboradores [], [3], [4]. A formulação por ele apresentada se basea no prncípo de Mnmzação do Rsco Estrutural (SRM), que tem um desempenho de generalzação superor ao tradconal prncípo de Mnmzação do Rsco Empírco (ERM) [7], empregado em redes neuras convenconas. O prncípo SRM (ver apêndce ) é baseado no fato de que a taa de erro nos dados de teste (taa de erro de generalzação) é lmtada pela soma da taa de erro de trenamento e por um termo que depende da dmensão de Vapnk- Chervonenks (dmensão VC) [], [5], [8], [3]. A dmensão VC não tem coneão com a noção geométrca de dmensão e desempenha um papel central na teora do aprendzado estatístco, como será mostrado no apêndce. É uma medda da capacdade ou poder de epressão de um conunto de funções. o caso de padrões separáves, a máquna de vetor suporte tem valor 0 para a taa de erro de trenamento e mnmza a dmensão VC. Conseqüentemente, a máquna de vetor suporte pode ter um bom desempenho de generalzação em problemas de classfcação de padrões. SVMs foram desenvolvdas para resolver problemas de classfcação, tendo sdo utlzadas com sucesso em aplcações de reconhecmento de padrões [4], tas como categorzação de tetos [5], categorzação de SPAM [6], reconhecmento de caracteres manuscrtos [3], [4], reconhecmento de tetura [7], análse de epressões de genes [8], reconhecmento de obetos em 3 dmensões [9], etc. Recentemente as máqunas de vetor suporte foram estenddas ao domíno de problemas de regressão [], [5], [7], [8], [3], [30]. Bascamente o funconamento de uma SVM pode ser descrto da segunte forma: dadas duas classes e um conunto de pontos que pertencem a essas classes, uma SVM determna o hperplano que separa os pontos de forma a colocar o maor número de pontos da mesma classe do mesmo lado, enquanto

2 4 mamza a dstânca de cada classe a esse hperplano. A dstânca de uma classe a um hperplano é a menor dstânca entre ele e os pontos dessa classe e é chamada de margem de separação. O hperplano gerado pela SVM é determnado por um subconunto dos pontos das duas classes, chamado vetores suporte. Os concetos acma serão mas detalhados nas seções seguntes.

3 5.. Classfcação Bnára Uma máquna de vetor suporte constró um classfcador bnáro a partr de um conunto de padrões, chamados de eemplos de trenamento, em que a classfcação é conhecda. Sea (, ), com n e {-,},,..., o conunto de eemplos de trenamento, onde é o vetor de entrada e é a classfcação deseada. n O obetvo é estmar uma função f: {±}, usando os eemplos de trenamento, que classfque corretamente os eemplos de teste (,), não utlzados no trenamento. Se nenhuma restrção for mposta na classe de funções em que se escolhe a estmatva f, mesmo uma função que tenha um bom desempenho nos pontos de trenamento pode não generalzar bem nos eemplos não utlzados no trenamento. Assm, mnmzar somente o erro de trenamento não mplca em um erro de teste pequeno. Esse fenômeno, chamado de "overfttng", ocorre com mas freqüênca quando a dmensonaldade do espaço de entrada aumenta. A teora do aprendzado estatístco mostra que é precso restrngr a classe de funções em que f é escolhda. Essa teora fornece lmtes para o erro de teste. A mnmzação desses lmtes, que dependem do rsco empírco e da capacdade da classe de funções especfcada, leva ao prncípo de mnmzação do rsco estrutural (SRM). O conceto de capacdade mas conhecdo da teora do aprendzado estatístco é a dmensão VC, defnda como o maor número de pontos que podem ser separados de todas as maneras possíves, usando-se funções da classe escolhda [], [3] (ver apêndce ). A máquna de vetor suporte constró um conunto de hperplanos cuos lmtes da dmensão VC possam ser computados e usa, então, o prncípo de mnmzação do rsco estrutural para dentfcar o hperplano ótmo que mamze a margem dos eemplos mas prómos [], [3]. Isso é equvalente a mnmzar o lmte da dmensão VC. As prmeras SVMs não eram capazes de ldar com erros de classfcação; somente padrões de trenamento lnearmente separáves no espaço de característcas podam ser usados. SVMs baseadas nesse algortmo de trenamento são conhecdas como SVMs com "margem mamal". Como eemplo, consdere a Fgura. Estem város hperplanos que separam os dados, mas há somente um que mamza a margem (em negrto), ou sea, que

4 6 mamza a dstânca entre os pontos mas prómos de cada classe e o hperplano de separação. Fgura - Hperplano de Margem Mamal Com a adoção das "varáves soltas" (ou varáves de folga ) no processo de trenamento, padrões de trenamento não lnearmente separáves no espaço de característcas puderam ser tratados. Conforme será descrto na próma seção, a utlzação de varáves soltas dmnu o erro de classfcação e permte um equlíbro entre a topologa da SVM (rsco estrutural) e o erro de trenamento (rsco empírco) [3]. Como resultado, hperplanos de separação com margem mamal e erros de classfcação mínmos são obtdos com "margem suave".

5 7... SVMs com margens mamas Para padrões lnearmente separáves, a solução do problema de trenamento de SVMs consste em achar um hperplano que separe perfetamente os pontos de cada classe e cua margem de separação sea máma. Esse hperplano é chamado de hperplano ótmo e é defndo por: (w.) + b 0, () onde w n é o vetor de pesos e o escalar b é o bas. Um vetor da classe, {-,}, deve satsfazer a equação ((w. ) + b) para,...,. () A dstânca eucldana entre esse hperplano e os pontos que estão sobre a margem, sto é, ((w. ) + b), é determnada pela equação abao: ( w. ) + b) w w. (3) Assm, mnmzar w é equvalente a mamzar a margem do hperplano de separação. A construção de SVMs com margem mamal pode ser descrta como: Dado um conunto de trenamento {(, ),..., (, )}, determne os valores ótmos para o vetor de pesos w e o bas b para que a segunte restrção (w. + b), para,...,, (4) sea satsfeta quando a função custo Φ ( w ) ( w.w ) (5) for mnmzada. A formulação acma é chamada de problema prmal. A função custo é convea e todas as restrções são lneares. Usando-se a teora dos multplcadores de Lagrange [], [5], [8], esse problema pode ser representado como: J(w,b,) ( w.w ) [ (( w. ) + b) ], (6) onde são chamados multplcadores de Lagrange. A solução para o problema de otmzação é determnada mnmzando-se J(w,b,) em relação a w e b e mamzando-se J(w,b,) em relação a. Dferencando-se essa equação em (w.) é o produto nterno dos vetores w e.

6 8 relação às componentes w de w,,...,n, e b e gualando-se as dervadas resultantes a zero, tem-se: n w w J,..., w J 0 w, (7) b J 0. (8) Substtundo-se as epressões obtdas acma na epressão do Lagrangeano: J(w,b,) ( ) ( ) [ ] + b w. (w.w ) + b.. ( ) ( ) +,, b... Utlzando-se, agora, a equação 8, chega-se a J(w,b,) ( ) +,.. (9) Desse modo, o problema dual a ser resolvdo é, consderando um conunto de trenamento {(, ),..., (, )}, determnar os multplcadores de Lagrange ótmos para que J sea mamzado, e que satsfaçam a 0 e 0. (0) As condções de Karush-Kuhn-Tucker [], [5], [8], que são condções necessáras e sufcentes, estabelecem que as soluções ótmas *,w* e b* devem satsfazer à segunte gualdade: *[ ((w*. ) + b*) - ] 0, para,...,. () Assm, pela equação, vê-se que os pontos em que ((w. ) + b) devem necessaramente ter 0. Só os pontos com margem podem ter os correspondentes 0. Esses pontos são chamados de vetores suporte. a epressão de w somente esses pontos estão envolvdos.

7 9... SVMs com margens suaves esta seção, consdera-se o caso mas dfícl em que os padrões de trenamento não são lnearmente separáves. Para esse conunto de padrões não é possível construr um hperplano de separação que classfque corretamente todos os pontos. Como á menconado, para a formulação da SVM da seção anteror permtr erros de classfcação, ntroduzem-se varáves soltas. Essas varáves permtem que a equação 4 sea volada. Assm, um vetor é classfcado corretamente como da classe, {-,}, quando a segunte epressão é verdadera ((w. ) + b) + ξ para,...,, () onde w é o vetor de pesos em n, o escalar b é o bas e ξ são varáves soltas não negatvas assocadas a cada vetor de trenamento. Se 0 ξ, então o ponto se encontra do lado correto do hperplano de separação, ou sea, o padrão é classfcado corretamente. o caso de ξ >, o ponto se encontra do lado errado do hperplano de separação, á que, nesse caso, ((w. ) + b) < 0. Dessa forma, os pontos em que ξ é maor do que são pontos classfcados ncorretamente. Assm, Σξ é um lmte superor para o número de erros de trenamento. A Fgura mostra a varável solta para dos pontos classfcados ncorretamente pelo hperplano de separação, em que ξ é a varável solta assocada a,,. Da mesma forma que no caso dos padrões lnearmente separáves, substtundo-se a restrção (4) pela (), a construção de SVMs com margem suave pode ser descrta como: Dado um conunto de trenamento {(, ),...(, )}, encontre os valores ótmos para o vetor de pesos w e o bas b para que as seguntes restrções (w. + b) + ξ, para,...,, ξ 0, para,...,, (3) seam satsfetas quando a função custo Φ(w, ξ ) (w.w ) + C ξ (4) é mnmzada, onde C é um parâmetro de trenamento que estabelece o equlíbro entre a compledade do modelo e o erro de trenamento. Este

8 30 parâmetro, conhecdo como constante de regularzação, controla o peso do número de erros, que, como fo dto na págna anteror, é lmtado pelo somatóro das varáves soltas, e do tamanho da margem, que é nversamente proporconal à norma de w [], [5], [8]. Valores grandes de C, por eemplo, atrbuem maor peso ao número de erros (permtndo poucos erros) e menor peso à margem do hperplano (gerando uma margem pequena). Fgura - Varáves soltas A formulação acma é chamada de problema prmal. A função custo é convea e todas as restrções são lneares. Da mesma forma que para a margem mamal, pode-se usar a teora dos multplcadores de Lagrange e, resolvendo o problema de forma smlar, chegar ao problema dual abao. ote que as varáves soltas não aparecem no problema dual. Consderando um conunto de trenamento {(, ),..., (, )}, determnar os multplcadores de Lagrange ótmos para que W sea mámo, e que satsfaçam a [], [7] ( ) (. ),, (5) 0, 0 C. (6)

9 3 De manera smlar ao caso dos padrões lnearmente separáves, pelas condções de Karush-Kuhn-Tucker [], [5], [8], apenas os pontos em que ((w. ) + b) podem ter os correspondentes 0. Esses pontos, analogamente, são chamados de vetores suporte.

10 3..3. SVMs não lneares as seções anterores, consdera-se apenas o caso em que as SVMs são lneares, sto é, os hperplanos de separação obtdos são combnações lneares dos atrbutos dados. o entanto, essa restrção pode representar uma grande desvantagem quando se consdera um problema em que os padrões de trenamento não são lnearmente separáves. Para se superar essa lmtação, utlzam-se máqunas não-lneares que proetam os dados de entrada em um espaço de característcas de dmensão maor, o que aumenta o poder computaconal das máqunas lneares. O teorema de Cover garante que um espaço de entrada com padrões não lnearmente separáves pode ser transformado em um novo espaço de característcas em que os padrões são lnearmente separáves, desde que duas condções seam satsfetas: a transformação sea não lnear e a dmensão do espaço de característcas sea sufcentemente grande. Assm, é possível construr-se um hperplano ótmo nesse espaço de característcas. a prátca, a modfcação necessára para se mplementar as SVMs não lneares em um espaço de característcas de dmensão maor é mínma, bastando substtur nas equações da seção anteror por ϕ(), onde ϕ é um mapeamento não lnear do espaço de entrada no espaço de característcas. Assm, o problema dual é Consderando um conunto de trenamento {(, ),..., (, )}, determnar os multplcadores de Lagrange ótmos para que W ( ) ( ϕ( ). ϕ( )),, (7) sea mámo, e que satsfaçam a [], [7] 0, 0 C. (8) De manera smlar aos casos anterores, pelas condções de Karush-Kuhn- Tucker [], [5], [8], somente os pontos em que ((w.ϕ( )) + b) podem ter os correspondentes 0. Como nos casos anterores, esses pontos são chamados de vetores suporte.

11 Mapeamento Implícto usando funções Kernel A formulação apresentada por SVMs não lneares tem uma característca sngular: um produto nterno realzado no espaço de característcas, representado como ( ). ϕ( ) ϕ na equação 7. Se este uma função smétrca K tal que K(, ) ( ). ϕ( ) ϕ K(, ), (9) o custo computaconal da avalação do operador ϕ(.) pode ser evtado, á que a função K só depende de varáves do espaço de entradas. Tas funções K são conhecdas como kernel de produto nterno ou, smplesmente, funções kernel. A caracterzação de quando uma função pode ser um kernel é dada pelo teorema de Mercer []. Alguns kernels conhecdos são dados na Tabela. Para eemplos de outros tpos de kernel, ndca-se [3]. Tabela - Eemplos de Kernels Kernel Epressão Parâmetros Polnomal K(, ) ((. ) + a) p a, p ep σ RBF ( ) K, Perceptron K(, ) tanh(β 0 (. ) + β ) β 0, β σ a máquna de vetor suporte RBF, o número de funções de base radal e seus centros são determnados automatcamente pelo número de vetores suporte e seus valores, respectvamente. a máquna de vetor suporte do tpo perceptron de duas camadas, o número de neurônos ocultos e seus vetores de peso são também determnados automatcamente pelo número de vetores suporte e seus pesos, respectvamente. o caso de padrões não lnearmente separáves, a equação do hperplano de separação é: (w.ϕ()) + b 0,

12 34 onde o vetor ϕ() representa o mapeamento do vetor de entrada no espaço de característcas, w é o vetor de pesos e o escalar b é o bas. o entanto, o mapeamento ϕ(.) é desconhecdo na maora dos casos. Para se escrever a equação do hperplano em função do kernel K, pode-se usar a equação 0 abao. A epressão do vetor de pesos, que pode ser obtda de forma smlar à da equação 7, é: w ϕ(. (0) ) Assm, a equação do hperplano de separação também pode ser representada usando-se kernel: (w.ϕ()) + b 0 ( ϕ( ). ϕ( )) + b 0 K(, ) + b 0. () Substtundo a função kernel na equação 7, chega-se ao problema dual abao. Dado um conunto de entrada {(, ),..., (, )}, o trenamento da SVM consste em determnar os multplcadores de Lagrange ótmos para que W K(, ) ( ) sea mámo, e que satsfaçam a [], [7], () 0, 0 C. (3) SVMs foram orgnalmente desenvolvdas para classfcação bnára. o caso de classfcação em múltplas classes [7], [9], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [4], [4], é necessára a utlzação de algum método para estender a SVM bnára (método de Crammer e Snger) ou para combnar os resultados das SVMs bnáras ("decomposção um por classe" ("one-aganst-all") e "separação das classes duas a duas" ("one-aganst-one) ). a seção segunte, são apresentados estes três métodos.

13 35.3. Classfcação em Múltplas Classes.3.. Introdução SVMs foram orgnalmente desenvolvdas para classfcação bnára. o caso de classfcação em k classes, k >, estem duas abordagens báscas para estender seu esquema (ver Fgura 3). A prmera é a redução do problema de múltplas classes a um conunto de problemas bnáros. Dos métodos usam essa abordagem: "decomposção um por classe" ("one-aganst-all") [5], [7], [8], []; e "separação das classes duas a duas" ("one-aganst-one") [5], [7], [8], [9], [0]. A segunda abordagem é a generalzação de SVMs bnáras para mas de duas classes. O método que utlza essa abordagem é o método de Crammer e Snger [7], []. SVM para classfcação em k classes em k problemas bnáros Fgura 3 - Métodos para Classfcação em Múltplas Classes O método de decomposção um por classe basea-se na construção de k SVMs de classfcação bnára para separar uma classe de todas as outras. Em seguda, os resultados de todas as SVMs são agrupados, fazendo-se a classfcação deseada nas k classes. Já o método de separação das classes duas a duas usa uma SVM bnára para dstngur cada par de classes. Assm, são construídas k(k-)/ SVMs. A classfcação fnal é obtda a partr do resultado de todas as SVMs.

14 36 O método de Crammer e Snger usa uma manera mas natural de resolver o problema de classfcação em k classes, k >, que é construr uma função de decsão consderando todas as classes de uma vez. esse método, todos os eemplos de trenamento são usados ao mesmo tempo. Em todos os métodos, supõe-se que seam dados pontos de n trenamento (, ), onde e {,...,k} é a classe de. Além dsso, como no caso de SVM bnára, C é a constante de regularzação, que estabelece o equlíbro entre a compledade do modelo e o erro de trenamento. As seções seguntes descrevem em mas detalhes os dferentes métodos estentes para classfcação em múltplas classes.

15 Decomposção um por classe Esse método é o mas antgo e o mas empregado. Para uma classfcação em k classes, são resolvdos k problemas bnáros, sto é, é construída uma SVM para cada uma das k classes. A construção da -ésma SVM, {,...,k}, é feta usando todos os padrões de trenamento, os eemplos da classe com saída e os outros eemplos com saída -. esse caso, resolve-se o segunte problema: determne os valores ótmos para o vetor de pesos w e o bas b, consderando o conunto de trenamento {(, ),...,( )}, para que as restrções (w.ϕ( t )) + b + (ξ ) t, se t, (4) (w.ϕ( t )) + b + (ξ ) t -, se t, (5) (ξ ) t 0, t,...,, (6) seam satsfetas quando a função custo Φ (w, ξ ) (w.w ) + C ( ξ ) (7) for mnmzada. A saída da -ésma SVM é a -ésma função de decsão, a qual é dada por (w.ϕ()) + b. Cada uma das k SVMs tem, a prncípo, um valor dferente como saída. A classe de um dado ponto é resultado da combnação das k saídas, o que pode ser feto de váras maneras, como, por eemplo, efetuar uma combnação lnear das saídas de todas as k SVMs ou usar um outro método de classfcação para decdr a classe fnal [43]. A manera de se combnar as k saídas das SVMs que será aqu usada é a mas comum. Um ponto pertence à classe que tem maor função de decsão (argma,...,k((w.ϕ()) + b )). t t

16 Separação das classes duas a duas Este método constró k(k-)/ classfcadores bnáros, em que cada um é trenado com dados de classes. Para os eemplos de trenamento da classe e da classe,, o problema de otmzação é mnmzar: Φ (w, ξ ) (w.w ) + C ( ξ ), (8) com as restrções (w.ϕ( t )) + b + (ξ ) t, se t, (9) (w.ϕ( t )) + b + (ξ ) t -, se t, (30) (ξ ) t 0, t,...,. (3) Como para a resolução de um problema com k classes são construídas k(k-)/ SVMs, esse número, para k >, é maor do que o número de SVMs construídas no método de decomposção um por classe. o entanto, os problemas resolvdos são menores. O método de decomposção um por classe usa todos os pontos de trenamento na construção das SVMs. Já o método de separação das classes duas a duas usa, em méda, /k pontos de trenamento para cada SVM. Há duas maneras de se combnar os resultados das k(k-)/ SVMs: estratéga do voto e uso de um grafo acíclco drgdo. A decsão da classe utlzando-se a estratéga do voto [7] é feta do segunte modo: se o snal de ((w.ϕ()) + b ) é postvo, então soma-se um voto para a classe ; se não, soma-se um voto à classe. Assm, pertence à classe com maor votação. O método com o uso do grafo acíclco drgdo [7] é chamado de DAGSVM (Drected Acclc Graph SVM). A decsão da classe é feta usando-se um grafo acíclco drgdo com um nó eterno (raz), k(k-)/ nós nternos e k folhas. Cada nó é uma SVM bnára das classes e, representada por SVM. Dado um ponto de teste, começando-se na raz, a função bnára de decsão é avalada. Camnha-se no grafo para a dreta ou para a esquerda, dependendo do valor de saída. Assm, percorre-se um camnho antes de se chegar à folha com a classe prevsta. Em outras palavras, avala-se o ponto de teste com a SVM, em uma dada ordem, determnando-se a que classe não pertence. Assm, na prmera etapa á se sabe que não é da classe ou não é da classe. Em seguda, avala-se a próma SVM de manera análoga, até que só uma classe não tenha sdo elmnada, a qual é estabelecda como a classe de. Um t t

17 39 eemplo para classfcação em 3 classes com o método DAGSVM é eposto na Fgura 4. Como são 3 classes, defnem-se 3 SVMs: SVM, que separa a classe da ; SVM3, que separa as classes e 3; e SVM3, que dstngue as classes e 3. a Fgura 4, a prmera SVM utlzada é a SVM. Essa SVM classfca os pontos como da classe ou da classe. Como o método DAGSVM elmna as classes até chegar à classe fnal, na prmera etapa, a classe é elmnada se é classfcado como da classe pelo SVM e caso contráro a classe é elmnada. Em seguda, o ponto é classfcado pela SVM3 ndependente do resultado da classfcação da SVM. Assm, mesmo se for classfcado como da classe por SVM, a SVM3 pode classfcá-lo como da classe 3 (Fgura 4(e)). Após a classfcação com a SVM3, uma classe é, novamente, elmnada. A classe elmnada pode ser a mesma da etapa anteror (classe ), o que não acrescenta nenhuma nformação. esse caso, e somente nele, o ponto é classfcado pela SVM3 para elmnar outra classe. A classe 3 é elmnada se o ponto é classfcado pela SVM3 como da classe (Fgura 4(b)). Caso contráro, a classe é elmnada (Fgura 4(c)). os casos em que classes dferentes são descartadas pelas SVM e SVM3, o ponto não é classfcado pela SVM3 (Fguras 4(a), (d) e (e)). Fgura 4 - DAGSVM

18 Método de Crammer e Snger o método de Crammer e Snger, o problema de classfcação em k classes, k >, é resolvdo com um únco problema de otmzação (generalzação do problema de otmzação da SVM bnára), com a dferença de que, na construção desse método, os coefcentes b não aparecem []. a solução do problema, são consderados um peso para cada uma das classes (w é o peso para classe, {,...,k}) e uma varável solta para cada um dos eemplos de trenamento (ξ t é a varável solta assocada ao padrão ( t, t ), t,...,). Em seguda, é feto um somatóro que defne a função a ser mnmzada. sueto a Assm, o método mnmza a função Φ((w,...,w k k ),( ξ,..., ξ )) (w.w ) + C ξt (3) t (w t.ϕ( t )) - (w.ϕ( t )) + ξ t, t,...,, {,...,k} e t (33) ξ t 0, t,...,. (34) A função de decsão é f() argma,...,k (w.ϕ()). (35)

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