Imperfeição, Imprecisão e Incerteza e Modelos de Otimização

Transcrição

1 Imperfeção Imprecsão e Incerteza e Modelos de Otmzação Fernando Gomde Unversdade Estadual de Campnas Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação Campnas São Paulo Brasl III Workshop sobre Teora de Conuntos Fuzzy e Incerteza Generalzada plcada à Otmzação Unversdade Federal de Uberlânda Uberlânda MG ulho 0

2 Resumo. Introdução. Natureza da mperfeção em dados 3. Modelos e nterpretações 4. Modelagem e otmzação 5. Conclusão

3 . Introdução Cênca e ncerteza (Ensten 9) s far as the propostons of mathematcs refer to realty they are not certan; and as far as they are certan they do not refer to realty.

4 Prncípo da ncompatbldade (Zadeh 973) Stated nformally the essence of ths prncple s that as the complety of a system ncreases our ablty to make precse and yet sgnfcant statements about ts behavor dmnshes untl a threshold s reached beyond whch precson and sgnfcance (or relevance) become almost mutually eclusve characterstcs.

5 odelos realdade e utldade de modelos (Klr 995 lthough usually (but not always) undesrable when consdered alone uncertanty becomes very valuable when consdered n connecton to the other characterstcs of systems models: n general allowng more uncertanty tends to reduce complety and ncrease credblty of the resultng model.

6 O caero vaante Número Precsão CPU Cdades (%) Tempo das meses horas Fonte: New York Tmes /03/9

7 Ferramenta mas utlzada em PO: LP..even though ths s true of the 67 producton (lnear) programmng systems nvestgated and surveyed by Fandel (994) only 3 of these were pure determnstc lnear programs. Rommelfanger (004) G. Fandel PPS-Systeme: Grundlangen Methoden Software Markanalyse Sprnger-Verlag Hedelberg Germany 994

8 . Natureza da mperfeção em dados Informação é perfeta quando ela é precsa e certa Causas de mperfeção na nformação mprecsão ncerteza

9 Imprecsão propredade relaconada com o conteúdo de uma sentença propredade da própra nformação Incerteza propredade resultante da falta de nformação sobre o mundo para decdr se a sentença é verdadera ou falsa propredade da relação entre a nformação e o nosso conhecmento sobre o mundo

10 Eemplo João tem no mínmo dos flhos e estou certo quanto a sso. consderando o número de flhos: mprecsa mas certa João tem três flhos mas não estou certo sobre sso. no caso do número de flhos: precsa mas ncerta

11 Imprecsão Incerteza bordagens teora de probabldade (repetbldade) teora de possbldade (falta de nformação) teora conuntos fuzzy (gradualdade)..

12 Cara ou coroa? cara ncerta mas certa depos que a moeda é lançada! P(H) [0] medda de probabldade

13 Culpado ou nocente? culpado ncerta mas ou verdadero ou falso! g: Ω [0] medda monotonca (fuzzy measure)

14 Falta? foul mprecsa... falta é um conceto vago! F: X [0] função de pertnênca

15 Gol de Wembley fo mesmo um gol. Gol ncerto mas ou verdadero ou falso! g: Ω [0] medda monotonca (fuzzy measure)

16 Cheo ou vazo? vazo cheo E E H h h0.5 H E: H [0] função de pertnênca

17 Characterzatons of uncertanty and mprecson Uncertanty possblty/necessty measures probablty measures. Imprecson fuzzy sets..

18 3. Modelos e nterpretações Incerteza meddas de possbldade/necessdade medda de probabldade. Imprecsão fuzzy sets..

19 Meddas monotôncas g: Ω [0] g( ) 0 g(x) se B então g() g(b) B Ω ) ( ) ( então lm se em ) ( ) ( então lm se em I I U U L L Ω Ω Ω Ω g g g g

20 Possbldade e necessdade B B B g( B) g( B) ma( g( ) g( B)) mn( g( ) g( B)) B

21 Possbldade (Zadeh 978) B X Π( B) ma( Π( ) Π( B)) Necessdade (Dubos and Prade 985) B X N( B) mn( N( ) N( B))

22 Medda de probabldade P: Ω [0] P( ) 0 P(X) se B então P( B) P(B) + P(B) B Ω se φ K então P( U ) P( )

23 Possbldade (necessdade) probabldade Π( ) N( ) N( ) > 0 Π( ) Π( ) < N( ) 0 N( ) + N( ) Π( ) + Π( ) P( ) + P( )

24 Meddas de possbldade e necessdade Eemplo: base de dados Nome a b c d e Idade X a [36] X b [0] X c [3036] X d [03] X e [73] Consulta: pessoas com dade entre 0 e 5 anos? Q [05] duas soluções: Poss (Q) { X Q } {a b d} possbldade Nec (Q) { X Q } {b d} necessdade

25 Propredades Nec Nec ( Q) ( Q) Poss ( Q) X ( Q) X unverso Notar que Poss Nec Poss ( Q) { ma[x ( ) Q( )] } ( Q) { mn[ X ( ) Q( )] }

26 Possbldade: X { e B } Necessdade: X { B } ma mn Poss ( B) ma[ ( ) B( )] e B: conuntos (clásscos) Nec ( B) mn[( ( )) B( )]

27 Possbldade e necessdade: Conuntos fuzzy Poss ( B) sup[ ( ) t B( )] e B: conuntos fuzzy Nec ( B) nf [ () B( )] Obs: se t mn e a b a b ma {( a) b} então obtemos a mesma epressão anteror.

28 Conunto fuzzy X 37 Pertnênca de y z X em é uma questão de grau

29 Função de pertnênca : X [0 ] () C

30 Normaldade ().0 ().0 Normal Subnormal hgt() hgt( ) sup X ( ) hgt() <

31 Unon C B B and C n X C() ma {() B()} X s: [0] [0] [0] C() () s B() X () () C B C B B B X X

32 Intersecton C B B and C n X C() ma {() B()} X t: [0] [0] [0] C() () t B() X () () B C B C B B X R

33 Complement and n X () () C: [0] [0] () C(()) X X X

34 α corte () ().0.0 α α α α + α { X ( ) α} α { X ( ) > α} α-forte

35 Teorema da representação Uα α [0] α.0 α k ( ) sup α [0] α α ( ) α α α k αk α

36 Convedade [ λ + ( λ) ] mn[ ( ) ( )] ().0 [λ + ( λ) )] ().0 λ + ( λ) 0 λ Conve o α α { X ( ) > α} Nonconveo

37 Quantdades fuzzy : R [0] é um fuzzy set em R tal que: - é normal - suporte {: () > 0} de é lmtado 3-α-cortes de são ntervalos fechads Número fuzzy: se () para eatamente um Intervalo fuzzy: caso contráro

38 .0 B.0 R R é uma quantdade fuzzy B não é uma quantdade fuzzy

39 Intervalo fuzzy Número fuzzy () () f f g g a b c d 0 R a m b 0 R ( ) f g ( ) ( ) 0 se [ a b) se [ b c] se ( c d] caso contráro f g semcontínua à dreta semcontínua à esquerda

40 Interval arthmetc and α-cuts )] / / / / )ma( / / / / [mn( ] ]/[ [ )] )ma( [mn( ] ].[ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ d b c b d a c a d b c b d a c a d c b a bd bc ad ac bd bc ad ac d c b a c b d a d c b a d c b a d c b a + + +

41 If * s any of the four basc algebrac operatons and and B are fuzzy sets on R α [0] then (*B) α α *B α B U α [0] ( B) α ( B)( ) sup [ α( B)( )] α [0]

42 4. Modelagem e otmzação Modelo geral de programação (lnear) R 0 st ma n n c b a m b a c

43 Modelo geral de programação (lnear) fuzzy ma n C X sa n X X 0 B... m... n

44 No modelo geral de PL fuzzy X B C varáves cuos valores são números fuzzy são números fuzzy relação de ordem (ordena números fuzzy) Casos mportantes de PL somente B são números fuzzy tanto como B são números fuzzy

45 n m B a c n n sa ma Caso : B F(R) c a R

46 Decson makng n a fuzzy envronment Management Scence vol. 7 no. 4 December 970 Interpretação: Bellman e Zadeh Modelagen smétrca restrções função obetvo c a são varáves reas B são números fuzzy

47 lgortmo. calcular grau pertnênca R () para cada (... n ) n R () B ( a ) K m. determnar lmtantes nferor z l e superor z u da função obetvo 3. determnar conunto fuzzy G() dos valores da função obetvo 4. determnar a ntersecção I D G I ( m R ) 5. construr e resolver modelo programação matemátca para obter * * ma D () ma{mn( G() R())}

48 G 0.5 G 0 /( + ( 5) ( ) ) f f < G 0.5 C( ) /( + a( 6) a > 0 m > 0even m ) 4 8 6

49 Decsão fuzzy D G C C G 0.5 D D ( ) mn( G( ) C( )) X

50 Decsão que mamza C G * X * ma D( ) ma{mn( G ( ) C ( ))}

51 R + + < < + v v p b p b v b p v p b b v v B m B 0 ) (... B (v) v b b + p Forma de B Eemplo lnear

52 Cálculo dos lmtantes da função obetvo n m b a c z n n l sa arg ma n m p b a c z n n u sa arg ma +

53 Função obetvo (conunto fuzzy G) G() c zu 0 z z l l z z u l c < c < c z l z u R n

54 Eemplo ma sa B B 0 B B F(R)

55 B e B B ( v) 500 v 00 0 v < v 500 v < 500 B ( v) 600 v 00 0 v < v 600 v < 600

56 Lmtantes da função obetvo z l ma sa z l 30 z u ma sa z u 60

57 Função obetvo G() c < c c c 30 < 60 c [ ]

58 ) 0.3 ( sa ma λ + λ + + λ + + λ λ Modelo programação matemátca * * * * λ z

59 Caso geral multobectvo )) ( ( T ))] ( T ( [ ) ( C G D g g β α I I g c C G D ) )( ( β α g G g C C and G G G K K T t-norm β + + β + α + α c g L L

60 ))} ( ) ( ma{mn( ) ( ma R G D n m p b a p z c z z n l l u... 0 ) ( sa ma λ + + λ λ λ K Modelo programação matemátca PNL PL

61 Solução de modelos otmzação fuzzy Modelo Fuzzy programação matemátca fuzzy Fase nterpretar problema formular: transformar em um modelo matemátco Modelo Matemátco programação matemátca Fase técncas clásscas otmzação Solução modelo matemátco

62 Caso : e B F(R) n m B c n n sa ma c R

63 Hpótese: e B números fuzzy trangulares s l r l r s l s s + r R

64 lgortmo. operações soma e multplcação: artmétca números fuzzy. defnr relação de ordem n B 3. construr e resolver modelo programação matemátca para obter *

65 Interpretação: B Se e B F(R) então B se e somente se MX( B) B MX( B)( z) sup z ma( y) mn[ ( ) B( y)] y R

66 v t r s u t l s t s B v u t B r l s + + se somente e se Se e B são trangulares então lém dsso se 0 então r l s r l s v r u l t s v u t r l s

67 Modelo programação matemátca n v t r s m u t l s t s c n n n n... 0 ) ( ) (... ) ( sa ma + +

68 Eemplo sa 4 5 ma sa 4 5 ma Interpretação (+ ) * * * z

69 5. Conclusão Modelos com função fuzzy de varáves reas função de varáves fuzzy Etensões fuzzy de funções Métodos paramétrcos Métodos ntervalares