2-Uma Breve Introdução à Teoria dos Conjuntos Fuzzy 2.1-Conjunto Fuzzy

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1 pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN METODOLOGI DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMS DE PROGRMÇÃO LINER FUZZY ndré lves Gandolpho Departamento de Engenhara Elétrca Unversdade Católca de Petrópols Petrópols RJ e-mal: andre.gandolpho@ucp.br Rcardo Tanschet, Marley M. B. R. Vellasco Departamento de Engenhara Elétrca PUC-Ro Ro de Janero RJ e-mal: rcardo@ele.puc-ro.br, e-mal: marley@ele.puc-ro.br Nélo D. Pzzolato Departamento de Engenhara Industral PUC-Ro Ro de Janero - RJ e-mal: ndp@nd.puc-ro.br Resumo Neste presente trabalho é consderado um problema de msturas, onde os dados de entrada possuem mprecsões nerentes ao processo de negocação. O problema é descrt. 3 clvradcolem da

2 estabelecer um grau de veracdade ou credbldade. Em geral, os graus de pertnênca em conuntos fuzzy são epressos por valores entre [0,1], onde os valores etremos 0 e 1 representam a total ausênca de pertnênca ou a total pertnênca, respectvamente. Desta forma, os conuntos ordnáros (crsp), onde a função de pertnênca (ou função característca) assume apenas dos valores (0 ou 1), podem ser vstos como um caso especal dos conuntos fuzzy. teora de conuntos fuzzy e a lógca fuzzy proporconam uma forma convenente de se modelar a ncerteza dos dados sem necessdade de se recorrer aos recursos dos concetos estocástcos (Rommelfanger, 1996). 2-Uma Breve Introdução à Teora dos Conuntos Fuzzy Nesta seção serão ntroduzdos alguns dos concetos e termnologas báscos da teora dos conuntos fuzzy que serão utlzados neste artgo. 2.1-Conunto Fuzzy Informalmente, um conunto fuzzy é uma classe de obetos nos quas não este um lmte bem defndo entre aqueles obetos que pertencem e aqueles que não pertencem a uma determnada classe (Zadeh, 1978). Para efeto de clareza, seguem as seguntes defnções necessáras. Defnção: Sea um conunto clássco de obetos, X, denotado por unverso, cuos elementos genércos são denotados por. pertnênca de num subconunto crsp de X é vsto como uma função característca tal que: 0 se = 1 se onde (0,1) é chamado conunto de avalação. Se um conunto de avalação é permtdo estar num ntervalo real [0,1], é chamado de conunto fuzzy. função mostra o grau de pertnênca de ao conunto. Quanto mas prómo de 1 estver, mas pertence ao conunto. Portanto, é completamente caracterzado pelo par ordenado: = {(, ()) X} onde mapea o espaço de pertnênca [0,1]. Os elementos com grau de pertnênca 0, em geral não aparecem na lsta de pares ordenados. Se sup () = 1, R, o conunto fuzzy é chamado de um conunto fuzzy normal em R. Um conunto fuzzy que não é normal é chamado de conunto fuzzy subnormal. Defnção: Conunto α-cut Um dos mas mportantes concetos dos conuntos fuzzy é o conceto de α-cut. Um α-cut denotado por α é o conunto de elementos em R cuo grau de pertnênca ao conunto fuzzy é pelo menos α [0,1]. Isso sgnfca α = { X ( ) α, α[0,1]} sto é, o conunto α-nível ou α-cut de um conunto fuzzy é o conunto crsp α que contém todos os elementos do conunto unverso X R cuos graus de pertnênca em são maores ou guas ao valor especfco de α, onde α [0,1]. Defnção: Suporte de um conunto fuzzy O suporte de um conunto fuzzy é um conunto S() tal que S() () 0. Se () é constante sobre S(), então não é fuzzy. Defnção: Interseção de conuntos fuzzy nterseção de dos conuntos fuzzy e B é um conunto fuzzy C, denotado por C = B, cua função de pertnênca esta relaconada aos conuntos e B por: 2123

3 C B = mn [ (), ()], X 2.2-Número Fuzzy O número fuzzy é um conunto fuzzy conveo, normalzado, com função de pertnênca contínua por partes e, defnndo um ntervalo fuzzy num ntervalo de números reas. Como o lmte deste ntervalo é ambíguo, o ntervalo também é um conunto fuzzy. Em geral, o ntervalo fuzzy é representado por dos pontos etremos, a 1 e a 2, e por um ponto de quebra, a m, onde o grau de pertnênca é mámo, ou sea, 1. ssm, tem-se que um número fuzzy pode ser descrto como [a 1, a m, a 2 ]. operação α-cut pode ser aplcada aos números fuzzy. Dessa forma, denota-se um ntervalo α-cut para um número fuzzy como (α) = [a 1 (α), a 2 (α)]. 2.3-Número Fuzzy Trangular: Este tpo de número fuzzy tem um formato smples e tem sdo o mas utlzado em aplcações prátcas; assm, é defndo a segur Defnção: Um número fuzzy trangular pode ser representado por três pontos. Sea = [a 1, a m, a 2 ] um número fuzzy trangular; então a sua função de pertnênca pode ser representada por: 0, caso contráro - a1 () =, a1 am am a1 a2, am a2 a2 am 2.4-Operações lgébrcas com Números Fuzzy s operações com números fuzzy podem ser efetuadas de três formas dferentes, a saber: Operações em ntervalos s operações com números fuzzy podem ser generalzados a partr das operações efetuadas em ntervalos crsp. Suponha os seguntes números epressos como ntervalos: = [a 1,a 2 ] e B = [b 1,b 2 ], onde a 1, a 2, b 1, b 2 R. s prncpas operações de ntervalos podem ser defndas como: a)dção: [a 1,a 2 ] (+) [b 1,b 2 ] = [a 1 + b 1,a 2 + b 2 ] b)subtração: [a 1,a 2 ] (-) [b 1,b 2 ] = [a 1 b 2, a 2 b 1 ] c)multplcação: [a 1,a 2 ] ( ) [b 1,b 2 ] = [mn(a 1 b 1, a 1 b 2, a 2 b 1, a 2 b 2 ), ma(a 1 b 1, a 1 b 2, a 2 b 1, a 2 b 2 )] d)dvsão: [a 1,a 2 ] (/) [b 1,b 2 ] = [a 1, a 2 ] ( ) [1/b 1, 1/b 2 ] eclundo o caso onde b 1 = 0 e/ou b 2 = Operações em ntervalos α-cut: Como defndo anterormente, um ntervalo α-cut de um número fuzzy = [a 1, a 2 ] é referdo como um ntervalo crsp. Logo, para os números fuzzy = [a 1, a 2 ] e B = [b 1, b 2 ] tem-se os seguntes ntervalos α-cut: (α) = [a 1 (α), a 2 (α)] e B(α) = [b 1 (α), b 2 (α)] 2124

4 partr desta defnção, as operações de ntervalos apresentadas no tem podem ser aplcadas aos ntervalos α-cut Operações com números fuzzy: s operações com ntervalos, conforme apresentado nos dos tens anterores, podem ser aplcáves aos números fuzzy. Porém, para se obter uma saída na forma de conunto fuzzy, deve-se ter uma função de pertnênca fuzzy. Logo, dados, y, z R, tem-se as seguntes operações: a)dção: (+) B z) = sup ( () ( + ) B ( B z= + y (y)) b)subtração: (-) B ( ) B ( z) = sup ( ( ) B ( y)) z= y c)multplcação: ( ) B ( ) B ( z) = sup ( ( ) B(y)) z= y d)dvsão: (/) B B ( z) = sup( () B (/) (y z= /y )) plcação ao caso dos números fuzzy trangulares: Neste presente trabalho serão utlzadas as operações de soma e subtração. Dessa forma, apenas estas operações serão representadas neste tópco, vsto que as demas são mas compleas e fogem do escopo deste artgo. Suponha os seguntes números fuzzy trangulares: = (a 1, a m, a 2 ) e B = (b 1, b m, b 2 ) a)dção: (+) B = (a 1, a m, a 2 ) + (b 1, b m, b 2 ) = (a 1 + b 1, a m + b m, a 2 + b 2 ), resultando num número fuzzy trangular. b)subtração: (-) B = (a 1, a m, a 2 ) - (b 1, b m, b 2 ) = (a 1 b 2, a m b m, a 2 b 1 ), resultando num número fuzzy trangular. Os números fuzzy possuem algumas defnções e propredades que serão útes no desenvolvmento da metodologa proposta, podendo ser encontradas com mas detalhes em (Zmmerman, 1996). 3-Modelos de Programação Lnear Fuzzy Devdo a sua facldade de solução e nterpretação de resultados, a programação lnear tem sdo uma das técncas mas utlzadas para modelar problemas reas. Porém, os dados utlzados nos modelos devem ser precsos e bem defndos, o que mutas vezes mplca em gastos ecessvos para a obtenção de tas nformações. lém dsso, nem sempre este precsão e certeza nas nformações obtdas no mundo real. Como os problemas reas geralmente apresentam uma grande compledade, tornando-se dfícl uma representação completa, o modelo de otmzação é apenas uma apromação. De forma a ldar com a falta de precsão e ncerteza, Bellman e Zadeh (Bellman, 1970) propuseram o conceto de tomada de decsão em ambentes fuzzy, apresentando uma base para mutos problemas de otmzação fuzzy, onde tanto as restrções quanto a função obetvo, quando em stuações de ncerteza, podem ser representados por conuntos fuzzy. programação lnear fuzzy pode ser vsta como uma classe de problemas de otmzação onde os parâmetros do modelo não estão bem defndos, ou sea, os coefcentes da função obetvo ou das restrções não são eatamente conhecdos e algumas das nequações envolvdas no modelo podem estar suetas a lmtes não muto precsos (Pedrycz & Gomde, 1988). Dependendo da nformação dsponível para a construção do modelo de otmzação, váras classes de problemas podem ser ctados: restrções fuzzy, funções obetvo ou metas fuzzy, e coefcentes fuzzy na função obetvo, nas restrções, ou em ambos. 2125

5 ssm, pode-se descrever um modelo geral de otmzação fuzzy como(cadenas, 1995): Problemas com restrções fuzzy: Neste tpo de problema o tomador de decsões permte uma satsfação fleível das restrções, sto é, por não poder defnr eatamente as metas e as restrções do problema, são permtdas pequenas volações das restrções e da meta; Problemas com obetvo fuzzy: aqu, as nformações com relação aos coefcentes da função obetvo são ncertas. Esses coefcentes podem ser defndos por números fuzzy. Problemas com coefcentes fuzzy: neste tpo de problema podem ser utlzados números fuzzy, tanto nos coefcentes da matrz tecnológca, como nas constantes do lado dreto, sendo um caso prómo ao anteror. Esses casos podem ocorrer quando os dados são demandas, capacdades dsponíves, taas de retorno etc. Tas modelos parecem ser bem típcos em stuações prátcas, onde os parâmetros são obtdos a partr de especalstas. Cabe ressaltar que toda combnação das três possbldades descrtas acma é permtda. Com sso, é possível descrever um modelo de um problema de programação lnear fuzzy de modo mas geral, ou sea: Ma sueto a n = 1 c~ a~ ~ ~ b, = 1, K, m 0, = 1, K, n onde os seguntes elementos são consderados: Para cada lnha (restrção) este uma função de pertnênca { F(R) tal que :R [0,1]} defnndo o número fuzzy do lado dreto da equação; Para cada = 1,...,m e = 1,...,n F(R) tal que : R [0,1], defnndo os números fuzzy da matrz tecnológca; Para cada = 1,...,n, F(R) tal que : R [0,1], defnndo os números fuzy da função obetvo; e Para cada lnha, F(R) tal que : R [0,1], dando, R n, o grau de acompanhamento do número fuzzy ã ã ã n n, = 1,...,m, com respeto à -ésma ~ restrção, sto é, a adequação entre este número fuzzy e o correspondente b com relação à -ésma restrção. ~ ~ Os símbolos ou, quando colocados nas nequações do modelo de programação lnear fuzzy, representam uma flebldade, ou sea, o tomador de decsões aceta que algumas restrções seam parcalmente voladas. Note que, no caso convenconal, este tpo de volação não é permtdo, representando uma nfactbldade no problema. O sstema geral (1) nclu casos especas, onde: 1. função obetvo é crsp, ou sea, z() = c c c n n 2. lguma ou todas as restrções são crsp, sto é, g () = a a a n n b ~ ~ 3. lguma ou todas as restrções estão na forma soft, sto é, g () = a a a n n b 4. Estes casos especas apresentados nos tens 1 a 3 acma podem ser combnados. 3.1-Modelo de Programação Lnear Usando Álgebra de Intervalos: álgebra de ntervalos tem se mostrado de grande vala no cálculo de epressões fuzzy(moore, 1966). partr de α-cuts é possível reproduzr os números fuzzy como ntervalos, conforme apresentado em 2.4.3, e aplcar as operações matemátcas necessáras. Utlzando este conceto e fazendo dversos α-cuts, é possível obter uma boa apromação de uma resposta fuzzy para um problema de programação lnear fuzzy. Desta forma, modelou-se um problema de programação lnear com ncertezas como um problema de programação lnear fuzzy, onde seus coefcentes são (1) 2126

6 descrtos como números fuzzy trangulares. partr desta formulação sugere-se, como forma de obter uma solução fuzzy para as quantdades e para o valor da função obetvo, o uso da álgebra de ntervalos. Para sso, serão utlzados α-cuts das funções de pertnênca de cada coefcente, tanto da matrz tecnológca quanto do vetor de custos c, e, em seguda, será otmzado o problema obtdo. essênca destes testes é encontrar uma solução fuzzy para um problema de programação lnear. Para sso serão testados dos modelos. No prmero deles é colocado em separado o lado crescente; no segundo coloca-se o lado decrescente da função obetvo de cada um dos números fuzzy que representam os coefcentes da função obetvo e das restrções. Dessa forma, serão otmzados dos modelos de programação lnear, que serão descrtos adante O Modelo de programação lnear fuzzy: Consdere o segunte modelo de programação lnear: Mn n = 1 a n = 1 c b 0 = 1, 2, K, n; = 1, 2, K, m onde: c são os custos; são as varáves de decsão; a são os coefcentes tecnológcos; b são as constantes do lado dreto de cada restrção Suponha-se agora que tanto os coefcentes tecnológcos quanto as constantes do lado dreto possuem ncertezas com relação aos seus valores e, portanto, podem ser modelados como números fuzzy trangulares. Deste modo, tem-se, para cada coefcente a e para cada constante do lado dreto das nequações a segunte função de pertnênca: - a1 - b1 Para a 1 a m a m a Para b 1 b m 1 b m b1 - a2 m () = Para a - b m a 2 b() = Para b m b 2 a2 am b2 bm 0 Caso contráro 0 Caso contráro α Esta função de pertnênca pode ser representada grafcamente na fgura abao: a 1 a m a 2 segur é apresentada a estrutura geral de um modelo de msturas, que é utlzado como problema eemplo. 2127

7 3.1.2-Estrutura Geral de um Problema de Msturas Consdera-se ncalmente que se desea msturar n componentes, as matéras-prmas, cada qual com suas característcas determnadas por teores, os quas têm seus custos determnados pelo mercado (Gandolpho, 1996). O produto fnal deve estar entre níves acetáves de cada uma das m qualdades egdas, apresentar menor custo fnal e ser produzdo em lotes de quantdade X. ssm, o problema pode ser equaconado da segunte forma: cada componente de entrada ( = 1, 2,..., n) é usado na quantdade e tem custo untáro c cada componente tem um conunto de qualdades, nas proporções a ( = 1, 2,..., m). o obetvo do problema é obter um produto em quantdade X, resultado de uma mstura de custo mínmo atendendo às restrções de qualdade. processo produtvo é de msturas sem perdas de quantdade de tal modo que: X as dversas qualdades são ponderadamente adtvas. = Portanto, o modelo consste em: Mnmzar c sueto a LI a = X LS, para = 1, 2,..., m 0, = 1,...,n onde: LI = lmte nferor da qualdade ; LS = lmte superor da qualdade ; (1) Essa formulação consttu uma estrutura típca de um modelo de msturas em programação lnear. Na próma seção aborda-se a ntrodução de ncertezas nos coefcentes da matrz e os modelos utlzados para se encontrar a resposta fuzzy O Modelo de Programação Lnear usando o lado crescente e o decrescente: O modelo apresentado a segur consdera que os coefcentes da matrz possuem ncertezas. Com o ntuto de nclur estas ncertezas, modelam-se os coefcentes tecnológcos (a, para = 1,..., 4 e = 1,..., 4) como números fuzzy trangulares. Usando essa déa, assocou-se a cada um dos coefcentes uma função de pertnênca, conforme descrto abao. Um número fuzzy trangular smétrco pode ser descrto da segunte forma: -a1, para a1 am am-a1 -a2 ( ) =, para am a2, a1-a2 0, CSO CONTRÁRIO a 1 a m a 2 onde a 1 = lmte nferor, a m = ponto central e a 2 = lmte superor no ntervalo Desta forma é possível retrar o valor de, colocando-o em função do grau de pertnênca (t): 2128

8 t(a2 a1 ) + a1, para 0 t 1 2 t(a1 a2 ) = + a2, para 0 t 1 (2) 2 0, CSO CONTRÁRIO Usando este padrão, cada um dos coefcentes da matrz tecnológca é escrto em termos de suas funções de pertnênca. Varando o grau de pertnênca obtém-se o valor para cada coefcente. Observe-se que a 1 a parte de (2) representa a parte crescente, entre a 1 e a m, enquanto que a 2 a parte representa a parte decrescente, entre a m e a 1. De modo a se obter uma saída fuzzy para o problema de programação lnear fuzzy, são utlzadas as equações apresentadas em (2), descrevendo com sso, dos modelos. Varando-se o grau de pertnênca de 0 a 1, em ntervalos fos, obtêm-se dversos problemas, que representam α-cuts do problema fuzzy. otmzação desses modelos dá orgem aos resultados apresentados nas Tabelas 4 e 5. Eemplo: No segunte eemplo é consderado um problema de programação lnear com a estrutura de um modelo de mstura, conforme apresentado no tem No caso deste eemplo consdera-se que os coefcentes da matrz tecnológca, a e do vetor de custos, os c, possuem ncertezas e, por este motvo, são modelados como números fuzzy. Tabela 1 mostra os coefcentes da matrz tecnológca com seus lmtes [a 1, a m, a 2 ]. Na Tabela 2 são apresentados os coefcentes do vetor de custos, também representados pelos seus lmtes [a 1, a m, a 2 ]. Tabela 3 possu os lmtes egdos de cada restrção, sendo utlzados no lado dreto de cada uma das nequações do modelo. Coefcente a 1 a m a 2 a 11 0,35 0,45 0,55 a 12 0,66 0,76 0,86 a 13 0,77 0,87 0,97 a 14 1,41 1,42 1,43 a 21 22,31 23,41 24,41 a 22 21,2 22,2 23,2 a 23 32,77 33,77 34,77 a 24 27,61 28,61 29,61 a 31 1,10 1,20 1,30 a 32 1,10 1,20 1,30 a 33 0,84 0,94 1,04 a 34 0,63 0,73 0,83 a 41 9,88 10,88 11,88 a 42 14,53 15,53 16,53 a 43 6,98 7,98 8,98 Tabela 1 Coefcentes da Matrz Tecnológca 2129

9 Coefcente a 1 a m a 2 c 1 60,35 61,35 62,35 c 2 61,05 62,05 63,05 c 3 59,0 60,0 61,0 c 4 54,13 55,13 56,13 Tabela 2 Coefcentes da Função Obetvo Coefcente Valor b 1 0,85 b 2 0,0 b 3 30,8 b 4 25,0 b 5 1,2 b 6 1,1 b 7 16,5 b 8 8,5 b 9 1,0 Tabela 3 Coefcentes da Função Obetvo a)modelo utlzando α-cuts da parte crescente do problema de programação lnear fuzzy Neste modelo consdera-se apenas a parte crescente da função de pertnênca de cada um dos coefcentes, ou sea, a parte compreendda entre os pontos nferor e o central, a 1 e a m. Suponha então o segunte modelo de programação lnear. MINIMIZR Z = (60,35+t)* 1 + (61,05+t)* 2 + (59,0+t)* 3 + (54,13+t)* 4 Sueto a 0,0 (0,1*t+0,35)* 1 + (0,1*t+0,66)* 2 + (0,1*t+0,77)* 3 + (0,1*t+0,41)* 4 0,85; 25,0 (t+22,31)* 1 + (t+21,2)* 2 + (t+32,77)* 3 + (t + 27,61)* 4 30,8; 1,2 (0,1*t+1,1)* 1 + (0,1*t+1,1)* 2 + (0,1*t+0,84)* 3 + (0,1*t+0,63)* 4 1,2; 8,5 (t+9,88)* 1 + (t+14,53)* 2 + (t+6,98)* 3 + (t+7,23)* 4 16,5; ,0; 1 0; 2 0; 3 0; 4 0; bao segue a Tabela 4 com os resultados obtdos na otmzação do modelo a). Varable FO t = 1,0 0, ,00 0, ,00 59,03439 t = 0,9 0, ,00 0, ,00 59,36435 t = 0,8 0, ,00 0, ,00 59,699 t = 0,7 0,00 1, ,00 6, ,03845 t = 0,6 0, ,00 0, ,00 60,38281 t = 0,5 0, ,00 0, ,00 60,73217 t = 0,4 0, ,00 0, ,00 61,08665 t = 0,3 0, ,00 0, ,00 61,44636 t = 0,2 0, ,00 0, ,00 61,81142 t = 0,1 0, ,00 0, ,00 62,18195 t = 0,0 0, ,00 0, ,00 6, Tabela 4 Resultados Obtdos b) Modelo utlzando α-cuts da parte decrescente do problema de programação lnear fuzzy gora será utlzada apenas a parte compreendda entre a m e a 2. Portanto, será utlzado o segunte modelo de PL apenas com o lado crescente: 2130

10 MINIMIZR Z = (60,35-t)* 1 + (61,05-t)* 2 + (59,0-t)* 3 + (54,13-t)* 4 ; Sueto a 0,0 (0,55-0,1*t)* 1 + (0,86-0,1*t)* 2 + (0,97-0,1*t)* 3 + (1,43-0,1*t)* 4 0,85; 25,0 (24,31-t)* 1 + (23,2-t)* 2 + (34,77-t)* 3 + (29,61-t)* 4 30,8; 1,1 (1,3-0,1*t)* 1 + (1,3-0,1*t)* 2 + (1,04-0,1*t)* 3 + (0,83-0,1*t)* 4 <= 1,2; 8,5 (11,88-t)* 1 + (16,53-t)* 2 + (8,98-t)* 3 + (9,23-t)* 4 <= 16,5; ,0; 1 0; 2 0; 3 0; 4 0; Tabela 5 mostra os resultados obtdos na otmzação deste modelo Varável FO t = 1,0 0, ,00 0, ,00 59,03439 t = 0,9 0, ,00 0, ,00 58,70903 t = 0,8 0, ,00 0, ,00 58,38817 t = 0,7 0, ,00 0, ,00 58,07172 t = 0,6 0, ,00 0, ,00 57,75960 t = 0,5 0, ,00 0, ,00 57,45170 t = 0,4 0, ,00 0, ,00 57,14795 t = 0,3 0, ,00 0, ,00 56,84826 t = 0,2 0, ,00 0, ,00 56,55256 t = 0,1 0, ,00 0, ,00 56, t = 0,0 0, ,00 0, ,00 55,97278 Tabela 5 Resultados Obtdos 1,0 1,0 1,0 0,9 0,9 0,8 0,7 0,9 0,6 0,8 0,5 0,8 0,4 0,7 0,3 0,7 0,2 0,1 0,6 0,65 0,67 0,69 0,71 0,73 0,75 0,77 0,79 0,0 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3 Gráfco 1 Saída de X 1 Gráfco 2 Saída de X

11 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, partr dos resultados obtdos, apresentados nas Tabelas 4 e 5, foram construídos os Gráfcos 1,2,3. Estes gráfcos mostram o formato da saída dos modelos apresentados. Note que, assm como os dados de entrada, os resultados também possuem o formato trangular, como os dados de entrada dos coefcente fuzzy. Conclusões: O uso da álgebra de ntervalos permte encontrar uma boa apromação para uma resposta fuzzy, onde os resultados são epressos em termos de funções de pertnênca. Desta forma é possível fornecer ao tomador de decsões uma faa onde é provável encontrar a resposta ao seu modelo. metodologa aqu apresentada utlzou o método smple para obter, de forma teratva, o resultado esperado. Com a fnaldade de descrever as ncertezas nerentes aos nsumos de um modelo de programação lnear de msturas, defnram-se os coefcentes da matrz tecnológca como números fuzzy trangulares e dvdu-se o modelo de programação lnear em duas partes (ou dos modelos): a prmera, chamada de parte crescente, compreendda entre o lmte nferor e o ponto central, e a segunda, compreendda entre o ponto central e o lmte superor. utlzação destes modelos e de α- cuts tornou possível modelar uma solução fuzzy para as quantdades e para o valor da função obetvo do problema de programação lnear fuzzy. Referêncas bblográfcas Gráfco 3 Resposta da Função Obetvo (1) Bellman, R. E. & Zadeh, Loft. (1970). Decson Makng n a Fuzzy Envernment, Management Scence, 17, (2) Cadenas, J. M. & Verdegay, J.L. (1995). PROBO: n Interactve System n Fuzzy Lnear Programmng, Fuzzy Sets and Systems, 76, (3) Gandolpho,.. (1996). Interpretação econômca de modelos para compra de carvões em sderúrgcas. Tese de Mestrado, Departamento de Engenhara Industral, PUC-Ro, Ro de Janero. (4) Moore, Ramon E. (1966). Interval nalyss. Prentce Hall, Inc, New York. (5) Pedrycz, W & Gomde, F. (1988), n ntroducton to Fuzzy Sets: nalyss and Desgn. MIT Press. (6) Zadeh, L.. (1978). Fuzzy sets as a bass for a theory of possblty. Fuzzy Sets and Systems, 1:3-28 (7) Zmmerman, H. J. (1996). Fuzzy Set Theory and ts pplcatons, Kluwer cademc Press. 2132