USO DA SIMILARIDADE ENTRE CAMINHOS PARA O PROBLEMA DE CAMINHO MÍNIMO COM PARÂMETROS FUZZY

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1 USO DA SIMILARIDADE ENTRE CAMINHOS PARA O PROBLEMA DE CAMINHO MÍNIMO COM PARÂMETROS FUZZY Fábo Hernandes Unversdade Estadual do Centro-Oeste - UNICENTRO Departamento de Análse de Sstemas - DESIS , caxa postal 00, Guarapuava-PR fabo@dt.fee.uncamp.br Akebo Yamakam Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação - FEEC Unversdade Estadual de Campnas - UNICAMP , caxa postal 60, Campnas-SP akebo@dt.fee.uncamp.br Marca Tome Takahash Unversdade Estadual de Fera de Santana - UEFS Departamento de Cêncas Exatas - DEXA , caxa postal 5, Fera de Santana-BA mtome@lbra.uefs.br Resumo O problema de camnho mínmo em grafos com ncertezas nos parâmetros é um problema que embora apareça em mutas aplcações, tas como: telecomuncações; transportes; manufaturas; etc, anda se encontra na fase ncal, vsto que possu alta complexdade computaconal. Este trabalho propõe um algortmo que encontra um conjunto solução de camnhos não-domnados e determna a smlardade entre estes e o comprmento do camnho mínmo deal, encontrado a partr da heurístca proposta por Chuang e Kung, ordenando assm estes camnhos. Este algortmo é baseado no algortmo clássco de Ford-Moore-Bellman acrescdo da heurístca ctada. As ncertezas nos parâmetros são modeladas por meo da teora de conjuntos fuzzy. Palavras-chave - programação matemátca, grafos fuzzy, problemas de camnho mínmo. Abstract The shortest path problem n graphs wth uncertantes n the parameters s a problem that although appearng n many applcatons, such as: telecommuncatons; transports; manufactures; etc, stll meets n the ntal phase, snce t has hgh computatonal complexty. Ths work consders an algorthm that fnds a soluton set of nondomnated paths and determnes the smlarty between these paths and the length of the deal shortest path, proposed by Chuang and Kung, thus commandng these paths. Ths algorthm s based on the classc algorthm of Ford-Moore-Bellman and ncorporatng the above heurstc. The uncertantes n the parameters are modeled by means of the theory of fuzzy sets. Keywords - mathematcal programmng, fuzzy graphs, shortest path problems.. Introdução Incerteza, mprecsão e ambgüdade são fatores que nem sempre podem ser gnorados na resolução de problemas reas, vsto que a maora destes problemas possu parâmetros tas como: custos, capacdades, demandas etc, que não são naturalmente precsos. Introduzda nas décadas de 960 e 970 por Zadeh (Zadeh, 965; Zadeh, 968; Zadeh, 978), a teora dos conjuntos fuzzy é uma ferramenta freqüentemente utlzada na modelagem destes parâmetros. Atualmente dversos trabalhos

2 na área de engenhara são encontrados utlzando esta teora, donde destacam-se: problemas de controle (Shaw e Smões, 988), sstemas de suporte à decsão (Bellman e Zadeh, 970), reconhecmento de padrões (Bezdek, 98) e programação matemátca (Malk e Moderson, 00). Na programação matemátca uma das áreas estudadas é a de grafos, uma vez que grande quantdade de problemas pode ser representada na forma de redes: alocação, camnho mínmo, fluxo máxmo, dentre outras, com aplcações nas mas dversas áreas da engenhara: telecomuncações; transportes; manufaturas; etc. Dentro da área de grafos, o problema de encontrar o camnho mínmo de um nó orgem específco a outros nós é um problema fundamental que aparece em mutas das aplcações ctadas anterormente. Embora este assunto tenha um vasto campo de aplcações, o estudo nesta área, consderando grafos fuzzy, anda se encontra na fase ncal. Além do mas, a maora destes problemas possu alta complexdade computaconal, tornando assm dfícl suas soluções. Dentre os prncpas trabalhos de camnho mínmo fuzzy encontrados na lteratura destacamse: Dubos e Prade (980), Klen (99), Okada e Soper (000), Blue, Bush e Puckett (00), Okada (004) e Chuang e Kung (005). O trabalho de Dubos e Prade (980) está entre um dos prmeros da lteratura, que propõe a smples extensão dos algortmos clásscos de Floyd e de Ford-Moore-Bellman. Porém verfcou-se que ambos os algortmos podem retornar comprmentos sem um camnho assocado. Em 99, Klen contorna a dfculdade encontrada por Dubos e Prade com o uso de domnânca de conjuntos fuzzy e propõe um algortmo para encontrar o menor camnho. Em seu trabalho, Okada e Soper (000) caracterzam a solução não como o camnho mínmo com maor grau de pertnênca possível, mas como um conjunto solução fuzzy, onde cada elemento é um camnho nãodomnado com um certo grau de pertnênca de ser o mínmo. Blue, Bush e Puckett (00) apresentam uma taxonoma para grafos e propõem alguns algortmos para os prncpas problemas. No algortmo de camnho mínmo proposto, encontram um valor de corte para lmtar o número de camnhos a serem analsados, em seguda aplca-se uma versão modfcada do algortmo dos k-camnhos mínmos (crsp), proposto por Eppsten (994), a fm de se determnar os camnhos com algum grau de possbldade de ser o mínmo. Okada (004) estudou a nteratvdade entre os camnhos fuzzy e desenvolveu um algortmo utlzando teora de possbldade, no qual ntroduz o conceto de grau de possbldade de um arco pertencer a um camnho mínmo. Já Chuang e Kung (005), que é um dos trabalhos mas recente, propõe uma heurístca para encontrar o comprmento do camnho mínmo e também o conceto de grau de smlardade, cuja fnaldade é verfcar a smlardade entre o comprmento mínmo encontrado, pela heurístca proposta, e os comprmentos de todos os possíves camnhos. Analsando as característcas dos trabalhos ctados anterormente, verfca-se que estes são aplcados apenas em grafos com custos não negatvos nos arcos, porém exstem alguns problemas reas onde aparecem custos negatvos e que necesstam ser analsados (maores detalhes: Ahuja, Magnant e Orln, 99). Com base neste tpo de problema, fo proposto um algortmo, baseado no de Ford-Moore-Bellman (Goldbarg e Luna, 000; Bellman, 958) para problemas de grafos clásscos, para abordar o problema de camnho mínmo em grafos com custos nos arcos fuzzy (Hernandes e Yamakam, 004) e um trabalho em que se consdera, além das característcas anterores, restrção de tempo fuzzy (Hernandes e Takahash, 004). Este trabalho tem como fnaldade encontrar o conjunto solução dos camnhos de menor custo (não-domnados), utlzando a defnção de domnânca aplcada em Okada e Soper (000), além de aplcar a heurístca proposta por Chuang e Kung (005) para encontrar o comprmento (custo) do camnho mínmo e detectar a smlardade entre este custo e os custos dos camnhos não-domnados. Com sso, pretende-se ordenar o conjunto fuzzy de soluções, apresentando assm os camnhos mas próxmos ao camnho mínmo fuzzy, encontrado pela heurístca em Chuang e Kung (005). Este trabalho está organzado da segunte forma: na Seção são apresentados os concetos e defnções utlzados no algortmo proposto. A heurístca adotada, bem como o algortmo para encontrar a smlardade entre os camnhos e o comprmento encontrado, são apresentados na Seção. O algortmo proposto está na Seção 4. Na Seção 5 são fetos alguns comentáros sobre a mplementação do algortmo e apresentados alguns resultados computaconas. Na Seção 6 encontramse alguns comentáros e propostas futuras. 8

3 . Concetos e Defnções Nesta Seção encontram-se os concetos e defnções utlzados no algortmo proposto.. Números fuzzy Exstem város tpos de números fuzzy (Pedrycz e Gomde, 998), entretanto, neste trabalho são utlzados apenas números fuzzy trangulares. Defnção..: Um número fuzzy trangular pode ser defndo como a = ( a, a, a ) função de pertnênca, μ ( x), defnda pela expressão: μ a 0, se x a x a, se a x a a a ( x) = a x, se a x a a a 0, se x a a tal que: a : lmtante nferor; a : valor modal; e a : lmtante superor. Defnção..: Valor modal é o valor [ ] máxmo. Fgura : Exemplo de um número fuzzy trangular, tendo sua x a,a para o qual a função de pertnênca tem valor Defnção..: Sejam a e b números fuzzy trangulares tal que a = ( a, a, a ) e ( b, b, b ) então a soma fuzzy é denotada por: a b = a, a, a b, b, b = a + b, a + b a + b ( ) ( ) ( ), Defnção..4: Um α -corte de um subconjunto fuzzy é um conjunto [ ] = { x μ ( ) α} x α [0,]. α b =, a a, tal que. Relação de ordem Em seu trabalho, Okada e Soper (000) consderam os comprmentos dos arcos como números fuzzy postvos do tpo LR. Introduzram uma relação de ordem entre números fuzzy, baseada em "fuzzy mn", e encontram um conjunto solução de camnhos não-domnados (Pareto-Ótmo). b =. Então a p b (a domna b ) se e somente se as seguntes nequações forem satsfetas: a < b ; a < b ; a < b Axoma: Sejam a e b números fuzzy tal que a = ( a, a, a ) e ( b, b, b ) μ a a a x. Heurístca de Chuang e Kung Chuang e Kung (005) propuseram um procedmento heurístco para encontrar o comprmento (custo) do camnho mínmo fuzzy (CCMF) entre todos os possíves camnhos da rede. Este procedmento é baseado na déa de que um número crsp é mínmo se e somente se todos os outros forem maores ou guas a ele. No entanto, a computação assocada a este procedmento é complcada, com sso os 84

4 autores propuseram um procedmento heurístco para o CCMF, reduzndo assm a complexdade computaconal e também da função de pertnênca. Em adção, também apresentam uma forma para encontrar qual é o camnho mínmo assocado ao CCMF, este é baseado no cálculo do grau de smlardade entre o CCMF e cada um dos comprmentos dos camnhos exstentes.. Procedmento para encontrar o CCMF Assume-se que em uma rede exstem m camnhos crsp, mn ( prv ) t ( ) ( p ) p do nó r ao v, t=,,...,m. Se o comprmento é t l é o mínmo entre todos os comprmentos dos camnhos l ( p rv ). Isto é, um número k ( l p rv ) é mínmo ( lmn rv ) se e somente se todos os outros números ( l( prv ), k t) são maores ou guas a ele. Esta déa é generalzada para o CCMF, encontrando assm o L mn ( prv ). Para facltar a t notação serão utlzados os termos L t e L mn para ( L ( p rv )) e L mn ( prv ) respectvamente, sendo t L ( p rv ) o comprmento (custo) do t-ésmo camnho fuzzy. Seja μ L ( x) denotando a função de pertnênca para o possível tempo x com respeto a L. Como notado para número crsp, se x com respeto a L é o menor tempo, então não exste nenhum outro x com respeto a L k ( k ) menor do que ele. Esta déa é utlzada para determnar L mn. Defne-se SL como o conjunto fuzzy do tempo x com respeto a L e SL ( x) como a função de pertnênca de x com respeto a SL. Portanto, μ ( x) = mn[ μ ( x),mn[ μ ( x)]] () SL L L k k A fórmula anteror pode também ser escrta como segue: SL = L I L I L I L = L I ( ) m I L k k tal que L k denota o conjunto fuzzy de todo y<x com respeto a L k ( k ) (Fgura ), μ L (x) é a k função de pertnênca de x com respeto a L k, e o operador mínmo é usado pela nterseção de dos conjuntos fuzzy. Além dsso, μ (x) pode ser representado da forma: μ ( x) = Lk L k y< x max μ y Lk L ( y) Defnção.: Seja a função de pertnênca trangular de k chamado conjunto fuzzy half-nverse, sendo defndo da segunte forma: 0, x > a μ L ( x) = μ ( x), a x a k L k (), x < a t rv L representada por (, a a ) a, então k L é L k L k 0 a a a Fgura : Exemplo de Substtundo a equação () na (), obtêm-se: L k 85

5 μ m ( x) = max[mn[ μ ( x), mn μ L mn Lt L t k t k = ( x)]] De acordo com o exposto anterormente, o procedmento heurístco para calcular o CCMF pode ser encontrado, sendo descrto na subseção segunte.. Procedmento heurístco para detectar o CCMF Embora o procedmento CCMF possa ser usado para determnar o comprmento (custo) do camnho mínmo, sua computação é complcada. Devdo a sso, os autores propuseram uma heurístca para reduzr a complexdade computaconal e também da função de pertnênca. Incalmente os autores dscutem o CCMF para dos camnhos de comprmento fuzzy, sendo o valor modal o ponto mas alto da função de pertnênca (maores detalhes Chuang e Kung (005)) e em seguda generalzam para m camnhos. Algortmo: Heurístca - CCMF PASSO 0: Dados de entrada = a, a, a ),,,,..., m (custos dos camnhos) L ( = P ASSO : Ordenação dos comprmentos dos camnhos Forme o conjunto Q ordenando os L s em ordem crescente de a : m Q = Q, Q, Q,..., Q tal que Q = ( a a, a ),,,..., m { } PASSO : Cálculo de L mn. Seja L mn = ( a, a, a ) = Q. Para =,,..., m+ calcule: a, a ( aa ) ( aa ) ( a + a ) ( a + a PASSO : Retorne, = se a =, se a > a ) a = mn( a, a ) a = mn( a, a ) L = a, a, a ) mn ( L mn FIM. a Obs: Se no passo exstrem dos ou mas L s com o mesmo a a ordenação pode ser feta arbtraramente, vsto que não afetará no resultado.. Algortmo proposto por Chuang e Kung Calculado o L mn (subseção.), Chuang e Kung (005) usaram a nterseção entre áreas de dos trângulos para a medda do grau de smlardade entre L mn e cada um dos L s, =,,,...,m. Quanto maor a nterseção entre os dos trângulos, maor o grau de smlardade entre eles. Defnção.: O grau de smlardade entre L mn = ( a, a, a ) e L = ( a, a, a ) é calculado da segunte forma: 0, se L I Lmn = φ s = area( = mn ) ( a a ) L I L, se L L φ I mn [( a a ) + ( a a )] 86

6 Algortmo: Chuang e Kung (005) PASSO 0: Entre com uma rede dreconada com n nós e k arcos. PASSO : Encontre os camnhos possíves entre os nós r e v com os respectvos comprmentos (custos) L = a, a, ), =,,..., m ( a PASSO : Encontre o Lmn através da heurístca proposta (algortmo Seção.) PASSO : Encontre o grau de smlardade s entre L mn e L, =,,,...,m PASSO 4: Encontre o camnho com o maor grau de smlardade PASSO 5: FIM. 4. Algortmo Proposto Observando o algortmo de Chuang e Kung (005), nota-se que a dfculdade resde em comparar uma grande quantdade de camnhos para assm determnar qual é o que possu o maor grau de smlardade. Nesta seção, é proposto um algortmo para o problema de camnho mínmo em grafos fuzzy. Este algortmo é uma adaptação do algortmo para grafos clásscos de Ford-Moore-Bellman (958) e a este está assocada a heurístca proposta por Chuang e Kung (005), com a fnaldade de determnar qual camnho não-domnado possu maor grau de smlardade com o CCMF. Defnção 4.: Sejam x, y X duas soluções factíves dstntas do problema de camnho mínmo, x domna y se e somente se f ( x) p f ( y). Ou seja, um camnho p é um camnho não-domnado (Pareto-Ótmo) se e somente se não exste outro camnho p p d p ( d : dstânca). p tal que ( ) ( ) d 4. Informações sobre o algortmo proposto: n l : custo do camnho entre o nó e o com a etqueta k na teração n (= L ); (, k ) Γ : conjunto dos nós predecessores de ; Algortmo Proposto PASSO 0: Incalzação das varáves: m. M = a, tal que a é o lmtante superor dos arcos fuzzy e m é o número de arcos do grafo; = l 0 (,) = (0, 0, 0 ; l 0 ( j,) = ( M +, M +, M + ), j =,,..., r. ) 4. ; r: número de nós. 5. n. PASSO : Seleção das etquetas e verfcação da domnânca: n. l (0, 0, 0) ; (,) = j Γ, =,,,..., n n l(, k) = l( j, k ) l j. r, faça:. Verfcação da domnânca entre as etquetas. Para todas as etquetas do nó faça: n n Se l(, k) f l(, k ) elmne a k ésma etqueta; 87

7 Se n n l(, ) p l(, ) elmne a k ésma etqueta. k PASSO : Crtéro de parada n n. Se l = l, N Passo ( : conjunto dos nós); k (, k) (, k) N. Senão: n n + volte ao passo. PASSO : Composção dos camnhos não domnados: Encontre os camnhos não-domnados de para t. PASSO 4: Encontre o L mn através da heurístca de Chuang e Kung (algortmo subseção.). PASSO 5: Entre os camnhos não-domnados encontre aquele que possu o menor grau de smlardade com L mn (algortmo subseção.). PASSO 6: FIM. 4. Complexdade computaconal Sejam r o número de nós do problema, m o número de arcos, V j o número de rótulos permanentes do nó j e V max o máxmo entre {V, V,..., V r }, logo a complexdade computaconal do algortmo proposto é lmtada por O ( r V max ). 5. Resultados Computaconas O algortmo proposto fo mplementado na lnguagem Matlab 7.0 e testado em três redes. A prmera é a rede utlzada no trabalho de Chuang e Kung (005), a segunda é semelhante a prmera porém contendo custo negatvo em um dos arcos e a tercera é uma rede óptca talana de telecomuncações (Al, Ramamurthy e Deogun, 00). Exemplo : Rede utlzada por Chuang e Kung. Fgura : Rede de Chuang e Kung Arco Orgem Destno Custo ( 45 50) (4 57 6) (50 5 6) 4 4 ( ) 5 5 ( ) 6 5 ( ) ( 40 46) (88 9 4) (75 0 4) Tabela : Arcos e custos da rede de Chuang e Kung Executando o algortmo para a rede anteror (Fgura ) obtêm-se os seguntes resultados: 88

8 . Do nó ao, é detectado o segunte camnho não-domnado: com custo ( 45 50). Do nó ao : com custo (4 57 6). Do nó ao 4: 4 com custo (89 0 ) 4. Do nó ao 5: Camnho : 5 com custo (85 ) Camnho : 5 com custo (84 4 5) L mn = ( ); s =.70 e s =.5 5. Do nó ao 6: Camnho : 4 6 com custo ( ) Camnho : 5 6 com custo (60 5) Camnho : 5 6 com custo ( ) L mn =( ); s =6.78, s =8.4 e s =6.9 Verfcando os resultados anterores e comparando-os com os do artgo de Chuang e Kung (005) verfca-se que estes são parecdos, pos os camnhos que possuem grau de smlardade pequenos no artgo de Chuang e Kung são os camnhos domnados do algortmo proposto. Analsando os graus de smlardades entre os nós que possuem mas de um camnho nãodomnado concluí-se que o camnho é o melhor dos camnhos entre os nós e 5 e que o é o melhor entre os dos nós e 6. Exemplo : Rede acíclca com arco com custo negatvo. Fgura 4: Rede com custo negatvo Arco Orgem Destno Custo ( ) (5 7 9) ( 4 9) 4 4 (0 ) 5 5 (5 6 7) 6 4 (8 9 0) (-9 8-7) ( 4) (8 9 0) Tabela : Arcos e custos da rede negatva Executando o algortmo para esta rede (Fgura 4) obtêm-se os seguntes resultados:. Do nó ao, encontrou-se o segunte camnho não-domnado: com custo ( ). Do nó ao : Camnho : com custo ( 6 ) 89

9 Camnho : com custo (5 7 9) L mn =( 5. 7); s =. e s =0.55. Do nó ao 4: Camnho : 4 com custo ( 5) Camnho : 4 com custo (0 5 ) L mn =(0.4 5); s =.65 e s = Do nó ao 5: Camnho : 4 5 com custo ( 5 8) Camnho : 4 5 com custo ( 7 5) L mn =(.67 7); s =.97 e s =.9 5. Do nó ao 6: Camnho : com custo (0 4 8) Camnho : com custo (9 6 5) L mn =(9.8 6); s =. e s =.6 Analsando os resultados percebe-se que todos os camnhos não-domnados entre os nós e 5 e os nós e 6 passam pelo arco que possu custo negatvo (4 5), sto deve-se ao motvo de que este arco dmnu o custo do referdo camnho. Verfcando os graus de smlardade dos nós que possuem mas de um camnho não-domnado concluí-se que, concdentemente, o camnho é o melhor em todos os casos. Exemplo : Rede óptca talana. Fgura 5: Rede talana 90

10 Nó Cdade Nó Cdade Bolzano Peraga Mlano Roma Verona 4 Pesacara 4 Treste 5 Napol 5 Veneza 6 Bar 6 Torno 7 Caglar 7 Genova 8 Potenza 8 Bolgano 9 Catanzano 9 Frenze 0 Palermo 0 Psa Catamm Ancona Tabela : Denomnação dos nós da rede talana Arco Orgem Destno Custo (0 5 7) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 5 5 ( ) ( ) 7 6 ( ) 8 7 ( ) 9 8 ( ) (5 0 0) 6 7 (7 0 4) 7 8 (5 0 6) 7 9 ( 40 46) ( 5 8) (7 0 7) 6 8 (0 0 4) ( 5 9) 8 9 (0 5 7) 9 9 ( ) 0 0 ( ) 4 ( ) 4 (9 00 5) ( 5 8) 4 7 ( ) 5 5 ( ) (9 97 0) ( ) ( ) ( 5 4) (5 6 70) 5 ( ) 6 8 ( ) 7 0 ( ) ( ) 5 9 ( ) 6 0 ( ) Tabela 4: Arcos e custos da rede talana Executando o algortmo de Chuang e Kung (005) para esta rede (Fgura 5), verfca-se que exstem, por exemplo, 5 camnhos entre os nós e, sendo que a maora destes possu grau de 9

11 smlardade entre seus custos e o CCMF próxmos ou guas a zero. Executando o algortmo proposto, detectou-se que somente entre os nós e exstem dos camnhos não-domnados, entre os demas nós somente exste somente um camnho não-domnado entre o determnado nó e o ncal (). Portanto, analsando este exemplo, para os dos algortmos percebe-se que o de Chuang e Kung é muto custoso, pos é necessáro encontrar todos os camnhos entre os nós para calcular a smlardade, enquanto que o algortmo proposto descarta os camnhos com smlardade baxa, sem a necessdade de encontrá-los, dmnundo assm o tempo computaconal. Camnhos encontrados entre os nós e pelo algortmo proposto: Camnho : com custo ( ) Camnho : com custo ( ) L mn =( ); s =4.5 e s =5.84 Verfcando o grau de smlardade entre os camnhos detecta-se que o é o melhor. 6. Conclusões O algortmo proposto apresenta um conjunto solução de camnhos não-domnados, assm como o de Okada e Soper (000). A vantagem deste é que possu complexdade computaconal menor e pode ser aplcado em redes com custos negatvos, ao contráro de Okada e Soper que somente trabalha com custos postvos. Além da vantagem supractada, o algortmo apresenta, através da heurístca e da medda de smlardade, propostas por Chuang e Kung (005), os camnhos que podem ser consderados mínmos, ou seja, os que possuem maor grau de smlardade. Porém, ao contráro do algortmo de Chuang e Kung, este não necessta encontrar todos os camnhos entre dos nós, vsto que os camnhos que são domnados, no algortmo proposto, apresentam grau de smlardade baxo, no de Chuang e Kung. Portanto, aplcando o algortmo proposto em uma rede de grande porte, este deve apresentar um desempenho melhor do que o de Chuang e Kung, vsto que não precsa encontrar todos os camnhos, mas sm somente os não-domnados. Como trabalhos futuros propõe-se o estudo detalhado do comportamento deste algortmo em redes com dversos tamanhos e densdades e também a nclusão de janelas de tempo. Agradecmentos Agradecemos à Unversdade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO) que concedeu afastamento a Fábo Hernandes para cursar doutorado na Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação (FEEC) da Unversdade Estadual de Campnas (UNICAMP). Referêncas Bblográfcas Ahuja, R. K., Magnant, T. L. e Orln, J. B. (99). Network flows. Prentce Hall. Al, M., Ramamurthy, B. e Deogun, J. S. (00). A genetc algorthm for routng n wdm optcal networks wth power consderatons. Part : The uncast case. Bezdek, J. (98). Pattern recognton wth fuzzy objectve functon algorthms. Plenum Press. Bellman, R. E. (958). On a routng problem. Quart. Appl. Math. (6). Bellman, R. E. e Zadeh, L. (970). Decson makng n a fuzzy envronment. Manag. Scence (7). Blue, M., Bush, B. e Puckett, J. (00). Unfed approach to fuzzy graph problems. Fuzzy Sets and Systems (5): Chuang, T. e Kung, J. (005). The fuzzy shortest path length and the correspondng shortest path n a network. Computers and Operatons Research ():

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