SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES

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1 O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL COM PLACA DEFEITUOSA ANDRÉA CARLA GONÇALVES VIANNA Unversdade Estadual Paulsta - UNESP Faculdade de Cêncas Departamento de Computação Av. Luz Edmundo Carrjo Coube, s/n, Bauru, SP vanna@fc.unesp.br MARCOS NEREU ARENALES Unversdade de São Paulo - USP Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação Departamento de Cêncas de Computação e Estatístca Av. do Trabalhador São-carlense, 400 CP 668, São Carlos, SP arenales@cmc.sc.usp.br Resumo. O problema tratado neste trabalho consste em cortar uma placa retangular em peças menores retangulares, de modo que a perda seja mnmzada. A placa, entretanto, contém defetos bem localzados. Propomos uma abordagem em grafo E/OU para representação das soluções possíves e um método de enumeração mplícta para determnar a solução ótma. Resultados computaconas demonstram a efetvdade da abordagem. Palavras-chave: Problemas de corte e empacotamento, busca em grafo E/OU, otmzação combnatóra. Abstract. Ths paper addresses to the two-dmensonal cuttng problem where a rectangular plate s to be cut nto smaller rectangular peces, n such a way as to mnmzng the waste. However, the plate has a number of defects. We propose an AND/OR-graph approach to represent the feasble soluton and a branch and bound method n order to search the graph. Computatonal experments show that the approach s effectve. Keywords: Cuttng and packng problems, AND/OR-graph search, combnatoral optmzaton. 1 Introdução O Problema de Corte, genercamente, consste em cortar undades maores (objetos) em undades menores (tens), otmzando uma determnada função (por exemplo, mnmzação da perda). Esse tpo de problema aparece em dversos processos ndustras, tas como no corte de bobnas de papel e alumíno, barras de aço, chapas metálcas e de madera, placas de crcuto mpresso, caxas de papelão, rolos de tecdo, entre outros. Nestes exemplos os objetos são perfetos, ou seja, é possível cortar tens em qualquer posção do objeto. Há casos em que sto nem sempre ocorre, por exemplo, uma chapa de madera com pequenos defetos de fabrcação. Os problemas de corte com placas defetuosas foram pouco estudados na lteratura. Carner et al (1993) apresentou um procedmento heurístco para a resolução de problemas com objeto defetuoso, ou seja, a placa apresenta um defeto retangular ao longo de seu comprmento. Este procedmento ut-

2 lza uma tabela G( que contém os valores ótmos para dversos retângulos de tamanho (, sendo x e y a largura e o comprmento, respectvamente. Esta tabela é construída com os tamanhos (largura e comprmento) ordenados. O valor G(L,W) é o valor ótmo do objeto orgnal, com largura L e comprmento W. O procedmento utlza a tabela G( não somente para obter valores ótmos, mas também para gerar lmtantes que serão utlzados no procedmento de busca. Neste trabalho apresentamos a resolução do problema de corte bdmensonal com placa defetuosa utlzando uma abordagem de solução baseada numa busca em grafo E/OU, proposta ncalmente por Morabto (1989, 1992) e generalzada por Arenales (1993). Vanna (2000) estendeu a abordagem em grafo E/OU para tratar outros casos não analsados por trabalhos anterores, envolvendo dferentes processos de corte. Esta abordagem utlza uma técnca de busca híbrda (sem-nformada), onde se combnam a busca em profunddade com lmte e a busca hll-clmbng, utlzando também, heurístcas baseadas nos lmtantes superores e nferores. 2 Problema de Corte Bdmensonal com Placa Defetuosa Consdere uma placa retangular (objeto) de dmensões (L,W), onde L é o comprmento e W é a largura, e um conjunto de m peças retangulares (tens) de dmensão (l,w ), onde l é comprmento e w a largura da peça, e valor de utldade v, =1,...,m (Fgura 1). Um problema de corte bdmensonal consste em cortar a placa retangular em peças menores, de forma a otmzar um determnado objetvo. O modo como as peças estão arranjadas na placa é chamado de padrão de corte (Fgura 2). Note que é possível alocar peças em qualquer posção da placa. (1) w 1 (2) w2 W l 1 l 2 (3) w 3 (4) w 4 L l 3 l 4 Fgura 1. Problema de Corte Bdmensonal (2) (1) (2) W (3) (4) L Fgura 2. Padrão de corte bdmensonal Suponha que a placa retangular contém um ou mas defetos, ou seja, os padrões de corte devem ser gerados de forma a não alocar peças sobre o(s) defeto(s) (Fgura 3). Neste trabalho, são tratadas as áreas defetuosas de manera retangular (Fgura 4). Fgura 3. Padrão de corte em uma placa defetuosa

3 Fgura 4. Placa defetuosa e placa a ser tratada 3 Representação em Grafo E/OU A abordagem em Grafo E/OU para a resolução de Problemas de Corte fo ncalmente proposta por Morabto (1989), para problemas de corte gulhotnado bdmensonal rrestrto e não-estagado. Morabto (1992) estendeu esta abordagem para problemas de corte gulhotnado rrestrto e restrto, consderando as dmensões undmensonal, bdmensonal e trdmensonal. Arenales (1993) generalzou a abordagem. Em Arenales e Morabto (1995) a abordagem fo aplcada para um problema nãogulhotnado. Anda, para problemas gulhotnados, Morabto e Arenales (1996) apresentaram a abordagem em grafo E/OU para a resolução de problemas estagados e restrtos. Vanna (2000) estendeu a abordagem para dferentes processos de corte. Um grafo E/OU pode ser defndo para representar todos os possíves padrões do problema de corte, onde os nós representam retângulos (no caso do problema de corte bdmensonal gulhotnado, com objeto e peças retangulares) e os arcos representam cortes. Observe que um arco (corte) estabelece uma relação entre um nó N do grafo (retângulo), com dos outros nós N 1 e N 2, portanto, um arco-e. Os nós N 1 e N 2 são chamados sucessores de N e, N predecessor de N 1 e N 2. Os padrões são gerados examnando-se todas as possbldades de corte (daí, arcos-ou) e uma delas é reproduzr o própro retângulo (corte-0, lê-se corte zero), ao qual nenhum outro corte será feto, ndcando o fnal do processo de corte. Um corte-0 é representado por um arco comum. O nó ncal é representado pela placa (L,W) e os nós fnas são aqueles orgnados de um corte-0 (sem perda de generaldade, assocam-se aos retângulos fnas um ou mas tens dêntcos. Veja Fgura 5). Os cortes (vertcas ou horzontas) podem ser restrtos, sem perda de generaldade, a um conjunto fnto formado pelas combnações lneares não-negatvas dos tamanhos dos tens, de modo que o grafo que representa todos os possíves padrões de corte é fnto. Fgura 5. Grafo E/OU representando padrões de corte O problema de corte com placa defetuosa é representado através de grafo E/OU permtndo que os cortes sejam gerados em qualquer posção da placa. Uma seqüênca de cortes na placa defetuosa pode ser observada na Fgura 6.

4 Fgura 6. Padrão de corte numa placa defetuosa É possível que se tenha uma placa com mas de um defeto; usando o crtéro anteror, a seqüênca de cortes é feta de manera análoga (Fgura 7). Fgura 7. Possíves cortes numa placa com mas de um defeto 4 Método de Enumeração Implícta Para a resolução do problema de corte com placa defetuosa é utlzado um método de enumeração mplícta, baseado numa busca no grafo E/OU que descreve o espaço de soluções possíves. A estratéga de busca combna busca em profunddade com busca nformada (hll-clmbng). Durante o processo de busca é possível reduzr o número de nós explctamente gerados a um conjunto fnto formado pelas combnações lneares não-negatvas das dmensões das peças. Enumerar explctamente todos os camnhos do grafo, durante o processo de busca, é, na maora das vezes, nvável. As soluções podem ser enumeradas mplctamente, ou seja, é possível descartar a expansão de um nó sem perder a solução ótma, usando lmtantes. 4.1 Lmtante Inferor É usual em problemas de otmzação (maxmzação), a determnação de lmtantes nferores através da obtenção de soluções váves. Nos problemas de corte, soluções váves são faclmente determnadas. Uma solução trval para o subproblema do nó ( é preenchê-lo somente com peças guas, conforme o padrão da Fgura 8. Um padrão de corte que contém peças todas guas é denomnado padrão de corte homogêneo.

5 Fgura 8. Padrão de corte homogêneo Escolhendo-se o melhor dentre estes padrões, tem-se o lmtante nferor dado por: LI( = = x max v.. 1 m l x y v j.. l j w j y w Quando se tem um problema com um nó representando um retângulo defetuoso de dmensão ( e um defeto nas coordenadas (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), a solução trval é preenchê-lo com peças sem sobrepor o defeto. O preenchmento desta placa pode ser reduzdo ao preenchmento dos retângulos formados ao redor do defeto, conforme a Fgura 9. Note que o preenchmento pode ser feto dvdndo a placa de manera vertcal (a) ou horzontal (b). ( x, ) 2 y 2 ( x, ) 2 y 2 ( x 1, y 1 ) ( x, ) (a) (b) Fgura 9. Soluções homogêneas de uma placa defetuosa Como cada retângulo é preenchdo com o maor número de peças guas (solução homogênea trval), a soma deles fornece uma solução homogênea composta. Assm sendo, o lmtante nferor de um problema com placa defetuosa é dado por: 1 y 1 LI D LI ( x1, + LI( x2 - x1, y y2 ) + LI( x = max LI ( y1) + LI( x1, y2 y1) + LI( x x x1, y1) + LI( x - x2,,, y2 y1 ) + LI( y y2 ) O procedmento é análogo quando se têm mas defetos sobre o retângulo. 4.2 Lmtante Superor Como é usual em problemas de otmzação (maxmzação), um lmtante superor é obtdo pela relaxação do problema. Um lmtante superor para o nó ( é defndo relaxando-se o problema de corte, consderandose apenas que a área dos tens alocados não exceda a área do retângulo, ou seja,

6 LS( = maxmzar sujeto a : onde A { x e w y}, ( a ( l v. a A( A(. w ). a ( x. 0, A( = l com a segunte solução trval x max v.. LS( = A( l 0, se A( = φ y w Este lmtante fo ncalmente utlzado por Herz (1972) e mas tarde por Morabto et al. (1992). Para o problema de corte com placa defetuosa, o lmtante superor de um nó ( é calculado pela sua área, ou seja, a área total do nó (, decrementada das áreas defetuosas. 4.3 Estratéga de busca Uma estratéga de busca utlzada por Morabto (1989, 1992) para resolver problemas de corte e empacotamento, consstu na combnação de duas estratégas báscas: backtrackng (BT) e hllclmbng (HC). Backtrackng é uma varação da estratéga de busca em profunddade (depth-frst), que consste em ramfcar prmero os nós gerados mas recentemente, de modo que todos os camnhos do grafo sejam percorrdos. Hll-clmbng, por outro lado, é uma estratéga de busca míope, baseada em otmzação local, que escolhe a melhor solução (um nó ou, no caso da abordagem em grafo E/OU, um camnho completo) encontrada até então, e descarta as demas soluções. Esta escolha é baseada numa avalação dos lmtantes nferor e superor da solução. Estas duas estratégas báscas podem ser combnadas, buscando uma solução mas promssora dentre descendentes de um nó, um pouco além de seus sucessores medatos. Para sto, é necessára a noção de profunddade de um nó no grafo. A profunddade de um nó no grafo é defnda tal que, o nó raz tem profunddade zero e, a profunddade de qualquer outro nó é gual à profunddade de seu predecessor medato, acrescdo de 1. As estratégas podem, então, ser combnadas, de modo que BT nvestga todos os possíves camnhos até uma profunddade máxma e, HC escolhe o mas promssor, descartando-se os demas (se a profunddade máxma for gual a 1, então tem-se HC pura, se nfnto, tem-se BT puro). Cada nó no camnho mas promssor com profunddade máxma é novamente nvestgado por BT até a profunddade máxma, e assm por dante. Consdere um nó N, seus nós sucessores N 1 e N 2. Seja v(n) o valor do nó N dado por uma solução vável (por exemplo, a solução homogênea, ou outra melhor quando dsponível) e, LI(N) e LS(N) o lmtante nferor e superor do nó N, respectvamente. Durante a expansão deste nó, utlzam-se os lmtantes nferores e superores para evtar a geração de nós desnecessáros, descartando camnhos não promssores. Assm, - se v(n)=ls(n), então a solução que fornece v(n) é solução ótma para o nó N. - se v(n)<li(n 1 )+LI(N 2 ), então o valor do nó N é atualzado por v(n)=li(n 1 )+LI(N 2 ) (uma nova solução vável é fornecda pela composção das soluções de nós sucessores). - se v(n) LS(N 1 )+LS(N 2 ), ou seja, se o valor de uma solução vável no nó N é melhor que a soma dos lmtantes superores de seus sucessores, então não é necessáro nvestgar os nós N 1 e N 2. Observe que o valor de um camnho completo é a soma dos valores dos nós fnas e, o melhor camnho a partr do nó N é determnado por aquele que apresenta o melhor valor v(n).

7 Note que, com o lmtante na profunddade do grafo e a estratéga hll-clmbng, a otmaldade do problema de corte pode ser perdda. A segur, é apresentado o algortmo para esta estratéga de busca híbrda. 4.4 Algortmo BT-HC Passo 0 Consdere a placa (L,W), as peças (l,w ), =1,...,m, e MP, a profunddade máxma permtda na estratéga de busca. Consdere o nó raz como o nó que contém as nformações da placa ncal. Passo 1 - Backtrackng Aplque a estratéga de busca backtrackng com profunddade MP a partr do nó raz, armazenando o camnho que apresenta o melhor valor para este nó. Passo 2 - Hll-Clmbng Para cada nó fnal (profunddade MP) do camnho gerado pela estratéga backtrackng, verfque se é possível expand-lo. Se for, retorne ao Passo 1, consderando-o como nó raz. 4.5 Heurístcas Para reduzr o espaço de busca, recorre-se a algumas heurístcas que podem ser aplcadas no algortmo, de forma a dmnur o espaço de busca (Morabto et al., 1992; Arenales e Morabto, 1995; Morabto e Arenales, 1996, Vanna, 2000). A segur são apresentadas duas heurístcas utlzadas no algortmo do Problema de Corte Bdmensonal com Placa Defetuosa. Consdere um nó qualquer N e seus sucessores N 1 e N 2. H1 (Morabto et al., 1992) Se ( 1 + λ1 ). v ( N) LS( N1) + LS( N 2 ) com λ1 > 0, os nós N 1 e N 2 são descartados como nãopromssores. Esta heurístca faz uma aposta de que se os lmtantes superores para os nós sucessores (que não é necessaramente um lmtante superor para o nó N) não for muto melhor que o valor da solução vável já dsponível no nó, então sto é uma ndcação de que este não é um bom camnho a ser nvestgado. H2 (Morabto et al., 1992) Se λ2. LI ( N) LI ( N1) + LI ( N 2) com 0 < λ2 < 1, os nós N 1 e N 2 são descartados. Esta heurístca faz uma aposta de que se a solução composta pelas soluções homogêneas nos nós sucessores não forem razoavelmente melhor que a solução homogênea do nó N, então este camnho não é promssor. 5 Implementação Computaconal A mplementação computaconal fo desenvolvda na lnguagem Pascal, utlzando o complador Borland Pascal versão 7.0, em um mcrocomputador Pentum 4, 1.70 GHz, 512 Mbytes de RAM. Na mplementação deste problema não fo consderada uma quantdade máxma de cada tpo de peças, mas a mplementação da abordagem em grafo E/OU permte este ajuste nclundo nformações adconas em cada nó (Vanna et al., 2000). Durante a mplementação levou-se em conta a orentação das peças na placa, ou seja, as peças são alocadas na mesma dreção da placa defetuosa. A segur, são mostrados os resultados obtdos com o exemplo apresentado por Carner et al. (1993), em uma placa de dmensões (200,100) e 5 peças conforme os dados Tabela 1.

8 Tabela 1 Exemplo de Carner et al. (1993) l w v O padrão ótmo de corte obtdo para este exemplo sem defeto é apresentado na Fgura 10 com solução 167. Utlzando a abordagem descrta neste trabalho, este exemplo fo executado em 0.22s e foram gerados 2649 nós. Fgura 10. Padrão ótmo para o problema sem defeto com solução 167 Foram realzados 8 testes com este exemplo, mudando a posção do defeto. A posção dos defetos, assm como os resultados obtdos por Carner et al. (1993), são apresentados na Tabela 2. Tabela 2 Defetos e soluções obtdas por Carner et al.(1993) Exemplo Defeto Solução 1 (100,50) (105,54) (100,40) (105,44) (100,60) (105,66) (125,20) (132,30) (125,71) (132,79) (30,30) (40,40) (80,40) (110,58) (80,40) (118,58) 154 A abordagem em grafo E/OU, com os parâmetros λ 1 =0.01 e λ 2 =0.95, obteve os resultados apresentados na Tabela 3; o número de nós percorrdos e o tempo computaconal também são apresentados. Note que, em todos os exemplos o resultado obtdo com a abordagem em grafo E/OU fo maor ou gual aos resultados apresentados pela Tabela 2.

9 Tabela 3 Soluções obtdas por grafo E/OU Exemplo Número de nós Solução Tempo (s) As Fguras 10, 11 e 12, apresentam o melhor padrão de corte obtdo em alguns exemplos da Tabela 3. Fgura 11. Exemplo 1 (solução=166) Fgura 12. Exemplo 4 (solução=160)

10 Fgura 13. Exemplo 7 (solução=158) Foram realzados dversos testes computaconas varando o tamanho do defeto e a posção do mesmo e, observou-se que a posção do defeto nterfere no padrão, mesmo quando este é pequeno em relação ao tamanho da placa. 6 Conclusões Apresentamos neste trabalho um método de solução para o Problema de Corte Bdmensonal com placa defetuosa (problema pouco estudado na lteratura), estendendo a abordagem em grafo E/OU, a qual fo anterormente desenvolvda para problemas retangulares, sem a presença de defetos. Mostramos que a extensão é obtda sem mutas modfcações e os expermentos computaconas demonstram ser esta uma ferramenta adequada de resolução de problemas de corte, bem flexível, permtndo que restrções adconas (neste trabalho, defetos) possam ser ncluídas no processo de busca. Extensões do uso desta abordagem a outros problemas de corte (com dferentes formas, restrções de processos, por exemplo) tem sdo objeto de estudo dos autores. Reconhecmento Este trabalho teve apoo da FAPESP e CNPq e, apoo parcal da Fundunesp. Referêncas bblográfcas Arenales, M. Uma Teora para o Problema de Corte. São Carlos: USP, Tese (Lvre-docênca) Insttuto de Cêncas Matemátcas de São Carlos, Unversdade de São Paulo, Arenales, M., Morabto, R. An AND/OR-graph approach to the soluton of two-dmensonal nongullotne cuttng problems. European Journal of Operatonal Research. 84, , Carner, C., Mendoza, G.A., Lupold, W.G. Optmal Cuttng of Dmenson Parts from Lumber wth defect: a Heurstc Soluton Procedure. Forest Products Journal , Herz, J. Recursve Computatonal Procedure for Two Dmensonal Stock Cuttng. IBM Journal of Research and Development. 16, , Morabto, R. Corte de Estoque Bdmensonal. São Carlos: USP, Dssertação (Mestrado) - Insttuto de Cêncas Matemátcas de São Carlos, Unversdade de São Paulo, Morabto, R. Uma Abordagem em Grafo E/OU para o Problema do Empacotamento: Aplcação ao Carregamento de Paletes e Contêneres. São Carlos: USP, Tese (Doutorado) - Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, 1992.

11 Morabto, R., Arenales, M., Arcaro, V. F. An AND-OR-graph approach for two-dmensonal cuttng problems. European Journal of Operatonal Research. 58, , Morabto, R., Arenales, M. Staged and constraned two-dmensonal gullotne cuttng problems: An AND/OR-graph approach. European Journal of Operatonal Research. 94, , Vanna, A. C. G. Problema de Corte e Empacotamento: uma Abordagem em Grafo E/OU. São Carlos: USP, Tese (Doutorado) - Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação, Unversdade de São Paulo, Vanna, A. C. G., Arenales, M. N., Morabto, R. Estrutura de Dados utlzada na Abordagem em Grafo E/OU para a Resolução de Problemas de Corte. Relatóros Técncos n o 126, ICMC-USP, 2000.

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