UMA FORMULAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA PARA O PROBLEMA DE CRIAÇÃO DE ÁREAS DE PONDERAÇÃO AGREGADAS

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1 UMA FORMULAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA PARA O PROBLEMA DE CRIAÇÃO DE ÁREAS DE PONDERAÇÃO AGREGADAS José André de M. Brto IBGE Insttuto Braslero de Geografa e Estatístca emal: brtom@bge.gov.br Av. Chle, 500, 0º andar, Ro de Janero, RJ Flávo Marcelo Tavares Montenegro IBGE Insttuto Braslero de Geografa e Estatístca emal: fmontenegro@bge.gov.br Lucana Roque Brto COPPE-SISTEMAS, Unversdade Federal do Ro de Janero - UFRJ emal: brtom@ntnet.com.br Ilha do Fundão, RJ, C.P. 685, Marcos Mendonça Passn COPPE-SISTEMAS, Unversdade Federal do Ro de Janero - UFRJ emal: passn@acd.ufrj.br RESUMO Neste trabalho, propomos uma solução para o problema de cração de áreas de ponderação agregadas (APAs) (SILVA[]). O problema de cração de APAs consste em formar k partções compostas por áreas de ponderação do censo demográfco, satsfazendo os crtéros de contgudade, total populaconal mínmo (SILVA[]) e homogenedade (SANTOS[2]). Ao longo desse trabalho, temos a apresentação de uma formulação de programação ntera baseada no partconamento de uma árvore geradora mínma (AHUJA[4]) e a apresentação dos resultados computaconas. Palavras-chave: Partconamento, Árvore Geradora e Programação Intera. ABSTRACT We propose an nteger programmng formulaton for the creaton of aggregated weghtng areas (AWAs) problem (SILVA[]). Ths problem conssts n to form k parttons composed by weghtng areas of the demographc census satsfyng contguty, mnmum total populaton (SILVA[]) and homogenety crtera (SANTOS[2]). The formulaton we present n ths work s based on parttonng a mnmum spannng tree (AHUJA[4]). We have developed a computatonal mplementaton of ths proposal whose man results we also present. Keywords: Parttonng, Spannng-Tree and Integer Programmng.

2 0 - INTRODUÇÃO Nesse trabalho é apresentada uma formulação de programação ntera para auxlar na resolução do problema de cração de Áreas de Ponderação Agregadas (APAs) (SILVA[]). As APAs são cradas a partr da agregação de um conjunto de Áreas de Ponderação (APONDs) defndas no Censo Demográfco 2000 (Censo[5]). Devemos observar que cada uma das APAs deve ser composta por um conjunto de APONDs que sejam contíguas, que tenham um total populaconal mínmo (SILVA[]) e que satsfaçam a um crtéro de homogenedade (SANTOS[2]). O problema de cração de APAs pode ser classfcado como um problema de agrupamento com restrção de contgüdade (MURTAGH[], GORDON[2]). Por sua alta complexdade computaconal, tas problemas são comumente tratados utlzando-se heurístcas, em geral, dssocadas de um procedmento que permta verfcar a otmaldade de suas soluções (BATAGELJ & FERLIGOJ [3], ASSUNÇÃO et al. [4]). Para a resolução de tal problema, propomos uma formulação de programação ntera composta por restrções clásscas de problemas de partconamento (WOLSEY[7]) e baseada no partconamento de uma árvore geradora mínma obtda a partr do algortmo de Kruskal (AHUJA[4]). Esta árvore geradora está assocada ao grafo G, que é utlzado para representar a relação de contgudade entre as áreas de ponderação. Um tratamento dferente, também baseado em uma árvore geradora mínma, mas sem a ntrodução de uma formulação de programação matemátca, é apresentado em (ASSUNÇÃO et al. [4]). O desenvolvmento de nosso trabalho está dvddo em 3 seções. Na prmera seção, descrevemos em detalhes o problema de cração de APAs. Na segunda, apresentamos a formulação de programação ntera e, na últma seção, os resultados da aplcação desta formulação a um conjunto de problemas teste, bem como alguns comentáros fnas. - O Problema de Cração de Áreas de Ponderação Agregadas (APAs).. Defnção de Áreas de Ponderação (APONDs) Defne-se Área de Ponderação (APOND) como sendo uma undade geográfca formada por um agrupamento mutuamente exclusvo de setores censtáros. APONDs são utlzadas para se estmar nformações para a população. O tamanho destas áreas, em termos de número de domcílos e de população, não pode ser muto reduzdo, sob a pena de perda de precsão de suas estmatvas. As APONDs são defndas consderando esta condção. São, també os níves geográfcos mas detalhados da base operaconal, desenvolvdos como forma de atender às demandas por nformações em níves geográfcos menores que os muncípos (SILVA[], CENSO[5]). Para a formação das APONDs, são consderados anda os crtéros de contgudade, de forma que estas áreas sejam consttuídas por conjuntos de setores geografcamente lmítrofes, e de homogenedade, segundo um conjunto de quatorze varáves assocadas às característcas populaconas e de nfra-estrutura conhecdas. Estas varáves, que representaremos por X s, s =,...,4, são chamadas ndcadores de áreas de ponderação. Estão defndas de acordo com SANTOS[2][3], assumndo valores entre 3 e 3 através de um procedmento de normalzação. Consderando esses quatorze ndcadores, são calculadas todas as dstâncas e n vznhas, segundo a expressão D entre APONDs m D = ( X X X X X X m n 2 m n 2 m n 2 ) + ( ) ( )

3 As dstâncas D representam o grau de homogenedade, sto é, a correlação entre as varáves assocadas a todas as APONDs vznhas a serem agregadas (ver SANTOS[2][3])..2 Defnção de Áreas de Ponderação Agregadas (APAs) e crtéros para sua formação. As Áreas de Ponderação Agregadas (APAs) são formadas a partr de agrupamentos mutuamente exclusvos de APONDs. Para cração dessas áreas, dos crtéros de vabldade devem ser obrgatoramente respetados: () Contgüdade: As APONDs agregadas em cada uma das APAs devem ser vznhas ou deve ser possível sar de uma APOND A e chegar em uma APOND B, ambas em uma mesma APA, passando apenas por outras APONDs que também estejam nesta mesma APA (SILVA[]). (2) Total Populaconal: O número de habtantes em cada uma das k APAs deve ser maor ou gual a um total populaconal (pré-estabelecdo). Representaremos este total por TOTPOP. Ou seja : T Populaconal = q j= P TOTPOP de ponderação que compõem uma APA. j, sendo P j a população em cada uma das q áreas Do ponto de vsta da modelagem que propomos neste trabalho, estes crtéros estarão assocados à vabldade do problema. Além dsso, de forma a defnr APAs mas homogêneas entre s, pode-se utlzar um dos seguntes crtéros de otmaldade: (3) Menor Méda Geral: A méda geral X dos valores D assocados às APONDs que compõem as k APAs deve ser a menor possível. k D n Ah Sendo : X = X h / k e X h = n h= h k = N o de APAs n h = N o de APONDs na h-ésma APA A h = Conjunto de APONDs da h-ésma APA X h = Méda das Dstâncas D das APONDs assocadas à h-ésma APA. (4) Soma Mínma : Defnr as APAs de forma que k D h= n Ah seja mínma. 664

4 Obs: O número máxmo de APAs pode ser defndo a pror através do cálculo da razão entre o valor do total populaconal, consderando todas as áreas de ponderação, e o valor máxmo (TOTPOP) da população em cada APA, ou seja: Q k P TOTPOP ( Q = Total de áreas de ponderação) j= j / Na fgura, a segur, apresentamos um exemplo para lustrar o problema de cração de áreas de ponderação agregadas Fgura Exemplo do Problema de Cração de APAs Na fgura acma, temos um conjunto de quatro áreas de ponderação (APONDs) e, a partr deste conjunto, deve-se crar duas APAs, levando-se em conta os crtéros de contgudade e de total populaconal (tabelas e 2). No caso deste exemplo, defnmos o total populaconal máxmo em cada APA como TOTPOP = Tabela População em cada área de ponderação APOND APOND 2 APOND3 APOND4 População (P j ) Tabela 2 Dstâncas D entre as áreas de ponderação vznhas APONDS e 2 e 3 e 4 2 e 4 3 e 4 Dstânca D 3,4234 5,452 3,289 2,342,2390 Na tabela 3, temos as possíves confgurações, ou seja, os conjuntos de APAs que podem ser formados a partr da agregação das áreas de ponderação, consderando os crtéros () e (2) Tabela 3 Confgurações possíves para as APAs APONDS Total Populaconal X h Confguração (I) APA e ,4234 APA2 3 e ,2390 APONDS Total Confguração (II) Populaconal X h APA e ,452 APA2 2 e ,

5 Em seguda, dentre todas as confgurações de APAs geradas (tabela 3), deve-se escolher a confguração assocada à menor méda geral (tabela 3) ou à soma mínma (tabela 2). Observando a tabela 3 e consderando o crtéro da méda geral, temos que a méda geral calculada para a combnação (I) é e para a combnação (II) é Desta forma, a confguração (I) deve ser a escolhda. Pelo exemplo apresentado, observamos que dependendo do número de APONDs que serão analsadas e do número de APAs que serão cradas, o número de confgurações possíves para o problema de cração de APAs pode ser razoavelmente grande. Ou seja, a determnação da melhor confguração de APAs de uma forma ad-hoc pode ser muto dfícl. Em face desta dfculdade, apresentamos na seção 2 uma formulação de programação ntera para auxlar a resolução desse problema. 2. Formulação para Cração das Áreas de Ponderação Agregadas. 2. Introdução: Nesta seção, apresentamos o desenvolvmento da formulação de programação ntera proposta para a resolução do problema de cração de APAs. Esta formulação contém restrções clásscas de problemas de partconamento. Utlza, como dado de entrada, uma árvore geradora mínma obtda a partr da aplcação do algortmo de Kruskal (AHUJA[4]) em um grafo G, que agrega as nformações de contgudade, de total populaconal e das dstâncas D assocadas às APONDs. A partr desta árvore geradora, a formulação de programação ntera retorna o melhor conjunto de subárvores (APAs) satsfazendo os crtéros (), (2) e (4). Nessa formulação, a função objetvo utlzada consdera o crtéro de soma mínma apresentado na seção. Observamos, anda, que essa formulação fo mplementada utlzando o pacote de otmzação XPRESS[6]. 2.2 Formulação: Um prmero passo para o desenvolvmento da formulação consste em assocar as nformações relatvas à contgudade das áreas de ponderação, bem como as nformações de totas populaconas e as dstâncas D, a um grafo G = ( V, E). Ou seja, podemos fazer a assocação de cada uma das APONDs com os nós V de G e também expressar suas relações de contgüdade por um conjunto E de arestas. Para exemplfcar, consdere a fgura e o seu grafo G assocado (fgura 2) Fgura 2 - Representação das APONDs e das suas relações de contgüdade 666

6 Anda utlzando o grafo G (fgura 2), assocamos às arestas A={(,2),(,3),(,4),(2,4),(3,4)} os valores das dstâncas D (onde m e n são nós adjacentes) defndas na seção.. Em seguda, aplcamos algortmo de Kruskal (AHUJA[4]), que determna a árvore geradora mínma T = ( V, E E) assocada consderando os valores D. Em uma árvore geradora T, temos a vantagem de saber o número exato de arestas que devemos retrar para formar as k partções. Fornecda a árvore T e um número k de partções, ou seja, de APAs que devemos formar, temos que o número de arestas a serem retradas de T é ( k ). Quando retramos as ( k ) arestas, defnmos um conjunto de k subárvores T j, j=..k, que também são conexas. Cada uma destas subárvores estará assocada a uma APA. A propredade de conexdade, observada para cada uma das subárvores, possblta o cumprmento medato da restrção de contgüdade em cada uma das APAs. Desta forma, a utlzação da árvore geradora mínma sugere uma boa alternatva para a resolução do problema de cração das áreas de ponderação agregadas. Ou seja, para o partconamento de T em k subárvores T j ( j =,..., k ), devemos encontrar a melhor confguração de k partções, sto é, de subárvores assocadas às APAs, que satsfaçam a restrção de total populaconal e que retorne o menor valor possível, consderando um dos crtéros de otmaldade defndos na seção (.2). Ao nvés de utlzarmos algum algortmo de partconamento e enumeração das subárvores, desenvolvemos uma formulação de programação ntera que encapsula as restrções assocadas à vabldade do problema real e o crtéro de otmaldade da soma mínma, apresentado na seção.2. Esta modelagem utlza como dado de entrada a árvore geradora mínma, em relação ao parâmetro D, obtda a partr do grafo G. Mnmzar e. D = ( E () X NPO = NPO = (2) Yj = X, =,..., j= Y (3) j =, j =,..., NPO = NPO (4) Yj. Pj TOTPOP, =,..., j= e (5), ( E = (6) e = X, =,..., ( E 667

7 (7) t Y m =,...,, ( E (8) t Y n =,...,, ( m, n ) E (9) Y m + Y n t =,...,, ( E (0) e t =,...,, ( E X Z +, Y (0,), t j (0,) Onde: NPO = Número de Áreas de Ponderação = Número de APAs Pj = População em cada Área de Ponderação E = Arestas da Árvore Geradora Mínma X = Varável Intera que determna o número de APONDs que estão na -ésma APA. Y j = Varável Bnára que assume valor se a j-ésma APOND está assocada com a -ésma APA e zero caso contráro. e = Varável Bnára que assume valor se a aresta ( E está atva na -ésma APA. t = Varável Bnára que assume valor se a aresta ( E está atva na -ésma APA. D = Medda que representa o grau de homogenedade entre duas áreas de ponderação vznhas. Função Objetvo: Está assocada ao crtéro de soma mínma. Ou seja, o valor desta função representa a soma do melhor subconjunto de arestas atvas assocadas aos valores D. Restrções e 2: O número de APONDs assocadas a cada uma das APAs deve ser gual ao total de APONDs na regão. Restrção 3: Garante que uma APOND estará assocada a exatamente uma APA. Restrção 4: A soma das populações assocadas às APONDs agregadas em cada uma das APAs deve ser maor ou gual ao total populaconal pré-estabelecdo. Restrção 5: Garante que cada uma das arestas assocadas à árvore geradora que contém todas as APONDs só poderá estar em no máxmo uma APA. Ou seja, se duas APONDs são vznhas e estão em uma mesma APA então e =. Restrção 6: O número de arestas assocadas a cada uma das APAs deve ser gual ao número de APONDs em cada uma das APAs menos um. 668

8 Restrções 7-0: Estas restrções garantem que se uma aresta do conjunto E estver atva, ou seja, pertencer a uma subárvore assocada a uma APA, então os nós m e n (áreas de ponderação) desta aresta também farão parte da APA. 3 - Resultados Computaconas e Consderações Fnas 3. Introdução: Nesta seção, apresentamos tres tabelas que contém nformações sobre um conjunto de dez problemas teste utlzados na modelagem de programação ntera proposta para o problema de cração de APAs. Estes problemas teste foram obtdos a partr da mplementação de um programa em Pascal que teve como parâmetros de entrada: o número de áreas de ponderação; a população máxma em cada área de ponderação e; um ntervalo de varação para o grau de homogenedade (SANTOS[2][3]). A partr destas nformações, o programa constró um grafo G=(V,E), conexo, tal que cada nó deste grafo esteja assocado a uma área de ponderação e cada uma de suas arestas exprma a relação de vznhança entre duas APONDs. Anda consderando o grafo G, para cada nó deste grafo, temos a nformação da população assocada a cada área de ponderação e, para cada uma de suas arestas, temos valores D que representam o grau de homogenedade entre duas APONDs vznhas. D Em seguda, consderado o grafo G e os valores, é aplcado o algortmo de Kruskal (AHUJA[4]) para a obtenção de uma árvore geradora mínma em relação aos valores D. Esta árvore geradora é utlzada como dado de entrada para o modelo de programação ntera, mplementado utlzando o software XPRESS[6]. 3.2 Resultados Computaconas e Consderações Fnas: A segur, temos a apresentação de três tabelas que contemplam os resultados obtdos para um conjunto de dez problemas, utlzados para testar a efcênca da modelagem de programação ntera. Tabela 4 Número do Problema Teste, Número de APAs e Número de Áreas de Ponderação Problema Número DE APAS Número de APONDS

9 Tabela 5 Número do Problema Teste e Número de Restrções e Varáves deste Problema Problema Número Número de Restrções de Varáves Tabela 6 Informações Geras sobre a formulação consderando cada um dos Problemas Teste Problema Função Objetvo (a) Função Objetvo (b) Total de Nós Tempo GAP Solução Intera Solução Relaxação Lnear Árvore B&B CPU (seg) (a-b)/b 3,6697 3, ,05% 2,895, ,28% 3,682, ,96% 4 2,5853 2, ,66% 5 2,089, ,26% 6 4,4644 4, ,6% 7 3,768 3, ,36% 8 5,207 4, ,59% 9 3,9033 3, ,69% 0 7,37 6, ,4% Consderando a complexdade do problema real e analsando as tabelas 4,5 e 6, podemos observar resultados satsfatóros para problemas de dmensões razoáves, consderando o número de varáves e restrções. Dentre esses, podemos destacar: Problema (7) - Com 0 APAs, 25 APONDS defndas e 55 varáves nteras e Problema (0) - Com 7 APAs, 35 APONDS e 43 varáves nteras. Analsando, també a qualdade da solução, ou seja, o valor da função objetvo (tabela 6), podemos observar que a dferença (GAP) entre os valores da solução relaxada e da solução ntera não é muto grande. Dentre os dez problemas teste, oto têm (GAP) nferor a %. Dessa forma, observamos que a formulação de programação ntera proposta neste trabalho pode se consttur em uma abordagem promssora para problemas de porte pequeno e médo e, també como um ponto de partda para outras modelagens subseqüentes. Todava, anda consderando a tabela 6, podemos observar que à medda em que aumentamos o número de APAs e APONDs do problema, o número de nós da árvore de B&B assocada ao modelo cresce razoavelmente, o que torna dfícl a solução de problemas de porte maor. Esta dfculdade é decorrente da característca de smetra encapsulada nas varáves bnáras Y j, que determnam se a j-ésma APOND está assocada à -ésma APA. Com a fnaldade de contornar esta dfculdade e conseqüentemente possbltar a solução de problemas de porte maor, já ncamos, em paralelo a este trabalho, o desenvolvmento de uma nova modelage baseada na técnca de geração de colunas ( BAZARRA[9]). 670

10 Esta modelagem será baseada em uma adaptação do trabalho de MACULAN[0]. Nesse trabalho, é proposta uma formulação para o problema de cração de agrupamentos utlzando o método de geração de colunas. Um outro ponto mportante a ser destacado é que a obtenção de uma solução cujas arestas pertencem todas à árvore geradora mínma pode ser boa em mutos casos, entretanto, soluções melhores, ou mesmo as úncas váves para um dado problema, talvez pudessem estar vnculadas a arestas não pertencentes a essa árvore ncal. Sendo ass tal solução jamas podera ser alcançada pelo método proposto. Uma possível solução para esta lmtação é tratar do problema consderando, de alguma forma, todo o grafo ncal e não apenas o subgrafo que representa a árvore geradora mínma. Este é um ponto também a ser tratado em um trabalho futuro. Uma outra estratéga que pretendemos mplementar é a aplcação de algortmos heurístcos para resolver o problema de cração de APAs, adequados para problemas de porte dversfcado. Esses algortmos serão baseados no estudo das metaheurístcas GRASP e Busca Tabu (VIANA[8]) e deverão fornecer soluções váves para o problema de cração de APAs. Estas soluções também poderão ser utlzadas como um lmte superor tanto para a formulação que apresentamos neste trabalho quanto para a formulação baseada em geração de colunas que menconamos. 67

11 4 Bblografa [] SILVA, ARI NASCIMENTO, CORTEZ, BRUNO FREITAS E MATZENBACHER, LUIZ ALBERTO, Processamento das Áreas de Expansão e Dssemnação da Amostra no Censo Demográfco 2000, Textos para Dscussão, número 7, 2004, IBGE/DPE / COMEQ. [2] REIS, ALEXANDRE S., Escolha de varáves a serem utlzadas na defnção das áreas de expansão e de dssemnação do Censo Demográfco 2000, Mao de 2002, IBGE/DPE/ COMEQ. [3] REIS, ALEXANDRE S., Padronzação das varáves a serem usadas na formação das áreas de expansão e de dssemnação do Censo Demográfco 2000, Junho de 2002, IBGE / DPE / COMEQ. [4] AHUJA, RAVINDRA K., Network Flows, Theory, Algorthms, and Applcatons, By 993, Prentce Hall. [5] CENSO DEMOGRÁFICO 2000, Prmeros Resultados da Amostra, Parte I, 200, IBGE/CDDI. [6] XPRESS-MP, Dash Optmsaton Software,v. [7] WOLSEY, LAURENCE. A., Notes on Integer Programmng, June [8] VIANA, VALDíSIO, Meta-heurístcas e Programação Paralela em Otmzação Combnatóra, UFC edções, 988. [9] BAZARRA, S. M., Sheral, Hanff D., Shetty, C.M, Lnear Programmng, seand Network Flows, Second Edton, 990, John Wley & Sons. [0] MACULAN, N. F., BELOTTI P., PLATEAU, GERARD, LOISEAU, IRENE, Clusterng Problem: A Formulaton usng Colu Generaton, Poltecnco d Mlano, Techncal Report, January, [] MURTAGH, F., A Survey of Algorthms for Contguty-Constraned Clusterng and Related Problems. The Computer Journal vol. 28 (985), [2] GORDON, A. D., A Survey of Constraned Classfcaton, Computatonal Statstcs and Data Analyss vol. 2 (996), [3] BATAGELJ, V, FERLIGOJ, A., Clusterng Relatonal Data, Data Analyss (ed.: W. Gaul, O. Optz, M. Schader), Sprnger, Berln (2000), 3-5. [4] ASSUNÇÃO, R. M., LAGE, J. P., REIS, E. A., Análse de Conglomerados Espacas Va Árvore Geradora Mínma, Revsta Braslera de Estatístca, vol. 63, n. 220 (2002),