Introdução. Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. Resultados possíveis

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1 Introdução A teora das probabldades é um ramo da matemátca que lda modelos de fenômenos aleatóros. Intmamente relaconado com a teora de probabldade está a Estatístca, que se preocupa com a cração de prncípos, métodos e crtéros a fm de tratar dados relatvos fenômenos aleatóros ou dados expermentas e outras observações do mundo real. A teora de probabldade teve nco com os jogos de azar no seculo XVI, mas sua teora axomátca, só veo em 1930 com o matemátco sovétco Kolmogorov. A teora elementar da probabldade é baseada na teora de conjuntos. Na natureza é comum encontrarmos stuações que envolvem um elemento de ncerteza, ou aleatoredade. Essas stuações são denomnadas fenômenos ou expermentos aleatóros. Os modelos de probabldade, vsam descrever expermentos aleatóros, sto é, expermentos que podem ser repetdos (ndefndamente) e onde os resultados futuros não pode ser exatamente prevsto, devdo à aleatoredade, mesmo que o expermento seja totalmente controlado. A fundação de estatístcas encontra-se na dea de um expermento aleatóro. Um expermento é chamado aleatóro se seu resultado não pode ser predto precsamente porque as condções em que é realzado não podem ser predetermnadas com precsão sufcente. Exemplos: Joga-se um dado e observa-se o número obtdo na face superor. Resultados possíves 1, 2, 3, 4, 5, 6 Um lote de 10 peças contém 3 defetuosas. As peças são retradas uma a uma (sem reposção) até que a últma defetuosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retradas. Resultados possíves 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Uma lâmpada nova é lgada e observa-se o tempo gasto até quemar. Resultados possíves [0, )

2 1 TEORIA DE CONJUNTOS Um conjunto é qualquer coleção bem defnda de objetos, chamados elementos. São exemplos de conjuntos: O conjunto de todos os números nteros, O conjunto de todos os alunos da UFMT O conjunto de todos os seres humanos vvos atualmente, O conjunto de todos os números reas maores que zero e menores que 1, O conjunto de todos os jogadores da atual seleção O conjunto de todas as letras do alfabeto romano. Conjuntos são representados por letras maúsculas: A, B, C, S, e os elementos de um conjunto são representados por letras mnúsculas: a, b, x, y.. Em geral, podemos especfcar um conjunto descrevendo os seus elementos por meo de uma condção ou então enumerando os seus elementos. Exemplo 1.1: Seja A o conjunto de todos o números nteros maor que 5. Este conjunto pode ser representado por: A = {x N x > 5} onde se lê: x pertence ao conjunto dos numero naturas tal que x seja maor que 5. Exemplo 1.2: Seja B o conjunto de todos as cores da bandera do Brasl. B = {verde, amarelo, azul, branco} Podemos defnr um conjunto de dversas formas. Se um conjunto tem poucos elementos, podemos lstá-los, um a um, em qualquer ordem, entre chaves. Por exemplo, o conjunto cujos elementos são os números nteros 2, 3 e 5 pode ser escrto A = {2, 3, 5}. Assm, por exemplo, temos que 3 A, mas 4 A. Exstem alguns conjuntos de números que são muto usados em matemátca, e tem notações convenconas bem estabelecdas:

3 Teora de Conjuntos 3 o conjunto dos números naturas N = {0, 1, 2, 3, 4,...} o conjunto dos números nteros Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} o conjunto dos números raconas Q = {x = a /a, b Z e b > 0} b o conjunto dos números rraconas I = {x x Q} o conjunto dos números reas R = {x x Q ou x I} Defnção 1.1: O Espaço Amostral, representado por Ω, é o conjunto de todos os resultados possíves de um expermento aleatóro. Exemplo 1.3: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtdo. Ω = (0, 1, 2, 3, 4). 0-1 possbldade (Co,Co,Co,Co); 1-4 possbldades (Co,Co,Co,Ca); (Co,Co,Ca,Co); (Co,Ca,Co,Co); (Ca,Co,Co,Co); 2-6 possbldades (Co,Co,Ca,Ca); (Co,Ca,Co,Ca); (Co,Ca,Ca,Co); (Ca,Co,Co,Ca); (Ca,Co,Ca,Co); (Ca,Ca,Co,Co) 3-4 possbldades (Co,Ca,Ca,Ca); (Ca,Co,Ca,Ca); (Ca,Ca,Co,Ca); (Ca,Ca,Ca,Co); 4-1 possbldades (Ca,Ca,Ca,Ca) Exemplo 1.4: Se o expermento consste em medr a vda útl de um carro, então um possível espaço amostral consste de todos os números reas não-negatvos, sto é, Ω = [0, ) Defnção 1.2: Conjunto vazo, representado por é o únco conjunto que não possu elementos. Defnção 1.3: Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A é elemento de B, então A é chamado um subconjunto de B, ou seja, A B, essa representação pode se escrta da segunte forma: A B x[(x A) (x B)] Defnção 1.4: Qualquer subconjunto A do espaço amostral Ω, sto é A Ω, ao qual atrbuímos uma probabldade, é dto um evento aleatóro. 1.1 OPERAÇÕES DE CONJUNTOS Defnção 1.5: A unão de dos conjuntos quasquer A e B, denotada por A B, é o conjunto dos elementos x tas que x pertence a pelo menos um dos dos conjuntos A e B. Ou seja: A B x A ou x B

4 Teora de Conjuntos 4 Teorema 1.1: Propredade da Unão. Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Então temos: a) O elementos neutro A = A Demonstração. Seja x A x A ou x x A. Logo A = A b) Le de dempotênca A A = A Demonstração. Seja x A A x A ou x A x A. Logo A A = A c) Le comutatva A B = B A Demonstração. Seja x A B. Então por defnção de unão x A ou x B,o que é equvalente a x B ou x A, assm, A B = B A d) Le assocatva A (B C) = (A B) C Demonstração. Seja x A (B C) x A ou x (B C), e x (B C) x B ou x C. Assm x A (B C) x A ou (x B ou x C) x A (B C) (x A ou x B) ou x C x A (B C) (x A B)ou x C x A (B C) (x A B) C Logo A (B C) = (A B) C Defnção 1.6: A nterseção de dos conjuntos quasquer A e B, denotada por A B, é o conjunto dos elementos x tas que x pertence a ambos os conjuntos A e B. Ou seja: A B x A e x B dzemos que A e B são conjuntos dsjuntos, se A B = Teorema 1.2: Propredade da Intersecção Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Então temos: a) O elementos neutro A X = A b) Le de dempotênca A A = A c) Le comutatva A B = B A

5 Teora de Conjuntos 5 d) Le assocatva A (B C) = (A B) C As demonstrações das propredades da ntersecção são análogas a da unão. Teorema 1.3: Les dstrbutvas. Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Então temos: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Demonstração. Seja x A (B C) x A e x (B C). Assm x A (B C) x A e (x B ou x C) x A (B C) (x A e x B) ou (x A e x C) x A (B C) (x A B) ou (x A C) x A (B C) (x (A B) (A C) Logo A (B C) = (A B) (A C) A demostração da segunda parte é análoga. Defnção 1.7: Seja A um de subconjunto Ω o seu complementar, é o conjunto A c, dos elementos que não pertencem a A. A c = {x Ω x A} Teorema 1.4: Seja A um subconjunto de Ω, e A c o seu complementar. Então temos: A A c = Demonstração. Seja x Ω, tal que x A, por defnção se x A então x A c, logo não exste um elemento x, tal que x A e x A c, ou seja A A c não possu elementos, e assm A A c =. A A c = Ω Demonstração. Por defnção temos que se A Ω então A c Ω, assm Ω contém todos os elementos de A e A c, então não exste um elemento de Ω que não pertença a A ou A c, logo A A c = Ω.

6 Teora de Conjuntos 6 Defnção 1.8: Sejam dos conjuntos quasquer A e B,a dferença de A \ B ou A B,é o conjunto dos elementos que pertencem a A e que não pertencem a B. A B = {x A x 6 B} = A B c Exemplo 1.5: Seja Ω = {(x, y) R 0 x 1, e 0 y 1} Sejam os subconjuntos de Ω A1 = {(x, y) R 0 x 1, e 0 y 12 } A2 = {(x, y) R 0 x 12, e 0 y 1} A3 = {(x, y) R 0 x 21, e 0 y 21 } A4 = {(x, y) R 0 x y 1} Pode-se verfcar as relações nos subconjuntos: A3 A1 A3 A2

7 Teora de Conjuntos 7 A 3 A 4 A 1 A 2 = A 3 A c 3 = {(x, y) R 0 x 1 se 1 < y 1 e 1 x 1 se 0 < y 1} A 1 A c 3 = Ω A c 1 = {(x, y) 0 x 1, e 1 < y 1} 2 Teorema 1.5 (Le de De Morgan Generalzada): Teorema de De Morgan: Seja {A 1, A 2,..., A n } uma coleção de subconjuntos de Ωu. Então ( n ) c n a) A = ( n ) c b) A = n A c A c ( n ) c Demonstração. Prova parte a) ( ) Seja x A. Então x n Assm, x A c,, logo x A c. n A, ou seja, x A,. n ( ) Seja x A c. Então x A c,, e anda x A,. Dessa forma x ( n ) c assm, x A n A, e Demonstração. Prova ( parte b) n ) c n ( ) Seja x A. Então x A, ou seja, para algum x A, sto é, x A 1 ou x A 2 ou,..., ou x A n, então x A c 1 ou x A c 2 ou,..., ou x A c n. Dessa forma n x A c ( ) Seja x n A c. Então para algum x A c, sto é, x A c 1 ou x A c 2 ou,..., ou x A c n, então, x A 1 ou x A 2 ou,..., ou x A n. Dessa forma, x ( n ) c A. n A, logo, x Vale ressaltar que as Les de Morgan também são váldas para o caso em que n = Exemplo 1.6: Seja A 1, A 2, A 3 subconjuntos de Ω, podemos ndcar as operações como pelo dagram de Venn.

8 Teora de Conjuntos CLASSES DE CONJUNTOS Defnção 1.9: Uma classe de conjuntos ou coleção de conjuntos é um conjunto cujos elementos são subconjuntos de um dado espaço. São usados geralmente quando queremos tratar de alguns subconjuntos de um dado conjunto. Uma coleção de conjuntos pode ser denotada por letras calgráfcas maúsculas A; B; C Defnção 1.10: Uma classe A de subconjuntos de Ω é chamada de álgebra se 1. Ω A 2. Se A A então Ac A (a classe é fechada pela complementaredade) 3. Se A1, A2,..., An A então n [ A A (a classe é fechada pela unão fnta) Defnção 1.11: Uma classe A de subconjuntos de Ω é chamada de σ-álgebra se 1. Ω A 2. Se A A então Ac A 3. Se A1, A2,... A então [ A A Proposção 1.1: Se A é uma σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Então:

9 Teora de Conjuntos 9 1. A 2. Se A 1, A 2,... A então A A Demonstração.. Parte 1) A é uma σ-álgebra então Ω A e Ω c = A. Parte 2) ( ) c Se A 1, A 2,... A, então A c 1, A c 2,..., A, assm A c A. Então A A, como a classe é fechada pela complementaredade A A Exemplo 1.7: Seja a coleção A = {, Ω}, verfque se é uma σ-álgebra. 1. Ω A 2. Ω A, temos que Ω c = A 3., Ω A então Ω = Ω A Como as três propredades são satsfetas logo A é uma σ-álgebra. Exemplo 1.8: Sejam A, B, C subconjuntos não vazos de Ω, dsjuntos, e tas que A B C = Ω Seja a coleção A = {, A, B, C, A B, A C, B C, Ω}, verfque se é uma σ-álgebra. 1. Ω A 2. Os complementares dos elementos de A está em A c = Ω, Ω c =, A c = B C, B c = A C, C c = A B, (A B) c = C, (A C) c = B, (B C) c = A 3. As unões de todos os elementos de A está em A A unão do dá os própros elementos; A unão de Ω com qualquer elemento da o própro Ω; A B, A C, A (A B) = (A B), A (A C) = (A C), A (B C) = Ω A B A, B C, B (A B) = (A B), B (A C) = Ω, B (B C) = (B C) A C A, C B, C (A B) = Ω, C (A C) = (A C), C (B C) = (B C) A

10 Teora de Conjuntos 10 Como as três propredades são satsfetas logo A é uma σ-álgebra. Exemplo 1.9: Seja Ω = {1, 2, 3} e A = {, {1}, {2}, {1, 3}, {2, 3}, Ω}, verfque se A é uma σ-álgebra. 1. Ω A 2. Os complementares dos elementos de A está em A c = Ω, Ω c =, {1} c = {2, 3}, {2} c = {1, 3}, {1, 3} c = {2}, {2, 3} c = {1} 3. As unões de todos os elementos de A está em A A unão do dá os própros elementos; A unão de Ω com qualquer elemento da o própro Ω; {1} {2} = {1, 2} A Como a tercera propredade não é satsfeta, logo A não é uma σ-álgebra. Defnção 1.12: Seja Ω um conjunto com uma σ-algebra assocada, A, então o par (Ω, A) é chamado de espaço mensurável. Defnção 1.13: Se Ω = R um conjunto com uma σ-algebra assocada, R, então o par (R, R) é chamado de espaço de Borel. A σ-algebra de Borel, ou Borel-σ-algebra, é defnda como a σ-algebra gerada por conjuntos abertos de R. Os elementos de R são chamados de boleranos. São borelanos todos os tpos de ntervalo. Comecemos com os ntervalos do tpo {x R x < c} Pela segunda propredade da defnção de σ-álgebra temos: {x R x < c} R {x R x c} R Pela tercera propredade da defnção de σ-álgebra temos: {x R x < c} = n=1 { x R x c 1 } R n

11 Teora de Conjuntos 11 Como nterseções de elementos de R pertencem à R, podemos escrever (a, b] = {x R x > a} {x R x b} R [a, b) = {x R x a} {x R x < b} R (a, b) = {x R x > a} {x R x < b} R [a, b] = {x R x a} {x R x b} R Os subconjuntos untáros pertencem à R, pos {a} = [a, a] R 1.3 FUNÇÃO INDICADORA Defnção 1.14: Seja Ω um espaço amostral e seja A algum subconjunto de Ω. A função ndcadora de A, denotaa por I A, é uma função com seu domno em Ω e e contradomíno bnáro {0, 1}. { 1 se ω A I A (ω) = 0 se ω A Teorema 1.6 (Propredades da função ndcadora): Seja Ω um espaço amostral e F uma coleção de subconjuntos de Ω Exemplo 1.10: Seja a função f defnda por f(x) = 0 se x 0 x se 0 < x 1 2 x se 1 < x 2 0 se x > 2 Usando uma função ndcadora f(x) pode ser escrta da segunte forma: f(x) = xi (0,1] (x) + (2 x)i (1,2] (x) 1. I A (ω) = 1 I A c(ω) para todo A F 2. I A1 A 2... A n (ω) = I A1 (ω)i A2 (ω)...i An (ω) EXERCÍCIOS Teórcos 1) Demonstre as propredades da ntersecção. 2) Sejam A e B dos subconjuntos não-vazos contdos em um espaço amostral Ω. Mostre que

12 Teora de Conjuntos 12 a) A = (A c B c ) c (A c B) c b) (A B) (A B) c = (A B c ) (A c B) 3) Prove que: a) A (A c B) = A B b) A (A B) = A b) (A B) (A B c ) = A 4) Sejam A, B e C conjuntos. Mostre que se A B = A C e A B = A C. Então B = C 5) Sejam A e B dos conjuntos. Sob que condções o conjunto A (A B) c e vazo? 6) Seja Ω um conjunto não-vazo, prove que se A e B são σ-álgebras de subconjunto de Ω, então A B também é uma σ-álgebra Prátcos 1) Sejam A, B e C três eventos em um espaço de probabldade. Expresse os seguntes eventos em termos de A, B e C: a) Apenas A ocorre; b) A e B ocorrem, mas C não ocorre; c) Os três eventos ocorrem; d) Pelo menos um dos três eventos ocorre; e) Nenhum dos três eventos ocorre; f) Exatamente um dos três eventos ocorre; g) No máxmo um dos três eventos ocorre; h) Pelo menos dos dos três eventos ocorrem. 2) Verfque se as relações são verdaderas: a) (A B) (A C) = A (B C) b) (A B) = (A B c ) B c) A c B = A B d) (A B) c C = A c B c C e) A B c

13 Teora de Conjuntos 13 3) Consdere o espaço amostral Ω ndcado pelo quadrado defndo num sstema de exos cartesanos de tal forma que 0 x 10 e 0 y 10. Ilustre grafcamente os eventos abaxo: a) A : x y b) B : max(x, y) 3 c) C : mx(x, y) 3 d) D : x y 3 e) B C 4)Sejam os conjuntos A = {x R 2 < x < 6} e B = {x R x > 3}, determne: a) A B b) A B c) A B c d) A c B e) A B c f) A B c 5) Sejam os conjuntos A = {x R 1 < x 2}, B = {x R 2 x < 4} e C = {x R 1 < x < 1}, determne: a) (A B) C b) A (B C) c c) (A C) B c d) (A c B c ) c C 6) Seja Ω = {1, 2, 3} e A = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, Ω}, verfque se A é uma σ-álgebra. 7) Seja Ω = {1, 2, 3, 4} e verfque se as coleções de conjuntos abaxo são σ-álgebras. a) A = {, {1}, {2, 3, 4}, Ω}, b) A = {, {1, 2}, {3, 4}, Ω}, 8) Um curso exgrá 2 provas para aferr o conhecmento do aluno, cuja nota pode varar de 0 a 10. As provas têm peso P 1 e P 2 e para passar o aluno deve receber nota gual ou superor a 6. Mostre grafcamente o espaço amostral de resultados que o aluno pode receber no curso e ndque o evento "A: o aluno passou no curso", dentro do espaço amostral, consderando 2 casos:

14 Teora de Conjuntos 14 a) P 1 = 1 e P 2 = 1 b) P 1 = 1 e P 2 = 2 9) Seja Ω = {0, 1, 2, 3} obtenha uma σ-álgebra. 10) Consdere Ω = [0, 1] e os seguntes subconjutos: A = {x Ω x 1 2 } B = {x Ω x 1 3 } Expresse os subconjuntos resultantes das operações abaxo em termos de funções ndcadoras a) (A B) b) A B) c) (A c B) d) (A c B c )