SIAD - SISTEMA INTEGRADO DE APOIO À DECISÃO: UMA IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DE MODELOS DE ANÁLISE DE ENVOLTÓRIA DE DADOS

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1 SIAD - SISTEMA INTEGRADO DE APOIO À DECISÃO: UMA IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DE MODELOS DE ANÁLISE DE ENVOLTÓRIA DE DADOS Lda Angulo Meza Insttuto de Cêncas e Tecnologa Unversdade Vega de Almeda lda@lab.uva.br Luz Bond Neto Depto. de Eng. Elétrca e de Telecomuncações Unversdade do Estado do Ro de Janero lbond@uer.br João Carlos Correa Baptsta Soares de Mello Depto. de Eng. de Produção Unversdade Federal Flumnense csmello@producao.uff.br Elane Gonçalves Gomes Programa de Eng. de Produção COPPE Unversdade Federal do Ro de Janero Embrapa Montoramento por Satélte elane@cnpm.embrapa.br Pedro Henrque Gouvêa Coelho Depto. de Eng. Elétrca e de Telecomuncações Unversdade do Estado do Ro de Janero phcoelho@uer.br Resumo A Análse de Envoltóra de Dados (DEA) basea-se em problemas de programação lnear (PPL) para determnar a efcênca de undades produtvas (DMUs). Esse processo pode ser computaconalmente ntenso, pos um PPL deve ser rodado para cada undade. Além dsso, os PPLs são altamente degenerados e, em alguns casos, apresentam múltplas soluções efcentes. O trabalho desenvolvdo pretende preencher uma lacuna exstente no que se refere a softwares de DEA, qual sea, a nexstênca de programas que contemplem resultados completos (índces de efcênca, benchmarks, pesos e alvos) dos modelos DEA clásscos, bem como a ncorporação de modelos DEA mas avançados. A nterface do software apresentado, assm como os modelos e os algortmos de solução, foram mplementados em Delph. Nesse programa computaconal, que recebeu o nome de SIAD Sstema Integrado de Apoo à Decsão, foram mplementados os modelos báscos de DEA e também alguns modelos mas avançados. Palavras-chave: Software Análse de Envoltóra de Dados Apoo à Decsão.

2 1 INTRODUÇÃO A Análse Envoltóra de Dados (Data Envelopment Analyss DEA) é uma abordagem para calcular efcênca que utlza problemas de programação lnear (PPLs) cuos resultados avalam o desempenho de undades tomadoras de decsão (Decson Makng Unts DMUs). Nos últmos anos tem havdo um crescente nteresse por DEA e os PPLs envolvdos. Mutas aplcações a casos reas têm provocado uma necessdade de refnamento dos modelos clásscos exstentes, o modelo CCR (Charnes et al, 1978) e o modelo BCC (Banker et al, 1984), para nclur stuações antes não consderadas. Dessa forma, mutos pesqusadores têm se preocupado com resultados fornecdos pelos modelos, a saber, índces de efcênca, benchmarks e alvos. Por outro lado, um PPL deve ser resolvdo por cada DMU. Logo, a tarefa de determnação de efcênca, sem um software especalzado, pode ser altamente onerosa, dependendo da quantdade de DMUs. De modo a mnmzar esses problemas, város programas computaconas foram desenvolvdos. No entanto, em mutos casos, os resultados apresentados ou não são completos, ou quando dferentes softwares são dferentes para um mesmo modelo DEA, o que leva a dúvdas com relação à sua mplementação computaconal. Verfcou-se, assm uma grande necessdade de desenvolver um software confável, acessível, que fornecesse resultados completos e que ncluísse os novos desenvolvmentos teórcos de modelos DEA. Dessa forma surgu o SIAD Sstema Integrado de Apóo à Decsão, que, além de mplementar os modelos clásscos de DEA e fornecer resultados completos, nclu modelos avançados que não foram mplementados em outros softwares de DEA (Angulo-Meza et al., 2003a). O SIAD fo mplementado em Delph 7.0 devdo às componentes gráfcas que possu e, prncpalmente, devdo à facldade de mplementação (em Obect Pascal) do algortmo Smplex para resolver problemas de programação lnear. A mplementação desenvolvda tem se mostrado de grande utldade no teste de novos modelos, tendo sdo utlzado em alguns artgos escrtos pelos autores. 2 ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS A Análse Envoltóra de Dados (Data Envelopment Analyss DEA), desenvolvda por Charnes et al. (1978), é uma metodologa que usa programação lnear para calcular efcêncas comparatvas de Undades Tomadoras de Decsão (Decson Makng Unt DMU). O obetvo de DEA consste em comparar um certo número de DMUs que realzam tarefas smlares e se dferencam nas quantdades de nputs que consomem e de outputs que produzem. Há dos modelos DEA clásscos: o modelo CRS, também conhecdo por CCR (Charnes, Cooper e Rhodes, 1978), que consdera retornos de escala constantes, e o modelo VRS, ou BCC (Banker, Charnes e Cooper, 1984), que consdera retornos varáves de escala e não assume proporconaldade entre nputs e outputs.

3 Em sua formulação matemátca, consdera-se que cada DMU k, k = 1,..., n, é uma undade de produção que utlza r nputs x k, =1,, r, para produzr s outputs y k, =1,, s. O modelo CCR, apresentado em (1), maxmza o quocente entre a combnação lnear dos outputs e a combnação lnear dos nputs, com a restrção de que, para qualquer DMU, esse quocente não pode ser maor que 1. Assm, para uma DMU o, h o é a efcênca; x o e y o são os nputs e outputs da DMU o; v e u são os pesos calculados pelo modelo para nputs e outputs, respectvamente. max s 1 r 1 u h y v x u, v 0 o sueto a k k s 1 r 1 u y v x o o 1, k 1,..., n, (1) Medante a transformação proposta por Charnes e Cooper (1962), esse modelo pode ser lnearzado, transformando-se em um Problema de Programação Lnear (PPL) apresentado em (2). max h o sueto a s 1 u y o r 1 s v x u y k 1 1 v x u, v 0, o 1 r k 0, k 1,..., n (2) É resolvdo um modelo de programação lnear por cada DMU. Logo, para n DMUs, são resolvdos n PPLs, com r + s varáves de decsão. O modelo apresentado é a base de todos os outros modelos desenvolvdos em DEA. Além do índce de efcênca, os modelos DEA fornecem, para cada DMU, os pesos das varáves, os benchmarks e os alvos para as DMUs nefcentes (esses dos últmos são determnados a partr dos valores das varáves duas, ou sea, com a resolução dos PPLs duas). A obtenção de todos esses resultados é o que, neste artgo, chamam-se de resultados completos.

4 Nos últmos anos, devdo ao grande nteresse e a quantdade de aplcações utlzando a abordagem DEA, programas computaconas que ncluem, na sua maora, os modelos báscos menconados, foram desenvolvdos para evtar o esforço de rodar ndvdualmente, para cada DMU, os PPLs necessáros para obter os resultados dessa avalação. Por outro lado, novos desenvolvmentos teórcos têm sdo propostos e são amplamente utlzados, tas como restrções aos pesos (Allen et al, 1997), frontera nvertda (Angulo-Meza et al, 2003b), etc. Por esse motvo, o uso desses desenvolvmentos tem-se tornado quase obrgatóros na análse DEA. Logo, alguns softwares á ncluem alguns desses modelos. No entanto, em algumas ocasões foram obtdos resultados dferentes fornecdos por dferentes softwares, ou resultados que não respetam as restrções ncluídas, o que tem levantado dúvdas em relação à confabldade dos mesmos. Além dsso, mesmo nos modelos báscos, têm-se observado dferenças nos resultados. Algumas mplementações computaconas não fornecem resultados completos (Angulo-Meza e Lns, 2000). Devdo aos problemas encontrados ao longo da experênca dos autores em trabalhos realzados utlzando DEA, verfcou-se a necessdade de uma mplementação computaconal dos modelos DEA, de forma tal que: os modelos báscos CCR e BCC (orentação nput e output, Cooper et al, 2000) mplementados forneçam resultados completos; o acesso ao códgo sea permtdo para verfcar eventuas problemas e/ou dscrepâncas entre resultados; sea possível nclur modelos e desenvolvmentos teórcos avançados. 3 SIAD SISTEMA INTEGRADO DE APOIO À DECISÃO Um passo fundamental na mplementação de um software para DEA é a determnação e escolha do algortmo para resolver os problemas de programação lnear nos quas está baseado. Como é bem sabdo, o algortmo Smplex é o mas utlzado para resolver PPLs. Cabe menconar que é possível utlzar também o algortmo de pontos nterores que é utlzado pelo software EMS, para resolver os PPLs de DEA (Scheel, 2000). O SIAD utlza o algortmo Smplex para solução de problemas de programação lnear. O algortmo Smplex fo desenvolvdo por Dantzg e publcado em Segundo Dantzg (1963), resumdamente um problema de programação lnear pode ser reduzdo a um problema combnatóro, de tal forma que o procedmento de busca da solução ótma do problema é feto testando-se uma sére de combnações, nas quas o valor da função obetvo do PPL é ncrementada gradatvamente.uma solução ótma é atngda após um certo número de terações, não maor do que o número de restrções ou o número de varáves (qualquer que sea o maor). No SIAD fo utlzada a mplementação proposta por Kuenz et al. (1971), que nclu uma rotna para evtar problemas de degeneração, um problema muto comum em modelos DEA devdo à própra estrutura dos seus PPLs, onde exste grande número de restrções redundantes relatvas às DMUs nefcentes e, em alguns casos, faz com que apresentem múltplas soluções ótmas. Utlzam-se matrzes e vetores para separar os valores dos coefcentes correspondentes às varáves báscas (varáves que são parte da solução) e às varáves não

5 báscas (varáves que não são parte da solução e cuo valor é gual a zero). Além dsso, são mantdas duas lstas com essas varáves, atualzadas a cada teração do algortmo. A mplementação menconada contempla duas fases na determnação da solução de um PPL. A prmera fase procura uma solução básca ncal. Na segunda, começa na prmera teração do algortmo com a solução básca ncal encontrada na Fase 1. Tanto a prmera quanto a segunda fase possuem três procedmentos. No prmero, é determnado o valor de uma função obetvo secundára que será utlzada nos outros dos procedmentos e tenta-se encontrar a varável que entrará na base. O segundo procedmento localza o elemento pvô, levando em consderação a exstênca de degeneração no PPL. Se o elemento pvô não é encontrado enva-se uma mensagem e o procedmento de busca termna. As operações nas matrzes para mudar o conunto de varáves báscas e não báscas são realzadas no tercero procedmento. Três resultados podem ser obtdos contemplando o PPL: possu uma solução ótma, não possu uma solução vável (o PPL é lmtado) ou não possu um vetor ncal vável (o PPL é nvável). A segur apresenta-se o algortmo da mplementação: Fase 1: Determna-se uma solução básca vável ncal; Verfca-se se essa solução é a orgem, senão procura outra solução. Procedmento 1: Procura-se uma varável para entrar na base da solução vável ncal e calcular o valor da função obetvo secundára (soma das varáves artfcas). Verfca-se se a solução atual é a vável ncal; se for, r para a Fase 2; senão, verfca-se se exste uma varável para entrar na base; se exste, va-se para o procedmento 2; senão, o PPL é nvável e manda-se a mensagem FIM. Procedmento 2: Localza-se o elemento pvô; se for encontrado, va-se para o Procedmento 3; senão o PPL é PPL nvável e termna-se o algortmo. Procedmento 3: Muda-se os conuntos das varáves báscas e não báscas e volta-se para o Procedmento 1. Fase 2: Tem-se uma solução básca ncal; Va-se para o Procedmento 1. Procedmento 1: Procura-se uma varável para entrar na base e calcula-se o valor da função obetvo secundára. Verfca-se se a solução atual é ótma; se for, o algortmo termna; senão, verfca-se se exste varável para entrar na base; se exstr, va-se ao Procedmento 2; senão o PPL é lmtado. Procedmento 2: Localza-se elemento pvô. Procedmento 3: Muda-se os conuntos das varáves báscas e não báscas e va-se para o Procedmento 1. Cabe destacar que nos modelos DEA báscos (CCR ou BCC, qualquer orentação) sempre pode ser encontrada uma solução. Isso sgnfca que sempre será encontrada uma solução ótma, podendo até ter nfntas soluções ótmas, o que não é ncomum. Nesse últmo caso, somente a prmera solução ótma achada é apresentada ao usuáro. No caso de modelos com restrções aos pesos, exste a possbldade de haver PPLs nváves, pos as restrções adconas ncluídas podem nvablzar um PPL que ncalmente

6 tnha uma solução ótma. Nesses casos, uma mensagem é envada e o usuáro tem a possbldade de modfcar a restrção ncluída e repetr o processo. O procedmento de solução dos PPLs é únco; o que muda é a forma dos PPLs, pos para cada modelo DEA um PPL dferente é executado. Os dados de entrada devem ser colocados no formato adequado, dentro de uma matrz, dependendo do modelo utlzado. O procedmento da ordenação dos dados dentro da referda matrz e no formato requerdo é o que comporta maor dfculdade, depos da mplementação do algortmo. 3.1 Descrção O SIAD deve ser utlzado em uma plataforma Wndows e permte trabalhar com até 100 DMUs e 20 varáves, entre nputs e outputs. Embora para mutas outras áreas de pesqusa podera parecer um número nsufcente, para a área de DEA essa quantdade de DMUs representa um número de grande porte, á que na lteratura quase não exstem aplcações com uma quantdade de DMUs maor do que 100. Com relação às varáves, cabe destacar que o número 20 é um número que pode ser consderado sufcente, pos em mutas aplcações reas, e devdo às própras característcas da análse de efcênca, trabalha-se com um máxmo de 10 varáves. A Fgura 1 mostra a tela de apresentação do software. Fgura 1: Tela de apresentação do SIAD. O software fo desenvolvdo para permtr a entrada de dados de duas formas: dretamente no programa, utlzando uma grade de entrada vaza (com a préva ndcação da quantdade de varáves e DMUs), e através de um arquvo (do tpo txt) com os dados á exstentes que são carregados na grade mostrada na Fgura 2.

7 Fgura 2: Entrada dos dados. Na Fgura 2 observa-se que se dspõe das opções para o tpo de modelo (CCR ou BCC) e para o tpo de orentação (nput ou output), com o qual cobrem-se os modelos báscos e mas utlzados em DEA. Entretanto, como um dos obetvos do SIAD é ncorporar novos desenvolvmentos em DEA, foram ncluídas opções avançadas que podem ser escolhdas em conunção com o modelo e a orentação. Nesse módulo pode-se escolher não utlzar nenhuma opção avançada, optar pela nclusão de restrção aos pesos ou trabalhar com ncertezas nos dados. A opção avançada de restrções aos pesos leva a uma anela adconal onde é ndcado o número de restrções a serem ncluídas no modelo escolhdo. Por enquanto, o SIAD aceta somente o tpo de restrções de Regão de Segurança (Allen et al. 1997). A escolha da ncerteza em algumas ou todas as varáves também leva o usuáro a uma outra anela, desta vez, de entrada de dados. A ncerteza nos dados, ou sea, uma análse DEA com ncertezas, supõe um ntervalo de varação de algumas ou de todas as varáves de análse. Uma descrção completa pode ser encontrada em Soares de Mello et al (2003). Os resultados contemplando qualquer modelo, com ou sem modelos avançados, são apresentados em uma anela adconal. Nessa anela mostra-se os índces de efcênca para todas e cada uma das DMUs. Além dsso, opções adconas para mostrar outros resultados são apresentadas: frontera nvertda, com a qual a anela de resultados é expandda para nclur o índce de efcênca na frontera nvertda e o índce composto (efcênca padrão e nvertda); os pesos das varáves; os benchmarks de todas as DMUs (efcentes e

8 nefcentes) e os alvos para as DMUs (que ncluem as folgas e os níves que as varáves devem atngr para as DMUs serem efcentes), conforme Fgura 3. Fgura 3: Tela de resultados. Chama-se atenção o fato de ter-se optado por colocar somente as efcêncas das DMUs na anela de resultados, enquanto que os outros resultados foram colocados como opções que somente serão mostrados quando for solctado. Isso fo feto para audar na vsualzação dos resultados, á que a apresentação dos resultados completos de uma vez só pode dfcultar o entendmento dos mesmos, dependendo da quantdade de DMUs e varáves. No que dz respeto às opções de edção dos dados, dspõe-se na anela de entrada de dados de uma forma de mudar os nomes das DMUs e das varáves. Adconalmente, podem-se salvar os dados necessáros. Essa opção encontra-se na anela de entrada de dados e na anela de resultados. Na prmera, podem-se salvar os dados das varáves das DMUs; na segunda, os resultados completos da análse DEA, assm como as nformações sobre os dados são salvados em um arquvo (por exemplo, pode se salvar o arquvo ncal, os modelos utlzados, orentação e a utlzação dos modelos avançados). Os arquvos com os quas o SIAD trabalha são do tpo texto (txt). Na anela de entrada de dados, tem-se uma opção, até agora não menconada, para trabalhar com modelos multcrtéro. Ao escolher-se essa opção nota-se uma mudança da cor da anela, para ndcar a saída da abordagem DEA e a entrada da abordagem multcrtéro. Dado que esse módulo está em estágo ncal, dspõe-se somente do método AHP (Analytc Herarquc Process), mas pretende-se nclur outros modelos.

9 3.2 Implementação dos modelos O software fo desenvolvdo em Delph 7.0. Com a mplementação do algortmo Smplex, que representa a coluna vertebral do programa, foram ntroduzdos os modelos báscos de DEA, CCR e BCC, com as duas orentações, nput e output, os quas fornecem os resultados completos deseados: índces de efcênca, pesos das varáves, benchmarks e alvos (nclundo os valores das folgas, necessáras para algumas análses avançadas). Por outro lado, também foram ncluídos modelos avançados: Frontera nvertda, que representa uma forma de medr a nefcênca de uma undade (Angulo-Meza et al., 2003b); calcula-se, anda, uma efcênca composta (meda artmétca entre a efcênca relatva a frontera clássca e o complemente da efcênca com relação à frontera nvertda). São apresentados os resultados brutos e os resultados normalzados, sto é, dvddos pela maor efcênca composta; Restrções aos pesos, do tpo regão de segurança (Allen et al. 1997); Modelo que consdera ncertezas nas varáves utlzando um enfoque dfuso (Soares de Mello et al., 2003). Os resultados fornecdos são: os índces de efcênca, que ncluem também os índces de efcênca em relação à frontera nvertda, que pode ser nterpretada como uma medda de nefcênca, os pesos das varáves, os benchmarks para as undades efcentes e os alvos para as varáves da forma que fo ndcada na seção anteror. 4 COMENTÁRIOS FINAIS A crescente utlzação nos últmos anos da abordagem DEA para avalação de efcênca e os desenvolvmentos teórcos, fruto de aplcações reas, têm mostrado a necessdade de uma mplementação computaconal confável que reúna, ao mesmo tempo, uma nterface agradável, resultados confáves e completos e a possbldade de nclur modelos mas avançados. Exstem softwares para DEA, mas a falta de resultados completos e a falta de confabldade mostraram a necessdade de uma mplementação computaconal própra que atendesse às necessdades dos autores deste artgo. O SIAD surge para suprr essa necessdade. Implementado em Delph 7.0, utlza o algortmo Smplex para resolver os PPLs utlzados por DEA. Além dos modelos clásscos de DEA, nclu modelos avançados, como modelos DEA com restrções aos pesos, e modelos recém desenvolvdos pelos autores, como frontera nvertda e ncertezas nos dados. Os resultados completos fornecdos por este software servem para fazer uma análse mas profunda das DMUs, e podem, nclusve, servr de base para o desenvolvmento de novos modelos teórcos. O desempenho do SIAD em problemas de grande porte tem sdo satsfatóro: o tempo de resposta para problemas de 80 DMUs e 7 varáves tem sdo de menos de um segundo. Uma grande vantagem de uma mplementação própra é a possbldade de nclur outros modelos dentro do SIAD. Isso representa uma grande vantagem para os autores, sempre dedcados a novos desenvolvmentos e com necessdade de uma ferramenta para testar os novos modelos propostos.

10 Fnalmente, pretendem-se nclur outros modelos desenvolvdos pelos autores, como o modelo DEA-GSZ (Lns et al., 2003) que consdera que o output ganho por uma DMU deve ser perddo por outras, assm como a amplação do módulo multcrtéro. A versão atual do programa pode ser baxada, lvremente em REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Allen, R., Athanassopoulus, A., Dyson, R.G. et al., Weghts restrctons and Value udgements n Data Envelopment Analyss: Evoluton, Development and Future Drectons. Annals of Operatons Research, 73, Angulo-Meza, L.; Lns, M.P.E., A Análse Envoltóra de Dados (DEA) através da utlzação do Fronter Analyst. Pesqusa Operaconal, 19 (2), Angulo-Meza, L.A., Bond Neto, L., Soares de Mello, J.C.C.B., Gomes, E.G., 2003a. SIAD - Sstema Integrado de Apoo à Decsão: uma mplementação computaconal de modelos de Análse Envoltóra de Dados. I Encontro Regonal da Socedade Braslera de Pesqusa Operaconal, Caderno de Resumos, 24, Nteró, RJ, Brazl. Angulo-Meza, L., Gomes, E.G., Soares de Mello, J.C.C.B., Bond Neto, L., 2003b. Frontera DEA de dupla envoltóra no estudo da evolução da ponte aérea Ro-São Paulo. Anas do XVII Congresso de Pesqusa e Ensno em Transportes, Ro de Janero, RJ,Novembro. Banker, R. D., Charnes, A., Cooper, W. W., Some Models for Estmatng Techncal and Scale Ineffcences n Data Envelopment Analyss. Management Scence, 30(9), Charnes, A., Cooper, W. W., Programmng wth Lnear Fractonal Functonals. Naval Research Logstcs Quarterly, v. 15, pp Charnes, A., Cooper, W. W., Rhodes, E., Measurng the Effcency of Decson Makng Unts. European Journal Of Operatonal Research, 2(6), Cooper, W.W., Seford, L.M., Tone, K., Data Envelopment Analyss: A Comprehensve Text wth Models, Applcatons, References and DEA-Solver Software. Kluwer Academc Publshers, USA. Dantzg, G.B., Lnear Programmng and Extensons, Prnceton, N.J.: Prnceton Unvesty Press. Kuenz, H.P., Tzschach, H.G., Zehnder, C.A., Numercal Methods of Mathematcal Optmzaton, Academc Press, New York. Lns, M.P.E., Gomes, E.G, Soares de Mello, J.C.C.B., Soares de Mello, A.J.R., Olympc rankng based on a Zero Sum Gans DEA model. European Journal of Operatonal Research, 148 (2), Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., Vetterlng, W.T., Numercal Recpes n Pascal, The Art of Scentfc Computng, Cambrdge Unversty Press. Schell, H., EMS: Effcency Measurement System: User s Manual, Faculty of Economc and Socal Scences, Unversty of Dortmund. Dsponível em: <

11 Soares de Mello, J.C.C.B., Gomes, E.G., Angulo-Meza, L., Bond Neto, L., Índce de Efcênca em Fronteras DEA Nebulosas Anas do XXXV Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal, Natal, RN, Novembro.