Responda às questões utilizando técnicas adequadas à solução de problemas de grande dimensão.

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1 Departamento de Produção e Sstemas Complementos de Investgação Operaconal Exame Época Normal, 1ª Chamada 11 de Janero de 2006 Responda às questões utlzando técncas adequadas à solução de problemas de grande dmensão. I Consdere a rede apresentada na Fgura, em que os arcos têm a capacdade ndcada. Actualmente exste um fluxo que atravessa a rede de s para t, e o valor do fluxo em cada arco é ndcado pelo valor entre parêntess. a) Determne o fluxo máxmo entre s e t. Identfque claramente a solução fnal. b) Identfque os arcos do corte mínmo. c) Partndo da rede apresentada na Fgura, apresente mas não resolva um modelo que permta garantr que o fluxo máxmo que atravessa o vértce 3 não excede 4 undades de fluxo. II Consdere o segunte problema da área da Logístca. Uma empresa tem de satsfazer as encomendas de quatro clentes localzados em A, B, C e D, através do seu depósto localzado em P. Consdere os custos de deslocação (UM) entre os clentes que estão representados na matrz: B C D A B 2 2 C 4 O custo de deslocação (UM) do depósto para os clentes é: A B C D O depósto dspõe de uma frota de 3 veículos. Devdo à exstênca de uma janela temporal muto pequena para efectuar a descarga, um veículo só pode efectuar uma entrega por da, podendo no entanto transportar carga para város clentes.

2 Consdere a segunte lsta de encomendas, com as respectvas datas de entrega: Clente A 2 B 2 C 1 D 3 Sabendo que o custo de utlzação de um veículo corresponde a 2 UM: a) Estabeleça um modelo que lhe permta mnmzar os custos de abastecmento dos clentes para a lsta de encomendas apresentada. b) Determne a solução óptma do problema. c) Apresente um modelo, mas não resolva, que obrgue à utlzação das 3 vaturas dsponíves. III Consdere o segunte problema de caxero-vajante assmétrco com 4 vértces e com custos assocados aos arcos dados pela segunte Tabela: Da a) Partndo do vértce 1 e usando a heurístca do vznho mas próxmo, determne uma solução heurístca para o problema. b) Com base na solução do problema de afectação correspondente à raz da árvore de pesqusa, determne o lmte nferor reforçado para o valor da solução óptma do problema. c) Com base no resultado obtdo na alínea b), podemos conclur que a solução heurístca é óptma? Justfque. d) Determne a solução óptma do problema, usando o método de partção e avalação sucessvas. Sejam e1, e2,, en 1 que V é o conjunto de vértces, ( V e e 1, 2,, en 1 IV os arcos de uma árvore de suporte T num grafo (, ) GVE, em = n) e E é o conjunto dos arcos. Sejam os arcos de uma árvore de suporte de custo mínmo Suponha que c( e ) c( e + ) e c( e ) c( e + 1) a) Mostre que ( ) c( e ). 1 1 c e para todos 1 n 2. T de G. b) Mostre que o custo de qualquer crcuto Hamltonano em G é sempre maor ou gual que o custo de T. c) Apresente um caso partcular em que o custo de um crcuto Hamltonano em G é gual ao custo de T. FIM

3 Departamento de Produção e Sstemas Complementos de Investgação Operaconal Exame Época Normal, 2ª Chamada 26 de Janero de 2006 Responda às questões utlzando técncas adequadas à solução de problemas de grande dmensão. I Consdere o segunte problema da área da Logístca. Uma empresa tem de satsfazer as encomendas de quatro clentes localzados em A, B, C e D, através do seu depósto localzado em X. Consdere os custos de deslocação (UM) entre os clentes que estão representados na matrz: B C D A B 8 2 C 5 O custo de deslocação (UM) do depósto para os clentes é: A B C D O depósto dspõe de uma frota de 3 veículos. Devdo à exstênca de uma janela temporal muto pequena para efectuar a descarga, um veículo só pode efectuar uma entrega por da, podendo no entanto transportar carga para város clentes. Consdere a segunte lsta de encomendas, com as respectvas datas de entrega: Clente A 3 B 1 C 2 D 1 Sabendo que o custo de utlzação de um veículo corresponde a 2 UM: a) Estabeleça um modelo que lhe permta mnmzar os custos de abastecmento dos clentes para a lsta de encomendas apresentada. b) Determne a solução óptma do problema. c) Apresente um modelo, mas não resolva, que obrgue à utlzação das 3 vaturas dsponíves. II Determne o camnho mas curto no grafo entre o vértce a e todos os outros. Identfque a árvore resultante dos camnhos mas curtos obtdos. Justfque o Algortmo utlzado. 7 4 b d g Da a c 3 25 e f h 3 4 5

4 III O drector de campanha de um canddato à Presdênca da Republca pretende estabelecer o programa da vsta à provínca da próxma quarta-fera. Nesse da, o canddato deve sar de manhã de Lsboa e regressar à note à mesma cdade, para a realzação de um comíco. Os pontos a vstar, desgnados por a, b, c e d, e os tempos de vagem são dados pela segunte Tabela: Lsboa a b c d Lsboa a b c d a) Usando a heurístca do vznho mas próxmo, determne uma solução heurístca para o problema. b) Com base na solução do problema de afectação correspondente à raz da árvore de pesqusa, determne o lmte nferor reforçado para o valor da solução óptma do problema. c) Com base no resultado obtdo na alínea b), podemos conclur que a solução heurístca é óptma? Justfque. d) Determne a solução óptma do problema. IV Desgna-se por conjunto estável num grafo o conjunto S de vértces que tem a propredade de nenhum par de vértces de S ser um par de vértces adjacentes. Desgna-se por conjunto de arcos de cobertura o conjunto F de arcos se qualquer vértce do grafo for uma extremdade de pelo menos um arco de F. a) Prove que se S é um conjunto estável e F for uma cobertura de arcos no mesmo grafo então S F. b) Determne o máxmo conjunto estável nos grafos apresentados abaxo. Não é mportante o modo como obtém a solução, mas somente é necessáro um argumento de que a solução apresentada é na verdade a melhor solução possível. FIM

5 Departamento de Produção e Sstemas Complementos de Investgação Operaconal Exame Recurso 9 de Feverero de 2006 Responda às questões utlzando técncas adequadas à solução de problemas de grande dmensão. I Consdere uma tarefa consttuída por 7 operações, entre as quas foram estabelecdas as relações de precedênca ndcadas no segunte Quadro: Operação Duração Precedêncas A 3 -- B 1 -- C 3 A D 2 A E 2 BC F 4 DE G 3 BC a) Determne a duração mínma necessára para a execução do projecto, usando o método do camnho crítco. b) Formule mas não resolva, um modelo de rede que lhe permta especfcar o níco da tarefa B, tal que entre a sua conclusão e o níco das suas sucessoras não devem ocorrer mas do que duas undades de tempo. II Consdere o grafo não orentado apresentado na Fgura. Este grafo representa uma rede de corredores do mercado muncpal de uma mportante cdade. O drector de campanha de um canddato à Presdênca da Repúblca pretende estabelecer o trajecto a segur pelo canddato na vsta a efectuar ao mercado, na próxma qunta-fera. Estes contactos drectos com o eletorado são morosos, porque é necessáro percorrer todas as artéras, cumprmentando pessoalmente tanto os vendedores como os compradores. Os tempos estmados para percorrer cada uma das artéras são os ndcados no grafo. d a b e g k m c l h j n f Dga como deve ser efectuado o percurso, de modo a mnmzar o tempo total necessáro à vsta. A únca entrada do mercado é pelo vértce a. Consdere que, se for necessáro percorrer uma dada artéra pela segunda vez, o tempo de trânsto na segunda passagem é reduzdo a metade, por não ser já necessáro cumprmentar novamente os vendedores dessa artéra.

6 III Uma carrnha de dstrbução de jornas sa de manhã de Lsboa para levar os jornas a város locas dos arredores. A nauguração recente de algumas estradas faz supor que exstam melhores percursos que os utlzados anterormente, sendo necessáro uma reavalação dos trajectos usados. Os pontos a vstar, desgnados por a, b e c, e os tempos de vagem são dados pela segunte Tabela: Lsboa a b c Lsboa a b c a) Determne uma solução para o problema, usando a heurístca de nserção de custo mínmo. b) Calcule o valor do lmte nferor fornecdo pela solução do problema de afectação assocado a este problema. c) Calcule o valor do lmte nferor reforçado. d) Será que os valores dos lmtes nferores calculados nas duas alíneas anterores servem para provar que a solução heurístca calculada na alínea a) é óptma? Explque sucntamente. IV Seja G um dígrafo com dos vértces especas s e t. Quasquer dos camnhos orentados de s para t são camnhos dsjuntos se não compartlharem nenhum vértce para além de s e t. a) Prove que o número de máxmo de camnhos dsjuntos de s para t é gual ao número mínmo de vértces cuja remoção assegura que não há nenhum camnho orentado de s para t. b) Apresente um pequeno exemplo lustratvo da sua justfcação. c) Identfque uma formulação que lhe permte obter para o grafo abaxo apresentado o número máxmo de camnhos dsjuntos. v1 v2 s t v 7 v3 v4 v5 v6 FIM