UMA GENERALIZAÇÃO DE GRAFOS CAMINHO E LEQUE: O ESTUDO DA SUBCOLORAÇÃO

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1 UMA GENERALIZAÇÃO DE GRAFOS CAMINHO E LEQUE: O ESTUDO DA SUBCOLORAÇÃO Llan Markenzon Núcleo de Computação Eletrônca Unversdade Federal do Ro de Janero markenzon@nce.ufrj.br Chrstna F. E. M. Waga Insttuto de Matemátca e Estatístca Unversdade do Estado do Ro de Janero waga@me.uerj.br RESUMO Uma subcoloração é uma partção de vértces na qual cada classe de cor nduz em G uma unão de clques dsjuntas. Neste trabalho, duas subfamílas de grafos cordas são defndas, os grafos k-serpentna e os grafos k-leque. Prova-se que os grafos k-serpentna são 2-subcoloríves e os grafos k-leque são 2 ou 3-subcoloríves, dependendo do caso. A dstrbução de graus dos vértces das duas famílas é também exbda. PALAVRAS CHAVE. subcoloração; grafos k-camnho; subfamílas de grafos. Área Prncpal: Teora e Algortmos em Grafos ABSTRACT A subcolorng s a vertex colorng of a graph n whch every color class nduces a dsjont unon of clques. In ths paper two subfamles of chordal graphs are defned, the k-streamer graphs and the k-fan graphs. It s proved that the subchromatc number of the k-streamer s 2 and the subchromatc number of the k-fan s 2 or 3, dependng on the case. The degree dstrbuton of the vertces of these famles s also shown. KEYWORDS. subcolorng; k-path graphs; specal graph famles. Man Area: Theory and Algorthms n Graphs 4126

2 1. Introdução Uma k-coloração de um grafo G é uma partção de seus vértces em k conjuntos dsjuntos dos a dos V 1,..., V k tal que cada classe de cor V, = 1,..., k, é consttuída por vértces solados ou é um conjunto ndependente de vértces. O número cromátco χ(g) é o menor ntero para o qual G possu uma k-coloração. Para grafos conexos não trvas, 2 χ(g) n. As gualdades se verfcam para os camnhos P n com χ(p n ) = 2 e para os grafos completos K n, χ(k n ) = n. O conceto de coloração pode ser generalzado de dversas maneras: subcoloração, cocoloração e coloração completa, por exemplo. A subcoloração e número subcromátco foram ntroduzdos por Albertson et al. (1989). Uma partção V 1,..., V k dos vértces de G é denomnada uma k-subcoloração do grafo quando cada classe de cor nduz em G uma unão de clques dsjuntas. O número subcromátco χ s (G) é o menor ntero para o qual G possu uma k-subcoloração. É fácl ver que para qualquer grafo G, χ s (G) χ(g). Esta gualdade se verfca para grafos l-partdos completos K l,...,l. Além dsso, tem-se que χ(g) χ s (G)ω(G) sendo ω(g) o número de clque de G, sto é, a cardnaldade da maor clque do grafo. O grafo que satsfaz a gualdade pode ser encontrado em Gmbel e Hartman (2003). A subcoloração tem dversas aplcações nas áreas de escalonamento de tarefas, computação dstrbuída e otmzação combnatóra, vde Gandh et al. (2010). Reconhecer se um grafo é k-subcolorível é um problema NP-completo para grafos em geral. Portanto, dentfcar famílas de grafos em que se consga resolver este problema em tempo polnomal é um tópco relevante de pesqusa. Stacho (2008a,2008b) apresentou dos resultados para grafos cordas: exste um algortmo com complexdade de tempo de O(n 3 ) para 2-subcoloração e, para todo k 3, decdr se o grafo é k-subcolorível é NP-completo. Um resultado medato é a subcoloração de camnhos e de grafos completos. O prmero apresenta χ s (P n ) = χ(p n ) = 2 e o segundo, χ s (K n ) = 1, levando a uma questão nteressante: como a exstênca de subgrafos completos maxmas faclmente reconhecíves afeta a subcoloração? Neste trabalho, duas subfamílas de grafos cordas são defndas, os grafos k-serpentna e os grafos k-leque. Prova-se que os grafos k-serpentna são 2-subcoloríves e os grafos k-leque, 2 ou 3-subcoloríves, dependendo do caso estudado. A dstrbução de graus dos vértces das duas famílas é também exbda. 2. Concetos Báscos Assume-se a famlardade com os concetos báscos de grafos cordas que podem ser encontrados em Blar e Peyton (1993) e Golumbc (2004). Nesta seção, serão revstos os concetos mas mportantes. Seja G = (V, E) um grafo com ordem V = n > 0 e tamanho E = m. A vznhança de um vértce v V é o conjunto N(v) = {w V vw E}. Para qualquer subconjunto S V, G [S] é o subgrafo de G nduzdo por S. Um conjunto S é uma clque quando G [S] é um grafo completo. Um vértce v V é smplcal em G se N(v) é uma clque e é unversal em G se N(v) = n 1. Um grafo cordal é aquele em que todo cclo smples de comprmento maor ou gual a quatro possu uma corda, sto é, uma aresta lgando dos vértces não consecutvos do cclo. O grafo de nterseção de clques de um grafo cordal conexo G é o grafo conexo valorado tal que seus 4127

3 vértces são as clques maxmas de G e suas arestas lgam vértces que correspondem a clques não dsjuntas. A cada aresta é atrbuído um peso ntero, dado pela cardnaldade do conjunto nterseção das clques maxmas que correspondem às suas extremdades. Uma árvore geradora de peso máxmo deste grafo é chamada árvore de clques de G. Uma k-árvore, k > 0, pode ser ndutvamente defnda da segunte forma: Todo grafo completo com k vértces é uma k-árvore. Se G = (V, E) é uma k-árvore, v / V e Q V é uma k-clque de G, então G = (V {v}, E {vw w Q}) é também uma k-árvore. Nada além dsso é uma k-árvore. Uma observação nteressante é que as k-árvores são uncamente (k + 1)-coloríves. É possível defnr grafos k-camnho de forma semelhante. Um grafo k-camnho, k > 0, pode ser ndutvamente defndo por: Todo grafo completo com k vértces é um grafo k-camnho. Se G = (V, E) é um grafo k-camnho, v / V e Q V é uma k-clque de G contendo pelo menos um vértce smplcal, então G = (V {v}, E {vw w Q}) é também um grafo k-camnho. Nada além dsso é um grafo k-camnho. Reconhecer se uma k-árvore é um grafo k-camnho é fácl devdo à caracterzação apresentada no próxmo teorema de Markenzon et al. (2006). Teorema 1 Seja G = (V, E) uma k-árvore com n > k + 1 vértces. G é um grafo k-camnho se, e somente se, G tem exatamente dos vértces smplcas. Consdere G = (V, E) um grafo k-camnho, Q seu conjunto de clques maxmas. Então, 1. Q = k + 1, para toda clque Q Q, 2. Q = n k e 3. Se Q, Q Q são vértces adjacentes em uma árvore de clques de G então Q Q = k. Um grafo G = (V, E) é um grafo de ntervalo se a cada vértce v V pode ser atrbuído um ntervalo I v da reta real e tal que vw E quando I v I w. O resultado a segur estabelece uma mportante nclusão e pode ser encontrado em Perera et al. (2008). Teorema 2 Todo grafo k-camnho é um grafo de ntervalo. Os grafos k-camnho têm uma únca árvore de clques. Como as árvores de clques de um grafo de ntervalo são camnhos, a únca árvore de clques de um grafo k-camnho é um camnho. 4128

4 3. Resultados sobre a subcoloração de grafos k-camnho Como os grafos k-camnho são grafos de ntervalo, os resultados conhecdos para os grafos de ntervalo são também aplcáves. Broersma et al. (2002) apresentam o segunte lmte para o número subcromátco, sendo G um grafo de ntervalo, χ s (G) log 2 (n + 1). Para um grafo k-camnho G tem-se ω(g) = k + 1 e este lmte pode ser reescrto: χ s (G) mn{k + 1, log 2 (n + 1) }. Duas novas subfamílas de grafos k-camnho apresentam resultados nteressantes em relação ao problema da subcoloração de vértces, melhorando sensvelmente este lmte. A prmera famíla a ser defnda são os grafos k-camnho serpentna ou smplesmente k-serpentna, uma extensão dos grafos serpentna apresentados em Rodrgues et al. (1999). Consdere uma famíla de grafos defnda pela propredade P e G um grafo de ordem n pertence à famíla. O grafo G é (n, r)-maxregular quando G tem o maor número possível de vértces de grau r dentre todos os grafos de ordem n da famíla. Naturalmente, todo grafo regular é (n, r)-maxregular pos todos os n vértces têm grau r. Dentre os k-camnhos, os grafos k-serpentna atendem à condção de maxregulardade. Defnção 3 Um grafo k-camnho G é uma k-serpentna, k 1, quando é (n, 2k)-maxregular. Observe que o grafo 1-serpentna é o grafo camnho usual e, para n e k dados, o grafo k-serpentna de ordem n é únco. Além dsso, qualquer grafo k-serpentna pode ser construído através da substtução do segundo tem da defnção ndutva de grafo k-camnho apresentada anterormente: Se G = (V, E) é um grafo k-serpentna, v / V e Q V é uma k-clque de G contendo os vértces mas recentemente ncluídos, então G = (V {v}, E {vw w Q}) é também um grafo k-serpentna. Por exemplo, o grafo da Fgura 1(a) é uma 3-serpentna com 10 vértces, cuja cadea de escolhas de 3-clques é: E que, {a, b, c}, {b, c, d}, {c, d, e}, {d, e, f}, {e, f, g}, {f, g, h}, {g, h, }. Q = {{a, b, c, d}, {b, c, d, e}, {c, d, e, f}, {d, e, f, g}, {e, f, g, h}, {f, g, h, }, {g, h,, j}}. Baseado na Defnção 3, os graus dos vértces de um grafo k-serpentna, k 1, de ordem n fcam determnados. Se n = k + 2, dos vértces têm grau k e k vértces têm grau k + 1. Se o grafo tem ordem n = k + 2 +, com 1 k 2, exstem k vértces de grau k e dos vértces cada para os graus k + j com 0 j k + n (+1) 2. Se n > 2k, os graus e o número de vértces estão ndcados abaxo: Graus k k + 1 k k 1 2k Num. vértces n 2k 4129

5 A 3-serpentna da Fgura 1(a) tem a segunte dstrbução de graus. Graus Num. vértces Os grafos completos de ordem k e k + 1 são k-serpentnas e têm número subcromátco gual a um. O número subcromátco dos grafos k-serpentna com n > k + 1 é apresentado no próxmo teorema, bem como uma subcoloração possível. Teorema 4 Seja G = (V, E) um grafo k-serpentna com k 2 e n > k + 1. Então, χ s (G) = 2. Prova: Vamos consderar, sem perda de generaldade, V = {v 1,..., v n } o conjunto de vértces sendo v 1 e v n os vértces smplcas. Sabe-se que, pelas propredades de grafos k-camnho e pela defnção de k serpentna, as clques maxmas têm cardnaldade k + 1 e podem ser denotadas por Q = {v,..., v +k }, = 1,..., n k. Sejam q and r nteros postvos tas que n = q(k + 1) + r com 0 r < k + 1 e as q clques maxmas {v 1,..., v k+1 }, {v k+2,..., v 2(k+1) },..., {v (q 1)k+q,..., v q(k+1) }. Novamente, pela defnção de k-serpentna, estas clques são dsjuntas e podem ser ncluídas alternadamente em duas classes de cores C 1 e C 2. Agora, consdere a clque Q formada pelos r vértces restantes. Dos casos devem ser analsados. Se q é par então Q é ncluída na classe C 1 pos dentre os r vértces restantes, alguns são adjacentes a certos vértces da clque {v (q 1)k+q,..., v q(k+1) } C 2. Caso contráro, Q é ncluída na classe C 2. Assm, χ s (G) = 2. Voltando à 3-serpentna da Fgura 1(a), as classes de cores, com as clques ndcadas, são C 1 = {{a, b, c, d}, {, j}} e C 2 = {{e, f, g, h}}. b d f h a c e g a c e g b d f h j j (a) (b) Fgura 1: Grafos k-camnho A segunda subfamíla é composta pelos grafos k-camnho leque ou smplesmente k-leque. Sua defnção será feta utlzando-se a operação de junção de grafos que pode ser encontrada em Gross e Yellen (2003). A junção dos grafos G 1 = (V 1, E 1 ) e G 2 = (V 2, E 2 ) é o grafo G 1 + G 2 = (V 1 V 2, E 1 E 2 {uv u V 1 e v V 2 }). 4130

6 Defnção 5 Um grafo k-camnho G é um k-leque, k 2, quando é a junção do grafo completo K l com 1 l k 1 e de uma (k l)-serpentna. Os grafos 2-leque são os grafos leque usuas da lteratura. Consdere o par (l, k l) que especfca o tpo da junção do k-leque. Para um dado n > 2k + 1, exstem (k 1) k-leques não somorfos especfcados pelos pares (1, k 1), (2, k 2),..., (k 1, 1). Para n > 13 fxo, os possíves tpos de 6-leques não somorfos são (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) e (5, 1). A partr dos grafos utlzados na junção, é possível determnar os graus dos vértces de um grafo k-leque, k 2, de ordem n. Os l vértces do grafo completo K l têm grau n 1 e os graus dos vértces da (k l)-serpentna estão determnados e devem ser acrescdos de l. Consdere, por exemplo, o 4-leque de ordem 10 da Fgura 1(b) obtdo pela junção de um grafo K 2 com uma 2-serpentna com 8 vértces, é o únco 4-leque com 10 vértces do tpo (2, 2). Os graus da 2-serpentna são: Assm, os graus do 4-leque são: Graus Num. vértces Graus Num. vértces Em relação à subcoloração, os k-leques que são grafos completos de ordem k e k + 1 têm número subcromátco gual a um. O número subcromátco dos grafos k-leque com n k + 2 e uma subcoloração são apresentados no teorema abaxo. Teorema 6 Seja G = (V, E) um grafo k-leque com k 2, n k + 2 e n l = q(k l + 1) + r com 0 r < k l + 1. Então, { 2, q < 3 ou q = 3 e r = 0 χ s (G) = 3, nos outros casos. Prova: Consdere as classes de cores C 1, C 2 e C 3, e os seguntes casos. Se q = 1, a clque maxmal pertence à C 1 e os r vértces restantes e o grafo completo K l à C 2. Se q 1, pelo Teorema 4, duas classes C 1 e C 2 são utlzadas para subcolorr as q clques maxmas da (k l)-serpentna. Se q = 2, os r vértces restantes pertencem à classe C 1 e os vértces do grafo K l são ncluídos na classe C 2. Se q = 3 e r = 0, os vértces do grafo K l são ncluídos também na classe C 2. Então, para todos estes, tem-se χ s (G) = 2. Em qualquer outra stuação, os r vértces restantes e os vértces do grafo completo K l formam uma clque e devem pertencer necessaramente à classe C 3. Logo, χ s (G) =

7 Uma 2-subcoloração do 4-leque da Fgura 1(b) com as clques ndcadas é C 1 = {{a, b, c}, {g, h}} e C 2 = {{d, e, f,, j}}. 4. Consderações fnas O estudo apresentado neste trabalho evdencou que as propredades estruturas dos grafos k-camnho podem resultar em lmtes bem mas precsos do que os fornecdos na lteratura para grafos de ntervalo. Como as demonstrações dos Teoremas 4 e 6 são construtvas, os algortmos para a subcoloração do grafo dado decorrem de medato. As subcolorações propostas para as k-serpentnas e para os k-leques determnam classes de cores com clques maxmas, sto é, as maores possíves. É possível analsar, por exemplo, a subcoloração em que as clques não sejam maxmas no grafo. Uma proposta de estudo complementar é a obtenção de algortmos para subcoloração de subfamílas mas abrangentes. Agradecmentos: O prmero autor agradece ao CNPq (Processo /2009-2) pelo fnancamento parcal desta pesqusa. Referêncas Albertson, M.O., Jamson, R.E., Hedetnem, S.T., Locke, S.C. (1989), The subchromatc number of a graph, Dscrete Mathematcs 74 (1-2), Blar, J.R.S., Peyton, B. (1993), An ntroducton to chordal graphs and clque trees. In: George, J.A., Glbert, J. R., Lu, J. W. H. (Eds.), Graph theory and sparse matrx computaton. Sprnger Verlag, IMA 56, Broersma, H.J., Fomn, F. V., Nesetrl, J., Woegnger, G. J. (2002), More about subcolorng, Computng 69, Gandh, R., Greenng Jr., B., Pemmaraju, S., Raman, R. (2010), Sub-colorng and hypo-colorng nterval graphs, Dscrete Mathematcs, Algorthms and Applcatons 2(3), Gmbel, J., Hartman, C. (2003), Subcolorngs and the subchromatc number of a graph, Dscrete Mathematcs 272 (2-3), Golumbc, M.C. (2004), Algorthmc graph theory and perfect graphs, 2 nd edton, Academc Press, New York. Gross, J.L., Yellen, J. (eds) (2003), Handbook of graph theory, CRC Press, Boca Raton, Florda. Markenzon, L., Justel, C., Pacornk, N. (2006), Subclasses of k-trees: characterzaton and cecognton, Dscrete Appled Mathematcs 154, Perera, P.R.C., Markenzon, L., Vernet, O. (2008), A clque-dfference encodng scheme for labelled k-path graphs, Dscrete Appled Mathematcs 156, Rodrgues, R.M.N.D., Abreu, N.M.M., Markenzon, L. (1999), Maxregularty and maxmal outerplanar graphs, Electronc Notes n Dscrete Mathematcs 3, Stacho, J. (2008a), On 2-subcolorng of chordal graphs. In: LATIN 2008: Latn Amercan Conference on Theoretcal Informatcs, Lecture Notes n Computer Scence 4957, Stacho, J. (2008b), Complexty of Generalzed Colorngs of Chordal Graphs, PhD Thess, Smon Fraser Unversty. 4132