ALGORITMOS APROXIMADOS PARA O PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO GENERALIZADO

Transcrição

1 ALGORITMOS APROXIMADOS PARA O PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO GENERALIZADO Ivarton Montero Santos, Carlos Alberto Martnhon, Luz Satoru Och santos@c.uff.br, mart@dcc.c.uff.br, satoru@dcc.c.uff.br Unversdade Federal Flumnense, Departamento de Cênca da Computação Rua Passo da Pátra, 156 Bloco E 3 o andar Boa Vagem, CEP: , Nteró, RJ, Brasl. Resumo: Dado um grafo G=(V,E) e um conjunto de vértces M V, sendo V = n, dzemos que o vértce v V é controlado por M se a maora dos seus vértces vznhos (nclundo ele mesmo) pertencem ao conjunto M. O conjunto M defne um monopólo em G se M controla todos os vértces de V. Dado um conjunto M V e dos grafos G 1 =(V,E 1 ) e G 2 =(V,E 2 ), onde E 1 E 2, temos o PROBLEMA DE VERIFICAÇÃO DE MONOPÓLIO - PVM, que consste em encontrar um grafo sanduíche G=(V,E) (.e., um grafo onde E 1 E E 2 ), tal que M defna um monopólo em G. Caso a resposta do PVM seja NÃO, temos então o PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO - PMCC, cujo objetvo é encontrar um grafo sanduíche G=(V,E), tal que o número de vértces de G controlados por M seja maxmzado. O PVM pode ser resolvdo em tempo polnomal, o PMCC, entretanto, só será resolvdo em tempo polnomal se P=NP. Neste trabalho apresentamos a noção de f-controle e ntroduzmos anda o PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO GENERALIZADO (PMCCG), que assoca pesos e folgas mínmas a cada vértce de V. Nesse caso, o objetvo será maxmzar o somatóro dos pesos dos vértces f-controlados por M. Apresentamos um algortmo 0,5-aproxmado para o PMCCG e um procedmento para a geração de soluções váves baseado na solução de uma relaxação lnear para o problema. Essas soluções são utlzadas posterormente em um método de busca local (Busca Tabu) vsando a determnação de soluções de melhor qualdade para o PMCCG. Fnalmente, apresentamos alguns resultados computaconas e comparamos os resultados obtdos com o valor ótmo encontrado para pequenas nstâncas do problema. Palavras Chaves: Grafo sanduíche, Busca Tabu, PMCC, Heurístcas. Abstract: Gven a graph G=(V,E) and a set of vertces M V, wth V =n, we say that v V n controlled by M, f the majorty of v neghbors (ncludng tself) belongs to M. The set M defnes a monopoly n G f M controls all vertces of V. In the MONOPOLY VERIFICATION PROBLEM - MVP, we are gven a set M V and two graphs G 1 =(V,E 1 ) and G 2 =(V,E 2 ), wth E 1 E 2. The objectve s to fnd a sandwch graph G=(V,E) (.e., a graph where E 1 E E 2 ), such that M defnes a monopoly n G. However, f the answer to the MVP s NO, we have the MAX-CONTROLLED SET PROBLEM - MCSP, whose objectve s to fnd a sandwch graph G=(V,E), such that the total number of controlled vertces s maxmzed. The MVP can be solved n polynomal tme, the MCSP, however s NP-hard. In ths work we descrbe the noton of f-controlled vertces and ntroduce the GENERALIZED MAX- CONTROLLED SET PROBLEM - GMCSP, where weghts and gaps are assocated to all vertces of V. In ths case, the objectve s to maxmze the summaton of the weghts of all vertces f-controlled by M. We present a 0.5-approxmaton algorthm for the GMCSP and a new procedure for fndng feasble solutons based on the solutons of a lnear progammng relaxaton. These solutons are then used n a local search procedure (Tabu Search) lookng for solutons of better qualty. Fnally, we present some computatonal results and we compare these results wth the optmum solutons values obtaned for small nstances of the problem. Keywords: Sandwch Problems, Tabu Search, MCSP, Heurstcs.

2 1. INTRODUÇÃO Dado dos grafos G 1 =(V,E 1 ) e G 2 =(V,E 2 ) tal que E 1 E 2, dzemos que G=(V,E), onde E 1 E E 2, é um grafo sanduíche com propredade Π se, e somente se, G=(V,E) satsfaz Π. Um problema de decsão envolvendo grafo sanduíche consste em decdr se há algum grafo G para o par G 1, G 2 que satsfaça Π. Problemas utlzando grafos sanduíche podem ser vstos em dferentes áreas de pesqusa, como em mapeamento físco de DNA, racocíno temporal, sncronzação de processos paralelos, árvores evolutvas, sstemas esparsos de equações lneares, entre outros [10]. No mapeamento físco de DNA [3], por exemplo, as nformações de nterseções e nãonterseções de pares de segmentos, são obtdas a partr da cadea de DNA de manera expermental. O problema consste em como arranjar os város segmentos, de modo que seus pares de nterseções combnem com os dados expermentas. Na representação utlzando grafos os vértces correspondem aos segmentos, e dos vértces são conectados por uma aresta se os segmentos correspondentes possuem nterseções, dessa manera, defne-se o conjunto de arestas E 2. Na prátca as nformações de nterseções são conhecdas parcalmente, por causa de expermentos ncompletos ou resultados não conclusvos. A ambgüdade nas nformações de nterseções ntroduz o conjunto de arestas E 2 \E 1 (arestas optatvas). Assm, decdr sobre esse problema, é equvalente a encontrar um grafo sanduíche com arestas E, tal que E 1 E E 2 [9]. Neste trabalho abordamos um tpo especal de problema em grafo sanduíche, o PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO GENERALIZADO dscutdo adante. Dado um grafo não dreconado G=(V,E) e um conjunto de vértces M V, um vértce V é controlado por M se N G []IM N G [] / 2, onde N G [] = {} U {j V (,j) E} é vznhança fechada de. O conjunto M V defne um monopólo em G se todo vértce V é controlado por M. O PROBLEMA DE VERIFICAÇÃO DE MONOPÓLIO - PVM é um problema de decsão que retorna SIM caso seja encontrando um grafo sanduíche (se exstr), tal que todos os vértces de G estejam controlados por M. Makno et.al. [13] demonstram que o grafo sanduíche para o PVM pode ser obtdo em tempo polnomal por meo da solução de um Problema de Fluxo Máxmo defndo convenentemente. Quando o conjunto M V não defne um monopólo, ou seja, o problema de decsão PVM retorna NÃO, tem-se então o PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO - PMCC, cujo objetvo é encontrar um grafo sanduíche G=(V,E), tal que o conjunto de vértces controlados por M seja maxmzado. O PMCC é NP-dfícl, mesmo que G 1 seja um grafo vazo ou G 2 seja um grafo completo [13]. Makno et.al. [13] apresentam uma proposta de extensão do PMCC que remos denomnar de PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO COM FOLGA MÍNIMA - PMCCFM, que ntroduz a defnção de vértce f-controlado. Dessa manera, dremos que um vértce V será f-controlado por M em um grafo sanduíche G se, e somente se, N G [] I M - N G []\M f onde f Z. A constante f representa, de certa forma, o grau de controle necessáro para que o vértce V seja f-controlado por M V. Chamaremos de folga mínma o valor f Z assocado ao vértce V. Neste trabalho apresentamos uma proposta de extensão para o PMCC e o PMCCFM denomnada PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO GENERALIZADO - PMCCG, que ncorpora o conceto de f-controle ntroduzdo por Makno et.al. [13] e consdera pesos assocados a cada vértce V. No PMCCG, o objetvo será maxmzar o somatóro dos pesos dos vértces f- controlados por M. Na Seção 2, remos apresentar as regras de redução, dscutdas em [13,14], elmnando nformações redundantes nos dados de entrada do PMCC. Como veremos adante, estas regras serão aplcadas gualmente ao PMCCG, bastando substtur a defnção de vértce controlado por f- controlado. O PMCCG será tratado na Seção 3. Apresentamos um algortmo determnístco 0,5- aproxmado (Seção 3.1), um modelo matemátco para o problema (Seção 3.2) e um algortmo para obtenção de soluções váves a partr da solução da relaxação lnear (Seção 3.3). Na Seção 4 ntroduzmos uma busca local baseada em Busca Tabu e na Seção 5 exbmos alguns dos resultados computaconas obtdos e a comparação com o exato. Fnalmente, na Seção 6, apresentamos as conclusões e consderações fnas. 1555

3 2. REGRAS DE REDUÇÃO As regras de redução colaboram reduzndo ou elmnando nformações redundantes nos dados de entrada, sem nterferr no resultado (conjunto de soluções ótmas) do problema orgnal. Essas regras se aprovetam de característcas presentes na estrutura dos grafos G 1 e G 2, adconando ou removendo permanentemente arestas pertencentes a E 2 \E 1 (arestas optatvas), de tal forma que o conjunto de soluções ótmas contnue o mesmo. Descreveremos agora as regras de redução apresentadas em [13,14] para o PMCC. Prmeramente, consdere a segunte notação auxlar: dados dos grafos G 1 e G 2 como defndos anterormente e dos conjuntos A, B V, representamos por D(A,B) = {(,j) E 2 \E 1 A, j B}, o conjunto de arestas optatvas com uma extremdade em A e outra em B. Temos então as seguntes regras de redução descrtas em [13]: adconar a E 1 as arestas de D(M,M) (Regra de redução 1) e remover as arestas D(U,U) de E 2 (Regra de redução 2), onde U=V\M. O novo conjunto E deverá satsfazer a: E 1UD(M,M) E (1) E E 1U D(M,M) U D(U,M) (2) Vsando a ntrodução das regras de redução descrtas em [14], consdere ncalmente a segunte partção de V: M SC e U SC, vértces sempre controlados, consstem dos vértces pertencentes a M e U, respectvamente, que estão controlados qualquer que seja o grafo sanduíche G=(V,E). Em outras palavras, um vértce (M SCUU SC ) será sempre controlado por M, ndependentemente de quas arestas optatvas E 2 \E 1 sejam adconadas ou removdas em G; M NC e U NC, vértces nunca controlados, consstem dos vértces pertencentes a M e U, respectvamente, que são sempre não-controlados qualquer que seja o grafo sanduíche G = (V,E). Ou seja, um vértce (M NCUU NC ) nunca será controlado por M, ndependentemente de quas arestas optatvas E 2 \E 1 sejam adconadas ou removdas em G; M R e U R, defndos por M R = M\(M SCUM NC ) e U R =U\(U SC U U NC ), são vértces que poderão estar controlados ou não de acordo com a adção ou remoção de arestas optatvas. A partção de V descrta acma pode ser realzada, faclmente, após a adção e remoção de todas as arestas optatvas de G. Assm, após a adção das arestas de E 2 \E 1, dentfcamos dretamente aqueles vértces em M SC que contnuam controlados e os vértces de U NC que contnuam não-controlados. Da mesma forma, após a remoção de todas as arestas optatvas, dentfcamos dretamente os vértces de U SC e M NC que contnuam controlados e não-controlados respectvamente. Consdere então as regras de redução (esquematzadas na Fgura 1) apresentadas em [14]: Adconar a E 1 as arestas D(M SCUM NC,U R ) (Regra de redução 3); Remover de E 2 as arestas D(M R, U SC UU NC ) (Regra de redução 4); Aleatoramente adconar ou remover as aresta D(M SC UM NC, U SC U U NC ) (Regra de redução 5). Fgura 1: Relação entre os sub-conjuntos de vértces do grafo. Aplcação das regras de redução 3,4 e

4 Na Regra de redução 1, a adção das arestas optatvas rá somente colaborar para o controle de novos vértces em M. O oposto ocorre na Regra 2, onde as arestas optatvas que prejudcaram o controle de novos vértces em U são elmnadas. Na Regra 3 são adconadas as arestas optatvas ncdentes àqueles vértces de M, sempre ou nunca controlados, facltando o controle dos outros vértces adjacentes em U R. Na Regra 4, se um vértce pertence a U SCU U NC, removemos todas as suas arestas optatvas ncdentes vsando aumentar as chances de controle de vértces adjacentes em M R. Por fm, a Regra 5 vsa somente reduzr o espaço de soluções, já que a adção ou remoção de arestas entre vértces sempre ou nunca controlados não nfluenca na solução do problema. É fácl ver que, após a aplcação das regras de redução descrtas acma, tem-se apenas arestas optatvas com extremdades em vértces pertencentes M R e U R. A ordem em que a tercera e quarta regras de redução são aplcadas pode nterferr na remoção ou adção de uma aresta optatva. É possível que a aplcação das regras ocorra de manera que uma regra colabore para a outra e vce-versa. Esse fato leva a aplcação consecutva das regras 3 e 4 até que não seja mas possível adconar ou remover arestas optatvas. A Fgura 2 lustra um exemplo de aplcações sucessvas das regras 3 e 4. Na Fgura 2(a) tem-se um grafo resultante após a aplcação da prmera e segunda regra de redução. A Fgura 2(b) demonstra a aplcação da tercera regra de redução. Note que o vértce 1 pertence a M SC, logo todas as suas arestas optatvas ncdentes serão adconadas ao grafo sanduíche G. Na Fgura 2(c) tem-se a aplcação da quarta regra de redução. Agora o vértce 6 rá pertencer a U SC por conseqüênca da aplcação da tercera regra de redução. A aplcação em seqüênca da tercera e quarta regras geram o grafo lustrado na Fgura 2(d). Fgura 2: Exemplo de aplcação da tercera e quarta regra de redução consecutvamente As regras de redução serão aplcadas ao PMCCG da mesma manera que são empregadas no PMCC, bastando substtur a defnção de vértce controlado por M, para vértce f-controlado por M. 3. PROBLEMA DO MAIOR CONJUNTO CONTROLADO GENERALIZADO PMCCG Imagne a segunte stuação, cada vértce no grafo G representa um cdadão. No da de amanhã, os cdadãos de G rão votar entre SIM/NÃO para uma questão polêmca. Curosamente, cada cdadão decdu por fazer uma pesqusa entre seus vznhos, nclundo seu própro voto, para ter um censo partcular sobre a eleção do da segunte. Para a surpresa, ou desapontamento dos cdadãos que votavam SIM, o resultado encontrado mostrava uma vantagem de 2:1 para votos NÃO em sua vznhança. Como exemplo concreto, consdere um grafo completo e bpartdo com dos votos para NÃO de um lado e n-2 votos SIM no outro, veja na Fgura 3. Fgura 3: Dos vértces NÃO dão a mpressão de ser a maora na pesqusa local de todos os outros vértces. Na fgura os vértces brancos representam a coalsão (conjunto M) e os vértces pretos os vértces controlados pela coalsão. 1557

5 Se cada eletor tver seu voto nfluencado pela sua pesqusa partcular, na eleção hpotétca tem-se uma vtóra dos votos NÃO, mesmo sendo a mnora no momento em que as pesqusas foram realzadas. Uma sére de problemas prátcos mportantes envolvendo coalzões em grafos, maoras locas e monopólos se enquadram nesse contexto. Maores detalhes sobre esse assunto podem ser encontrados em [2,15]. A stuação apresentada acma caracterza, de certa forma, o PMCC apresentado em Makno et.al. [13], cujo nteresse é promover um controle de uma maora de votantes dado um sub-conjunto M de vértces, representando por exemplo uma coalzão ou partdo polítco. Poderíamos magnar, por exemplo, que um projeto mportante precsa ser votado em uma câmara legslatva e os vértces controlados por M são aqueles que concordam ou votam favoravelmente a um projeto. É de nteresse do partdo (coalzão M), promover o controle da maora dos representantes da câmara, ou seja, que o maor número possível de pessoas, dentro ou fora do partdo, apóe um determnado projeto. Entretanto, como estabelecer parceras e/ou contatos para que o partdo consga a maora das opnões a favor do seu projeto na câmara? Imagne anda que cada representante eletor consdere um número mínmo de votos (dferença entre os membros de dentro e fora da coalzão) para que sua escolha seja efetvada, teríamos então uma folga mínma ou grau de convencmento para esse eletor, caracterzando portanto o PMCCFM. Por últmo, magne também que exstem eletores que tenham maor nfluênca ou maor peso polítco (seja um ndvíduo com cargo mportante ou de uma classe econômca prvlegada, por exemplo) e que tvéssemos o nteresse de maxmzar o controle desses eletores mportantes. Essa stuação corresponde à déa dos pesos assocados aos vértces do grafo, caracterzando agora o PMCCG. O PMCCG agrega todas as extensões propostas para PMCC. Dessa manera para cada vértce V teremos um peso p Z assocado, que corresponde à mportânca ou peso do voto, e f Z, o valor da folga mínma ou grau de convencmento necessáro ao vértce para que ele seja f- controlado ou concorde com um determnado projeto. Em seguda, apresentamos um algortmo polnomal com razão de aproxmação gual a 0,5, o modelo matemátco para o PMCCG e um algortmo para encontrar soluções váves ncas por meo de uma relaxação lnear do problema. 3.1 Algortmo 0,5-aproxmado para o PMCCG O PMCC pode ser resolvdo por um algortmo determnístco, de tempo polnomal e razão de aproxmação gual a 0,5 (vde Makno et.al [13]). Veremos nessa seção que esse algortmo pode ser estenddo faclmente ao PMCCG, garantndo-se a mesma razão de aproxmação. O Algortmo 1 pode ser empregado após a aplcação das regras de redução 1 e 2 descrtas anterormente. Além dsso, W 1, W 2 denotam o somatóro dos pesos dos vértces f-controlados por M em G=(V,E) para E=E 1, e E=E 2 respectvamente. A varável z H1 representa a melhor solução obtda em ambos os casos. Algortmo 1 - Algortmo 0,5-aproxmado para PMCCG 1: W 1 Somatóro dos pesos dos vértces f-controlados por M, obtdo após a remoção das arestas D(U,M) de G 2 ; 2: W 2 Somatóro dos pesos dos vértces f-controlados por M, obtdo após a nserção em G 1 das arestas D(U,M); 3: z H1 max{w 1,W 2 }; Teorema 1 Seja z max o valor da solução ótma do PMCCG. O valor de z H1 fornecdo pelo Algortmo 1 satsfaz z H1 1/2 z max, qualquer que seja a nstânca do problema. Prova: É fácl ver que: z max W 1 +W 2 2 max{w 1,W 2 }. Como z H1 = max{w 1,W 2 } então z H1 1/2 z max c.q.d. 3.2 Um modelo matemátco para o PMCCG A fm de ntroduzr uma formulação de programação lnear ntera para o PMCCG, defnmos ncalmente as varáves bnáras z, que determnam quas vértces de V serão f-controlados ou não por M. As varáves bnáras x são usadas para decdr quas arestas pertencentes a E 2 \E 1 serão 1558

6 consderadas ou não no grafo sanduíche. As constantes p, f Z correspondem, respectvamente, ao peso e folga mínma do vértce V. As constantes bnáras a {0,1} são assocadas às arestas (,j) E 2, sendo a =1, se e somente se, =j ou (,j) E 2. Assummos anda que a =a j,,j V. Consdere os conjuntos M R, M SC, M NC, U R, U SC, U NC como defndos nas regras de redução (Seção 2) obtdos substtundo-se a defnção de vértce controlado por f-controlado. Consdere anda uma constante b, que possu o valor correspondente à por folga que um vértce M RUU R pode assumr. Assm, b será calculado com o auxílo da equação (3) a segur: j M b = a x a x f para M R U U R (3) j U A determnação de b é realzada então da segunte forma, se M R fazemos x =1, (,j) E 2 \E 1. Analogamente, se U R fazemos x =0, (,j) E 2 \E 1. Obvamente, em ambos os casos teremos x =1, (,j) E 1. Temos então o segunte modelo de programação lnear ntera para o PMCCG, obtdo após a aplcação da regras de redução: Maxmzar: z max = p z (4) sujeto a: V a a f x x + z M R U U R j M b j U b 1 (5) b z = 1, M SCU U SC (6) z = 0, M NCUU NC (7) x = 1, (,j) E 1 (8) x = 1, V (9) x {0,1}, (,j) E 2 \E 1 (10) z {0,1}, V (11) Na formulação apresentada temos a função objetvo (4) que calcula o somatóro dos pesos dos vértces f-controlados por M. A desgualdade (5) garante o f-controle do vértce por M, sempre que o prmero membro da nequação for maor ou gual a 1. Caso contráro, o vértce não será f-controlado por M e z será fxado em 0. As dvsões por b são realzadas para manter a dferença entre os dos somatóros e f /b sempre maor que -1, garantndo sempre z 0. Isso garante também uma relaxação lnear de melhor qualdade para o PMCCG, o que não ocorrera por exemplo, se substtuíssemos b por V (já que V > b, V). A gualdade (6) ndca os vértces sempre f- controlados no grafo e na gualdade (7) os vértces nunca f-controlados. As gualdades (8) e (9) defnem o conjunto de arestas fxas em G 1. A relaxação lnear do PMCCG, representada smplesmente por P, é obtda substtundo-se as restrções (10) e (11) (assocadas às varáves de decsão) por x [0,1] e z [0,1], respectvamente. Representaremos por x [0,1], (,j) E 2 e z [0,1], V, ou smplesmente ( x, z ), uma solução ótma obtda após resolvermos o modelo relaxado do PMCCG. Como dscutdo em [17], esta relaxação pode ser resolvda em tempo polnomal através dos métodos de pontos nterores. Observe fnalmente que, se f =0 e p =1, V temos o PMCC conforme descrto em [13]. Entretanto, se apenas p =1, V temos o PMCCFM. 3.3 Solução para o PMCCG baseada na relaxação lnear Mostraremos nesta seção como obter uma solução vável para o PMCCG a partr da relaxação das restrções de ntegraldade (10) e (11). Assm, um procedmento bastante natural para o problema (que chamaremos Algortmo 2) pode ser obtdo da segunte forma: dada uma solução ( x, z ) de P com coordenadas x [0,1], (,j) E 2 e z [0,1], V, defna como f-controlado, todos os vértces V onde z =1, e como não f-controlado os demas vértces de V, onde z <

7 Como veremos adante, os valores x [0,1] obtdos após a solução de P poderão ser sempre nteros, sgnfcando portanto, que ao escolhermos os vértces f-controlados ou não por M através de z, teremos automatcamente um mecansmo para decdr quas arestas optatvas serão ou não seleconadas ao fnal do procedmento. Demonstramos a proposção segunte em [16]. Teorema 2 Consdere uma solução ótma ( x, z z [0,1], V, e valor ótmo z max = V z exstrá então, uma nova solução relaxada ( x~ {0,1}, (,j) E 2 e z~ [0,1], V. ) de P com coordenadas x [0,1], (,j) E 2,. Se x (0,1) para alguma aresta (,j) E 2 \E 1, ~ x, ~ z ) de P onde z = ~ V z sendo max Note no exemplo da Fgura (4.a), que para f =0, V, uma solução ótma do problema relaxado (assocado a (4)-(11)), pode ser obtda fazendo-se x =0,5, (,j) E 2 \E 1. Na Fgura (4.b) entretanto, observamos uma outra solução ótma onde x {0,1}, (,j) E 2 \E 1. Em ambos os casos, 4 vértces são controlados. Fgura 4: Exemplo de duas soluções: com coordenadas fraconáras e coordenadas nteras respectvamente. Um novo procedmento, que chamaremos de Algortmo 3, consste em smplesmente seleconar a melhor solução obtda nos Algortmos 1 e 2. Como demonstrado em [14], o Algortmo 3 possu uma razão de performance superor para o PMCC (stuação partcular do PMCCG onde f =0 e p =1, V). Aquelas nstâncas onde n 4, podem ser resolvdas faclmente, de manera exata e em tempo polnomal. Para maores detalhes sobre esse procedmento e sua análse de aproxmação vde [14]. Teorema 3 O Algortmo 3 garante, em tempo polnomal, uma razão de performance para o PMCC gual a 1 1+ n, n > 4. + n 2 2( 1) Vsando ncrementar anda mas as soluções obtdas no Algortmo 3, descrevemos a segur um procedmento de busca local para o PMCCG baseado no procedmento de Busca Tabu. 4 BUSCA TABU APLICADA AO PMCCG O método de Busca Tabu (Tabu Search) - BT, proposto ndependentemente por [6] e [11] em 1986, é um procedmento teratvo para a solução de problemas de otmzação combnatóra e que aceta movmentos de pora da solução corrente para tentar escapar de ótmos locas, evtando dessa forma, retornar a regões prevamente pesqusadas. Dentre as metaheurístcas exstentes na lteratura, a BT tem se mostrado compettva na resolução de dferentes problemas de otmzação combnatóra. Na BT, em cada teração uma busca local é executada vasculhando-se uma vznhança N(S) da solução corrente S. Soluções ou movmentos presentes na lsta tabu são probdos temporaramente. Após um determnado número de terações, a lsta é atualzada de forma a permtr que novos movmentos ou soluções assumam o status de tabu. A lsta tabu consste de um conjunto de soluções ou movmentos probdos, determnados por nformações hstórcas das terações precedentes no procedmento de busca local. A BT apresentada no Algortmo 4 contém as etapas normalmente encontradas nos modelos tradconas da lteratura. Dessa forma, o método nclu construção da solução ncal, fase de busca local ntensva e dversfcação (fuga de ótmos locas). 1560

8 Consdere S (com custo c(s) assocado) a solução corrente no algortmo e S * a melhor solução encontrada (solução global). A lsta tabu será representada por T e rá conter os atrbutos de cada movmento, dessa manera, uma sére de movmentos probdos será defnda mplctamente. O crtéro de aspração permte que sejam exploradas regões anda não vstadas no espaço de soluções, garantndo que movmentos presentes na lsta Tabu sejam executados, desde que promovam uma solução melhor que a solução global encontrada. Algortmo 4 Pseudo códgo do BT aplcado a um problema de maxmzação 1: Contadores de terações,j 0 2: S, S * Solução ncal(), c(s'') - 3: enquanto < max faça 4: T Ø 5: enquanto j < j max faça 6: S' BuscaLocal(N(S)\T) 7: S'' BuscaLocal(N(S) I T) satsfazendo o crtéro de aspração 8: se c(s'') > c(s') 9: S' S'' 10: fm se 11: se c(s') > c(s * ) então 12: S * S' 13: j 0 14: fm se 15: se c(s') < c(s) então 16: Insra o movmento (S',S) na lsta tabu T 17: fm se 18: S S' e j j : fm enquanto 20: Dversfcação(S) 21: : fm enquanto 23: retorna S * No caso do PMCCG, o procedmento de construção da solução ncal (lnha 2) utlzado, consste do Algortmo 3 apresentado na Seção 3.3. Naquelas nstâncas onde o número de restrções é muto grande para serem resolvdas por Programação Lnear, geramos a solução ncal utlzando o Algortmo 1 como descrto na Seção 3.1. Os contadores e j, denotam o número de terações do algortmo e da busca local respectvamente, sendo que a busca local é nterrompda sempre que j max terações ocorram sem melhora da solução global. Na lnha 6, a busca local em N(S), é executada desprezando-se os movmentos probdos presentes na lsta tabu. Esses movmentos são pesqusados e realzados na lnha 7, caso promovam uma melhora na solução global, ou seja, caso o crtéro de aspração seja satsfeto. Para escapar de máxmos locas, a busca local permte também movmentos de pora da solução corrente. Nesse caso deve-se garantr que uma busca consegunte não retorne novamente a uma regão já pesqusada. Essa garanta é dada pela nserção do movmento de volta na lsta tabu, representada por um ou mas atrbutos do movmento e que levara a uma solução já encontrada (lnhas 15 e 16). A lsta tabu se basea normalmente no conceto de fla. Assm, em cada atualzação um movmento probdo é ncluído no fnal da lsta (lnha 16), fcando presente na lsta tabu por um número de terações equvalente à capacdade dessa lsta. A função de dversfcação, executada na lnha 20, efetua uma perturbação na solução corrente, com o objetvo de fugr de ótmos locas, ndo para regões anda não pesqusadas pela busca local. As etapas de busca local e dversfcação da solução corrente são descrtas detalhadamente a segur. 4.1 Fase de busca local ntensva no PMCCG Uma das etapas mas mportante da BT se refere à etapa de busca local ntensva onde a vznhança de uma solução corrente S é pesqusada. A qualdade dessa busca local pode ser medda em 1561

9 função do tamanho dessa vznhança e do número de vezes em que ela é efetuada numa dada regão. A déa, a prncípo, é nvestgar uma regão enquanto ela se mostrar promssora. A busca local (lnhas 6 e 7 do Algortmo 4) analsa a partr de uma solução ncal (semente) soluções vznhas, utlzando um crtéro normalmente guloso, ou seja, prorzando o controle dos vértces com maor peso assocado. Na busca local aqu realzada, buscamos o f-controle de novos vértces do grafo sem que outros vértces sejam descontrolados (ou não f-controlados). Representaremos esta estrutura de vznhança por N 0 (S). O procedmento de busca local proposto para o PMCCG é lustrado sucntamente no Algortmo 5. Dado um grafo sanduíche G=(V,E) (solução corrente S), teremos um conjunto de arestas optatvas E assocadas e um conjunto M S M R (respectvamente U S U R ) dos vértces f-controlados por M em G. Consdere também L S =M SUU S, L D =(M RUU R \L S ) e L v ={x V (v,x) E 2 \E 1 }. Nesta estrutura de vznhança esperamos que os vértces v L D sejam f-controlados desde que nenhum outro vértce temporaramente f-controlados seja descontrolado. Note que, neste caso uma nova solução de melhor custo, pertencente a N 0 (S) será gerada já que todos os pesos assocados aos vértces de V são postvos. Anda, dado um grafo sanduíche G, chamaremos de folga corrente de um vértce V o valor f G ()= N G []IM - N G []IU - f. Assm, dado um grafo sanduíche G, teremos que V é f-controlado por M, se e somente se, f G () 0, caso contráro será descontrolado (ou não f- controlado). Na busca local tentamos controlar vértces v L D (lnha 2), desde que o vértce seleconado não esteja presente nas soluções defndas mplctamente pela lsta tabu (lnha 4). Note por exemplo que f G (v)<0, v L D. Representaremos os vznhos de v que podem auxlar em seu f-controle por Lv = { w Lv f G ( w ) 0}. O vértce v poderá ser f-controlado desde que f G (v) seja menor ou gual a L (lnha 5). Basta então, adconar/remover arestas optatvas em número sufcente (dado por f v G (v) ) para se estabelecer o f-controle de v. A escolha de quas vértces vznhos em L serão utlzados, é v dada de manera aleatóra (lnha 7). Note que, se o vértce v a ser f-controlado pertence a M R \M S, será necessáro remover f G (v) arestas optatvas ncdentes a v. Entretanto, caso v U R \U S, será necessáro adconar f G (v) arestas optatvas para que v seja f-controlado (lnhas de 6-16). Por fm, ocorre a atualzação das folgas correntes dos vértces v e seus vznhos w da lsta de vértces descontrolados (lnha 19). Algortmo 5 Procedmento de busca-local utlzado pelo BT 1: Dado um grafo sanduíche G=(V,E) como entrada 2: enquanto L D Ø faça 3: Selecona aleatoramente v L D 4: se v T então 5: se f G (v) então L v 6: enquanto f G (v) < 0 faça 7: w Escolhe vértce w L v aleatoramente 8: se v M R então 9: E E\{(v,w)} 10: se não 11: E E U {(v,w)} 12: fm se 13: f G (v) f G (v) : f G (w) f G (w) : L v L v 16: fm enquanto 17: fm se 18: fm se 19: L D L D \{v} 20: fm enquanto \{w} L v (lnhas 13 e 14) e a atualzação Outras estruturas de vznhanças bastante naturas (aqu representadas por N (S) para 1) podem ser adotadas para o PMCCG. Poderemos efetuar uma busca local, descontrolando-se vértces f-controlados todos de M R ou U R respectvamente, desde que um ganho na função objetvo seja 1562

10 observado. Entretanto, constatamos em testes realzados emprcamente que essas estruturas de vznhança foram pouco efcentes quando comparadas à estrutura N 0 (S), além de exgrem um maor tempo computaconal à medda que aumenta. Após a aplcação de uma busca local ntensva, executamos uma dversfcação da solução corrente S, buscando agora uma fuga de ótmos locas já pesqusados. O grau de dversfcação está relaconado ao peso e número de vértces envolvdos nessa perturbação. A seção segunte trata desse processo de dversfcação. 4.2 Dversfcação da solução Uma busca local deve ser nterrompda em uma dada regão (após j max terações) se ela não for capaz de produzr soluções melhores que a solução global S *. Essa mudança de regão pode ser vablzada através de uma perturbação mas drástca na solução corrente, resultando assm em uma nova semente (ou solução ncal). No PMCCG, dado um grafo sanduíche G, essa perturbação drástca pode ser realzada descontrolando-se smultaneamente e aleatoramente um subconjunto K L S (onde K =k), de vértces f-controlados por M (sendo k parâmetro de entrada). Esta operação, obvamente, afeta os demas vértces do grafo, alterando as folgas correntes dos vértces vznhos assocados. Assm, se v K temos então duas possbldades: para v M S, nsermos todas as arestas optatvas ncdentes a v. Caso contráro, se v U S, elmnamos todas as arestas optatvas ncdentes a v. Esse procedmento não possu mecansmos de memóra (lsta tabu) assocada, ele smplesmente gera uma nova solução ncal dversfcada, ou seja, uma solução com atrbutos bastante dstntos das soluções anterores. Com sso, o objetvo é analsar uma regão dstante da anteror à procura de ótmos locas de melhor qualdade. A nova semente será usada como solução ncal para a busca local descrta anterormente. 5 RESULTADOS COMPUTACIONAIS Para efeto de avalação de nossas heurístcas para o PMCCG, utlzamos o pacote open source GNU/GLPK versão 4.8, para geração de soluções exatas em nstâncas contendo 50, 75 e 100 vértces, respectvamente. Todos os algortmos foram mplementados usando a lnguagem C com complador gcc versão em ambente Lnux (dstrbução Mandrake 9.1 e Fedora Core 2). Os testes foram executados em máqunas smlares com processadores Pentum IV, 2.60Ghz com 512 Mb de memóra RAM em ambente compartlhado. Todas as nstâncas testadas foram geradas aleatoramente obedecendo-se aos seguntes parâmetros (defndos emprcamente): fxamos em 27%, a probabldade de um vértce pertencer ao conjunto M. Em 80% a probabldade de uma aresta ser fxa ou optatva, sendo que dentre este total de arestas seleconadas, 70% delas são optatvas. Cada vértce teve seu peso e folga mínma defndos aleatoramente dentro de um ntervalo pré determnado. Para as nstâncas com 50 vértces, fo defndo o ntervalo entre 1-10 para os pesos e 0-5 para as folgas mínmas. Nas nstâncas com 75 vértces, ntervalo entre 1-15 para os pesos e 0-7 para as folgas. Instâncas com 100 vértces, ntervalo defndo entre 1-20 para os pesos e 0-10 para as folgas. As nstâncas geradas, tem nomenclatura baseada nesses parâmetros, de acordo com o segunte modelo: G Quantdade de vértces-peso máxmo-folga máxma-número dentfcador da nstânca. Como exemplo, consdere a prmera nstânca gerada com 100 vértces, com ntervalo de pesos entre 1-20 e folga mínma no ntervalo 0-10, seu nome deve ser: G A Tabela 1 apresenta os resultados obtdos para algumas nstâncas geradas aleatoramente, com o conhecmento das respectvas soluções ótmas. As regras de redução foram aplcadas em todas as nstâncas testadas. A porcentagem de redução do número de arestas optatvas, é apresentada na coluna Reg. de Redução. Pelos resultados obtdos é possível notar a mportânca da aplcação das regras de redução, chegando a reduzr o número de arestas optatvas, em alguns casos, em mas de 90%. As soluções ncas geradas são apresentadas nas colunas MYK e Relaxação e correspondem à solução obtda pelos Algortmos 1 e 2, respectvamente, sendo que a solução ncal consderada, será aquela com melhor valor obtdo entre as duas (Algortmo 3), representada em negrto. Note que, para a 1563

11 maora dos casos testados, a solução obtda pela relaxação lnear é melhor que a solução baseada no algortmo de Makno et.al. [13] para o PMCC. O algortmo da BT fo aplcado 10 vezes para cada nstânca. Os parâmetros do algortmo foram defndos emprcamente. Dessa manera, o valor das constantes max e j max foram defndos em 5 e 50, respectvamente. Estes parâmetros foram seleconados emprcamente, entretanto, na maora dos casos observados a melhor solução obtda pela BT sempre parta da solução ncal gerada pelo Algortmo 3. A capacdade da lsta tabu corresponde a 5% do total de vértces em M R U U R e o procedmento de dversfcação descontrola no máxmo 20% do total dos vértces f-controlados por M em uma solução corrente G. As soluções da BT são apresentadas na tabela da segunte manera: a coluna Melhor valor apresenta o melhor valor obtdo entre as execuções da BT (o valor entre parênteses, descreve o número de vezes que esta solução fo obtda entre as 10 execuções e o símbolo (*) ndca aquelas nstâncas onde o valor ótmo fo obtdo). A coluna Méda descreve a méda entre as soluções obtdas em todas as execuções. A solução ótma da nstânca, obtda com o auxílo do pacote GNU/GLPK, é exbda na coluna Ótmo. Fnalmente, a coluna Tempo traz o tempo médo, em segundos, gasto pelas execuções da BT. Tabela 1. Tabela de resultados da BT para nstâncas com 50, 75 e 100 vértces, conhecendo o valor da solução ótma Reg. De Solução Incal Busca Tabu Instânca Redução MYK Relaxação Melhor Méda Ótmo Tempo(s) valor G ,22% (2) 181, ,28 G ,25% (2) 198, ,29 G ,75% * 268 (10) ,52 G ,38% (2) 155, ,32 G ,57% (10) ,50 G ,04% (1) 401, ,31 G ,40% * 565 (10) ,40 G ,47% (1) 509, ,83 G ,75% (2) 304, ,09 G ,38% (3) 539, ,96 G ,73% (3) 364, ,21 G ,02% (1) 385, ,94 G ,10% (3) 377, ,68 G ,12% (2) 422, ,97 G ,26% * 602 (2) 597, ,15 A Tabela 2 apresenta resultados de nstâncas maores, com 300, 500 e 1000 vértces, os parâmetros utlzados na geração das nstâncas permaneceram nalterados sofrendo modfcações somente os ntervalos dos pesos e folgas mínmas de cada vértce. Esses valores obedecem à segunte dstrbução: nstâncas com 300 vértces, pesos entre 1-30 e folgas entre 0-20; nstâncas com 500 vértces, pesos entre 1-50 e folgas entre 0-30 e nstâncas com 1000 vértces, pesos entre e folgas entre A tabela apresenta a coluna Aproxmação, em substtução aos valores ótmos assocados de cada nstânca. Como a determnação do valor ótmo de grandes nstâncas, se torna mpratcável através de métodos exatos, calculamos a razão de aproxmação da solução obtda pela BT, baseandose no valor da relaxação lnear (lmte superor) correspondente. Dessa manera, podemos ter uma melhor noção melhor da qualdade da solução heurístca obtda. A coluna Aproxmação, apresenta o valor médo das aproxmações encontradas nas execuções da BT. A Tabela 2 confrma o melhor desempenho do Algortmo 2 em relação ao Algortmo 1. Além dsso, os valores das soluções heurístcas para as nstâncas consderadas se encontraram no máxmo a 6% do valor da solução ótma. 1564

12 Tabela 2. Tabela de resultados da BT para nstâncas com 300, 500 e 1000 vértces. Instânca Reg. De Solução Incal Tabu Redução MYK Relaxação Melhor Valor Méda Aproxmação Tempo(s) G ,94% (1) 2845,20 0,9904 5,09 G ,71% (10) ,9966 5,23 G ,59% (1) 2950,90 0,9796 5,84 G ,69% (10) ,9465 2,37 G ,00% (1) 3832,35 0,9462 3,05 G ,84% (1) 10744,35 0,9487 1,57 G ,76% (10) ,9822 3,58 G ,75% (10) ,9842 4,15 G ,55% (1) 10617,40 0,9460 2,21 G ,80% (1) 12170,90 0,9879 5,01 G ,48% (1) 44741,25 0,9696 3,23 G ,96% (1) 45381,10 0,9701 2,98 G ,40% (1) 45322,30 0,9773 2,97 G ,35% (2) ,9887 3,59 G ,69% (1) 44776,40 0,9615 2,25 6 CONCLUSÕES Neste trabalho, apresentamos uma generalzação do Problema do Maor Conjunto Controlado (ntroduzdo por Makno et.al. [13]). Apresentamos um algortmo 0,5-aproxmado para o PMCCG e um procedmento para a geração de soluções váves baseado na solução de uma relaxação lnear para o problema. Essas soluções foram utlzadas então em um procedmento de busca local (Busca Tabu), vsando a determnação de soluções de melhor qualdade. Fnalmente, apresentamos alguns resultados computaconas e comparamos os resultados obtdos com o valor ótmo encontrado para pequenas nstâncas do problema, obtendo em méda resultados muto próxmos do ótmo conhecdo. Para as nstâncas maores (sem ótmo conhecdo), os resultados obtdos pela Busca Tabu foram sempre superores a 0,94 do ótmo. REFERÊNCIAS 1. AHUJA, R. N., MAGNANTI, T. L., ORLIN, J. B. Network Flows: theory, algorthms and applcatons. Prentce-Hall, BERMOND, J.C., BOND, J., PELEG, D., PERENNES, S. The power of small coaltons n graphs. Dscrete Appl. Math. - Elsever Scence Publshers B. V., vol. 127, pp , CARRANO, A. V. Establshng the order of human chromosome-specfc DNA fragments. In A. D. Woodhead and B. J. Barnhart, edtors, Botechnology and the Human Genome, pp , Plenum Press, GENDREAU, M., SORIANO, P., SALVAIL, L. Solvng the maxmum clque problem usng a tabu search approach. Annals of Operatons Research N.41, pp , GLOVER, F. Future paths for nteger programmng and artfcal ntellgence. Computers e Operatons Research, volume 13, pp , GLOVER, F. Tabu Search - Part I. ORSA Journal on Computng, volume 1, N. 3, pp , GLOVER, F., LAGUNA, M. Modern Heurstc Technques for Combnatoal Problems - Tabu Search. Blackwell Scentfc Publcatons, Oxford, pp , GOLUMBIC, M. C., SHAMIR, R.. Complexty and algorthms for reasonng about tme: A graphtheoretc approach. ACM, volume 40, pp ,

13 9. GOLUMBIC, M. C., KAPLAN, H., SHAMIR, R. On the complexty of DNA physcal mappng. Advances n Appled Mathematcs, volume 15, pp , GOLUMBIC, M. C., KAPLAN, H., SHAMIR, R. Graph Sandwch Problems. J. Algorthms, volume 19, N. 3, pp , HANSEN, P. The steepest ascent mldest descent heurstc for combnatoral programmng. Congress on Numercal Methods n Combnatoral Optmzaton, Capr-Italy, HANSEN, P., MLADENOVIC, N. Varable Neghborhood search: Prncples and applcatons. European Journal of Operatonal Research, 130, pp , MAKINO, K., YAMASHITA, M., KAMEDA, T. Max-and mn-neghborhood monopoles. Algorthmca, N. 34, pp , MARTINHON, C. A., PROTTI, F. An Improved Derandomzed Approxmaton Algorthm for the Max-Controlled Set Problem. WEA 2004, LNCS 3059, pp , PELEG, D. Local majortes, coaltons and monopoles n graphs: a revew. Theoretcal Computer Scence, Vol.282, n.2, pp , SANTOS, I. M., MARTINHON, C. A., OCHI, L. S. Algortmos aproxmados para o Problema do Maor Conjunto Controlado Generalzado. Relatóro Técnco RT-04/05, WRIGHT, Stephen J. Prmal-Dual Interor Pont Algorthms. SIAM Publcatons, Phladelpha,