3 O Problema de Fluxo de Potência Ótimo

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1 3 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 3.. Introdução Como fo vsto no capítulo anteror, para realzar uma repartção de custos ou benefícos, é necessáro determnar a função de custo do servço que será utlzado pelos agentes. Este capítulo tem como objetvo apresentar a formulação matemátca do problema de fluxo de potênca ótmo (FPO), que será utlzado para calcular as funções de custo de mínmo custo de nstalação de potênca reatva e mínmo custo de corte de carga, utlzadas no cálculo da remuneração dos geradores que provêem os servços anclares de suporte de potênca reatva e reserva de potênca, respectvamente. O objetvo da resolução de um FPO em um sstema de potênca é defnr um conjunto de ações de controle que elmnem as volações operatvas do sstema, tas como volações no perfl de tensão de barras do sstema, volações no carregamento dos crcutos, desbalanços entre carga e geração, dentre outras. Entre as ações de controle realzadas pelo FPO, pode-se ctar a atuação sobre a njeção de potênca atva e reatva dos geradores, modfcações nos tap s dos transformadores e deslgamentos forçados de cargas do sstema. Incalmente, será realzada na seção 3. uma recaptulação da teora básca sobre Fluxo de Potênca e o método de Newton-Raphson, um algortmo teratvo utlzado para sua solução. Em seguda, a seção 3.3 aborda a modelagem do problema de fluxo de potênca ótmo, apresentando suas restrções de gualdade e desgualdade, bem como suas prncpas funçõesobjetvo. A seção 3.4 trata da resolução do problema de FPO pelo método de pontos nterores, apresentando a metodologa prmal-dual para o FPO, a formulação do problema barrera logarítmca, suas condções de otmaldade, a resolução do sstema de equações e algortmo de solução. A seção 3.5 demonstra como calcular a dervada do valor ótmo de um problema de otmzação com relação a um parâmetro do problema. Fnalmente a seção 3.6 apresenta as prncpas conclusões obtdas neste capítulo.

2 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo Fluxo de Potênca O cálculo do fluxo de potênca em uma rede de energa elétrca consste essencalmente na determnação do estado da rede e da dstrbução de seus fluxos, por meo da representação de um conjunto de equações e nequações algébrcas [34]. Os componentes de um sstema de energa elétrca podem ser classfcados em dos grupos: componentes nternos, tas como lnhas de transmssão, transformadores, reatores e capactores, modelados por equações algébrcas que representam o fluxo de potênca entre dos nós da rede elétrca; componentes externos, tas como geradores e cargas, modelam as njeções de potênca nos nós da rede. A prmera le de Krchhoff defne as equações báscas de fluxo de potênca, onde a potênca líquda njetada em cada nó da rede elétrca deve ser gual à soma das potêncas njetadas por todos os componentes nternos lgados a este nó. Isto garante a conservação das potêncas atva e reatva em cada nó da rede. Na formulação básca do fluxo de potênca, cada barra da rede é representada por quatro varáves: θ V P Q ângulo da tensão na barra módulo da tensão na barra potênca atva líquda njetada na barra potênca reatva líquda njetada na barra Na resolução do problema de fluxo de potênca, duas varáves possuem seu valor conhecdo e duas são ncógntas. De acordo com quas varáves sejam ncógntas, defnem-se três tpos de barras: barra de carga (PQ), onde P e Q são conhecdos e V e θ são calculados; barra de geração (PV), onde P e V são conhecdos e Q e θ são calculados; barra de referênca (Vθ), onde V e θ são conhecdos e P e Q são calculados.

3 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 48 De posse destas varáves, o problema de fluxo de potênca pode ser formulado por meo de um conjunto de equações e nequações algébrcas, da segunte forma: g(x,z) = 0 (3.) h(x,z) 0 (3.) onde x varáves de estado (ncógntas) z varáves de controle (valores especfcados) O conjunto de restrções de gualdade representado pela equação (3.) é composto por duas equações para cada barra: onde Ω P j Q j b sh P j = j Ω j Ω j P Q = Q + V b sh conjunto das barras lgadas à barra fluxo de potênca atva no crcuto -j fluxo de potênca reatva no crcuto -j susceptânca shunt na barra (3.3) (3.4) As expressões geras dos fluxos de potênca atva e reatva em lnhas de transmssão, transformadores em fase e defasadores são: P P [ g cos( θ + ϕ ) + b sen( θ ϕ )] j aj V gj aj V Vj j j j j j + Q Q = (3.5) [ g cos( θ + ϕ ) - b sen( θ ϕ )] j = Vj gj aj V Vj j j j j j + (3.6) V ( bj + b ) aj V Vj gj sen( θj + ϕj )- bj cos ( θj ϕj ) shj ( bj + b ) + aj V Vj [ gj sen( θj + ϕj ) + bj cos( θj ϕj )] [ ] j = - aj + (3.7) j = -Vj + shj (3.8) j j a j θ j ϕ j g j b j b shj tap do transformador -j dferença angular θ - θ j ângulo de defasamento no crcuto -j condutânca sére no crcuto -j susceptânca sére no crcuto -j metade da susceptânca shunt no crcuto -j

4 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 49 Utlzam-se a j = 0 e ϕ j = 0 para a representação de lnhas de transmssão, b shj = 0 e ϕ j = 0 para transformadores em fase, b shj = 0 e a j = para defasadores puros e b shj = 0 para defasadores. O conjunto de restrções de desgualdade representado pela nequação (3.) contém as restrções operaconas de tensão, de njeção de potênca atva e reatva do sstema, conforme apresentado a segur: V P mn V V mn Q mn (3.9) P P (3.0) Q Q (3.) Normalmente, os algortmos utlzados para a resolução do problema de fluxo de potênca correspondem à resolução do sstema de equações (3.3) e (3.4) por um processo teratvo. Dentre os dversos algortmos utlzados, o mas efcente é o Método de Newton-Raphson [35] e seus varantes, o Método Desacoplado [36] e o Método Desacoplado Rápdo [37]. A modelagem matemátca do Método de Newton-Raphson, utlzado neste trabalho para a resolução do fluxo de potênca, é apresentada na seção a segur Método de Newton-Raphson O método de Newton-Raphson se basea em séres de potêncas: f n n ( x) C ( x x ) = C + C x + C x C x = = n 0 n 0 0 n (3.) Quando os coefcentes C n assumem os valores da sére abaxo, a sére de potêncas se transforma em uma Sére de aylor: ( ) ( ) ( ) f' x 0 f' ' x 0 f x 0 C 0 = f( x 0 ) ; C = ; C = ;... ; Cn = (3.3)!! n! f Ou seja: ( x) f( x ) n ( x ) f' '( x ) f ( x ) n f' = 0 + x + x x (3.4)!! n! Para a aplcação em fluxo de potênca, os termos em (3.4) de ordem superor a um podem ser desprezados, pos possuem valores próxmos a zero. Assm, a equação pode ser reescrta da segunte forma: ( x) = f( x ) + f' ( x ) x y = f 0 0 (3.5) n

5 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 50 A resolução deste problema é feta por um método teratvo, onde o resultado de cada teração será o dado de entrada para a próxma teração. Assm, a equação (3.5) pode ser reescrta na forma matrcal para a prmera teração como: 0 ( x) = J( x) x y f (3.6) onde J(x) é a matrz jacobana. Analogamente, para a teração ν tem-se: υ υ υ ( x ) = J( x ) x y f (3.7) Fnalmente, a solução do problema pode ser resumda como: x x ν ν+ = υ ν [ J( x )] [ y f( x )] = x υ + x υ (3.8) Para o problema de fluxo de potênca, tem-se que: υ [ f( x )] esp calc P P P y = = (3.9) Q esp calc Q Q θ x = (3.0) V υ P esp e Q esp vetores das potêncas atva e reatva líqudas especfcadas no problema, respectvamente P calc e Q calc vetores das potêncas atva e reatva líqudas calculadas por meo das equações (3.3) e (3.4), respectvamente θ e V vetores dos ângulos e tensões nas barras do sstema, respectvamente 3.3. Fluxo de Potênca Ótmo O problema de fluxo de potênca ótmo (FPO) fo formulado ncalmente por J. Carpenter [38]. O FPO pode ser defndo como sendo a determnação do estado de uma rede elétrca que otmza uma determnada função-objetvo, satsfazendo um conjunto de restrções físcas e operaconas. Caracterzado como um problema de programação não-lnear com restrções, o problema de FPO pode ser formulado matematcamente como:

6 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 5 mn f(x) s.a. g(x) = 0 h(x) 0 l x u x vetor de varáves do sstema g(x) restrções de gualdade h(x) restrções de desgualdade u, l lmtes superor e nferor dos controles (3.) As restrções de gualdade correspondem à modelagem da rede (equações de balanço de potênca atva e reatva em cada nó da rede), enquanto que as restrções de desgualdade representam os lmtes das varáves do sstema (restrções funconas dos equpamentos e operaconas do sstema) Restrções de Igualdade As restrções de gualdade báscas do FPO correspondem às equações (3.3) e (3.4) do fluxo de potênca. Contudo, cada problema a ser estudado é um caso partcular, tendo um objetvo específco. Dependendo do tpo de aplcação, novas restrções ou equações podem ser acrescentadas, como as relatvas ao ntercâmbo líqudo entre áreas, e alguns controles podem ser consderados fxos, assm como algumas das varáves podem ser consderadas nulas, de acordo com a rede analsada. As prncpas restrções de gualdades utlzadas em problemas de FPO são apresentadas a segur em sua forma geral. Equações de Balanço de Potênca Atva P = PG - FC - A - B + A V + B Ω P j PG FC PL j j Ω ( V ) PL + PA conjunto de barras lgadas à barra fluxo atvo no crcuto -j potênca atva gerada na barra fator de carga (em pu) na barra carga atva na barra (3.)

7 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 5 A B V PA fator de carga (em pu) da varação lnear da carga atva em relação à tensão fator de carga (em pu) da varação quadrátca da carga atva em relação à tensão módulo de tensão na barra njeção de potênca atva na barra As expressões dos fluxos P j e P j correspondem às equações (3.5) e (3.6), respectvamente. Nas equações apresentadas, é ncluído um fator de varação das cargas em relação à tensão. Não consderar esta hpótese é equvalente a declarar A = B = C = D = 0 em cada barra da rede. Equações de Balanço de Potênca Reatva Q = QG + QC - QI + V b - FC - C - D j Ω Ω Q j j QG QC QI V b sh FC QL C D sh ( + C V + D V ) QL (3.3) conjunto de barras lgadas à barra fluxo reatvo no crcuto -j potênca reatva gerada na barra njeção de potênca reatva capactva na barra njeção de potênca reatva ndutva na barra módulo de tensão na barra shunt na barra fator de carga (em pu) da barra carga reatva da barra fator de carga (em pu) da varação lnear da carga reatva em relação à tensão fator de carga (em pu) da varação quadrátca da carga reatva em relação à tensão As expressões dos fluxos Q j e Q j correspondem às equações (3.7) e (3.8), respectvamente. Intercâmbo Líqudo entre Áreas I = P + P - P - P k j j j I I I3 I4 I k ntercâmbo líqudo na área k P j fluxo atvo no crcuto -j j (3.4)

8 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 53 I I I 3 I 4 conjunto de crcutos de nterlgação -j tal que. a medção é realzada no nó. o nó pertence a área k conjunto de crcutos de nterlgação -j tal que. a medção é realzada no nó j. o nó j pertence a área k conjunto de crcutos de nterlgação -j tal que. a medção é realzada no nó. o nó não pertence a área k conjunto de crcutos de nterlgação -j tal que. a medção é realzada no nó j. o nó j não pertence a área k Restrções de Desgualdade As restrções de desgualdade correspondem às restrções de canalzação nas varáves e restrções funconas do tpo máxmo carregamento em crcutos. Estas restrções refletem lmtes de operação dos equpamentos, ou alguma polítca operatva específca. Módulo de ensão mn V V V (3.5) Potênca Atva Gerada mn PG PG PG (3.6) Potênca Reatva Gerada mn QG QG QG (3.7) Injeção de Potênca Reatva Capactva 0 QC QC (3.8) Injeção de Potênca Reatva Indutva 0 QI QI (3.9) Injeção de Potênca Atva 0 PA PA (3.30)

9 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 54 ap do ransformador mn a a a (3.3) j j j Ângulo de Defasamento mn ϕ ϕ (3.3) j j ϕj Rejeção de Carga Exstem algumas stuações, como em sstemas com problemas de tensão ou carregamento nos crcutos, por exemplo, onde pode ser necessáro reduzr a carga em determnadas barras de forma a vablzar a operação do sstema. Estes cortes de carga são modelados matematcamente através do fator (FC), presente nas equações de balanço atvo e reatvo, o qual encontra-se entre os seguntes lmtes: 0 FC (3.33) Observe que FC = sgnfca que a carga total da barra é consderada, enquanto FC = 0 anula o valor da carga. Intercâmbo entre Áreas mn I I I (3.34) l l l Máxmo Carregamento nos Crcutos O máxmo carregamento de fluxo em um crcuto -j pode ser consderado como: j j j P + Q S (3.35) S j máxmo carregamento do crcuto em potênca aparente Alternatvamente, o carregamento pode ser especfcado em termos de potênca atva, conforme a segur: j j j S P S (3.36) Funções-objetvo Dependendo do tpo de aplcação do problema de FPO, as funçõesobjetvo podem ser lneares ou não-lneares, sendo utlzadas de forma solada

10 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 55 ou combnadas entre s. A modelagem matemátca das funções-objetvo mas utlzadas é apresentada a segur: Mínmo Custo de Geração Atva f = CP PG IG (3.37) I G CP PG conjunto de geradores controláves de potênca atva custo de geração atva do gerador geração atva do gerador Mínma Injeção de Potênca Reatva f = QC + QI IQ C IQ I (3.38) IQ c QC IQ QI conjunto de barras canddatas à njeção de potênca reatva capactva potênca reatva capactva njetada na barra conjunto de barras canddatas à njeção de potênca reatva ndutva potênca reatva ndutva njetada na barra Mínma Injeção de Potênca Atva f = PA I p (3.39) I P PA conjunto de barras canddatas à njeção de potênca atva potênca atva njetada na barra Mínma Perda f = P ( j + P j ),j IC (3.40) I C P j, P j conjunto de crcutos do sstema fluxo atvo nos crcutos -j, j- Note que P j + P j é gual a perda no crcuto -j. As expressões dos fluxos P j e P j são relatvas às fórmulas (3.5) e (3.6), respectvamente.

11 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 56 Mínmo Corte de Carga f = FC PL ( ) I C (3.4) I C FC PL conjunto de barras de carga fração de carga efetva na barra (em pu) carga orgnal da barra Observe que FC PL representa a carga efetva na barra, enquanto que (-FC ) PL representa o corte de carga nesta barra. Mínmo Desvo de Potênca Atva Gerada IG f = ρ PG - PG (3.4) I G ρ PG PG conjunto de geradores controláves de potênca atva peso assocado ao desvo de potênca atva geração de potênca atva do gerador geração de potênca atva ncal no gerador Mínmo Desvo de Ângulo de Defasamento,j I ϕ f = ρ ϕj - ϕj (3.43) I ϕ ρ ϕ j ϕ j conjunto de crcutos com controle de ângulo de defasamento peso assocado ao desvo de ângulo de defasamento ângulo de defasamento no crcuto -j ângulo de defasamento ncal no crcuto -j Mínmo Desvo de ensão I f = ρ V - V (3.44) I conjunto de barras do sstema ρ peso assocado ao desvo de tensão V tensão da barra V tensão ncal da barra

12 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 57 Mínmo Desvo de ap,j I f = ρ aj - a j (3.45) I ρ a j a j conjunto de transformadores controláves peso assocado ao desvo de tap tap do transformador -j tap ncal do transformador -j Mínmo Desvo de Intercâmbo f = JI ρ I - I (3.46) J I ρ I I conjunto de áreas de ntercâmbo peso assocado ao desvo de ntercâmbo entre áreas ntercâmbo da área ntercâmbo ncal da área Mínmo Desvo de Ponto de Operação Esta função-objetvo é uma combnação das funções-objetvo de desvo apresentadas anterormente Resolução do Problema do FPO Desde a formulação orgnal de Carpenter, dversos métodos foram propostos para a resolução do FPO. Dentre eles destacam-se: Método do Gradente Reduzdo [39], por Dommel e nney em 968; Método de Injeções Dferencas [40], por Carpenter em 973; Método de Newton [4], por Sun, Ashley, Brewer, Hughes e nney em 984; Método de Programação Lnear Sucessva [4], por Alsaç, Brght, Pras e Stott em 990. Neste trabalho será adotado o Método de Pontos Interores Prmal-Dual porposto por Granvlle [43] e Latorre [44], conforme apresentado em [3].

13 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo Método de Pontos Interores O Método de Pontos Interores pertence a uma classe de algortmos de otmzação orgnalmente desgnados para problemas de programação lnear. Entretanto, devdo ao seu alto grau de desempenho, tal método fo estenddo para problemas de programação quadrátca, convexa e problemas geras de otmzação dferencáves. Na aplcação do Método de Pontos Interores em problemas de FPO, em geral são adotadas duas estratégas dstntas. A prmera aplca o método a um problema de programação lnear obtdo pela lnearzação das equações de balanço de potênca atva e reatva do algortmo de fluxo de potênca. A segunda, que será empregada neste trabalho, consste em aplcar o método de pontos nterores dretamente ao problema de programação não-lnear orgnal do FPO. Esta segunda estratéga é conhecda também como Método dos Pontos Interores Dreto. O Método de Pontos Interores Dreto apresenta as seguntes característcas na resolução do FPO: número reduzdo de terações para alcançar a solução ótma não depende da convergênca do algortmo de fluxo de potênca, pos no esquema teratvo as equações de balanço só serão atenddas na solução ótma; efcênca na resolução de sstemas mal condconados e com problemas de tensão. O problema de FPO apresentado na equação (3.) pode ser reformulado, sem perda de generaldade, como: mn f(x) s.a. h(x) = 0 (3.47) l x u h(x) equações de balanço e as restrções funconas l, u lmtes das varáves de controle, varáves de estado e folgas assocadas às restrções funconas Com a nclusão das varáves de folga s e s, as restrções de desgualdade se tornam restrções de gualdade, resultando em:

14 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 59 mn f(x) s.a. h(x) = 0 x s = l x + s = u s, s 0 (3.48) No Método de Pontos Interores as varáves de folga são ncorporadas à função-objetvo por meo de uma função de penalzação, denomnada barrera logarítmca. Assm, o problema orgnal é transformado em uma sequênca de problemas parametrzados pelo parâmetro barrera (µ), como segue: mn f(x) - µ log s ( )- µ log( ) s =,n =, n s.a. h(x) = 0 (3.49) Ao ncorporar a barrera logarítmca, o Método de Pontos Interores busca resolver o problema de otmzação (3.49) para cada valor de µ, fazendo com que µ tenda a zero. Assm, para cada valor de µ executa-se uma teração do Método de Newton-Raphson no sstema de equações não lneares defndos pelas condções de otmaldade de prmera ordem. As condções de otmaldade de prmera ordem e o Método de Newton-Raphson aplcado ao problema de FPO são apresentados nas próxmas seções Condções de Otmaldade Pelas condções de otmaldade de prmera ordem de Karush-Kuhn-ucker [45], tem-se a segunte função Lagrangeana assocada a (3.49): L(x, λ, π, π,s,s ) = f ( x) - µ log ( s ) µ log ( s ) λ h =,n - =,n (3.50) ( x) - π ( x s l) π ( x + s u) A equação (3.50) possu em (x, λ, π, π, s, s ) um ponto estaconáro que satsfaz: ( L x ) f( x) - λ h( x) - π - π = 0 ( L λ ) ( x) 0 ( L π ) x s = l (3.5) h = (3.5) (3.53)

15 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 60 f h ( ) L π x + s = u (3.54) ( L s ) π = ( S ) e µ ( L s ) π = ( S ) e µ gradente da função-objetvo em x gradente das restrções de gualdade em x λ multplcador de Lagrange assocado à restrção h ( x) = 0 π multplcador de Lagrange assocado à restrção x s = l π multplcador de Lagrange assocado à restrção x + s = u (3.55) (3.56) e S S vetor de componentes untáros matrz dagonal de componentes s matrz dagonal de componentes s Resolução do Sstema de Equações Aplcando-se do método de Newton-Raphson ao sstema de equações (3.5)-(3.56), obtém-se o segunte sstema de equações de segunda ordem: [ f( x) λ h( x) ] x h( x) f( x) λ h( x) π π ( x) x = h( x) λ π π = (3.57) h (3.58) ( x s l) x s = (3.59) ( x + s u) x + s = (3.60) ( µ e π ) Π (3.6) s S π = S ( µ e + π ) Π (3.6) s + S π = S Π Π matrz dagonal de componentes π matrz dagonal de componentes π De (3.53)-(3.56) tem-se que: x s l = 0 (3.63) x + s u = 0 (3.64) µ S π 0 (3.65) e = µ + S π 0 (3.66) e =

16 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 6 ( S e S e) π + π = µ (3.67) Substtundo (3.63) e (3.64) em (3.59) e (3.60), respectvamente, tem-se: s = x (3.68) s = - x (3.69) Substtundo (3.68) e (3.69) em (3.6) e (3.6), respectvamente, obtém-se: ( µ e π ) Π (3.70) x S π = S ( µ e + π ) Π (3.7) x + S π = S Rearranjando os termos em função de π e π, tem-se π π ( µ e S π Π x) = S (3.7) ( µ e + S π Π x) = S (3.73) Contudo, substtundo (3.65) e (3.66) em (3.7) e (3.73), respectvamente, as equações podem ser reescrtas como: π π Π x (3.74) = S Π x (3.75) = S Substtundo (3.74), (3.75) e (3.67) em (3.57) tem-se: [ f( x) λ h( x) ] x h( x) f λ + S ( x) λ h( x) µ ( S e S e) Π x S Π x = (3.76) Rearranjando os termos, o conjunto de equações (3.57) e (3.58) pode ser reescrto em função das ncógntas x e λ apenas. [ f( x) λ h( x) + S Π S Π ] x h( x) f ( x) λ h( x) µ ( S e S e) ( x) x = h( x) λ = (3.77) h (3.78) Passando as equações (3.77) e (3.78) para a forma matrcal, obtém-se: H J x z ( ) = (3.79) J 0 λ h x com: H = J = h z = f f( x) λ h( x) ( x) + S π S ( x) λ h( x) µ ( S e S e) π

17 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 6 Por meo da resolução do sstema (3.79), são obtdos ( x, λ). De posse do valor destas varáves, é possível se determnar ( s, s ) a partr de (3.68)- (3.69) e ( π, π ) a partr de (3.74)-(3.75) Passo Prmal-Dual As varáves do problema apresentado em (3.48) contém varáves prmas (x,s,s ) e varáves duas (λ,π,π ). Consderando os passos prmal e dual separadamente, o maor ncremento até a barrera logarítmca será: s s α P = mn mn, mn, < s 0 s < 0 s s (3.80) π π α D = mn mn, mn, π < 0 π π > 0 π (3.8) Determnando-se α P e α D, as varáves prmas e duas são atualzadas conforme mostrado a segur: x = x + σ αp x (3.8) s s s + σ αp s = (3.83) s + σ αd s = (3.84) λ = λ + σ αd λ (3.85) π (3.86) = π + σ αd π π (3.87) = π + σ αd π O parâmetro σ = 0,9995 é consderado de forma a evtar as sngulardades da barrera logarítmca Atualzação do Parâmetro Barrera A atualzação do parâmetro barrera é feta em cada teração, utlzando-se a segunte equação: s π - sπ µ = β (3.88) n onde β = 0, e n é o número de varáves prmas do problema.

18 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo Algortmo de Solução Partndo-se de um ponto vável com relação às restrções de canalzação, o algortmo de solução resultante dos passos descrtos anterormente pode ser resumdo como segue: Passo Incalzar as varáves prmas e duas (x,s,s,λ,π,π) Passo Calcular os termos H, J e z da matrz (3.79): H = J = h z = - f f( x) λ h( x) ( x) + S S ( x) + λ h( x) + µ ( S e S e) π Passo 3 Resolver o sstema de equações ( x, s, s, λ, π, π ) Passo 4 Escolher os passos prmal (α p ) e dual (α D ). Atualzar (3.8)-(3.93). x = x + σ αp x s s = s + σ αp s = s + σ αd s λ = λ + σ αd π π λ = π + σ αd π = π + σ αd π Passo 5 Atualzar o parâmetro barrera: µ π = s π - s β n Passo 6 Condções de otmaldade dadas por (3.5) e (3.5): Se (µ < ε, h(x) < ε, z < ε) então PARE Senão VOLE ao passo Fm Observe que o maor esforço computaconal do algortmo é resolver a cada teração o sstema de equações (3.79). π

19 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo A Função Valor Ótmo de um Problema de Otmzação Nesta seção será mostrado como se calcula a dervada de uma função valor ótmo de um problema de otmzação, que defne o valor dos custos margnas utlzados na metodologa de Aumann-Shapley [3]. Seja v(x) = mn f(y) s.a. g(x,y) = 0 (3.89) a y b uma função valor ótmo de um problema de otmzação como função de x, x D R m,y R n D (conjunto aberto) f(y), g(x, y) funções contnuamente dferencáves. Para fns de demonstração, suponha que para qualquer valor de x D a função v(x) é bem defnda, sto é, o problema tem solução ótma. Para o cálculo das dervadas parcas de v(x) com relação a cada componente de x, supõe-se ncalmente que o problema (3.89) só possu restrções de gualdade, ou seja: v(x) = mn f(y) (3.90) s.a. g(x,y) = 0 Note que para cada valor x, a solução ótma do problema (3.90) satsfaz as condções de Karush-Kuhn-ucker: [45] y ( y) = g( x, y) λ f (3.9) y G(x,y) = 0 (3.9) ( y) yf gradente de f(y) nas varáves y ( x,y) yg jacobano de g(x,y) λ multplcadores de Lagrange assocados às restrções de gualdade Seja y(x) a solução de (3.90) para cada valor de x. Como f e g são contnuamente dferencáves, então y(x) também é. Deste modo: V(x) = f(y(x)) Com sto:

20 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 65 v x ( x) = t y f ( y) y x ( x) (3.93) Substtundo (3.9) em (3.93), tem-se: v( x) t y ( ) ( x) = λ yg x,y x x Mas g(x, y) = 0 para qualquer x D. Consequentemente: g(x,y(x)) + x y(x) yg(x,y(x)) = 0 x (3.94) Ou g(x,y(x)) y(x) g(x,y(x)) = - y (3.95) x x Logo: v x ( x) g( x,y( x) ) t = λ x (3.96) Quando o problema possu restrções de desgualdade, a fórmula para o cálculo das dervadas de uma função valor ótmo é essencalmente a mesma Conclusões Este capítulo apresentou a formulação matemátca do problema de fluxo de potênca ótmo, suas prncpas varáves e equações. A aplcação do fluxo de potênca ótmo torna possível a determnação um ponto de operação vável que não vole as restrções operatvas para o sstema. As funções-objetvo apresentadas neste capítulo fornecem uma poderosa ferramenta de análse, dreconando os controles do sstema de potênca para atender aos mas dferentes crtéros de operação e planejamento. Destaca-se neste capítulo as funções-objetvo de mínma njeção de potênca reatva e de mínmo corte de carga, utlzadas neste trabalho para determnar a remuneração dos geradores que provêem os servços anclares de suporte de potênca reatva e reserva de geração, respectvamente. O emprego do algortmo de pontos nterores permte que o problema de fluxo de potênca ótmo seja aplcado a sstemas de grande porte, como o Sstema Elétrco Braslero. Este algortmo garante a convergênca do problema com um esforço computaconal razoável.

21 O Problema de Fluxo de Potênca Ótmo 66 Por fm, este capítulo demonstrou como se obtém a dervada para uma função valor ótmo de um problema de otmzação. O valor desta dervada será calculado durante a solução do problema de fluxo de potênca ótmo para se determnar o valor dos custos margnas, utlzados no método de repartção de custos de Aumann-Shapley, para os geradores que fornecem servços anclares.