Estatística stica Descritiva

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1 AULA1-AULA5 AULA5 Estatístca stca Descrtva Prof. Vctor Hugo Lachos Davla

2 oo que é a estatístca? Para mutos, a estatístca não passa de conjuntos de tabelas de dados numércos. Os estatístcos são pessoas que coletam esses dados. A estatístca orgnou-se com a coleta e construção de tabelas de dados para os governos A stuação evoluu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da estatístca.

3 Defnção de Estatístca A estatístca é um conjunto de técncas que permte, de forma sstemátca, organzar, descrever, analsar e nterpretar dados orundos de estudos ou expermentos, realzados em qualquer área do conhecmento. 3

4 Áreas da Estatístca 1.- Estatístca Descrtva.- Probabldade 3.- Inferênca estatístca 4

5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA A estatístca descrtva é a etapa ncal da análse utlzada para descrever e resumr os dados. A dsponbldade de uma grande quantdade de dados e de métodos computaconas muto efcentes revgorou está área da estatístca. 5

6 PROBABILIDADE A teora de probabldades nos permte descrever os fenômenos aleatóros, ou seja, aqueles em que está presente a ncerteza. 6

7 INFERENCIA ESTATISTICA E o estudo de técncas que possbltam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, das nformações e conclusões obtdas a partr da amostra. 7

8 Etapas da Analse Estatístca 8

9 AMOSTRAGEM Uma área mportante em mutas aplcações Estatístcas é a da Tecnologa de Amostragem. Exemplos de Aplcação: Pesqusa de mercado, Pesqusa de opnão, Avalação do processo de produção, Pratcamente em todo expermento. 9

10 Amostragem Aleatóra Cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhdo. Amostragem Estratfcada Classfcar a população em, ao menos dos estratos e extrar uma amostra de cada um. Amostragem Sstemátca Escolher cada elemento de ordem k. 10

11 Amostragem por Conglomerados Dvdr em seções a área populaconal, seleconar aleatoramente algumas dessas seções e tomar todos os elementos das mesmas. Amostragem de Convenênca Utlzar resultados de fácl acesso. 11

12 Exemplo 1 Numa pesqusa eletoral, um nsttuto de pesqusa procura, com base nos resultados de um levantamento aplcado a uma amostra da população, prever o resultado da eleção. 1

13 Na eleção Presdencal Os Insttutos de Pesqusa de opnão colhem perodcamente amostras de eletores para obter as estmatvas de ntenção de voto da população. As estmatvas são fornecdas com um valor e uma margem de erro. O quadro do Insttuto Toledo & Assocados, a segur refere-se à ntenção de voto no 1º turno das eleções para o governo em

14 Intenção de voto para presdente do Brasl-00 Voto estmulado,em % do total de votos.a ultma pesqusa ouvu.0 eletores- Margem de erro de,09% 46,3% Lula(PT) 34,9% 40,5% 34,3% Serra(PSDB) C ro(pps) Garotnho(PSB),8% 3,3% 13,8% 1,1% 1,6% 10,5% 33,6% 13,8% 9,0% 17,6% 14,8% 11,3% Mao Jul/Ago Set/Out Juno Fonte:Pesqusa toledo& Assocados. 14

15 Confronto no segundo turno. Gráfco de setores ou em forma de pzza 15

16 Tabela 1.1 Informação do estado cvl, grau de nstrução, número de flhos, dade e procedênca de 36 funconáros sorteados ao acaso da empresa MB.(Bussab e Morettn) N o Estado Cvl Soltero Casado Casado Soltero Soltero Casado Soltero Soltero Casado Soltero Casado Soltero Soltero Casado Casado Soltero Casado Casado Soltero Soltero Casado Soltero Soltero Casado Casado Casado Soltero Casado Casado Casado Soltero Casado Casado Soltero Casado Casado Grau de Instrução 1 0 grau 1 0 grau 1 0 grau 0 grau 1 0 grau 1 0 grau 1 0 grau 1 0 grau 0 grau 0 grau 0 grau 1 0 grau 0 grau 1 0 grau 0 grau 0 grau 0 grau 1 0 grau Superor 0 grau 0 grau 0 grau 1 0 grau Superor 0 grau 0 grau 1 0 grau 0 grau 0 grau 0 grau Superor 0 grau Superor Superor 0 grau Superor No de flhos Saláro (X Sal. Mn) 4,00 4,56 5,5 5,73 6,6 6,66 6,86 7,39 7,59 7,44 8,1 8,46 8,74 8,95 9,13 9,35 9,77 9,80 10,53 10,76 11,06 11,59 1,00 1,79 13,3 13,60 13,85 14,69 14,71 15,99 16, 16,61 17,6 18,75 19,40 3,30 Idade anos meses Regão de procedênca Interor Captal Captal Outro Outro Interor Interor Captal Captal Outro Interor Captal Outro Outro Interor Outro Captal Outro Interor Interor Outro Captal Outro Outro Interor Outro Outro Interor Interor Captal Outro Interor Captal Captal Captal Interor 16

17 17

18 Varável Qualquer característca assocada a uma população Classfcação de varáves Qualtatva { Nomnal sexo, cor dos olhos Ordnal Classe socal, grau de nstrução Quanttatva { Contínua Peso, altura,salaro Dscreta Número de flhos, numero de carros 18

19 Meddas Resumo Varáves Quanttatvas MEDIDAS DE POSIÇÃO: Moda, Méda, Medana, Percentís, Quarts. MEDIDAS DE DISPERSÃO: Ampltude, Intervalo-Interquartl, Varânca, Desvo Padrão, Coefcente de Varação. 19

20 Meddas de Posção Moda(mo): É o valor (ou atrbuto) que ocorre com maor freqüênca.moda Ex: 4,5,4,6,5,8,4,4 Mo 4 Varavel qualtatva 0

21 Méda n x x x x 3 n 1 n + x n x Ex:,5,3,7,8 Méda [( )/5]5 1

22 Medana A medana é o valor da varável que ocupa a posção central de um conjunto de n dados ordenados. Posção da medana: (n+1)/ Ex:,5,3,7,8 Dados ordenados:,3,5,7,8 > (5+1)/3 > Md 5 Ex: 3,5,,1,8,6 Dados ordenados:1,,3,5,6,8 > (6+1)/3,5 > Md(3+5)/4

23 Percents O percentl de ordem px100 (0<p<1), em um conjunto de dados de tamanho n, é o valor da varável que ocupa a posção px(n+1) do conjunto de dados ordenados. O percentl de ordem p (ou p-quantl) dexa px100% das observações abaxo dele na amostra ordenada. Casos Partculares: Percentl 50medana, segundo quartl(md,q,q(0,5)) Percentl 5 prmero quartl (Q1), q(0,5) Percentl 75 tercero quartl (Q3), q(0,75) 3

24 4 p p se x p p se, x p se ), ( ) ( ) f - (1 n 1,...,, 5. 0 p p se, ) ( n (n), 1 (1) 1 1 ) ( > < < < p p p q f p q n x p q O p-quantl, 0<p<1, pode ser calculado como:, 1 p p p p f + Onde: ) ( ) 3 ( ) ( 1 ) (... n x x x x Estatstcas de ordem n 5 p 0.

25 Exemplos Ex(1): 15,5,3,8,10,,7,11,1 >n9 > ordenamos: <3<5<7<8<10<11<1<15 P11/18; p3/18; p35/18; p47/18; p51/; p611/18; p713/18; p815/18; p917/18 Posção Md : q(0.5)8 Posção de Q1: q(0.5)4,5 Posção de Q3: q(0.75)11,5 5

26 Exemplo : Consdere as notas de um teste de 3 grupos de alunos: Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7; Grupo : 1, 3, 5, 7,9; e Grupo 3: 5,5,5,5,5. G1 G G Temos : x x 3 x 3 5 Md 1 Md 3 Md

27 Meddas de Dspersão Fnaldade: encontrar um valor que resuma a varabldade de um conjunto de dados Ampltude (A): Amáx-mn Para os grupos anterores, temos: Grupo 1, A4 Grupo, A8 Grupo 3, A0 7

28 Intervalo-Interquartl (d) É a dferença entre o tercero quartl e o prmero quartl, ou seja, d Q3-Q1 Ex(1): 15,5,3,8,10,,7,11,1 Q14,5 e Q311,5 d Q3-Q14,9-,05,85 Max,Mn,Q1,Q3,Q: mportantes para se ter uma boa dea da forma dos dados (smetrca ou assmetrca) e construr box-plots 8

29 Varânca n 1 ( ) ( )... ( ) x1 x + x + + S x xn x n 1 Desvo padrão S ( x x) n 1 Desvo Padrão:S Varânca 9

30 Cálculo da varânca para o grupo 1: G1:3, 4, 5, 6, 7: Vmos que: x 5 S (3 5) + (4 5) + (5 5) (6 5) + (7 5) 10,5 4 Desvo padrão S,5 1, 58 G1: S,5 S 1,58 G : S 10 S 3,16 G 3 : S 0 S 0 30

31 Coefcente de Varação (CV) É uma medda de dspersão relatva; Elmna o efeto da magntude dos dados; Exprme a varabldade em relação a méda Útl Comparar duas ou mas varáves S CV 100 % X 31

32 Exemplo 4: Altura e peso de alunos Méda Desvo padrão Coefcente de varação Altura 1,143m 0,063m 5,5% Peso 50Kg 6kg 1% Conclusão: Com relação as médas, os alunos são, aproxmadamente, duas vezes mas dspersos quanto ao peso do que quanto a altura 3

33 ORGANIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DOS DADOS Uma das formas de organzar e resumr a nformação contda em dados observados é por meo de tabela de freqüêncas e gráfcos. Tabela de freqüênca: relacona categoras (ou classes) de valores, juntamente com contagem (ou freqüêncas) do número de valores que se enquadram em cada categora ou classe. 1. Varáves qualtatvas: Podemos construr tabela de freqüênca que os quantfcam por categora de classfcação e sua representação gráfca é medante gráfco de barras, gráfco setoral ou em forma de pzza. 33

34 Exemplo 1: Consdere ao varável grau de Instrução dos dados da tabela 1.(Varável qualtatva) f :Frequênca absoluta da categora (número de ndvíduos que pertencem à categora f f r : Frequênca relatva da categora n f f *100% : Frequênca relatva percentual da categora % r r Grau de nstrução 1o Grau o Grau Superor total Tabela de freqüênca f Contagem n36 0,3333 0,5000 0,1667 1,0000 f r f % r 33,3% 50 % 16.7% 100% 34

35 Representação gráfca de varáves qualtatvas Gráfco de Barras Dagrama crcular, de sectores ou em forma de pzza Dagrama de barras para a varável grau de nstrução 60,00% 50,00% 50,00% 40,00% 33,33% 30,00% 0,00% 16,70% 10,00% 0,00% 1o Grau o Grau Superor 35

36 Dagrama crcular para a varavel grau de nstrução 1oGrau (33.3%) Dagrama crcular para a varável grau de nstrução Superor 17% 1o Grau 33% ograu (50.0%) Superor (16.7%) o Grau 50% 36

37 . Organzação e representação de varáves quanttatvas.1 Quanttatvas dscretos: Organzam-se medante tabelas de frequêncas e a representação gráfca é medante gráfco de barras Exemplo: Consdere a varável número de flhos dos dados da tabela 1. Tabela.1:Dstrbução de freqüêncas de funconáros da empresa, segundo o número de flhos Número de flhos (X ) Número de funconáros (f ) % de funconáros (f r ) % 1 5 5% % % % total 0 100% 37

38 Observação 1: A partr da tabela.1 podemos recuperar as 0 observação da tabela 1.1, ou seja, aqu não temos perda de nformação dos dados orgnas. Representação gráfca : Dagrama de Barras 35 35% Mo %de funconáros % 5% 15% 5% Número de flhos 38

39 Determnação das meddas de posção e meddas de dspersão para varáves quanttatvas dscretas agrupados em tabela de freqüêncas: Méda: X X 1 f1 + X f + L + n X k f k k 1 X n f Exemplo: Consdere a tabela.1 e determne a méda de flhos dos funconáros X 1, Medana: Dados ordenados: > (0+1)/10,5 > Md (+) / 39

40 Varânca: ( 1 X 1 X ) f1 + ( X X ) f + L + ( X k X ) f k S n 1 Cálculo da varânca para os dados da tabela.1 k ( X n X 1 ) f S 4(0 1,65) 16,315 0, Desvo padrão: + 5(1 1,65) + 7( 1,65) (3 1,65) + (5 1,65) S S 0, ,97 40

41 . Quanttatvas contnuas: Os seus valores podem ser qualquer número real e anda geralmente exste um grande nùmero de valores dferentes. Como proceder a construr uma tabela de frequênca nestes casos? A alternatva consste em construr classes ou faxas de valores e contar o número de ocorrêncas em cada faxa No caso da varavel salaro podemos consderar as seguntes faxas de valores: [4,0; 7,0); [7,0;10,0);... NOTAÇÃO: 4, ,0 41

42 . Procedmento de construção de tabelas de freqüênca para varáves contínuas: 1. Escolha o número de ntervalos de classe (k). Identfque o menor valor (MIN) e o valor máxmo (MAX) dos dados. 3. Calcule a ampltude dos dados (A): AMAX MIN 4. Calcule o comprmento de cada ntervalo de classe (h): h 5. Arredonde o valor de h de forma que seja obtdo um número convenente. 6. Obtenha os lmtes de cada ntervalo de classe. A k PRIMEIRO Lmte Lmte nferor superor INTERVALO : LI 1 : LS 1 MIN LI 1 : + h 4

43 SEGUNDO INTERVALO Lmte nferor : LI Lmte superor : LS LS LI 1 : + h k - ÉSIMO INTERVALO Lmte nferor : LI Lmte superor : LS k k LS LI k : 1 k + h 7. Construa uma tabela de freqüêncas, consttuída pelas seguntes colunas: Número de ordem de cada ntervalo () Lmtes de cada ntervalo. Os ntervalos são fechados á esquerda e aberta à dreta: NOTAÇÃO:

44 44 Ponto médo (ou marca de classe) de cada ntervalo de classe: í LI LS X + Contagem dos dados pertencentes a cada ntervalo. Freqüêncas absolutas de cada ntervalo de classe. Freqüêncas relatvas de cada ntervalo de classe. Freqüêncas acumuladas absolutas de cada ntervalo de classe. Freqüêncas acumuladas relatva de cada ntervalo de classe j j f f f f F 1 1 L n F F ou f f f f F r j r r r r r j ; 1 1 L

45 Exemplo: Consdere a varável saláro da empresa comercalzadora de produtos de nformátca. Procedmento: 1. Consdere k5.. MIN4; MAX3, AMAX-MIN3,30-419,30 4. h19,3/53,86 5. h 3,9 6. Cálculo dos lmtes de cada ntervalo: PRIMEIRO INTERVALO LI LS LI LS 1 SEGUNDO ,9 7,9 3,9 + INTERVALO 3,9 7,9 11,8 Os demas lmtes dos ntervalos foram gerados segundo o procedmento anteror. 45

46 ( + 7,9) ( 7,9 + 11,8 ) 4 Ponto médo: X1 5,95; X 9,85... De forma smlar obtém-se os outros pontos médos. Tabela.: Dstrbução de freqüêncas da varável saláro. Intervalos de classe Ponto médo (X ) Freqüênca Absoluta (f ) Freqüênca Relatva ( ) f r Freqüênca Acumulada Absoluta (F ) Freqüênca Acumulada Relatva ( ) 1 4,0 -- 7,9 5, , , , ,8 9,85 1 0, , , ,7 13,75 7 0, , , ,6 17,65 6 0, , ,6 -- 3,5 1,55 1 0, Total 36 1, Nesta organzação de dados, temos perda de nformação dos dados orgnas F r 46

47 Representação gráfca: Hstograma de freqüêncas relatvas (em %) para a varável saláro 33,33% 30 7,78% %de funconáros % 16,67%,7% Saláro 47

48 Útl para encontrar os percents: Exemplo Q ou Md.% 11,8 7,9 Md 7,9 Md 33,33 %, 10,5 30 7,78% 33,33% Assmétrca a dreta %de funconáros % 16,67%,7% Md Saláro 48

49 . Hstograma usando densdade de frequênca (mas comum!) Área1 7,1%*3,97,6 49

50 Hstograma de freqüênca acumulada relatva (em %) Frequênca acumulada percentual (%) ,78% 61,11% 19% possum saláro superor a 16 saláros mínmos 61% dos empregados tem saláro nferor a 1 salaros mínmos 80,56% Salaro 97,% 100% 50

51 Gráfco de Ramo e Folhas: Varável saláro Valores concentrados entre 4 e 19 Leve assmetra na dreção dos valores grandes( assmétrca à dreta) Destaque do valor

52 Meddas de posção e meddas de dspersão para varáves contínuas agrupadas em tabela de freqüêncas. Méda: X X 1 f 1 + X f + L n Exemplo: Consdere a tabela. X 5, , ,85 11,15 X 1 k f k k , X n + f 17, ,55 Se calculamos a méda para dados não agrupados apresentadas anterormente resulta: 1 X X 1 + X + L 36 + X ,36 + L ,30 11,1 Este resultado dfere do valor obtdo anterormente. Porque? 5

53 Moda (mo): d1 mo LI + h d d 1 + : Classe modal (é aquela classe que tem maor frequênca absoluta (f LI d d 1 :é o lmte nferor da classe modal. f f f f h : comprmento do ntervalo de classe. Exemplo: Consdere a tabela.. TDF f 1> f j j Já que,, é a classe modal )) d mo LI + h 7,9 + 3,9 9,014 1 (1 10) (1 7) d + d + 53

54 Medana (Md) Md LI :é a classe médana superou o 50% dos dados) LI F f -1 h : comprment o do ntervalo de classe. Exemplo: Consdere a tabela. 0,5n F + f 1 (é o ntervalo de classe onde a coluna dos F : Lmte nferor da classe medana. :é a frequênca acumulada absoluta da classe anteror a classe medana : frequênca absoluta da classe medana. F > n / Já que,, é a classe medana 0,5n F Md LI + h 7,9 + 3,9 8,55 f1 1 h na TDF 54

55 Varânca: S k 1 f ( X X ) n 1 Exemplo: Consdere a tabela.. Vmos que X 11, 15 Intervalos f X X de classe 1 4,0 -- 7,9 5, ,40 7, ,8 9,85 1 0,8 3 11, ,7 13, ,3 4 15, ,6 17, , ,6 -- 3,5 1, ,16 Total ,66 X f ( ) S 5 1 f ( X X ) ,66 19, S 4,47105(DesvoPadrão) 55

56 Esquema dos cnco números x (1) Q1 Q Q3 x (n) Total Observações Medana n Q Quarts Q1 Q3 Extremos x (1) x (n) 56

57 Boxplot O BOXPLOT representa os dados através de um retângulo construído com os quarts e fornece nformação sobre valores extremos. (veja o esquema embaxo) 57

58 Exemplo de construção de um Boxplot. Com a fnaldade de aumentar o peso (em Kg) um regme almentar fo aplcado em 1 pessoas. Os resultados (ordenados) foram: -0,7,5 3,0 3,6 4,6 5,3 5,9 6,0 6, 6,3 7,8 11,. Calculando as meddas temos: Medana (md ou Q) 5,6kg 1º.quartl (Q1) 3,3kg 3º.quartl (Q3) 6,5kg dntervalo nterquartl Q3-Q1,95kg Logo as lnhas auxlares correspondem aos pontos: Q1-1,5d -1,5kg Q3+1,5d 10,675kg 58

59 11. Observação exteror (dscrepante ou atpca) Exemplo: Consdere os dados da tabela 1.1, o boxplot para varável saláro por educação e regão de procedênca dos funconáros da empresa. 59

60 Boxplot de Saláro por educação Boxplot de Saláro por educação 5 3 Salaro 15 5 Grau Instrucao Grau de Instrucao Salaro Boxplot de Saláro por regão de procedênca Regão de Procedênca Outro Captal In te ro r Salaro 60

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