3.2. Solução livre de ciclos e solução como uma árvore geradora

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1 Smplex Para Redes.. Noções Incas O algortmo Smplex para Redes pode ser entenddo como uma especalzação do método Smplex para aplcação em problemas de programação lnear do tpo fluxo de custo mínmo. O Smplex para Redes explora, portanto, as característcas específcas da rede subacente ao problema e se mostra extremamente mas efcente do que o método Smplex, resolvendo problemas, conforme Bazaraa et al. (99), a vezes mas rapdamente do que este. A maor efcênca do Smplex para Redes se dá tanto no menor número de terações necessáras para se atngr o ótmo, quanto na maor velocdade destas terações, trata-se, portanto, de um método bastante poderoso na resolução de problemas de fluxo de custo mínmo... Solução lvre de cclos e solução como uma árvore geradora O Smplex para Redes, a exemplo do Smplex padrão, mantém uma solução vável durante a execução do algortmo que, a cada teração, camnha em dreção à solução ótma (salvo os casos de degenerescênca que serão vstos mas adante). Esta solução ótma corresponderá a um vértce da regão vável e, no caso de um PFCM, apresentará duas mportantes propredades: Propredade : Solução Lvre de Cclos Sea um PFCM dotado de lmte nferor em sua regão factível, este sempre terá uma solução ótma lvre de cclos. Prova É possível classfcar os arcos de um grafo em dos tpos de acordo com o seu fluxo. Se um arco (, ) permte que sea envada uma undade de fluxo adconal tanto

2 no sentdo de para quanto no sentdo nverso, ou sea, se l, x, < u, <, este será um arco lvre. Caso contráro, se x l,, = ou se x, = u, este será um arco restrngdo. Dz-se que uma solução é lvre de cclos se esta não contver cclos formados apenas por arcos lvres. Sendo assm, suponha-se que uma solução ótma contenha um cclo formado uncamente por arcos lvres; pela defnção de arco lvre sto sgnfca ser possível envar uma undade extra de fluxo δ em qualquer dreção ao longo do cclo, o que representará uma oportundade de se melhorar a solução atual que, por contradção, não podera ser ótma. O custo de se envar uma undade de fluxo ao longo de um cclo é a soma dos custos dos arcos que estão na mesma dreção do cclo (aqueles que terão aumento no fluxo) subtraída da soma dos custos dos arcos em dreção contrára (aqueles que terão dmnução no fluxo), desta manera, para o cclo mostrado na fgura., o custo de se envar uma undade adconal de fluxo no sentdo horáro (fgura.a) será de, á o custo de se envar a undade extra de fluxo no sentdo nverso (fgura.b) será claramente o mesmo valor com o snal trocado, ou sea -. c, δ δ (a) (b) Fgura. - Cclo composto uncamente por arcos lvres. Desta manera, se uma solução supostamente ótma não for lvre de cclos, será possível melhorá-la envando fluxo ao longo do cclo no sentdo em que este torne o custo total da solução menor, até que um de seus arcos não suporte um aumento ou dmnução extra no seu fluxo, tornando-se restrngdo e desfazendo o cclo. Ademas,

3 anda que o custo do cclo sea nulo, é possível envar fluxo em qualquer uma das dreções até que um de seus arcos se torne restrngdo e a solução se torne lvre de cclos. Portanto a conclusão é que há uma solução ótma esta será lvre de cclos. Propredade : Solução como uma árvore geradora Sea um problema de fluxo de custo mínmo dotado de lmte nferor em sua regão factível, este sempre terá como solução uma árvore geradora. Prova Uma árvore geradora, por defnção, conecta todos os nós do grafo subacente e não contém cclos. Já estando provado o fato de ser a solução do PFCM lvre de cclos, suponha-se, portanto, que a solução sea lvre de cclos, mas que não alcance todos os nós do grafo. Neste caso poderam ser ncluídos arcos restrngdos à árvore sem gerar cclos de manera que esta conectasse todos os nós, obtendo assm, uma árvore geradora como solução. Uma árvore geradora que contenha arcos restrngdos é denomnada árvore geradora degenerada, caso contráro esta será uma árvore geradora não degenerada... A matrz de ncdênca nó-arco Para desenvolver o Smplex para Redes será utlzado, por hora, o desenvolvmento do Smplex padrão uma vez que este últmo é a base do prmero; desta manera nos será possível dentfcar as semelhanças entre os dos algortmos, bem como as dferenças que tornam o Smplex para Redes um dos mas bem suceddos métodos de resolução de PFCM até hoe desenvolvdos. Incalmente o Problema de Transbordo será formulado, em seu caso mas genérco (.), (.) e (.), em notação matrcal: { c x x b e l x u} T = A (.)

4 Modfcando o problema orgnáro, as restrções em (.) poderam ser smplfcadas elmnando-se aquelas relatvas ao fluxo mínmo nos arcos. Para tal, sempre que um arco apresentar l, >, serão realzadas as seguntes transformações: * b b l, = (.) * b b + l, = (.) * u, u, l, = (.) O procedmento mostrado transforma a rede ncal em uma rede resdual com respeto aos fluxos mínmos determnados por (.), ou sea, o que está sendo feto neste ponto é equvalente a elevar os fluxos nos arcos aos seus valores mínmos para em seguda otmzar o fluxo restante. As mudanças nas demandas dos arcos e dadas por (.) e (.) cudam para que não sea alterada a condção de equlíbro entre oferta e demanda. Ao aplcar as alterações, as restrções em (.) fcam: { c } T x x= b * and x u * A (.) Onde u * = u l Posterormente, tendo sdo encontrada a solução ótma para a rede transformada, basta aplcar as transformações nversas para que se tenha a solução ótma para a rede ncal, respetados os lmtes nferores de fluxo nos arcos. Em (.) a matrz A, n x m, assoca os m arcos (colunas) da rede que a defne aos n nós (lnhas) da mesma, de manera que cada coluna possu apenas dos elementos não nulos correspondentes aos nós orgem (com valor ) e destno (com valor -). A matrz A é, pelas característcas apresentadas, chamada de matrz de ncdênca nó-arco.

5 Fgura. Encontrando a matrz de ncdênca nó-arco Como exemplo consdere o grafo mostrado na fgura.. A matrz de ncdênca nó-arco referente a este grafo será a segunte: A= (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,).. Uma revsão de álgebra lnear Antes de prossegur, é mportante que seam revstos alguns concetos de álgebra lnear que serão utlzados logo em seguda na determnação de uma solução ncal para o problema....independênca lnear Um conunto de vetores, { v,...,v n } será lnearmente dependente se for possível expressar um dos vetores como uma combnação lnear dos demas, ou sea, se for possível encontrar multplcadores v, tal que v = σ v σ v + σ + v σ nvn, sendo os σ x dferentes de. De manera análoga, um conunto de vetores { v,...,v n } será lnearmente ndependente caso contráro.

6 6... Matrz não sngular Uma matrz A é dta não sngular se exstr uma matrz matrz nversa de A, ou sea, se exstr A tal que AA = I matrz A será não sngular se o seu determnante for dferente de zero. A tal que A sea a. De manera equvalente, a... Rank de uma matrz O rank de uma matrz é o número máxmo de lnhas ou de colunas lnearmente ndependentes desta matrz. O valor correspondente ao número máxmo de lnhas lnearmente ndependentes é gual ao de colunas lnearmente ndependentes e, portanto, as defnções são equvalentes... Rank da matrz de ncdênca nó-arco Voltando à matrz de ncdênca nó-arco,. Para encontrar o rank da matrz A, pela defnção, basta encontrar o número de lnhas ou colunas lnearmente ndependentes da matrz A. Cabe, portanto, fazer uma constatação: Em um grafo qualquer, um conunto de arcos que defna um cclo, por ser uma corrente fechada, representa um conunto de vetores lnearmente dependentes. A fgura. auda a demonstrar este fato. (a) (b) Fgura. - conuntos de arcos (a), lnearmente dependentes, e (b), ndependentes. O conunto defndo pela fgura.a corresponde à últma e às três prmeras colunas da matrz A defnda no tem.. É possível, por exemplo, dzer que

7 7 (,) = (,) (,) (,) e que, de acordo com a defnção apresentada anterormente, os vetores correspondentes aos arcos em questão são lnearmente dependentes. De manera análoga é possível demonstrar que não há como defnr qualquer dos arcos na fgura.b em termos dos demas, sendo assm estes são lnearmente ndependentes. Esta constatação leva a outra mas nteressante. Lembremo-nos da defnção de árvore geradora: uma árvore que conecte todos os nós do grafo subacente e não contenha cclos. Pode-se, portanto, dzer que, por não conter cclos, uma árvore geradora pode ser representada por um conunto de vetores lnearmente ndependentes. Mas anda, pode-se dzer que uma árvore geradora corresponde a um conunto de vetores lnearmente ndependentes de cardnaldade máxma. Conseqüentemente, pode-se dzer que o número de arcos de uma árvore geradora cuo grafo subacente possua n nós será gual ao valor do rank da matrz de ncdênca nóarco que defne este grafo. E qual sera este valor? Para chegar à resposta basta magnar a construção de uma árvore de n nós desde o seu prmero nó. Dado que a árvore é conectada, para cada novo nó acrescentado, a menos do prmero, deverá ser acrescentado um novo arco não podendo ser acrescentado arco sem um nó correspondente, caso em que sera crado um cclo, ou sea, desconsderando-se o prmero nó, cada nó adconal representa um arco adconal o que, ao fnal, nos dá o valor de n arcos para uma árvore geradora e o mesmo valor para o rank da matrz de ncdênca nó-arco..6.varável Artfcal Sendo o número máxmo de colunas lnearmente ndependentes da matrz A gual a n (número máxmo de arcos da árvore geradora), não será possível a aplcação do método Smplex, uma vez que uma solução básca será necessaramente composta por n

8 8 arcos lnearmente ndependentes (são n lnhas no tableau). A solução neste caso é a cração de uma varável artfcal que será a n-ésma na base. Em outras palavras, para a aplcação do Smplex é necessáro que se tenha uma matrz com rank cheo, ou sea, que o rank de A sea gual a n. Para tal basta que sea acrescentada na matrz uma coluna lnearmente ndependente das demas ou, correspondentemente, que sea acrescentado ao grafo um arco que nunca rá formar um cclo com os demas, o que só será possível se este possur uma extremdade em um dos nós do grafo e a outra pendendo no nfnto. O arco em questão recebe o nome de arco-raz, o nó aonde se encontra uma de suas extremdades será chamado de nó-raz. Supondo que o arco-raz se nca no nó-raz e se drecona ao nfnto tem-se, para o grafo da fgura., uma nova representação dada pelo grafo a segur. Fgura. - Entrada da Varável Artfcal Qualquer um dos nós do grafo pode ser escolhdo com nó-raz; a únca dferença resultante será a manera como serão representadas as soluções báscas (árvores geradoras) do problema. Como padrão, neste trabalho será utlzado sempre o nó de número para ser a raz, desta manera, e de acordo com a fgura., a nova matrz de ncdênca nó-arco será a segunte: A= (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) raz

9 9.7.Solução ncal O algortmo smplex para redes explora a propredade á abordada anterormente de que a solução do problema de fluxo de custo mínmo será dada sempre por uma árvore geradora e consste em, a partr de árvore geradora ncal (solução básca), executar uma sére de passos (pvoteamentos) nos quas é mantda uma estrutura de árvore geradora (toda solução básca corresponderá a uma árvore geradora), até que sea encontrada a solução ótma. À árvore correspondente à solução ótma dá-se o nome de árvore geradora ótma. O prmero passo necessáro à aplcação do smplex para redes é, portanto, determnar uma árvore geradora ncal qualquer para, a partr daí, aplcar o algortmo. Uma abordagem prátca e de fácl mplementação para encontrar esta solução ncal é a cração de um nó artfcal com demanda gual a zero, lgado a cada nó orgnal do grafo por arcos de custo probtvamente altos. Os arcos que lgam ao nó artfcal os nós cuas demandas são maores ou guas a zero, ou sea b, terão a orgem no nó artfcal; á aqueles que lgam ao nó artfcal os nós cuas ofertas são maores que zero, ou sea b >, terão o nó artfcal como destno. Os arcos artfcas possurão anda capacdade e fluxo ncal guas ao módulo da demanda do nó orgnal correspondente. O grafo dado pela fgura. pode ser utlzado para crar um exemplo prátco. Para tanto é precso defnr os valores de demanda e oferta dos nós, vetor b, bem como os custos de cada arco, o vetor c. Seam então os valores de oferta/demanda dados por T b = [ 8,,,, ] e os de custo dados por c = [,,, 6,,, ]. A fgura. T

10 mostra no grafo os valores de b e de c (fgura.a) e a solução ncal dada pela nclusão de um nó e arcos artfcas (fgura.b). b, b, b, b, c,, x,, N.A (a) (b) Fgura. - Encontrando uma solução ncal através de um nó artfcal. Para que o algortmo elmne naturalmente os arcos artfcas da solução será atrbuído a eles um custo M, representando um valor muto alto,. Alguns autores costumam atrbur a este custo duas vezes o valor da soma dos custos de todos os arcos da rede, Marnho (), sto é, n n c, = =, M= η, onde η, será gual à undade se, houver arco entre os nós e e zero caso contráro. O mesmo crtéro fo utlzado neste trabalho, portanto, para o exemplo ter-se-á que M = ( ) =. A mplementação da solução ncal será feta de segunte manera: Função A: Cra_Solução_Incal( ) n = número de nós da rede = enquanto < n + fazer: Se b crar arco tal que: orgem = nó artfcal destno = arco

11 fluxo = b custo = M Se b > crar arco tal que: orgem = arco destno = nó artfcal fluxo = b fm = + custo = M Anda na defnção Para o método smplex padrão, a adção de um nó e de n arcos artfcas representa a adção de uma lnha e n colunas ao tableau que, para o exemplo em questão, á na forma canônca, fcará da segunte manera: Para o método smplex padrão, a adção de um nó e de n arcos artfcas representa a adção de uma lnha e n colunas ao tableau que, para o exemplo em questão, á na forma canônca, fcará da segunte manera: 6 z (,) 67 (,) 6 (,) (,) (,) (,) (,) raz (,6) (6,) (6,) (6,) (6,) 8 O custo total de para a função obetvo é conseqüênca do fato de que a demanda e oferta estão sendo transportadas, em sua totaldade, pelos arcos artfcas. O tableau mostrado corresponde ao tableau ncal para a fase I do método smplex e, na medda em que os arcos artfcas forem sando da base, estes podem ser elmnados até que se encontre uma solução básca lvre destes arcos.

12 Consderando que o nó fo defndo como raz e omtndo o arco-raz, a árvore geradora correspondente a esta solução ncal pode ser representada da segunte manera: 8 N.A Fgura.6 - Solução ncal, exemplo..8.representação da estrutura de árvore geradora No algortmo smplex para redes, dada uma árvore geradora que represente uma solução básca, os arcos pertencentes ao grafo subacente são dvddos em três subconuntos dstntos; o prmero subconunto, T, contém os arcos pertencentes à árvore geradora; o segundo subconunto, L, compreende todos os arcos não pertencentes a T que possuam fluxo gual ao seu lmte nferor (ou nulo consderando a transformação dada pelas equações (.), (.) e (.)); á o últmo subconunto (no caso de o problema ser do tpo capactado), U, possu os arcos não pertencentes a T cuos fluxos seam guas aos seus lmtes superores. Uma solução é dta factível se todos os arcos respetarem os lmtes mpostos pelas restrções de fluxo. Sempre que um arco pertencente a T não for lvre ( x = ou x = u ) a árvore geradora correspondente será dta degenerada. O mecansmo que será utlzado para evtar o fenômeno de cyclng, causado pela ocorrênca de degenerescênca e que consste em uma alternânca nfnta entre bases, será abordado mas adante,..9.varáves Duas e Potencas dos nós Para um grafo com n nós e m arcos, o problema dual do problema de mnmzação de custo será um problema de maxmzação, onde a função obetvo será composta por n varáves (varáves duas) e m equações de restrção, cuos termos

13 ndependentes serão formados pelo vetor c (vetor com os custos dos m arcos do grafo orgnal). Dada uma solução factível básca do problema prmal, para encontrar a solução dual equvalente basta encontrar uma solução para o sstema de equações formado pelas restrções atvas no problema dual (aquelas correspondentes às varáves báscas do problema prmal). Sendo assm tem-se a equação: Ou equvalentemente: T T B w B = c (.6) T T w c B (.7) = B Onde B representa as colunas da matrz A referentes às varáves báscas no problema prmal e o vetor T c B contém os termos ndependentes das restrções atvas no problema dual (ou coefcentes tecnológcos assocados às varáves que estão na base do problema prmal). As colunas de A referentes às varáves não báscas são representadas por N sendo, portanto, A= [ B N]. A resolução deste sstema de equações (.7) se torma mas smples graças à estrutura da matrz A, e para demonstrá-la pode ser utlzada como exemplo a base para o grafo mostrado na fgura.7 dada pela árvore geradora a segur: b [x, ; c, ] b, 8, [8; ] -, [; ] [; ], -, [; ] -, Fgura.7- Solução factível básca.

14 O que corresponde, para o cálculo das varáves duas, ao sstema de equações: [ ] [ ] = w w w w w (.8) Ou anda: = = = = = w w w w w w w w w (.9) A partr do valor de w dado pela últma das equações todas as demas varáves podem ser encontradas, resultando no vetor [ ] 7 = T w. Uma constatação muto mportante a ser feta com relação à nterpretação dada às varáves duas é a de que, dado um nó, a varável dual correspondente w será gual ao custo de se transportar uma undade de fluxo desde este nó até o nó raz através dos arcos da árvore geradora. Pode-se então, defnr o vetor [ ] 7 = T onde w = é chamado de potencal do nó e, de manera smétrca a w, pode ser nterpretado como o custo de se transportar uma undade de fluxo desde o nó raz até este nó. Como conseqüênca dreta tem-se que, para dos nós adacentes pertencentes à árvore geradora:

15 = c (.) A expressão (.) será utlzada pela demonstrada a segur, para, recursvamente, computar os potencas dos nós. Sea o nó, para tanto, o nó raz: Função B: Computa_Potencas(, ) Se = fazer: = Caso contráro fazer: = c Para cada nó k descendente de através da árvore geradora fazer: Chama Computa_Potencas(k, ) Fm computa_potencas Se a função apresentada for ncada com = (nó raz) e =, todos os nós do grafo serão vstados (busca em profunddade) e seus potencas computados de acordo com (.)...Otmaldade Vale lembrar que a condção de otmaldade do algortmo smplex é a de haver apenas custos reduzdos postvos. A exstênca de um custo reduzdo negatvo sgnfca que a entrada na base da varável relaconada a este representará uma melhora na solução (salvo o caso de degenerescênca que será abordado mas adante). Para chegar às condções de otmaldade do smplex para redes serão utlzados também os custos reduzdos que serão dados pela expressão segunte: T T c = c c B A (.)

16 6 Que, utlzando-se a defnção de potencas dos nós, pode ser reescrta da segunte manera: c T T = c + A (.) Onde grafo subacente. pela expressão: c representa o vetor contendo os custos reduzdos assocados aos arcos do Desta manera, para um arco qualquer (, ) o seu custo reduzdo c c c será dado = + (.) o vetor T Para o exemplo dado pelas fguras. e.7, para o qual o vetor á fo calculado, c será dado por = [,,, 6,,, ] c onde os valores dferentes de zero correspondem às varáves não báscas, mas exatamente aos arcos (,), c =, (,), c 6 e (,), c., =, =, Para um arco (, ) o custo reduzdo c pode ser nterpretado como o custo de se envar uma undade extra de fluxo desde o nó raz até o nó, envá-la através do arco (, ) até o nó para então envá-la de volta desde o nó até o nó raz. Intutvamente á se pode perceber porque os custos reduzdos dos arcos da árvore geradora são guas a zero á que o camnho de da até o nó, c. +, é o mesmo voltando de para a raz, Para enxergar esta propredade algebrcamente basta substtur (.) em (.). {(, ) (, ) T} Já para um arco não básco, sto é, para um arco qualquer do conunto, o valor do custo reduzdo correspondente será o custo referente ao transporte de uma undade de fluxo ao longo do cclo formado pela nclusão do arco (, ) na árvore geradora, obedecendo-se o sentdo do arco (, ).

17 7 c, 7 7,, 6, 6 (a) (b) Fgura.8 - (a) Exemplo de árvore geradora e (b) cclo formado pela nclusão do arco (6,). Na fgura.8b o arco (6,) não pertence à solução representada pela árvore geradora da fgura.8a e, de acordo com a expressão (.), o custo reduzdo assocado a este arco será c = c +, sendo o custo do arco (6,), c, o potencal 6, 6, 6 = 6,= do nó 6, = c + c c e o potencal do nó, = c c + c =. Repare 6,, 6,=,,, que este valor corresponde, conforme á hava sdo exposto anterormente, ao custo de envar uma undade de fluxo ao longo do cclo formado na árvore geradora pelo arco em questão. Duas são as possíves conclusões com relação ao valor encontrado para o custo reduzdo do arco (6,), se x, sto é, se ( 6,) L : o aumento do fluxo no arco e a 6,= sua conseqüente entrada na árvore não mplcarão em redução do custo total; á se x =, ou sea, se ( 6,) U : a dmnução do fluxo no arco, que também 6, u6, representará a sua entrada na árvore, sgnfcará uma redução no custo total. De manera análoga, para um arco que apresente custo reduzdo negatvo, se este pertencer ao conunto L, a sua entrada na árvore geradora sgnfcará uma melhora na solução atual do problema, o mesmo não acontecendo se este pertencer ao conunto U. Concluí-se, portanto, que para que a solução sea ótma basta que todos os arcos pertencentes a U apresentem custos reduzdos negatvos ou nulos e que todos os arcos pertencentes a L apresentem custos reduzdos postvos ou nulos, ou sea, que a entrada

18 8 de qualquer arco não sgnfque melhora na solução atual. Se forem ncludos na análse os arcos pertencentes à árvore geradora chegar-se-á às seguntes condções de otmaldade: c = para todo (, ) T (.) c para todo (, ) U (.) c para todo (, ) L (.6)..Índces da árvore Para facltar a mplementação do smplex para redes são assocados aos nós três dferentes índces: predecessor, profunddade e camnho. Em seguda cada um dos três índces será descrto.... Predecessor Para cada nó de uma árvore geradora exste uma e somente uma corrente lgando este ao nó raz. Desta manera ao se envar uma undade de fluxo desde o nó raz até um nó, o predecessor de será o nó medatamente anteror a neste percurso. De manera complementar Ahua e Magnatt (99) defnem como sucessores de aqueles nós que tenham como predecessor; como nós-folhas aqueles nós que não possuam sucessores; e como descendentes de um nó, além do própro nó, os seus sucessores, os sucessores de seus sucessores e assm por dante. Para o nó raz o predecessor é sempre defndo como zero.... Profunddade A profunddade de pode ser entendda como o número de passos dados desde a raz para se chegar a este nó. A profunddade de um nó será, portanto, a profunddade de seu predecessor acrescda de uma undade. Já para o nó raz, a exemplo do índce predecessor, o valor da profunddade será zero.

19 9... Camnho O índce camnho de um nó será o número do nó que, em uma busca em profunddade, ver na seqüênca deste. Repare que, assm como se pode executar uma busca em profunddade de dferentes maneras (dferentes ordens de vstas aos nós), os índces de camnho podem varar para a mesma árvore. Para o últmo nó do percurso feto pela busca em profunddade o índce de camnho será gual ao nó raz. A fgura.9a mostra como exemplo uma árvore geradora cuos índces estão relaconados na fgura.9b predecessor() profunddade() 6, 7 8 camnho() (a) (b) Fgura.9 - Exemplo de árvore geradora e índces assocados Aprovetando a estrutura dada pela solução ncal fca mas fácl computar os valores ncas destes índces. Repare a solução ncal sempre terá uma estrutura semelhante à mostrada na fgura.6, com o nó raz tendo o nó artfcal como únco descendente que, por sua vez, será predecessor de todos os demas nós.

20 Função C: Computa_Indces() Profunddade do nó_artfcal = Predecessor do nó_artfcal = nó_raz Para todos os nós, fazer: Se nó = nó_raz fazer: Profunddade do nó = Predecessor do nó = nulo Camnho do nó = nó_artfcal Camnho do nó_artfcal = próxmo nó Caso contráro fazer: Profunddade do nó = Predecessor do nó = nó_artfcal Se nó = últmo nó fazer: Camnho do nó = nó_raz Caso contráro fazer: Camnho do nó = próxmo nó Fm No códgo que fo mplementado neste trabalho fo utlzado um quarto índce, o camnho nverso. O camnho nverso de um nó será o nó cuo índce camnho sea, ou sea, é o nó anteror a ele ao se executar a busca em profunddade. Este índce será utlzado para tornar mas rápda a atualzação da árvore geradora a cada teração...funconamento do algortmo smplex para redes Segundo Eppsten (), dos são os fatores mportantes na efcênca de um algortmo smplex para redes: o número de pvoteamentos e o tempo por pvoteamento. O pvoteamento é a base do funconamento do smplex para redes que, explorando o fato de que a solução ótma será necessaramente uma árvore geradora (propredade ) consste em mover a solução de uma árvore para outra melhor repetdas vezes até que as condções de otmaldade seam verfcadas.

21 Mas detalhadamente, o algortmo funcona de manera que para cada árvore subótma encontrada sea seleconado um arco (, ) que vole as condções de otmaldade dadas por (.) e (.) a ser acrescentado, através de um pvoteamento, à árvore. O processo é repetdo até que todos os arcos, condções de otmaldade. (, ) U e (, ) L, obedeçam às referdas..seleconando o arco entrante. Suponha-se portanto que, para uma dada solução sub-ótma, exstam arcos pertencentes aos conuntos U ou L que volem as condções de otmaldade. Neste ponto o problema é defnr qual dentre estes arcos será escolhdo para ntegrar a árvore geradora, um processo chamado de precfcação, e a resposta parece bem óbva uma vez que quanto maor for a volação maor tenderá a ser a melhora na solução. Porém, consderando que mutos dos problemas reas de fluxo de custo mínmo chegam a ter mlhares ou mlhões de arcos, começa a fcar por demas custoso varrer todo o conunto de arcos à procura daquele com maor volação das condções de otmaldade, ou anda atualzar os custos reduzdos de todos os nós. Maros () lembra que, teorcamente, a escolha de qualquer arco dentre os canddatos a entrar na base rá levar à solução em um tempo fnto, porém o número de terações até a solução dependerá profundamente da regra de seleção aplcada. Pensando nsso e a fm de explorar as característcas partculares de cada problema específco, foram desenvolvdos números métodos de seleção do arco entrante. Algumas das regras mostradas em Maros () são:...regra de Dantzg Esta regra fo proposta por Dantzg (96) e consste em, a cada teração, escolher o arco que apresentar a maor volação, uma vez que a entrada deste representará o maor ganho por undade de fluxo dentre todos os canddatos, o que resulta em maores ganhos a cada teração e, conseqüentemente, em um menor número de terações. Na

22 prátca, porém, esta regra exge que todos os arcos não báscos seam verfcados a cada teração, o que torna este crtéro pouco compettvo....prmero Canddato Trata-se da regra mas smples e consste em seleconar o prmero arco encontrado que apresentar custo reduzdo não ótmo sendo, portanto, o oposto da regra de Dantzg. Esta regra não é muto utlzada na prátca por gerar um número muto grande de pvoteamentos....precfcação Parcal É um meo termo entre as regras de Dantzg e Prmero Canddato e refere-se a um tpo de regra que subdvde o conunto de arcos não báscos e, a cada teração, escolhe dentro de um destes subgrupos o arco que apresentar a maor volação (Orchard-Hays, 968). A Precfcação Parcal pode ser estátca caso os subconuntos seam os mesmos durante a execução do algortmo ou dnâmca caso contráro....precfcação por Clusters Em algumas classes de problema pode-se agrupar os arcos de acordo com algum tpo de smlardade ou característca para então aplcar, por exemplo, a precfcação múltpla, o que tende a melhorar a efcáca das terações menores. Conforme dto em Maros (), o senso comum e a experênca mostram que, se um arco dentro de um cluster é escolhdo e entra na base em uma certa teração, então será menos provável encontrar bons canddatos neste mesmo cluster na próxma teração....precfcação Normalzada O valor do custo reduzdo nos dz o tamanho do ganho que a entrada de determnado arco na base propcará para cada undade de fluxo que passar por ele durante o pvoteamento, mas não nos dz nada sobre o total deste fluxo, o que nos dexa apenas com a nformação parcal sobre a possível contrbução dada pela entrada de um

23 determnado arco na base. As regras de precfcação normalzada tentam contornar o problema ao normalzar os custos reduzdos multplcando-os por um fator antes de quasquer comparações. A regra do lmte mas íngrme (Steepest Edge) de Forrest e Goldfarb (99) e a regra Devex em Harrs (97) são dos exemplos desta classe de regras de precfcação...6. Precfcação Múltpla Neste trabalho fo utlzada a regra proposta por Ahua e Magnatt (99), mas exatamente, a regra de precfcação múltpla detalhada a segur. A Precfcação Múltpla ocorre em duas fases, chamadas de teração maor e teração menor. Na teração maor uma lsta de canddatos é construída. A partr daí são executadas as terações menores que rão varrer toda a lsta construída pela teração maor e eleger o melhor canddato a entrar na base. Após um número pré-determnado de terações menores, ou se não houver canddatos restantes na lsta devdo às atualzações dos custos reduzdos a cada pvoteamento realzado, uma nova teração maor será realzada partndo do ponto onde a últma teração maor hava parado (percorrendo a lsta de arcos de manera crcular). A teração maor percorre os arcos até atngr o número pré-determnado de canddatos da lsta ou até não haver mas canddatos. Para esta regra tanto o número máxmo de canddatos na lsta quanto o número de terações menores podem ser austados de manera a adaptar a estratéga de precfcação à realdade de um problema específco. Repare que se não for defndo tamanho máxmo da lsta e o número de terações menores for apenas um tem-se a regra de Dantzg e anda, se o tamanho máxmo e o tamanho de terações menores forem ambos untáros tem-se a regra do prmero canddato. As terações maores serão fetas através da função a segur:

24 Função D: Iteração_Maor(arco ncal) = otmaldade = verdadero arco = arco ncal Enquanto < número máxmo de canddatos + fazer Se arco não pertence à árvore geradora fazer Se arco não satsfzer as condções de otmaldade (.) ou (.6) fazer Inclu arco na lsta de canddatos = + otmaldade = falso arco = próxmo arco se arco = arco ncal fazer sar da função Fm Pode-se perceber que a função buscará canddatos até que sea encontrado o número máxmo de canddatos (número defndo pelo usuáro) ou até que todos os arcos tenham sdo testados com relação à otmaldade. Neste últmo caso, se nenhum canddato tver sdo encontrado a varável booleana, otmaldade, terá valor verdadero e a solução ótma terá sdo encontrada. Em se havendo canddatos serão realzadas terações menores de manera em que a cada teração menor que encontre canddatos a entrar na árvore esta sea atualzada (da manera que será mostrada mas adante). Sendo a teração menor dada smplesmente pela busca, na lsta de canddatos gerada pela teração maor, pelo arco com maor custo reduzdo (em módulo)...seleconando o arco que sa. O próxmo passo, após ter sdo seleconado o arco entrante, é determnar o arco que dexa a árvore geradora. Como á fo repetdo algumas vezes, para um problema cuo grafo subacente contenha n nós, uma árvore geradora deverá conter exatamente n- arcos, o que sgnfca que para se manter uma estrutura de árvore geradora a entrada de um nó deve ser acompanhada da saída de outro.

25 Sendo (, ) o arco entrante, o prmero passo para a determnação do arco que rá dexar a árvore geradora (dexar o conunto T) é, portanto, dentfcar o cclo formado pela nclusão do arco (, ) na mesma, chamado de cclo de pvoteamento, e para sso basta percorrer a rede desde os nós e até o seu prmero antecessor comum, w, através de seus predecessores, aqueles arcos que fzerem parte do camnho entre e w e entre e w, bem como o própro arco (, ), comporão o cclo. A função faz a dentfcação deste cclo. Função E: Identfca_Cclo(nó, nó ) x = y = Enquanto predecessor(x) <> predecessor(y) fazer: Se profunddade(predecessor(x)) > profunddade(predecessor(y)) x = predecessor(x) c.c., se profunddade(predecessor(y))>profunddade(predecessor(x)) y = predecessor(y) c.c, se profunddade(predecessor(y)) = profunddade(predecessor(x)) x = predecessor(x) y = predecessor(y) Fm dentfca_cclo Ao fnal da execução da função, w será o predecessor tanto de x quanto de y. Havendo dentfcado o cclo de pvoteamento deve-se determnar qual será o fluxo envado ao longo do mesmo e, para sso, os arcos que o compõem serão dvddos em arcos a favor e contra o fluxo cua dreção dependerá do arco entrante (, ) de manera que, se (, ) U, o fluxo no cclo de pvoteamento terá sentdo nverso ao de (, ), ou sea, um aumento no fluxo do cclo mpõe uma dmnução no fluxo do arco, e que, se (, ) L, o fluxo terá o mesmo sentdo de (, ). A fgura. lustra esta

26 6 dferença: na fgura.a, na qual o arco (, ) não possu fluxo ncalmente, o fluxo no cclo se dará no sentdo ant-horáro; á na fgura.b, na qual o arco (, ) possu fluxo gual à sua capacdade máxma, o fluxo no cclo se dará no sentdo horáro. w w (a) (, ) L (b) (, ) U Fgura. - Dreção do fluxo ao longo do cclo de pvoteamento. Havendo dentfcado o cclo de pvoteamento e o seu sentdo, deverá ser calculado o montante máxmo de fluxo,, que poderá ser envado através deste, o que equvale a determnar qual o acréscmo ou decréscmo máxmo no fluxo suportado por cada arco do cclo, δ, no sentdo determnado por este. Desta manera, o arco dentro do cclo que apresentar o menor valor de δ será chamado de arco lmtador e determnará o valor de. Formalmente pode-se dzer que, para um arco pertencente ao cclo ( k, l) : δ (.7) k, l = x k, l se o sentdo de ( k, l) for contráro ao do fluxo no cclo e δ (.8) k, l = u k, l xk, l se o sentdo de ( k, l) for a favor do fluxo no cclo. Para tem-se então que: = mn{,l } (.9) δ k

27 7 Conforme mostrado em Ahua e Magnatt (99), toda a operação de dentfcação do cclo e atualzação dos fluxos pode ser feta com apenas dos procedmentos. Prmeramente, untamente com a dentfcação do cclo de pvoteamento dado pela função, calcula-se para cada arco do cclo o valor de δ de tal manera que ao fnal do procedmento á se tenha defndo tanto o valor de, quanto o arco que dexará a base. Em seguda os arcos que compõem o cclo são novamente percorrdos e têm o seu fluxo atualzado com base no valor de. Anda conforme Ahua e Magnatt (99), toda a operação descrta anterormente é executada com ordem O(n) para o por caso, muto embora em geral sea necessáro examnar apenas um pequeno subconunto dos nós. O exemplo dado pela fgura. lustra bem todo o processo. Sea um arco (,), com fluxo x = u pertencente, portanto, ao conunto U. Supondo que o referdo,, = arco possu custo reduzdo c, ou sea, que este vole a condção de otmaldade, dada por (.9), conclu-se que a dmnução no seu fluxo acarretará uma dmnução no custo total da solução e que, portanto, se trata de um arco elegível para entrar na árvore. Entrando na árvore o arco (,) forma, como se pode observar na fgura.a, um cclo com os arcos (,), (,) e (,). Após dentfcado o cclo é calculado o valor de que, neste caso, á gual a (fgura.b) sendo o arco lmtador o arco (,) que, ao fnal do pvoteamento, dexa a árvore passando a pertencer ao conunto L e dando orgem uma nova árvore geradora (fgura.c). [x, ; u, ] [;7] [;] [;7] [;] [;7] [;] [;] [;] [;] [;] [;] [;] [;] [;] (a) (b) (c) Fgura. - Exemplo de pvoteamento, entrada do arco (,) e saída do arco (,).

28 8..Atualzando a árvore Repare que um arco entrante, (, ), será também um canddato a sar da árvore e, sendo (, ) o arco lmtador, o que ocorrerá na prátca será apenas uma transferênca entre os conuntos L e U, ou sea, (, ) poderá passar do conunto L para o conunto U ou vce-versa, alterando a solução sem todava alterar árvore geradora em s. Na maora dos casos o arco entrante será dferente do arco que sa, modfcando a árvore geradora correspondente e tornando necessára a atualzação dos potencas dos nós, bem como dos índces da árvore....atualzação dos potencas dos nós Seam (, ) e ( k, l) respectvamente o arco entrante e o arco que sa da base. Ao ser retrado da árvore, o arco ( k, l) sempre dvdrá o conunto de nós em duas subárvores, T e T onde T contém o nó raz. De manera análoga o arco (, ) conterá um extremo em cada uma das sub-árvores. Para defnr os valores ncas dos potencas dos nós fo atrbuído ao nó raz um potencal nulo, = (o custo de se transportar uma undade de fluxo da raz para ela mesma é zero) e, para os demas, o potencal fo calculado medante a aplcação da fórmula = c+ (.). Repetndo os mesmos cálculos para a nova árvore observa-se que os valores para os potencas dos nós pertencentes a T não se alteram, varando apenas os valores para os nós pertencentes a T. Para atualzar os potencas da árvore basta, portanto, calcular os novos potencas dos nós de T que, como será vsto em seguda, rão vararão apenas por uma constante. Sea o arco (, ) tal que estea em T, o potencal do nó não será alterado na * nova árvore e o novo potencal de será dado por = c+ ou anda, se consderando-

29 9 se a expressão c * = c + dada por (.), = c +. Estando T pendurada pelo nó, para atualzar o potencal dos nós restantes basta que se some aos seus potencas atuas. De manera análoga pode-se verfcar que, estando em T, o c valor da constante a ser somada aos potencas dos nós será c. A função será utlzada para efetuar esta atualzação. Função F: Se k T então y = k, caso contráro y = l Se T então constante = ( y) = ( y) z = y + constante c, caso contráro constante = enquanto profunddade(camnho(z)) > profunddade(y) fazer: (camnho(z)) = (camnho(z)) + constante c A utlzação dos índces profunddade e camnho faz com que a atualzação dos potencas sea rápda e efcente, mas estes mesmos precsam ser atualzados também e, se as suas atualzações não forem efcentes, a vantagem de utlzá-los será reduzda. Para atualzar os índces da árvore, sea o arco entrante (, ) tal que T e T e sea o arco que sa (k,l) tal que T k e l T. A fgura. mostra um pvoteamento onde o arco (,) é o arco entrante e o arco (,) é o arco que sa, ou sea, os nós,, e correspondem respectvamente a,, k e l.

30 arco que sa arco entrante 8 9 (a) (b) Fgura. - Atualzação dos índces da árvore O camnho entre e l será chamado de pvot stem ou backpath e os nós pertencentes a este camnho de h sendo que o índce h nos dá a ordenação destes nós dentro do camnho de manera que para um nó qualquer, v, pertencente a este camnho tem-se: h = profunddade( ) profunddade( v) + (.) Desta manera, para o exemplo dado pela fgura., tem-se que =, =, = e =. Defna-se agora, para cada h, um subconunto h S de T que ra conter, além do própro nó, todos aqueles nós em cuos camnhos em dreção à raz o prmero nó pertencente ao backpath sea h, de manera que a ordem dos elementos dentro de cada subconunto respete a ordenação dada pelo índce camnho orgnal.

31 Para o exemplo dado pela fgura., consderando os índces camnho como sendo dados por: camnho() Tem-se os seguntes conuntos que serão utlzados na atualzação dos índces da árvore (este procedmento é mostrado também em Chvatal (98)): S = {, } S ={} S = {, S ={, 8, 9} }...Atualzação dos índces camnho. Sea * S a concatenação dos vetores S h. No nosso exemplo * S será tal que S * = {,,,,8,9,,}. Para a obtenção dos índces camnho da nova árvore prmeramente retra-se do camnho da árvore orgnal a seqüênca referente a T e a substtu por * S, em seguda restam apenas alguns austes, são eles:. Quando o bloco referente a T é removdo o sucessor do antecessor de l passa a ser o sucessor do últmo nó do bloco T. O antecessor do sucessor de passa a ser o últmo nó do bloco. O sucessor de passa a ser o prmero nó do bloco * S * S A fgura. mostra a dnâmca de atualzação para o exemplo. Em a é retrado o bloco referente a T e são fetos os devdos austes, em b é colocado o bloco * S,

32 também respetando os austes necessáros, e fnalmente em c tem-se a nova ordenação dos nós. (a) {,, 6, 7,,,,,, 8, 9,,,, } T * S (b) {,, 6, 7,,, } {,,,, 8, 9,, } (c) {,,,,,, 8, 9,,, 6, 7,,, } Fgura. Exemplo: dnâmca de atualzação dos índces Ao fnal os novos índces de camnho serão dados por: camnho * ( ) Atualzação das profunddades A exemplo do que ocorre para os índces de camnho, os índces de profunddade só precsam ser atualzados para aqueles nós pertencentes a T e, uma vez que T e T a nova profunddade de será o valor dado pela expressão profundda de *( ) = profunddade( ) +. Sea portanto θ ( ) a varação na profunddade de que será dada por θ ( ) = profunddade( ) profunddade( ) +. Já o antecessor de, se houver, terá profundda de *( ant( )) = profunddade *( ) + o que corresponde à varação θ ( ant( )) = θ ( ) +.

33 Calcula-se a varação para o predecessor do predecessor, e assm por dante, até se encontrar o nó l quando terá sdo percorrdo todo o backpath e ter-se-á, para cada, h como defndo anterormente, o valor da varação θ h que, sendo θ ( ) = θ, será dada pela expressão: θ = θ + ( h ) (.) h Por últmo, para cada conunto S h deve-se aplcar a todos os seus elementos a varação dada pelo θ h correspondente. Os valores para as profunddades dos nós no exemplo dado pelas fguras.a e.b serão os seguntes: Antes (.a): profunddade() Depos (.b, em negrto as mudanças): profunddade* ( ) Atualzação dos predecessores A atualzação dos predecessores não é complcada, bastando preocupar-se com os nós do backpath que serão tratados da segunte manera: predecessor( h) predecessor( ) = = h se h> (.) Os valores para os predecessores dos nós no exemplo dado pela fgura. seram os seguntes: Antes (.a):

34 predecessor() Depos (b, em negrto as mudanças): predecessor *( ) Algortmo Pode-se agora especfcar os passos do algortmo smplex para redes da segunte manera: Algortmo Smplex para Redes Determnar uma solução ncal e os fluxos assocados aos arcos (tem.7) Calcular os potencas dos nós assocados a esta solução (tem.9) Enquanto houver arcos elegíves para entrar na base fazer: (tem.) Seleconar um arco para entrar na base (tem.) Determnar o arco que sa da base (tem.) Atualzar: os índces e a estrutura da árvore, os fluxos e os potencas (tem.) Fm.7. Degenerescênca Não são raras as ocorrêncas de árvores geradoras que não são exclusvamente compostas por arcos lvres, ou sea, exste (, ) T tal que x, = ou x, = u, ; esse fato, ao qual se dá o nome de degenerescênca, é na verdade extremamente comum e o seu tratamento de grande mportânca prátca pos uma base degenerada pode ocasonar o fenômeno de cyclng (uma seqüênca nfnta de pvoteamentos). Para evtar o fenômeno de cyclng basta garantr que a árvore geradora sea fortemente factível durante a execução do algortmo como será mostrado a segur.

35 .8. Árvores Geradoras Fortemente Factíves Segundo a defnção de Ahua et al. (), pode-se dzer que uma árvore geradora é fortemente factível se for possível envar alguma quantdade postva de fluxo de qualquer nó para o nó raz através dos arcos báscos sem volar nenhuma das restrções de fluxo dos mesmos. Alternatvamente pode-se defnr uma árvore geradora fortemente factível como uma árvore em que qualquer arco (, ) com fluxo tal que x = aponte em dreção à raz (topo da árvore) e qualquer arco (, ) com fluxo tal que x = u aponte para a dreção oposta à da raz. As duas defnções são equvalentes e uma mplca na outra. Observe que uma árvore não degenerada (que sea composta apenas de arcos lvres), será sempre fortemente factível; enquanto uma árvore degenerada poderá ou não sê-lo em vrtude da observânca ou não das característcas apresentadas anterormente. Partndo do pressuposto que uma árvore é fortemente factível deve-se, então, garantr que a cada teração a factbldade forte sea mantda e para tal basta que sea utlzada a segunte regra de seleção do arco que sa: sempre que houver mas de um arco lmtador no cclo de pvoteamento escolher-se-á para sar da base o últmo deles, encontrado ao se percorrer o cclo partndo de w (antecessor comum dos nós orgem e destno do arco entrante). A fgura.a mostra um exemplo em que todos os arcos de um cclo de pvoteamento, com exceção do arco entrante, são lmtadores, o que rá gerar uma nova árvore geradora degenerada. A fgura.b mostra como uma escolha equvocada do arco que sa da árvore não gera uma árvore degenerada fortemente factível, o mesmo não acontecendo quando se utlza a regra apresentada anterormente, como mostra a fgura.c.

36 6 [x, ; u, ] [;7] [;] [7;7] [;] [;7] [;] [;] [;] [;] [;] [;] [;] [;] [;] [;] [7;7] [;] [;7] [;] [;] [;] [;] [;] (a) (b) (c) Fgura.- Árvores fortemente factíves, regra de seleção do arco que sa da base. Note que nenhuma outra escolha que não a dada por.c rá gerar uma árvore fortemente factível. Ahua et al. () mostram que, mesmo mantendo-se uma árvore geradora fortemente factível, o algortmo anda pode executar uma seqüênca exponencalmente grande de pvoteamentos degenerados, um fenômeno conhecdo como stallng e prova que, utlzando um cclo aumentante de custo negatvo para dentfcar a seqüênca de varáves entrantes, pode-se chegar a um lmte de k para o número consecutvo de pvoteamentos degenerados onde k é o número de arcos degenerados na base.