COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIA DE OTIMIZAÇÃO GLOBAL E O MÉTODO DE GRADIENTES PARA AJUSTE DE HISTÓRICO ASSISTIDO

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1 COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIA DE OTIMIZAÇÃO GLOBAL E O MÉTODO DE GRADIENTES PARA AJUSTE DE HISTÓRICO ASSISTIDO Célo Mascho e Dens José Schozer, Unversdade Estadual de Campnas, Faculdade de Engenhara Mecânca Departamento de Engenhara de Petróleo, Caxa Postal , Campnas, SP celo@dep.fem.uncamp.br dens@dep.fem.uncamp.br Resumo O processo de ajuste de hstórco consste no aperfeçoamento de um modelo de smulação com base em dados observados durante a produção de um campo de petróleo. Trata-se da nclusão de dados dnâmcos no processo de caracterzação do reservatóro. O processo de ajuste pode ser feto de forma manual ou assstda por um programa através de algortmos de otmzação. Dversas metodologas de ajuste de hstórco assstdo têm sdo propostas. Elas podem ser classfcadas em dos grandes grupos: metodologa de otmzação global e metodologa de otmzação local. A prmera é baseada apenas no valor da função objetvo e a segunda requer o cálculo de gradentes da função objetvo em relação aos parâmetros de ajuste. O objetvo deste trabalho é avalar duas metodologas de ajuste de hstórco assstdo, uma baseada em cálculo de gradentes e a outra baseada em otmzação global. Um modelo sntétco de reservatóro heterogêneo, com característcas próxmas de um caso real, é utlzado para avalar as metodologas e os resultados permtem apontar algumas vantagens e desvantagens de cada metodologa. Palavras-Chave: Engenhara de reservatóros, ajuste de hstórco de produção, ajuste de hstórco assstdo, métodos de otmzação Abstract Hstory matchng process conssts of the mprovement of a smulaton model based on observed data durng the producton of a petroleum feld. It s mples n the addton of dynamc data n the reservor characterzaton process. The hstory matchng process can be manual or asssted by a program usng optmzaton algorthm. Several asssted hstory matchng methodology have been proposed. They can be classfed n two man categores: global optmzaton and local optmzaton. The former s based only on the objectve functon value and the latter requres the computaton of gradents of the objectve functon wth respect to the matchng parameters. The objectve of ths work s to evaluate two asssted hstory matchng methodologes, one based on gradents and other based on global optmzaton. A heterogeneous synthetc reservor model, wth characterstcs smlar to a real case, s used n order to evaluate the methodologes and the results allow pontng out some advantages and dsadvantages of each methodology. Keywords: Reservor engneerng, producton hstory matchng, asssted hstory matchng, optmzaton methods

2 3 o Congresso Braslero de P&D em Petróleo e Gás. Introdução O processo de ajuste de hstórco é um processo de otmzação que consste na calbração de um modelo de smulação com base nos dados de produção e pressão observados durante a produção do campo. Além dos dados de produção e pressão, outras nformações podem ser utlzadas no processo, como por exemplo, dados de sísmca (mapas de saturação, por exemplo e dados provenentes de testes de poços. O ajuste de hstórco é um processo nverso no qual as varáves (ou propredades do reservatóro de nteresse são perturbadas de forma que o modelo reproduza os dados observados. A manera convenconal de se realzar o processo é de forma manual, ou seja, todo o fluxo de trabalho envolvdo, tal como alteração das propredades no modelo de smulação, execução das smulações, avalação da qualdade de cada teração, etc, é toda feta manualmente. Por outro lado, o processo de ajuste assstdo é aquele onde as tarefas manuas são automatzadas. Exste na lteratura uma grande quantdade de métodos e algortmos de otmzação e metodologas para ajuste de hstórco assstdo. Porém, uma grande parte deles apresenta restrções e lmtações, sendo aplcada apenas a alguns casos específcos ou a uma famíla de casos específcos. De uma forma geral, os métodos de otmzação para ajuste de hstórco podem ser classfcados em duas grandes categoras: métodos baseados em gradentes e métodos de otmzação global. Nos métodos baseados em gradente realza-se o cálculo dos gradentes nternos pelo smulador de fluxo com respeto a cada parâmetro de ajuste, em cada passo de tempo da smulação. Pode-se dzer que nesses métodos, o algortmo de otmzação nterage com a smulação de fluxo nternamente. Já os métodos globas enxergam a smulação externamente, de forma que qualquer decsão é tomada com base em quantdades calculadas ao fm de cada smulação, ou seja, só depende do valor da função objetvo. Dentre os dversos métodos de otmzação global propostos na lteratura, pode-se ctar o algortmo genétco (Schulze- Regert, 00; Romero, 000, smulated annealng (Quenes, 993 e algortmo de busca dreta (Mascho e Schozer, 00. Os métodos baseados em gradentes também utlzam um algortmo de otmzação para encontrar um mínmo da função objetvo. Dentre os mas utlzados, pode-se ctar o algortmo de Levenberg-Marquardt (Arenas, 00, o método Gradzone (Brun, 00. Seja qual for o método ou o algortmo de otmzação, exstem vantagens e desvantagens. Os métodos baseados em cálculo de gradentes geralmente possuem a vantagem de apresentarem uma convergênca mas rápda. Mas, dependendo do caso, o método baseado em gradentes pode levar o algortmo a fcar preso em uma regão muto restrta do espaço de soluções, com ncrementos muto pequenos nos parâmetros de ajuste, levando a um acréscmo desnecessáro do número de terações.. Metodologas avaladas Neste trabalho foram avaladas duas metodologas dferentes de ajuste de hstórco assstdo, sendo que uma delas utlza o método de gradentes (que será denomnada de Metodologa e a outra utlza o método de otmzação global (que será denomnada de Metodologa.. Método gradente (Metodologa O método baseado em cálculo de gradente avalado neste trabalho faz parte de um programa comercal de ajuste de hstórco assstdo. A função objetvo (F RMS é defnda da segunte forma: F F RMS =, sendo T T F = r r + s C s s +. fpror m ( onde m é o número total de dados observados, α, β e γ são pesos globas atrbuídos a cada termo da função objetvo; r é o vetor de resíduos dos dados de produção observados (do tpo vazão, pressão, etc. A rgor, é a dferença entre o dado observado e o smulado; s é o vetor de resíduos de dados do tpo mapa de saturação de água/óleo, extraídos de um levantamento sísmco, por exemplo; Cs é a matrz de correlação entre os resíduos dos dados de sísmca observados; fpror é o termo da função objetvo que permte atrbur nformações a respeto das dstrbuções estatístcas dos parâmetros. Este termo reflete a medda da ncerteza dos parâmetros do reservatóro. Além do desvo-padrão, outras nformações provenentes de caracterzações geoestatístcas podem ser ncorporadas (nformações geoestatístcas não são geradas pelo programa. Exstem város parâmetros de controle cuja calbração é mportante e depende das característcas de cada caso. Os parâmetros de controle, que têm como objetvo evtar smulações desnecessáras, estão assocados bascamente à função objetvo e aos parâmetros de ajuste. Os prncpas são: ( Valor mínmo da função objetvo ao fnal do processo; ( Número máxmo de terações; (3 Valor mínmo do decremento da função objetvo: quando a redução da função objetvo for menor do que este valor mínmo em duas terações consecutvas, o processo é encerrado. Este parâmetro pode ser chamado também de tolerânca da função objetvo; ( Valor máxmo e mínmo permtdo na perturbação dos parâmetros de ajuste: a perturbação em um determnado parâmetro de ajuste é dmensonada automatcamente durante o processo e é proporconal ao gradente relatvo àquele parâmetro na teração anteror. Esses parâmetros podem ser confgurados para evtar varações muto bruscas ou muto pequenas nos parâmetros de ajuste. De uma forma geral, a confguração dos parâmetros de controle requer uma análse préva do problema, como por exemplo, valor ncal da função objetvo, valor fnal (ou valor mínmo da função objetvo acetável. Quanto ao valor fnal da função objetvo ele pode ou não ser atngdo, em função das característcas do problema e da escolha dos

3 3 o Congresso Braslero de P&D em Petróleo e Gás parâmetros de ajuste. O algortmo de otmzação trabalha em um espaço contínuo, cuja representação esquemátca está mostrada, de forma smplfcada, na (Fgura -a. O ncremento em cada parâmetro, reapresentado na fgura por dx e dy, depende do gradente em relação ao parâmetro.. Método de otmzação global (Metodologa O método de otmzação global avalado neste trabalho utlza um algortmo de busca dreta. Neste algortmo, o espaço de soluções é formado pela dscretzação dos parâmetros de ajuste, sendo que cada parâmetro corresponde a um exo desse espaço. Para cada parâmetro é atrbuído um valor mínmo e um valor máxmo e um número de ntervalos. Na Fgura -b é mostrada uma representação esquemátca do algortmo para dos parâmetros genércos, formando um espaço de soluções b-dmensonal. O algortmo funcona através de sucessvas buscas exploratóras e lneares. A prmera busca exploratóra se dá em torno de um ponto ncal (ponto 0, sendo que o ponto de menor função objetvo (ponto em azul determna a dreção da busca lnear que ocorre em seguda. O ponto de menor FO (ponto em azul da prmera busca lnear é o ponto em torno do qual uma nova busca exploratóra é realzada. O algortmo termna em uma busca exploratóra quando os valores da FO nos pontos explorados forem todos maores do que ponto em torno do qual ocorreu a busca exploratóra. No exemplo da Fgura -b o ponto de mínmo encontrado é o ponto em verde. A déa desta técnca, ou desse algortmo, é o fato de que apenas valores dscretos são atrbuídos aos parâmetros. Assm, ao nvés de se trabalhar com uma tolerânca em relação à função objetvo, trabalha-se dretamente com a varação dos parâmetros. Geralmente é mas ntutvo se saber qual a varação razoável para um determnado parâmetro, do que a resposta de uma perturbação no parâmetro sobre a função objetvo. Consderando, por exemplo, um mapa de permeabldade absoluta varando entre 000 e 7000 md, é razoável supor que uma varação de aproxmadamente 00 md sera sufcente para uma devda avalação da nfluênca do parâmetro. Parâmetro (y Incal dy dx Fnal Parâmetro Parâmetro (a (b Parâmetro Fgura - Representação esquemátca do algortmo de busca dreta A função objetvo (F é defnda da segunte forma: M N w (d d j obs sm F = j= = m ( sendo M o número de funções objetvo parcas, ou sére de dados (vazão de óleo, corte de água de város poços, por exemplo, wj é o peso aplcado a cada função objetvo parcal, d obs e d sm são os dados observados e smulados, respectvamente, N é o número de dados relatvo a cada função objetvo parcal e m é o número total de dados observados. Este cálculo é o mesmo obtdo pela equação (, consderando que sejam levados em conta apenas dados de produção. 3. Aplcação O caso estudado neste trabalho fo extraído do modelo do décmo projeto comparatvo da SPE (SPE 0. O modelo orgnal é composto por uma malha de..000 blocos (60 x 0 x 85. Maores detalhes do modelo podem ser encontrados em Chrste (00. Incalmente foram extraídas 0 camadas (camadas 7 a 80 do modelo orgnal. Esta porção do reservatóro orgnou o modelo de referênca utlzado, composto por 60 x 0 x 0 blocos (3000 blocos. O dados consderados como hstórco foram obtdos através da smulação deste modelo de referênca. O período de hstórco consderado fo de 0 anos. Foram utlzados 6 poços produtores e 3 njetores de água. O modelo ncal (modelo base a ser ajustado fo obtdo ncalmente pela extração de 0 camadas de outra regão do reservatóro orgnal (camadas a 0. Esta regão apresenta propredades petrofíscas (porosdade, permeabldade horzontal e vertcal dferentes da regão de onde foram extraídas as camadas para o modelo de referênca. O modelo orgnal é bastante heterogêneo e exstem duas regões dstntas com relação às formas e dstrbução de canas e regões de alta porosdade e permeabldade. O procedmento segunte fo a realzação de um

4 3 o Congresso Braslero de P&D em Petróleo e Gás processo de transferênca de escala para a redução do tamanho do modelo base. O modelo base de 60 x 0 x 0 blocos fo reduzdo em 3 vezes na dreção x, 5 vezes na dreção y e vezes na dreção z, ou seja, cada bloco do modelo grossero passou a representar um conjunto de 3 x 5 x blocos do modelo ncal (antes da transferênca de escala. Para a transferênca de escala da porosdade fo utlzada a méda artmétca e para as permeabldades horzontal e vertcal fo utlzado o método DP, proposto por Mascho e Schozer (003.. Procedmentos de avalação Procedmento (teste de mínmos locas: Para avalar as duas metodologas com relação á presença de mínmos locas na função objetvo, fo gerado um conjunto de soluções utlzando multplcadores de volume poroso (MULT PV varando entre 0. e.6 com ntervalos constantes e multplcadores de permeabldade horzontal (MULT PERMX varando entre 0.05 e 3.5 com ntervalos constantes, gerando um total de smulações. O ntuto deste procedmento fo avalar o comportamento das metodologas utlzadas com relação a mínmos locas. A função objetvo fo composta da segunte forma: (d d (d d obs sm WCUT + obs sm BHP F = p= = p= = 70 (3 sendo que 6 é o número de poços produtores, 60 é o número de dados (pontos observados, WCUT é o corte de água dos poços e BHP a pressão de fundo de cada poço. Uma vez gerados todos os pontos do conjunto de soluções descrto anterormente, fo feto um ajuste utlzando cada uma das metodologas. Para o ajuste, foram usados os mesmos extremos dos parâmetros usados para gerar o conjunto de soluções (MULT PV entre 0. e.6 e MULT PERMX entre 0.05 e 3.5 e em cada metodologa fo usado o mesmo ponto ncal. Os procedmentos e 3, descrtos abaxo, descrevem outro processos de ajuste ndependentes deste realzado para teste de mínmos locas. Procedmento : Foram realzados outros processos de ajuste utlzando a permeabldade horzontal das 5 camadas do modelo (5 parâmetros. Para os 5 parâmetros fo usado um extremo mínmo de 0.5 e um extremo máxmo de 3.0. Na Metodologa foram testados 3 valores para a tolerânca da função objetvo: 0.%,.0% e 3.0%; enquanto na Metodologa foram testados 3 níves de dscretzação dos parâmetros: 0, 0 e 30 ntervalos. Procedmento 3: O procedmento 3 teve como objetvo avalar as metodologas em relação ao número de parâmetros de ajuste. Foram adconadas as permeabldades vertcas das 5 camadas do modelo, com multplcadores varando entre 0.5 e 3.0, totalzando 0 parâmetros. Tanto no procedmento quanto no 3, fo feto o ajuste do corte de água dos 6 poços produtores, sendo que a função objetvo fo composta da segunte forma: 6 p= 60 = ( d obs d sm WCUT F = ( 360 Fo realzada uma análse de sensbldade (não apresentada e verfcou-se que, de uma forma geral, todos os parâmetros exercem nfluênca na função objetvo, justfcando a nclusão dos parâmetros no ajuste. Número de smulações: O número de smulações apresentados nos resultados são smulações equvalentes que representam o esforço computaconal referente a cada metodologa. Para a Metodologa, cada teração do processo de ajuste é uma smulação com cálculo de gradentes. O cálculo dos gradentes ncorpora um custo adconal em relação a uma smulação smples. Este custo depende do número de parâmetros e da natureza de cada caso. Geralmente, cada parâmetro aumenta em torno de 0 % o tempo de smulação. Multplcando-se o fator de acréscmo pelo número de terações, obtém-se o número de smulações equvalentes do processo de ajuste. Na Metodologa, as smulações são realzadas em sére em uma únca máquna. A Metodologa utlza smulações smples apenas. Porém, as smulações são realzadas em paralelo em uma rede de computadores. A dstrbução das smulações em uma rede promove uma aceleração do processo. Para obter o número de smulações equvalentes, multplca-se o fator de aceleração (speedup pelo número total de smulações de cada processo de ajuste. 5. Resultados Na Fgura -a mostra-se a superfíce da função objetvo obtda com a geração do conjunto de soluções. Observase que há duas regões de mínmo bem defndas. O mínmo global (F = 8.3 corresponde ao ponto: MULT PV = 0.5 e MULT PERMX = 3.5. O ponto encontrado usando-se Metodologa é MULT PV =. e MULT PERMX = 0.09 (ponto branco na fgura, cujo valor da função objetvo é Notar que o ponto não pertence exatamente a um determnado nó da malha, pos o método é contínuo. Já o ponto encontrado usando-se a Metodologa é o ponto marcado em amarelo, que corresponde ao mínmo global da função objetvo.

5 3 o Congresso Braslero de P&D em Petróleo e Gás (a (b Fgura - Superfíce da função objetvo (a e pontos encontrados usando-se as duas metodologas (b Na Fgura 3, está a evolução da função objetvo ao longo do número de smulações para a Metodologa, varando-se a tolerânca (a e varando-se o número de parâmetros (b. Pode-se observar que usando uma tolerânca de 0. %, o número de smulações chegou a 60, porém, nota-se que pratcamente não houve redução da função objetvo a partr da ª smulação, onde o processo chegou ao fm usando um tolerânca de 3%, mostrando que para este caso esta sera uma tolerânca adequada. A comparação entre o número de parâmetros de ajuste (5 e 0 parâmetros para a Metodologa (apresentada na Fgura 3-b mostra que para 0 parâmetros foram necessáras 7 smulações, enquanto que para 5 parâmetros, foram necessáras 60. Paralelamente, pode-se observar que a redução da função objetvo fo maor quando se usou 0 parâmetros, o que explca o fato de ter usado menos smulações, pos a tolerânca da função objetvo fo atngda mas rapdamente. Na Fgura -a mostra-se a evolução da função objetvo com o número de smulações para 3 dferentes dscretzações dos parâmetros (0, 0 e 30 ntervalos para a Metodologa. Pode-se notar que a melhor solução fo usando 0 parâmetros, pos foram necessáras 38 smulações, enquanto que usando 0 ntervalos foram necessáras mas de 50 e usando 30 ntervalos foram necessáras quase 70, e a redução da função objetvo fo pratcamente a mesma. Na Fgura -b mostra-se a evolução da função objetvo para 5 e 0 parâmetros de ajuste (ambas as stuações com 0 ntervalos. Função objetvo o (a IF = 3.0 % IF =.0 % IF = 0. % Função objetvo o (b 5 parâmetros 0 parâmetros Smulações Smulações Fgura 3 - Varação da função objetvo com 5 parâmetros (a e para 5 e 0 parâmetros de ajuste (b (a 0 ntervalos 0 ntervalos 30 ntervalos (b 5 parâmetros 0 parâmetros Função objetvo Função objetvo Smulações Smulações Fgura - Varação da função objetvo com 3 dferentes dscretzações (a e para 5 e 0 parâmetros de ajuste (b

6 3 o Congresso Braslero de P&D em Petróleo e Gás Na Fgura 5 estão os resultados do ajuste do corte de água para dos poços, para as duas metodologas. O resultado é para o ajuste com 0 parâmetros em ambas as metodologas. Corte de água PROD Hstórco Base Ajuste Metodologa Ajuste Metodologa Tempo (das Corte de água PROD5 Hstórco Base Ajuste Metodologa Ajuste Metodologa Fgura 5 - Exemplos de ajuste do corte de água de poços Tempo (das 6. Conclusões Este trabalho mostrou algumas vantagens e desvantagens das metodologas de ajuste de hstórco assstdo avaladas. Com relação á qualdade do ajuste, as duas metodologas apresentaram, de manera geral, desempenhos semelhantes. A Metodologa se mostrou mas efcente, sob o aspeto de esforço computaconal, em relação ao aumento do número de parâmetros de ajuste, quando comparado com a Metodologa. Porém, a Metodologa se mostrou mas robusta em stuação onde há mas de um mínmo local na função objetvo. A Metodologa requer um conhecmento prévo da tolerânca da função objetvo para funconar adequadamente. Já na Metodologa, o conhecmento da tolerânca deve ser em relação à varação dos parâmetros de ajuste. 7. Agradecmentos Os autores agradecem ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq/PROSET, Fnep/CTPETRO e Petrobras pelo suporte fnancero. 8. Referêncas ARENAS, E.; VAN KRUIJSDIJK, C. and OLDENZIEL, T. Sem-Automatc Hstory Matchng Usng the Plot Pont Method Includng Tme-Lapse Sesmc Data SPE 763 SPE Annual Techncal Conference and Exhbton, New Orleans, Lousana, 30 September 3 October, 00. BRUN, B.; GOSSELIN, O and BARKER, J. W. Use of Pror Informaton n Gradent-Based Hstory-Matchng SPE SPE Reservor Smulaton Symposum, Houston, Texas, - February 00. CHRISTIE, M. A. and BLUNT, M. J. Tenth SPE comparatve soluton project: a comparson of upscalng technques. SPE 769, SPE Reservor Engneerng and Evaluaton. (, , August, 00. MASCHIO, C. e SCHIOZER, D. J. Ajuste de Hstórco Assstdo Usando Métodos de Otmzação de Busca Dreta IBP060, Anas do Ro Ol & Gas Conference, Ro de Janero, -7 de Outubro, 00. MASCHIO, C. and SCHIOZER, D. J. A new upscalng technque based on Dykstra Parsons coeffcent: evaluaton wth streamlne reservor smulaton. Journal of Petroleum Scence and Engneerng, vol. 0, pg. 7-36, 003. QUENES, A; and SAAD, N. A New, Fast Parallel Smulated Annealng Algorthm for Reservor Characterzaton SPE Annual Techncal Conference and Exhbton, 3-6 October, Houston, Texas, 993. ROMERO, C. E.; CARTER, J. N.; ZIMMERMAN, R. W. and GRINGARTEN, A. C. Improved Reservor Characterzaton through Evolutonary Computaton SPE Annual Techncal Conference and Exhbton, Dallas, Texas, - October 000. SCHULZE-RIEGERT, R. W.; AXMANN, J. K.; HAASE, O.; RIAN, D. T. and Y. L. YOU, Optmzaton Methods for Hstory Matchng of Complex Reservors, SPE SPE Reservor Smulaton Symposum, Houston, Texas, - February 00.