ANÁLISE DA VARIÂNCIA DA REGRESSÃO

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1 ANÁLISE DA VARIÂNCIA DA REGRESSÃO PROCEDIMENTO GERAL DE REGRESSÃO Em um modelo de análse de varânca, como no DIA, o fator em estudo pode ser quanttatvo ou qualtatvo. FATOR QUANTITATIVO: é aquele cujos níves podem ser assocados com pontos em uma escala numérca, tas como Temperatura, Pressão, Tempo, Doses (adubo, medcamento, etc.). FATOR QUALITATIVO: é aquele cujos níves não podem ser colocados em ordem de magntude, tas como Varedade, Raça, Lnhagem, Materal. Não exste razão para ordenalos em qualquer ordem numérca partcular. Ambos os tpos de fatores são tratados dentcamente na análse de varânca dos dados de um ensao. O pesqusador está nteressado em determnar as dferenças, se alguma, entre os níves dos fatores. Se o fator é qualtatvo, como Varedade, não tem sentdo consderar a resposta para um nível ntermedáro do fator. Entretanto, com um fator quanttatvo, como Dose, o pesqusador está usualmente nteressado na ampltude de valores usados como níves desse fator. Partcularmente, na resposta de um nível ntermedáro do fator. Por exemplo, se o fator é Tempo, e os níves.0h,.0h e.0h são usados no ensao, o pesqusador pode está nteressado na resposta a.h. Então, o pesqusador está freqüentemente nteressado em desenvolver uma equação de nterpolação a partr dos dados. Exemplo: Um pesqusador está nteressado em determnar se varando o conteúdo de algodão em uma fbra sntétca, afeta a tensão de resstênca, e ele executou um ensao no DIA com cnco níves de algodão (porcentagens) e cnco repetções. Dados de Resstênca à Tensão (lb/pol ) Porcentagem Repetções De Algodão 4 Totas Médas ,8

2 , , , ,8 G76 µ ˆ, 04 Resstênca à tensão Ajuste quadrátco e cúbco y x x R 0.96 y x x x R Porcentagens de algodão Do exame desse gráfco, fca claro que a relação entre Resstênca à Tensão e porcentagem de algodão não é lnear. Como uma prmera tentatva pode-se ajustar uma equação quadrátca aos dados, dgamos ya o +a x+a x +e onde a 0, a, e a são parâmetros a serem estmados e e é o resíduo de regressão (tudo que não é explcado pela equação ajustada). O ajuste de mínmos quadrados forneceu a prmera equação. Esse ajuste parece não ser muto satsfatóro porque ele dramatcamente subestma a resposta em x0% de algodão e superestma a resposta em x% de algodão. Talvez, uma melhora possa ser obtda adconando um termo cúbco em x. O ajuste cúbco é mostrado no gráfco, na segunda equação (em azul). O modelo cúbco parece ser superor ao modelo quadrátco pos ele fornece um melhor ajuste em x e x0% de algodão.

3 Em geral, procura-se ajustar uma equação polnomal de menor ordem (modelos parcmonosos) que adequadamente descreva os dados. Neste exemplo, o modelo cúbco polnomal parece ajustar melhor que o quadrátco, e assm uma complexdade extra do modelo cúbco é justfcada. Seleconar a ordem do polnômo não é sempre fácl, entretanto, é relatvamente fácl superajustar, sto é, adconar alta ordem polnomal mas que não melhora o ajuste sgnfcatvamente, aumentando a complexdade do modelo e prejudcando a sua utldade como um predtor ou equação de nterpolação. POLINÔMIOS ORTOGONAIS Na stuação onde os níves dos fatores são gualmente espaçados, o ajuste de modelos polnomas pelo método de mínmos quadrados é grandemente smplfcado. O procedmento faz uso dos coefcentes para contrates ortogonas (v. Tabela X do apêndce de Montgomery(99) ou Gomes(000) ou Neter e Wasserman(974)). Em adção ao ajuste da equação polnomal de mínmos quadrados, obtém-se o efeto e Soma de quadrados: lnear, quadrátco, cúbco, quarta ordem etc. para o fator (Tratamento). Isto permte estmar a contrbução de cada termo para o polnômo a ser testado. É possível extrar o efeto polnomal até a ordem I- (gl do fator ou do tratamento) se exstem I níves do fator envolvdo no expermento. Exemplo: O processo é lustrado na tabela abaxo usando os dados de Algodão. Porcentagem de Algodão Totas de Coefcentes (c ) para contraste ortogonal(caso de níves) Tratamentos Lnear Quadrátco Cúbco Quarta ordem Efetos: I c T

4 I S.Q.: J I ct c (4) (0),6 ( ) (4) 4, ( 7) (0) 64,98 ( 09) (70),9 Para esses dados, o fator ndependente Porcentagem de Algodão, é gualmente espaçado nos cnco níves. As somas de quadrados para os efetos: Lnear, Quadrátco, Cúbco e Quarta Ordem do fator, formam uma partção ortogonal da Soma de Quadrados de Tratamentos e pode ser ncorporada na ANVA. Cada efeto tem um grau de lberdade (pos é um contraste) e pode ser testado comparando suas respectvas Soma de Quadrados ao Quadrado Médo do Resíduo. Análse da varânca para os dados de Algodão Fonte de Varação Soma de Graus de Quadrado F Quadrados Lberdade Médo Tratamentos 47,76 4 8,94 4,76* (Lnear) (,6),6 4,7 (Quadrátco) (4,) 4, 4,8** (Cúbco) (64,98) 64,98 8,06* (Quarta Ordem) (,9),9 4, Resíduo 6,0 0 8,06 Total 66, Do quadro da ANVA acma, pode-se ver que os efetos Quadrátco e Cúbco da % de Algodão são estatstcamente sgnfcantes quando comparados a F (;0; 0,0) 4,. Dessa forma, deve-se ajustar aos dados um polnômo do tercero grau, como y 0 a + a P (x) + a P (x) + a P (x) + ε onde P u (x) é a u-ésma ordem do polnômo ortogonal, o qual mplca que se exstem I I níves de x têm-se P u (x j)ps (x j) 0. Os cnco prmeros polnômos ortogonas são: P 0 (x) j 4

5 (x x) (x) λ d P x x P (x) λ d I x x x x I 7 P (x) λ d d 0 4 x x P4 (x) λ4 d x x d I (I + 4 )(I 60 9) onde d é a dstânca entre os níves de x, I é o número de níves e { λ } são constantes tas que os polnômos tenham valores nteros. Ver Tabela X no apêndce de Montgomery (99), onde é lstado os coefcentes dos polnômos ortogonas e os valores de λ, para I 0. Para os dados do exemplo, têm-se as estmatvas de mínmos quadrados dos parâmetros do modelo polnomal: yp (x) J[ P (x)] â 0,,...,I-, ou Assm, yp0 (x) J[ P0 (x)] y 76 () â 0 yp (x) J[ P (x)] 4 (0) â yp (x) J[ P (x)] (4) â yp (x) J[ P (x)] 7 (0) â 0,800,4,400,0400 a ˆ J c T c Caso se quera adconar ou retrar termos do modelo, não é necessáro recalcular os parâmetros que já estão no modelo devdo a propredade de ortogonaldade dos polnômos.

6 ortogonal fca: Desde que I níves de x e a dstânca entre eles é d, o modelo polnomal x ŷ,04 + 0,8() x,4() x,4(/6) x () 7 0 onde λ λ e λ / 6 é obtdo da Tabela X. Esta equação pode ser smplfcada para ŷ 6,6 9,0x + 0,484x 0,00786x a qual é exatamente a mesma equação encontrada anterormente usando métodos de regressão geral pelo Excel ou SAS, consderando as aproxmações computaconas. CHECANDO A ADEQUACIDADE DO MODELO DE REGRESSÃO Análse de resíduo Como no ajuste de qualquer modelo lnear, análse dos resíduos de um modelo de regressão é necessáro para determnar a adequacdade do ajuste de mínmos quadrados. É útl examnar um gráfco de probabldade normal um gráfco de resíduo versus valores ajustados, e um gráfco de resíduos versus cada varável regressora. Em adção, se exstem varáves não ncluídas no modelo que são de potencal nteresse, então os resíduos devem ser representados contra esses fatores omtdos. Qualquer estrutura na qual uma representação ndcara que o modelo podera ser melhorado pela adção daquele fator. Um gráfco de probabldade normal dos resíduos do exemplo do algodão ajustado para os efetos Lnear, Quadrátco Cúbco e de Quarta ordem é mostrado a segur. Esse gráfco não ndca qualquer séra volação da suposção de normaldade para o resíduo da análse. R 4 R E S 0 T E - N - 0 N_RRESTE 6

7 Os resíduos ê são representados versus os valores ajustados ŷ. Esse gráfco não revela qualquer problema, tal que concluímos que a análse da varânca da regressão com os efetos lnear, quadrátco, cúbco e de quarta ordem é um ajuste adequado. R R E S T E N PRESTEN TESTE PARA FALTA DE AJUSTE DO MODELO DE REGRESSÃO Modelos de regressão são frequentemente ajustados aos dados quando a relação verdadera é conhecda. Naturalmente, gostaríamos de saber se a ordem do modelo assumdo por tentatva está correto. O pergo de usar um modelo de regressão é quando ele é uma aproxmação pobre da verdadera relação funconal, como mostrado na fgura a segur. y x Obvamente, um modelo polnomal de grau dos ou maor deve ser usado para essa stuação hpotétca. O resultado é que um modelo muto pobre fo obtdo para ajustar os dados. Um teste para qualdade do ajuste de um modelo de regressão será aquele que testa a hpóteses: H o : O modelo adequadamente ajusta os dados; H : O modelo não ajusta os dados. O teste envolve a partção da Soma de Quadrados do Resíduo nos seguntes dos componentes: SQ RESÍDUO SQ PURO +SQ FALTA DE AJUSTE, 7

8 em que SQ PURO é a soma de quadrados atrbuída ao erro expermental puro, e SQ FALTA DE AJUSTE é a soma de quadrados atrbuída à falta do ajuste do modelo. Para calcular a SQ PURO é precso observações sobre y para no mínmo um nível de x. Suponha que temos n observações tas que: y, y,..., y J observações em x y, y,..., y J observações em x : y I, y I,..., y IJ observações em x I Vemos que exste I dstntos níves de x. A contrbução para a Soma de Quadrados do Erro Puro no nível x, por exemplo, é J ( y j y ) j A Soma de Quadrados Total para o Erro Puro será obtdo somando a Equação anteror sobre todos os níves de x. como: Exstem n e I (J SQ PURO J I ( yj y ) j ) n I graus de lberdade assocados com a Soma de Quadrados do Erro Puro, em que nj +J +...+J I. A Soma de Quadrados para Falta de Ajuste é smplesmente SQ FALTA DE AJUSTE SQ RESÍDUO - SQ PURO, com n p - n e I - p graus de lberdade, em que p é o número de parâmetros no modelo que está sendo ajustado. O teste estatístco para falta de ajuste é então, SQFALTA DE AJUSTE /(I p) QM F o SQ /(n I) QM ERRO PURO FALTA DE AJUSTE ERRO PURO E rejetamos a hpótese de adequacdade do modelo se F o >F,I-p,n-I. Este procedmento teste pode ser faclmente ntroduzdo dentro da análse de varânca conduzda para a regressão. Se a hpótese nula da adequacdade do modelo é rejetada, então o modelo deve ser abandonado e tentatvas devem ser fetas para encontrar um modelo mas aproprado. Se H o não é rejetada, então não exste razão aparente para 8

9 duvdar da adequacdade do modelo, e QM ERRO PURO e QM FALTA DE AJUSTE são combnados para estmar σ. EXEMPLO: no caso dos dados de Algodão, temos:!"#$%&''( #)#*+%'&(,(- "(( ) ('-...!"#$%&''( +#/$#)%&''((,(, #)#*+%(&-,-((-, "(( ) ('-...!"#$%&''( +#/$#)%&''((,(, 0+ 0%&-,, #)#*+%&''-(-(' "(( ) ('- data ALGODAO; nput PORCENT RESTEN; LINEARPORCENT; QUADRATPORCENT**; CUBICOPORCENT**; QUARTAPORCENT**4; cards;

10 ; proc glm dataalgodao; class PORCENT; model RESTENPORCENT/ss; ttle 'ANVA DO DIA'; proc glm dataalgodao; model RESTENLINEAR QUADRAT CUBICO QUARTA/ss; ttle 'ANVA DA REGRESSÂO POR POLINÔMIOS ORTOGONAIS'; proc reg dataalgodao; model RESTENLINEAR QUADRAT CUBICO; ttle 'AJUSTE DO MODELO POLINOMIAL CÚBICO'; run; proc gplot dataalgodao; plot RESTEN*PORCENT; symbol vdot rc cblue; run; 40)")"#$##)#/"#*+)"4 #/# 6 $0"!)$")"!!"#$.$0"!) +#/$#).$0"!)44( 0+ 0.$0"!)44' +#$)#.$0"!)44 #)#*+.$0"!) 7 - (( ( (( (, (, ( (, (, (- (- '- '( '(( '- '(' 0

11 ' ' ' ' ' 678.#/# 7 $0"!) $")"!.$0"!)' 9#!:#// #9 678.#/# $")"!.!"#$+#/$#)0+ 0+#$)# 6.$".$$")"!6.$")"! 9#!:#/#$"$";$!< $)!# #/# $")"!.!"#$+#/$#)0+ 0 9#*+)"//"! # #/# 6$")"!4$0"!) >?..77.? 678.#/# 7 #)#*+ $")"!.!"#$#)#*+ 9)")"#$##)#/"#*+)"!"#$9 678.#/# 7 #)#*+ $")"!.!"#$+#/$#)#)#*+ 9)")"#$##)#/"#*+)"!"#$@+#/$#)9 678.#/# 7 #)#*+ $")"!.!"#$+#/$#)0+ 0#)#*+ 9)")"#$##)#/"#*+)"!"#$@+#/$#)@0+ 09 O Coefcente de Determnação A quantdade R SQ REGRESSÃO SQ TOTAL É chamado de coefcente de determnação, e é frequentemente usado para julgar a adequacdade do modelo de regressão. Claramente 0<R. Frequentemente nos refermos

12 ao R como a proporção da varabldade nos dados explcada pelo modelo de regressão. Se a regressora x é uma varável aleatóra tal que x e y pode ser vsta como varáves aleatóras conjuntamente dstrbuídas, então R é exatamente a correlação smples entre y e x. Entretanto, se x não é uma varável aleatóra, como no caso de ensaos com níves quanttatvos para um fator, então o conceto de correlação entre y e x fca ndefndo. A estatístca R deve ser usada com cautela desde que é sempre possível fazer R gual a undade smplesmente adconando termos sufcentes ao modelo. Por exemplo, podemos obter um perfeto ajuste para n pontos de dados com um polnômo de grau (n- ). Também, R sempre aumentará se adconarmos uma varável ao modelo, porém sto não necessaramente sgnfca que o novo modelo é superor ao anteror. A menos que a Soma de quadrados do resíduo no novo modelo seja reduzda por uma quantdade gual ao Quadrado Médo do Resíduo, o novo modelo terá uma Soma de Quadrados do resíduo maor do que o modelo antgo por causa da perda de um grau de lberdade do resíduo. Assm, o novo modelo será realmente por do que o antgo. EXERCÍCIO: Consdere os dados de altura (cm) de plantas de alface (Lactuca satva L.) em relação aos níves de adubação orgânca (kg de esterco de bo/,6m, ) Slva e Ferera 98, adaptado de Ferera 99. Tratamentos 4 6 Totas de Tratamentos 0 8,07,69 6,6 7,68 8,4 8,07,0 0 8,7,96 6,8 7,6 7,60 0,84 4,0 0,80 8,00 9,80 9,8 8,6 0, 9,90 40,7,7 9,,0 0,60, 70, Pede-se: a) Fazer a análse da varânca da regressão por polnômos ortogonas. b) Obter a equação polnomal que melhor se ajuste aos dados. c) Faça o teste para falta de ajuste. d) Calcule o coefcente de determnação R, e nterprete-o.