Métodos Probabilísticos e Algébricos em Combinatória

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1 Métodos Probablístcos e Algébrcos em Combnatóra Domngos Dellamonca Jr. Orentador: Yoshharu Kohayakawa 1 de junho de 2004 Resumo Este é um projeto de ncação centífca cuja fnaldade é estudar métodos probablístcos e algébrcos na resolução de problemas combnatóros. O conteúdo será dstrbuído em seções, onde cada método será dscutdo com exemplos encontrados na bblografa e referêncas de estudo. Além de descrções e exemplos relaconados, alguns problemas seleconados serão resolvdos. Acredtamos que a resolução de tas problemas é essencal para a absorção do conteúdo estudado e servrá de exemplo aos letores. Para compreender o texto é necessáro algum conhecmento de probabldade, álgebra lnear e teora dos grafos. 1

2 Sumáro 1 Método Probablístco O Método Básco Teorema de Erdős-Ko-Rado Desbalanceando Luzes Lneardade da Esperança Partção de Grafo - Problema Resolvdo Médas Artmétcas - Problema Resolvdo Conjuntos Lvres de Somas Técncas de Álgebra Conhecmentos Necessáros de Álgebra Lnear Conjuntos Lvres de Somas - Problema Resolvdo Caso de Igualdade do Teorema de Erdős-Ko-Rado Algumas Defnções Lema sobre Grafos Vértce-Transtvos Demonstrando o Teorema Caso de Igualdade

3 Método Probabĺıstco 1 Método Probablístco 1.1 O Método Básco O Método Probablístco tem como fnaldade demonstrar que uma estrutura com certas propredades exste. Para sso, um espaço de probabldade adequado é defndo e deve-se demonstrar que as propredades desejadas aparecem em um elemento deste espaço com probabldade postva. Ao longo do texto este conceto fcará mas claro, especalmente a partr dos mutos exemplos que serão detalhados a segur. Um exemplo smples de aplcação do método é na obtenção de cotas para os Números de Ramsey. O número R(k, l) é o menor ntero n tal que em qualquer coloração das arestas do grafo completo com n vértces, K n, usando-se duas cores (vermelho e azul, por exemplo) sempre exste um grafo K k vermelho ou um K l azul. Ramsey (1930) mostrou que R(k, l) é fnto para quasquer k e l. Vamos usar o método para encontrar um lmtante nferor para R(k, k). Se ( n k) 2 1 ( k 2) < 1 então R(k, k) > n. Dem. Consdere uma coloração das arestas de K n com as cores vermelho e azul, onde cada aresta é colorda ndependentemente com gual probabldade para ambas as cores. Para qualquer conjunto R fxado com k vértces, seja A R o evento em que o sub-grafo nduzdo por R é monocromátco (todas as arestas tem a mesma cor). Cada aresta é pntada ndependentemente e há 2 opções de cores, portanto Pr[A R ] = 2 2 (k 2). Como há ( n k) possíves escolhas para R, a probabldade de pelo menos um dos eventos A R ocorrer é lmtada superormente por ( ) n 2 1 (k 2) < 1. k Então, com probabldade postva, nenhum evento A R ocorre. Isso sgnfca que exste uma 2-coloração das arestas de K n sem um K k monocromátco, ou seja, R(k, k) > n. 3

4 Método Probabĺıstco 1.1 O Método Básco Coroláro: R(k, k) > 2 k/2 para todo k 3. Quando k 3, se tomarmos n = 2 k/2, então ( ) n 2 1 (k 2) n(n 1) (n k + 1) = 2 1+(k k2 )/2 < 21+k/2 nk k k! k! 2 < 1, k2 /2 portanto R(k, k) > 2 k/2 para todo k Teorema de Erdős-Ko-Rado Este teorema é um clássco da Teora Extremal dos Conjuntos. A demonstração que daremos utlza o Método Probablístco, é bem concsa e serve de exemplo do poder do Método. Uma famíla de conjuntos F é dta ntersectante se A, B F mplca A B. Suponha n 2k e seja F uma famíla de k-conjuntos contdos em {0, 1,..., n 1}. O Teorema de Erdős-Ko-Rado nos dz que F ( n 1 k 1). Lema. Para 0 s n 1, defna A s = {s, s + 1,..., s + k 1}, onde a adção é módulo n. A famíla ntersectante F possu no máxmo k conjuntos da forma A s. Dem. Suponha que A F. Há exatamente 2k 2 conjuntos da forma A s que têm ntersecção não vaza com A. Podemos arranjar esses 2k 2 conjuntos em k 1 pares de conjuntos dsjuntos. Fca claro que F pode conter no máxmo um elemento de cada par, provando o lema. Sejam σ uma permutação de {0, 1,..., n 1} e {0, 1,..., n 1} escolhdos aleatoramente, unformemente e ndependentemente. Defna A = {σ(), σ( + 1),..., σ( + k 1)}, com adção módulo n. Pelo lema, temos que, para qualquer permutação σ tomada, há no máxmo k dentre os n conjuntos da forma {σ(s), σ(s+1),..., σ(s+k 1)} em F. Portanto, Pr[A F] k/n. Um pouco de reflexão mostra que sso é equvalente a escolher A aleatoramente entre todos os k-conjuntos de {0, 1,..., n 1}. Sendo assm, k n Pr[A F] = F ( n k), e então F k n ( ) n = k ( ) n 1. k 1 4

5 Método Probabĺıstco 1.1 O Método Básco Desbalanceando Luzes TODO: (Esta parte deve estar mas conectada, precso nserr as motvações para o que está sendo calculado, apresentar a análse assntótca a partr da dentdade combnatóra e chegar no resultado fnal do lvro.) Seja S n uma varável aleatóra correspondente a soma de n varáves aleatóras unformes em { 1, 1}. Vamos demonstrar que ( ) n 1 E[ S n ] = n2 1 n. (1) (n 1)/2 Por smetra, verfcamos que para cada soma dessas n varáves resultando num ntero exste uma soma resultando. Além dsso, só exstem somas nulas caso n seja par. Uma soma com exatamente elementos postvos (n/2 < n) tem soma postva (n ) = 2 n > 0. Como cada soma tem probabldade 2 n de ser escolhda e exstem ( n ) somas com exatamente elementos postvos, vemos que E[ S n ] = 2 n 2 ( ) n (2 n). (2) n/2< n Para verfcarmos a proposção, nos resta mostrar que ( ) k 1 k = (k 1)/2 k/2< k ( ) k (2 k). (3) Por nspeção, verfcamos que a dentdade acma está correta para k = 1, 2. Suponha que esta também seja verdadera para 2 k n. Defnmos J n = {j : n/2 < j n}. Vamos utlzar a dentdade ( ) ( n + n ) ( 1 = n+1 ) nesta demonstração. ( n p ) Esta dentdade vale mesmo quando o índce nferor é negatvo ou maor que n, assumndo que = 0 quando p < 0 ou p > n. 5

6 Método Probabĺıstco 1.1 O Método Básco Queremos provar a dentdade (3) para k = n + 1, ou seja, precsamos obter S = ( ) n + 1 (2 n 1). J n+1 Aplcando a dentdade acma, temos S = (( ) ( )) n n + (2 n 1), 1 J n+1 onde o somatóro pode ser quebrado em duas somas, S 2 = S 1 = J n+1 J n+1 ( ) n (2 n) J n+1 ( ) n, ( ) n (2( 1) n) + ( ) n. 1 1 J n+1 Vamos analsar o caso n par e o caso n ímpar separadamente: 1. Quando n = 2m, J n = {m + 1,..., 2m} e J n+1 = J n {2m + 1}. Como ( 2m+1) = 0, temos S 1 = ( ) n (2 n) ( ) n, e J n J n S 2 = J n ( n ) (2 n) + ( ) ( ) n n + n/2 J n pos quando = m + 1 o termo ( n 1) (2 n 2) se anula. Restaurando a soma, obtemos S = S 1 + S 2 = 2 ( ) ( ) n n (2 n) +. n/2 J n A hpótese de ndução nos garante que ( ) ( ) ( ) n n 1 2m 1 (2 n) = n = 2m. (n 1)/2 m 1 J n 6

7 Método Probabĺıstco 1.2 Lneardade da Esperança Com algumas manpulações algébrcas smples chegamos a ( ) ( ) 2m n S = (2m + 1) = (n + 1), m n/2 que é exatamente a dentdade desejada. 2. O caso n ímpar é análogo ao caso par. Dferenças suts aparecem na manpulação dos índces dos somatóros. A dentdade (3) segue por ndução para todo n 1 e assm obtemos a fórmula fechada (1) para E[ S n ]. 1.2 Lneardade da Esperança Em todo o texto, se X é uma varável aleatóra, Pr[X = ] é a probabldade de X assumr o valor. Para varáves contínuas sso não faz sentdo já que a probabldade uma varável contínua assumr um valor específco é sempre 0. Caso X seja uma varável aleatóra contínua, defnmos f(x) como a função de densdade de probabldade de X, de modo que Pr[a X b] = b a f(x)dx. Defnmos o conceto de Esperança de uma varável aleatóra X como E[X] = Pr[X = ], no caso dscreto e E[X] = = xf(x)dx, no caso contínuo. Uma propredade muto útl da Esperança é que se X 1, X 2,..., X n são varáves aleatóras, c 1,..., c n são constantes e a varável aleatóra X = c 1 X c n X n, então E[X] = c 1 E[X 1 ] +... c n E[X n ]. O grande poder desta propredade é que não é exgdo absolutamente nada sobre as varáves X 1,..., X n, elas podem ser dependentes, de dstrbuções completamente dferentes e o resultado contnua valendo. 7

8 Método Probabĺıstco 1.2 Lneardade da Esperança Vamos agora dar um exemplo do uso da Lneardade da Esperança: Seja G = (V, E) um grafo com n vértces e e arestas. Então G contém um sub-grafo bpartdo com pelo menos e/2 arestas. Dem. Seja T V um subconjunto aleatóro formado escolhendo-se ndependentemente elementos de V, com probabldade 1/2 de estarem em T. Defna B = V T, dzemos que uma aresta {x, y} cruza as partes B e T se exatamente um elemento de {x, y} está em T. Seja X o número de arestas que cruzam as partes. Podemos decompor X = X xy, {x,y} E onde X xy é a varável aleatóra ndcadora para o evento em que a aresta {x, y} cruza as partes. Mas então como os eventos são ndependentes, E[X xy ] = Pr[x B, y T ] + Pr[x T, y B], E[X xy ] = Pr[x B] Pr[y T ] + Pr[x T ] Pr[y B] = 1/2. Pela Lneardade da Esperança, E[X] = {x,y} E E[X xy] = e/2. Sendo assm, para alguma escolha de T, devemos ter X e/2. Para essa escolha de T, elmne as arestas que não cruzam as partes. Tome o grafo formado como um sub-grafo bpartdo de G com pelo menos e/2 arestas Partção de Grafo - Problema Resolvdo Este problema fo retrado de TODO: (fazer uma ref. bblográfca aqu). Problema: Seja G = (V, E) um grafo com n vértces de grau mínmo d > 10. Mostre que há uma partção de V em dos conjuntos dsjuntos A e B tal que A = O( n log(d) ), e todo vértce d de B tem ao menos um vznho em A e ao menos um vznho em B. Consdere como espaço de probabldade (unforme) todas as partções possíves com A = n log(d)/d. Defna p = A /n. Dado um elemento x V, defnmos d(x) como o grau de x. Se x é um vértce e todo vznho de x está em B, dzemos que x é do tpo 1. Se todo 8

9 Método Probabĺıstco 1.2 Lneardade da Esperança vznho de x está em A, dzemos que x é do tpo 2. Sendo assm, Pr[x é do tpo 1] = B B 1 B d(x) + 1 n n 1 n d(x) + 1 < ( ) d(x) B = n = (1 p) d(x) (1 p) d e pd e log(d) = 1/d, (4) Pr[x é do tpo 2] = A A 1 A d(x) + 1 n n 1 n d(x) + 1 < = p d(x) p d. ( ) d(x) A = n (5) Em (4), estamos usando a desgualdade 1 + x e x, que vale para todo x real. Nas passagens (1 p) d(x) (1 p) d e p d(x) p d, usamos que 0 < p < 1 p < 1 e d(x) d, pos d é o grau mínmo do grafo. Como p = A /n log(d)/d, temos pd log(d) e, portanto, pd log(d). Logo e pd e log(d). Defna X como uma varável aleatóra que ndca quantos vértces são do tpo 1 e, analogamente, defna Y como uma varável aleatóra que ndca quantos vértces são do tpo 2. A partr de (4) e (5), obtemos E[X] n/d e E[Y ] np d. Pela Lneardade da Esperança, temos E[X + Y ] n(1/d + p d ). Portanto, exste uma partção de V em partes A e B, com A = pn, de forma que há x elementos de tpo 1 e y elementos de tpo 2, com x + y n(1/d + p d ). (6) Mova todos os elementos de tpo 1 que estejam em B para A (no máxmo x elementos). Se u B é um elemento de tpo 2, temos duas stuações possíves: () todo vznho v B de u, que não é de tpo 2, possu um vznho em B que não é de tpo 2; 9

10 Método Probabĺıstco 1.2 Lneardade da Esperança () exste um vznho v B de u, que não é de tpo 2, cujos vznhos em B são todos de tpo 2. No prmero caso, se movermos u para A, estaremos reduzndo o conjunto dos elementos de tpo 2 (u e todos os seus vznhos de tpo 2 dexarão de sê-lo). Fazendo essa movmentação, nenhum elemento passa a ser do tpo 2 se já não era antes. Também não transformamos nenhum vértce em um elemento de tpo 1, pos todos os vznhos de u (os vértces que poderam ser afetados pela movmentação) têm vznhos em B. No segundo caso, se movermos o vznho v para A, u dexará de ser tpo 2 (todo vznho de v que seja de tpo 2 dexará de sê-lo). Também não transformamos vértces em elementos do tpo 1 ou tpo 2 neste caso. Podemos, através de sucessvas movmentações, elmnar todos elementos de tpo 2. Para que sso ocorra, teremos de mover no máxmo y elementos de B para A. Após tas movmentações, a partção não terá elementos de tpo 1 ou 2 e, portanto, todo vértce em B terá ao menos um vznho em A e ao menos um vznho em B. A partr da nequação (6), temos A pn + n(1/d + p d ). É smples ver que 1/d + p d < 2/d < p para d > 10 e, portanto, A 2pn, ou seja, A = O( n log(d) ), como queríamos. d Médas Artmétcas - Problema Resolvdo O problema a segur fo parte da prova da IMO (Internatonal Math Olympad) de Provaremos uma generalzação deste utlzando o método probablístco (esta prova é uma adaptação de uma proposta de solução no lvro TODO: ref.). Problema: Seja 1 r n e consdere todos os subconjuntos de {1, 2,..., n} com r elementos. Cada um desses subconjuntos tem um elemento mínmo. Seja F (n, r) a méda artmétca desses elementos mínmos; prove que F (n, r) = n + 1 r + 1. Seja k r, todo subconjunto de {1, 2,..., n} com r elementos tem um k ésmo menor, defna F (n, r, k) como a méda artmétca de tas elementos. Fca claro que F (n, r) = F (n, r, 1). 10

11 Método Probabĺıstco 1.3 Conjuntos Lvres de Somas Se defnrmos X como o k ésmo menor elemento de um r-conjunto de {1, 2,..., n} sorteado aleatoramente e unformemente, teremos E[X] = F (n, r, k). Vamos montar um expermento aleatóro que é smples de analsar e mostrar que este expermento é equvalente a seleconar um r-conjunto de {1, 2,..., n} unformemente. Consdere uma crcunferênca de comprmento n + 1 com n + 1 pontos gualmente espaçados marcados (não dferencados). Escolha aleatoramente r + 1 pontos destes marcados. Suponha que C 1,..., C r+1 sejam varáves aleatóras correspondentes aos tamanhos dos arcos formados pelos ntervalos entre dos pontos escolhdos consecutvos. Como E[C C r+1 ] = n + 1 e, por smetra, E[C 1 ] = E[C 2 ] = = E[C r+1 ], pela Lneardade da Esperança, temos E[C C r+1 ] = (r + 1)E[C 1 ], portanto E[C 1 ] = (n + 1)/(r + 1). Quebre a crcunferênca no (r + 1) ésmo ponto escolhdo e estque para formar uma lnha. Os pontos que estavam marcados na crcunferênca agora recebem uma numeração nesta lnha, ao (r + 1) ésmo ponto escolhdo assocamos 0 e, camnhando no sentdo horáro, por exemplo, numeramos sequencalmente os pontos marcados. Note para uma escolha dos r + 1 pontos na crcunferênca, temos uma escolha de r pontos em {1, 2,..., n}. Também verfcamos que, para qualquer escolha de r pontos em {1, 2,..., n}, podemos seleconar um ponto marcado arbtráro da crcunferênca e escolher os demas pontos a partr desse prmero no sentdo horáro (o prmero ponto seleconado realmente não faz dferença pos os pontos na crcunferênca não são numerados). Temos então um mapa um-para-um entre os eventos nos dos espaços de probabldade. Como ambos são unformes, a esperança do k ésmo menor elemento de um r-conjunto de {1, 2,..., n} escolhdo de forma unforme é equvalente a esperança do tamanho dos k segmentos consecutvos a partr do (r + 1) ésmo ponto escolhdo. Mas essa esperança é precsamente k(n + 1)/(r + 1), como queríamos. 1.3 Conjuntos Lvres de Somas Dzemos que um conjunto S é lvre de somas quando não exstem a, b, c S, tas que a + b = c. Vamos apresentar um teorema, provado por Erdős em

12 Técncas de Álgebra TEOREMA: Todo conjunto B = {b 1,..., b n } de nteros não nulos contém um subconjunto A, lvre de somas, de tamanho A > n/3. Dem.: Seja p = 3k + 2 um prmo satsfazendo p > 2 max 1 n b e defna C = {k + 1, k + 2,..., 2k + 1} Z p. Veja que C é lvre de somas em Z p e que C p 1 = k + 1 3k + 1 > 1 3. Escolha um elemento aleatóro x, de Z p, conforme uma dstrbução unforme. Defna d = xb mod p, 1 n. Note que como p é prmo e b 0 (mod p), ϕ (x) = xb é uma função bjetva e, portanto, Pr[d C] = C /(p 1) > 1/3. O número esperado de elementos b tas que d C é maor que n/3. Logo, exste um x Z p e A B de cardnaldade A > n/3 tal que xy mod p C para todo y A. Mas A é lvre de somas, pos se a 1, a 2, a 3 A são tas que a 1 + a 2 = a 3, então xa 1 + xa 2 xa 3 (mod p), o que contradz o fato de que C é lvre de somas. Vamos mostrar que tal teorema pode ser generalzado. É smples ver que se B é um conjunto de n números raconas, podemos multplcar todos os elementos do conjunto por um ntero k, que cancela todos os denomnadores, ou seja, kb = {kx x B} é um conjunto de n nteros. Pelo teorema acma, exste A kb, com A > n/3, lvre de somas. Mas então, (1/k)A B é lvre de somas e tem tamanho maor que n/3. Podemos r além e provar tal teorema para um conjunto de n números reas. Faremos sso em 2.2, onde serão abordadas técncas de álgebra lnear aplcadas a problemas combnatóros. 2 Técncas de Álgebra texto Conhecmentos Necessáros de Álgebra Lnear texto Conjuntos Lvres de Somas - Problema Resolvdo Este problema fo proposto no lvro Probablstc Method e é uma generalzação do teorema vsto em 1.3. Queremos mostrar que todo conjunto B = {b 1,..., b n } de reas não 12

13 Técncas de Álgebra 2.2 Conjuntos Lvres de Somas - Problema Resolvdo nulos contém um subconjunto A, lvre de somas, de tamanho A > n/3. Seja B = {b 1,..., b n } um conjunto de n números reas. Sejam x 1,..., x n, varáves. Para cada 1, j, k n com b + b j = b k, adcone a equação x + x j x k = 0 a um sstema de equações lneares. Se não exstem, j, k dessa forma, então B é lvre de somas e o enuncado é satsfeto. Caso o sstema tenha pelo menos uma equação, podemos defnr uma matrz T, correspondente ao sstema lnear homogêneo formado. Note que as entradas de T são elementos de {0, 1, 1}, que são raconas. Denotamos ker(t) = {x Tx = 0} (alguns autores defnem o núcleo de uma transformação lnear T como Null(T)). Como b = (b 1,..., b n ) é solução do sstema por defnção, b ker(t), ou seja, ker(t) e, portanto, deve haver uma base de ker(t) com vetores de coordenadas raconas (pos T tem coordenadas raconas). Seja u ker(t) Q n com o menor número de coordenadas repetdas, ou seja, #{(, j) u = u j } é mínmo. Vamos mostrar que u não tem coordenadas repetdas. Suponha que u = u j. Exste um vetor v ker(t) Q n com v v j. Caso contráro, todos os vetores da base de ker(t) teram as coordenadas e j guas, mas como b é uma combnação lnear dos vetores de tal base (com coefcentes reas), teríamos b = b j, o que é absurdo. Vamos mostrar que para algum λ Q, u + λv tem estrtamente menos coordenadas repetdas que u. Para sso, veja que u + λv u j + λv j. Além dsso, u k + λv k = u l + λv l somente se u k u l = λ(v k v l ). Então, ou u k u l = v k v l = 0, ou λ = u k u l v k v l. Como há um número fnto de pares (k, l), os valores que λ não pode assumr formam um conjunto fnto e, portanto, para nfntos valores de λ, u + λv possu menos coordenadas repetdas que u, o que contradz a defnção de u. Para conclur a demonstração, tome U = {u 1,..., u n }, que é um conjunto de n números raconas. Pelo teorema 1.3, exste U U, de cardnaldade U > n/3, lvre de somas. Mas se U = {u 1,..., u r }, o conjunto A = {b 1,..., b r } B deve ser lvre de somas. 13

14 Técncas de Álgebra 2.3 Caso de Igualdade do Teorema de Erdős-Ko-Rado 2.3 Caso de Igualdade do Teorema de Erdős-Ko-Rado Esta é uma adaptação de um paper de Peter J. Cameron 1 apresentando uma demonstração para um dos prncpas resultados da Teora Extremal de Conjuntos. O teorema de Erdős-Ko-Rado já fo demonstrado na seção usando o método probablístco. Agora daremos uma demonstração dferente e caracaterzaremos o caso de gualdade do teorema Algumas Defnções Um automorfsmo num grafo G = (V, E) é uma função f : V V, bjetora, que preserva arestas, ou seja, (u, v) E, (f(u), f(v)) E. Um grafo G é dto vértce-transtvo se, para quasquer vértces x e y de G, exsta um automorfsmo g com g(x) = y. Se X é um conjunto de vértces e g uma função defnda para todo elemento de X, convenconamos que X g = {g(x) : x X} Lema sobre Grafos Vértce-Transtvos Seja G = (X, E) um grafo vértce-transtvo. Seja Y X tal que todo clque em Y tem tamanho máxmo Y /m. Então, qualquer clque em G tem tamanho máxmo X /m. Um clque C atngndo tal lmte satsfaz C g Y = Y /m para todo automorfsmo g de G. Demonstração Seja N a ordem do grupo de automorfsmos de G. Dados x, y X, o número de automorfsmos satsfazendo g(x) = y é N/ X. Note que para todo z X exste um automorfsmo π, com π(y) = z. Sendo assm, se σ 1, σ 2,..., σ r são tas que σ (x) = y, = 1,..., r, então πσ (x) = z, = 1,..., r são r automorfsmos dstntos (teora dos Grupos) que levam x a z. Por smetra, vemos que o número de automorfsmos que levam x a qualquer elemento de X deve ser o mesmo, N/ X. Suponha que C seja um clque no grafo. Vamos agora contar os pares x, g onde x é um vértce em C e g um automorfsmo tal que g(x) Y. Há C escolhas para o vértce x e N/ X possíves automorfsmos g com g(x) = y para todo y Y. O número de pares é, portanto, C Y N/ X. 1 Obtdo na Web em pjc/comb/. 14

15 Técncas de Álgebra 2.3 Caso de Igualdade do Teorema de Erdős-Ko-Rado Podemos contar os mesmos pares por outra perspectva. Para cada um dos N automorfsmos g, há no máxmo Y /m escolhas para x X. Para esta afrmação, veja que C g é um clque e, como qualquer clque em Y tem tamanho máxmo Y /m, C g Y Y /m. Como g é uma bjeção, há no máxmo Y /m escolhas para x X. Sendo assm, C Y N/ X N Y /m. Smplfcando, temos C X /m, como no lema. Para o caso de um clque satsfazendo o lmte, devemos ter N Y /m pares x, g e, como vmos, sso só é possível se, para todo automorfsmo g, tvermos C g Y = Y /m Demonstrando o Teorema Seja n 2k. Uma famíla ntersectante de k-conjuntos de um n-conjunto tem cardnaldade máxma ( n 1 k 1). Demonstração Consdere o grafo G = (X, E) cujos vértces são todos os k-conjuntos de um n-conjunto e as arestas lgam conjuntos que tem ntersecção não vaza. O grafo G é vértce-transtvo pos qualquer permutação do n-conjunto serve de automorfsmo. Resta-nos mostrar que há uma famíla Y, de k-conjuntos, com Y = n, tal que qualquer subfamíla ntersectante de Y tem tamanho no máxmo k. Se este é o caso, teremos encontrado um subconjunto de vértces do grafo que não possu nenhum clque (uma famíla ntersectante é um clque) de tamanho maor que (k/n) Y. Pelo Lema, qualquer clque em G tera no máxmo (k/n) X = (k/n) ( ) ( n k = n 1 ) k 1 vértces. Para facltar a demonstração, tomaremos Z n como n-conjunto, mas o resultado valerá para qualquer n-conjunto. Consdere Y = {Y = {, + 1,..., + k 1} : Z n }. Vamos mostrar que em tal conjunto, não podemos escolher mas que k conjuntos ntersectantes. Fxe um conjunto escolhdo ncalmente, dgamos Y 0. Como n 2k, qualquer conjunto de Y que ntercepte Y 0 deve ter como ntersecção uma seqüênca de nteros módulo n. Sendo assm, todos os conjuntos que nterceptam Y 0 são {Y 1 k,..., Y 1, Y 1,..., Y k 1 }. Veja que os pares {(Y 1 k, Y 1 ), (Y 2 k, Y 2 ),..., (Y 1, Y k 1 )} são formados por conjuntos dsjuntos. Portanto, no máxmo podemos escolher um elemento de cada par para formar uma famíla ntersectante, ou seja, no máxmo k 1 desses conjuntos podem, junto 15

16 Técncas de Álgebra 2.3 Caso de Igualdade do Teorema de Erdős-Ko-Rado com Y 0, formar uma famíla ntersectante. Além dsso, caso n > 2k, é possível ver que a únca manera de consegur k conjuntos ntersectantes em Y é tomando conjuntos consecutvos, pos (Y k, Y +1 ) e (Y, Y +1 k ), = 1,..., k 2, também formam pares dsjuntos. Dessa forma, se escolhermos Y 1, não poderemos escolher Y 2 k, devemos tomar Y 2, analogamente, não podemos escolher Y 3 k e devemos tomar Y 3... A stuação é a mesma se escolhermos prmero Y 1 k Caso de Igualdade Para n = 2k, podemos partconar todos os k-conjuntos em pares dsjuntos. Tome um elemento de cada par e teremos uma famíla ntersectante de tamanho 1 2 ( ) 2k k = (2k)! (2k 1)! = 2(k!) 2 k!(k 1)! = ( ) 2k 1 = k 1 ( ) n 1. k 1 Para n > 2k, mostraremos que as úncas famílas ntersectantes atngndo o tamanho máxmo são do tpo F j = {S Z n : S = k, j S}. No caso anteror, exste um número muto grande de famílas ntersectantes possíves (com tamanho máxmo) e apenas n famílas do tpo F j, ou seja, a grande maora das famílas não é do tpo F j. Seja F uma famíla ntersectante de tamanho máxmo. observações: Vamos começar com duas 1. Suponha que exstam x e y tas que todo k-conjunto contendo x e não contendo y pertence a F. Então F consste de todos os k-conjuntos contendo x. Para ver sso, suponha que L F não contenha x, então exste um k-conjunto K, com L K = que contem x mas não y (pos Z n L = n k > k), mas é mpossível termos K, L F. 2. Há dos k-conjuntos, K, K, com K K = k 1, com K F e K / F. Suponha que sso não seja verdade e sejam {a } n =1 = Z n e K 1 = {a 1,..., a k } F. Devemos ter K 2 = {a 2,..., a k+1 } em F pos K 1 K 2 = k 1. Contnuando dessa mesma forma obteremos K k+1 = {a k+1,... a 2k } F, mas K 1 K k+1 =. Tome K, K como em (2) e, sem perda de generaldade, assuma que K = {0,..., k 1} e K = {1,..., k}. Por (1), podemos tomar K / F com 0 K e k / K, e também podemos assumr sem perda de generaldade que K = {l k,..., 0, 1,..., l 1}, com 1 l < k. 16

17 Técncas de Álgebra 2.3 Caso de Igualdade do Teorema de Erdős-Ko-Rado Pela caracterzação de gualdade do lema, devemos ter k conjuntos ntersectantes em Y e, como vmos acma, sso ocorre somente se tomarmos k conjuntos consecutvos. Mas Y 0 = K F, Y 1 = K / F, Y l k = K / F, ou seja, é mpossível tomar k conjuntos ntersectantes em Y. 17