Compacidade em espaços métricos

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1 Comacdade em esaços métrcos Gselle Moraes Resende Perera, Lucana Yoshe Tsuchya e Geraldo Márco de Azevedo Botelho 3 de abrl de Introdução Comacdade é um dos concetos centras da toologa Na reta, um conjunto é comacto se é fechado e lmtado Desde a Análse na Reta sabemos que conjuntos comactos gozam de roredades mortantes or exemlo, sequêncas em conjuntos comactos têm subsequêncas convergentes e coberturas abertas de comactos admtem subcoberturas fntas) e que funções contínuas defndas em comactos gozam de roredades esecas or exemlo, são lmtadas e assumem máxmo e mínmo) Neste trabalho analsaremos o conceto de comacdade no âmbto de esaços métrcos Faremos uma ntrodução aos esaços métrcos com ênfase aos esaços l, que nos serão útes mas adante A segur ntroduzmos os concetos báscos, como convergênca, conjuntos abertos e fechados Então assamos a analsar o conceto de comacdade Prmero mostramos, usando os esaços l, que a condção de ser fechado e lmtado não serve ara defnr comactos Defnmos comacdade então através da condção de toda sequênca ter subsequênca convergente e no fnal rovamos que também vale a roredade de toda cobertura aberta admtr subcobertura fnta 2 Esaços Métrcos Defnção 21 Um esaço métrco é um ar X, d) onde X é um conjunto e d é uma métrca em X ou função dstânca em X), de modo que d é uma função defnda em X X que ara todo x, y, z X satsfaz M 1 ) d é um valor real, fnto e não negatvo, Alunas do PET-FAMAT Orentador

2 M 2 ) dx, y) = 0 se e somente se x = y, M 3 ) dx, y) = dy, x), M 4 ) dx, y) dx, z) + dz, y) desgualdade trangular) Para x e y fxos chamamos o número não-negatvo dx, y) de dstânca de x até y As roredades de M 1 ) atém 4 ) são os axomas da métrca Ao nvés de X, d) odemos aenas escrever X se não houver ergo de confusão Exemlo 22 A reta real R com a métrca dx, y) = x y Exemlo 23 Esaço l : Seja 1 um número real fxo Por defnção, cada elemento do esaço l é uma sequênca x = x j ) = x 1, x 2, ) de números tal que x 1 + x 2 + converge, assm e a métrca defnda or x j < 1, fxo) 1) dx, y) = x j y j ) 1 2) onde y = y j ) e y j < Provaremos a segur que l é um esaço métrco Para sso verfcaremos que dx, y) = ) 1 x j y j satsfaz os quatro axomas da métrca Se a sére x j y j convergr, então claramente temos M1) satsfeto, os d será então um número real, não negatvo e fnto Provaremos, mas adante, que sso acontece ) 1 Devemos ter que x j y j = 0 se e somente se x j y j = 0; e sso ocorre se e somente se x j = y j Portanto temos o axoma M2) satsfeto

3 É obvo que M3) também é satsfeto, os dx, y) = x j y j ) 1 = y j x j ) 1 = dy, x) Seguremos os seguntes assos ara rovar que dx, y) também satsfaz M 4): a) Uma nequação auxlar, b) A desgualdade de Hölder, c) a desgualdade de Mnkowsk, d) a desgualdade trângular Os detalhes são como se segue: a) Dado > 1, defnmos q de forma que q = 1 3) Usualmente chamamos e q de conjugados De 3) odemos obter então as seguntes equações, 1 = + q, q = + q, 1)q 1) = 1 4) q Assm, 1 1 = q 1, e dsso segue que se u = t 1, fazendo u) 1 1 = t 1 ) 1 1, então u 1 1 = t u = t -1 u = t -1 u u 0 t 0 t

4 Agora, sejam α e β números reas ostvos Observando que αβ é a área do retângulo da fgura acma, obtemos or ntegração a segunte desgualdade αβ α 0 t 1 dt + β 0 u q 1 du = α + βq q 5) b) Sejam x ) e ỹ ) tas que x = 1, ỹ = 1 6) Colocando α = x e β = ỹ, temos de 5) a desgualdade x ỹ 1 x + 1 q ỹ q Fazendo o somatóro sobre e usando 6) e 3) obtemos x ỹ 1 x + 1 ) q ỹ q x ỹ 1 x + 1 ỹ q q x ỹ q = 1 7) Tomando agora x = x j ) l e y = y j ) l q e defnndo temos x j = j j x j = k k x j x k ) 1 x j ) 1 x k, ỹ j = = k x j j x k = k y j y m q ) 1 q 1 x k x j = 1 k j 8)

5 Analogamente obtemos ỹ j q = 1 Assm, temos 6) odemos alcar 8) em 7) ara obter j 1 j x j ỹ j = j x j x j = j k x j x k ) 1 m y j y m q ) 1 q, e então obtemos a desgualdade de Hölder ) 1 ) 1 q x k y m q k m j x j y j 9) onde > 1 e q = 1 c) Provaremos agora a desgualdade de Mnkowsk x j + y j ) 1 onde x = x j ) l, y = y j ) l e 1 x k ) 1 + m=1 y m ) 1, 10) O caso = 1 segue medatamente da desgualdade trangular ara números Façamos então o caso > 1 Escrevemos x j + y j = z j ara smlfcar Observe que z j = x j + y j z j 1 A desgualdade trangular nos dá então z j x j + y j ) z j 1 Fazendo o somatóro de j até n fxo obtemos n z j n n x j z j 1 + y j z j 1 11)

6 Alcando a desgualdade de Hölder ara a rmera arcela à dreta obtemos n n x j z j 1 j xj ) 1 n m=1 zm 1) q ) 1 q Daí, de q = 1, obtemos 1) = q e então temos, n n x j z j 1 x k ) 1 n m=1 Analogamente ara a segunda arcela da soma obtemos n n y j z j 1 y k ) 1 n m=1 z m ) 1 q z m ) 1 q Assm n n z j ) 1 n x k + ) 1 n y k m=1 z m ) 1 q Dvdndo tudo or m z m ) 1 q e lembrando que 1 = 1 1 q obtemos, n z j n ) 1 z m q m=1 n n n z j 1 1 q n n z j 1 ) 1 n x k + ) 1 n x k + ) 1 n x k + y k ) 1 y k ) 1 y k ) 1

7 Fazendo n à dreta da desgualdade, as duas séres convergem orque x, y l Assm a sére à esquerda também converge e com sso, 10) está rovado d) De 10) segue que ara x e y em l, a sére x j y j ) 1 converge os x j y j ) 1 = = x j + y j ) ) 1 ) 1 x j + ) 1 x j + y j ) 1 y j ) 1 e sabemos que as duas últmas séres convergem Com sso rovamos que M1) é satsfeto Observe que 10) se torna também a desgualdade trangular, basta fazermos e alcando 10) obtemos x j y j ) 1 x j y j ) 1 E assm rovamos M4) = n x j z j ) + z j y j ) ) 1 ) 1 n ) 1 x j z j ) + z j y j 21 Sequêncas Defnção 24 Uma sequênca x n ) no esaço métrco X = X, d) é dta convergente se exste um x X tal que lm n dx n, x) = 0 O elemento x é chamado de lmte de x n ) e escreve-se

8 lm x n = x, n ou smlesmente x n x Se x n ) não é convergente, então ela é dta dvergente Assm se x n x, ara qualquer ε > 0, exste um N = Nε) tal que os termos x n com índce n > N estão na ε-vznhança Bx; ε) de x, ou seja, dx, x n ) < ε ara todo n > N Defnção 25 Um subconjunto M X é lmtado se o seu dâmetro é fnto δm) = su dx, y) x,y M Defnção 26 Uma sequênca x n ) em X é lmtada se o conjunto de seus ontos é um conjunto lmtado de X, ou seja, se su dx n, x m ) é fnto n,m Teorema 27 Uma sequênca convergente é lmtada e seu lmte é únco Demonstração Suonha que x n x Então tomando ε = 1, odemos encontrar um N tal que dx n, x) < 1 ara todo n > N Assm ara todo n temos onde a = máx{dx 1, x),, dx N, x)} Pela desgualdade trangular obtemos dx n, x) < 1 + a, dx m, x n ) dx m, x) + dx, x n ) 1 + a a = 2 + 2a, ara qualquer m, n Isso nos mostra que x n ) é lmtada

9 Para mostrar a uncdade, assumremos que x n x e x n z e então de M4) obtemos 0 dx, z) dx, x n ) + dx n, z) ara todo n = 0 lm dx, z) lm dx, x n ) + dx n, z)) = n n 0 lm dx, z) lm dx, x n ) + lm dx n, z) = n n n 0 dx, z) = 0 dx, z) 0 Dsso segue que dx, z) = 0 e de M2) concluímos que x = z Defnção 28 Uma sequênca x n ) em um esaço métrco X = X, d) é uma sequênca de Cauchy se ara todo ε > 0 exste um N = Nε) tal que dx n, x m ) < ε, ara n, m > n 0 12) Defnção 29 Um esaço métrco X é dto ser comleto se toda sequênca de Cauchy em X converge ara um elemento de X Assm a reta R e o esaço eucldano R n são esaços métrcos comletos Para um esaço métrco qualquer, a condção 12) já não é sufcente ara a convergênca, mas o róxmo teorema nos dz que ela é necessára ara a convergênca Teorema 210 Toda sequênca convergente em um esaço métrco é uma sequênca de Cauchy Demonstração Se x n x, ara todo ε > 0 exste um N = N ε) talque dx n, x) < ε 2 n > N Assm da desgualdade trangular obtemos ara todo m, n > N Portanto x n ) é de Cauchy dx m, x n ) dx m, x) + dx, x n ) < ε 2 + ε 2 = ε ara todo Então, se uma sequênca em um esaço métrco é de Cauchy não temos a garanta de sua convergênca, mas com certeza se uma sequênca não é de Cauchy, ela não converjrá

10 211 Conjuntos abertos, fechados e vznhanças Defnção 211 Bolas e esfera) Consderemos o conjunto X com a métrca d Tome x 0 X e r > 0 a) Defnmos a bola aberta de centro x 0 e rao r como o conjunto Bx 0, r) = {x X : dx, x 0 ) < r} b) A bola fechada de centro x 0 e rao r é o conjunto B[x 0, r] = {x X : dx, x 0 ) r} c) A esfera de centro x 0 e rao r é o conjunto Sx 0, r) = {x X : dx, x 0 ) = r} Note que Sx 0, r) = B[x 0, r] Bx 0, r) Defnção 212 Um onto x é um onto nteror de um conjunto X se exste r > 0 tal que Bx, r) X Defnção 213 Um subconjunto X de um esaço métrco M é dto ser aberto se todos os seus ontos são ontos nterores Defnção 214 Um subconjunto X de um esaço métrco M é dto ser fechado se X c = M X é aberto Defnção 215 Seja M esaço métrco e x 0 M Uma vznhança de x 0 é um conjunto V tal que exste um ε > 0 tal que Bx 0, ε) V Proosção 216 Seja M, d) esaço métrco e chame τ = {A M : A é aberto} Então 1-, M τ 2- Se A x ) x λ é tal que A x τ ara todo x λ, tem-se x λ A x τ 3- Se A 1,, A n τ então A 1 A n τ Demonstração 1) é aberto os se ele não fosse aberto, ele tera um onto que não é nteror, mas como ele não ossu onto algum segue que ele é aberto Temos que M é aberto, os dado x M, tome ε > 0 qualquer e daí temos Bx, ε) = {y M : dy, x) < ε} M

11 2) Seja a x λ A x Então exste x 0 tal que a A x0 Como A x0 é aberto, exste ε > 0 tal que Ba, ε) A x0 Segue então que Ba, ε) x λ A x Segue que a é onto nteror, e ortanto x λ A x é aberto que 3) Se n A =, então elo tem 1) temos que =1 n A Tome a =1 n A é aberto Podemos então suor =1 n A Então a A ara todo = 1,, n Como A é aberto, =1 exste r > 0 tal que Ba, r ) A ara todo = 1,, n Tome r = mn{r 1, r 2,, r n } > 0 n Mostremos que Ba, r) A : =1 Temos que r r, ara todo = 1,, n, ortanto Ba, r) Ba, r ) A ara todo n n = 1,, n Daí Ba, r) A Logo a é onto nteror, e ortanto A é aberto =1 Defnção 217 Dzemos que x 0 X é onto de acumulação de M X se ara qualquer ε > 0, Bx 0, ε)\{x 0 }) M é um conjunto nfnto, sto é, toda bola de centro x 0 deve conter nfntos ontos de M dstntos de x 0 Se x 0 X e x 0 não é um onto de acumulação de X, então x 0 é um onto solado de X Defnção 218 Seja X esaço métrco e M X Um onto x 0 M é dto onto aderente ao conjunto M se ara qualquer ε > 0 vale Bx 0, ε) M O conjunto formado elos ontos de M e elos ontos de acumulação de M chama-se fecho de M, e é denotado or M =1 3 Comacdade De acordo com o que acontece em R e em R n, o natural sera defnr conjunto comacto em um esaço métrco como sendo um conjunto fechado e lmtado Para essa defnção ser adequada, devera ser verdade que os conjuntos fechados e lmtados em esaços métrcos gozassem das roredades que os fechados e lmtados de R e R n gozam Por exemlo, sequêncas em conjuntos fechados e lmtados deveram ter subsequêncas convergentes dentro do conjunto Vejamos que sso não é verdade em geral:

12 Exemlo 31 Para 1, consdere o esaço métrco { } l = x n ) n=1 : x n < n=1 com a norma x n ) = n=1 x n ) 1 Consdere os seguntes vetores de l : e 1 = 1, 0, 0, ), e 2 = 0, 1, 0, ), e 3 = 0, 0, 1, 0, ), e n = 0, 0, 0,, 0, 1, 0, 0, ) onde a n-ésma coordenada é gual a 1 e todas as outras são guas a 0, Construmos então uma sequênca e n ) n=1 nteramente contda em l É claro que e n = 1 ara todo n, ortanto a sequênca e n ) n=1 está contda no conjunto fechado e lmtado B[0, 1] Para todos n, m N, n m, é verdade que e n e m = 0, 0, 0,, 0, 1, 0, 0,, 0, 1, 0, ) = 1 + 1) ) 1 = 2 1 Então ara 0 < ε < 2 1 não teremos nunca en e m < ε É claro que o mesmo racocíno funcona ara qualquer subsequênca e nj ) de e n ), ortanto toda subsequênca de e n ) não é de Cauchy Segue então que qualquer subsequênca de e n ) não é convergente Portanto o conjunto fechado e lmtado B[0, 1] contém um sequênca e n ) que não tem subsequênca convergente Está claro então que fechado e lmtado não é uma boa defnção de comacto em esaços métrcos Defnmos comacdade então através da roredade que queremos que seja válda: Defnção 32 Um conjunto X M é dto ser comacto em M quando toda sequênca em X ossur subsequênca que converge ara um onto de X O Exemlo acma mostra que nem todo fechado e lmtado é comacto Vejamos que a recíroca é verdadera:

13 Lema 33 Todo conjunto comacto em um esaço métrco é fechado e lmtado Demonstração Seja X M um comacto em um esaço métrco Mostremos que X = X Como vale semre que X X, basta mostrar que X X Seja x X Temos então que exste x n ) X tal que x n x Como X é comacto, exste uma subsequênca x nj ) tal que x nj y X Como x n x, então x nj x Pela uncdade do lmte temos que x = y Logo x X Mostremos que X é lmtado Suonha que X não é lmtado Daí exstra uma sequênca y n ) tal que dy n, b) > n ara todo n, onde b M é um elemento fxado Essa sequênca não ossu subsequênca convergente vsto que toda subsequênca convergente deve ser lmtada Mas sso contradz o fato de X se comacto Logo X é lmtado Defnção 34 Sejam M um esaço métrco e X M Uma coleção de subconjuntos de M se chama uma cobertura de X se X está contdo na unão dos conjuntos da coleção Se cada conjunto de uma cobertura de X é aberto, então a cobertura é chamada de cobertura aberta de X Se a unão dos conjuntos sm uma subcoleção da cobertura anda contém X, essa subcoleção é chamada de subcobertura de X Teorema 35 Sejam M um esaço métrco e E M Então E é comacto se e somente se toda cobertura aberta de E admte subcobertura fnta Demonstração Seja {U α } uma cobertura aberta arbtrára de E Mostremos que {U α } contém uma subcobertura fnta Prmeramente suonhamos que ara cada ntero ostvo n odemos encontrar um y n E tal que By n, 1 n ) = {x E : dy n, x) < 1 n } não esteja contda em nenhum U α E Como E é comacto, y n ) tem uma subsequênca convergente z n ) tal que z n z Note que z U α0 ara algum U α0 Escolhendo ε > 0 tal que B z, ε) U α0 e n sufcentemente grande de modo que dz n, z) < ε 2 ara n > N e 1 N < ε 2, teremos então B z, 1 N ) Uα0, o que é uma contradção Assm, exste r > 0 tal que ara todo y E, By, r) U α ara algum α Segundo, suonha que exste ε > 0 tal que E não ode ser coberto or um número fnto de bolas de rao ε Construremos uma sequênca y n ) ndutvamente da segunte forma; seja y 1 um elemento qualquer de E, escolheremos y 2 E By 1, ε), y 3 E By 1, ε) By 2, ε)) e assm or dante

14 Então dy n, y m ) > ε ara todos n e m Assm y n ) não não tem subsequênca convergente, mas sso contradz o fato de E ser comacto Então ara cada ε > 0, nós odemos cobrr E com um número fnto de bolas de rao ε Fnalmente, seja r > 0 como acma Sabemos que odemos cobrr E com um número fnto de bolas de rao r Sejam x 1,, x n seus centros, então cada Bx k, r) está contda em U αk ara algum U αk A coleção U α1,, U αn é então a subcobertura fnta de {U α } rocurada Recrocamente, suonha que toda cobertura aberta de E admta subcobertura fnta Suonha agora que exsta uma sequênca x n ) em E que não admta subsequênca convergente Então o conjunto {x 1, x n, } é nfnto, os caso contráro x n ) admtra uma subsequênca constante, ortanto convergente Logo exstem nfntos x ns dstntos, os quas chamaremos de {y n } n=1 Para cada k, tome U k um conjunto aberto contendo y k mas não contendo nenhum outro y n Vsto que o conjunto {y n } n=1, não tem onto de acumulação, ele é fechado De fato, um conjunto dexara de ser fechado se ossusse um onto de acumulação que não ertencente a ele mesmo; como {y n } n=1 não ossu onto de acumulação, não ode dexar de ser fechado Assm concluímos que M {y n } n=1 é aberto Então {U k } k M {y n } n=1) forma uma cobertura aberta de E Segue então da hótese que essa cobertura aberta ossu uma subcobertura fnta, dgamos U 1,, U N, M {y n } n=1 Então U 1,, U N é uma cobertura fnta do conjunto {y n } n=1 Mas sso contradz a construção dos conjuntos U k s Logo toda sequênca em E admte subsequênca convergente, e ortanto E é comacto Conclusão Aós nos convencermos de que a condção de ser fechado e lmtado não é adequada ara a defnção de comacdade em esaços métrcos, defnmos conjuntos comactos como aqueles em que toda sequênca tem subsequênca convergente O teorema acma comrova que essa é a defnção adequada, os é equvalente à roredade que se deseja de conjuntos comactos, a saber, a condção de que coberturas abertas admtam subcoberturas fntas Referênca Bblográfcas [1] KREYSZIG, E, Introductory Functonal Analyss Wth Alcatons, John Wley e Sons, 1987,

15 [2] LIMA, E L, Esaços Métrcos, 3 rd ed, IMPA, Ro de Janero, 1993, [3] SAXE, K, Begnnng Functonal Analyss, Srnger, 2002