Corpos livres em anéis com divisão. Érica Zancanella. Tese apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para

Transcrição

1 Corpos lvres em anés com dvsão Érca Zancanella Tese apresentada ao Insttuto de Matemátca e Estatístca da Unversdade de São Paulo para obtenção do título de Doutor em Cêncas Área de Concentração: Matemátca Orentador: Prof. Dr. Vtor de Olvera Ferrera Durante o desenvolvmento deste trabalho a autora recebeu auxílo fnancero da CAPES e do CNPq São Paulo, outubro de 2007

2 Corpos lvres em anés com dvsão Este exemplar corresponde à redação fnal da tese devdamente corrgda e defendda por Érca Zancanella e aprovada pela Comssão Julgadora. Banca Examnadora: Prof. Dr. Vtor de Olvera Ferrera (orentador) - IME-USP. Prof. Dr. Jaro Zacaras Gonçalves - IME-USP. Prof. Dr. Plamen Emlov Kochloukov - UNICAMP. Prof. Dr. Mguel Angel Alberto Ferrero - UFRGS. Prof. Dr. Eduardo Tengan.

3 Agradecmentos Agradeço prmeramente a Deus pos, sem Ele... A Vrgem Mara e a todos os demas santos aos quas eu recorr durante o doutorado (e não foram poucos)! Ao Vtor, meu pacente e atencoso orentador, que me apoou e ncentvou quando eu mas precse, e pelas broncas que ele não me deu. À banca examnadora pelas sugestões e correções. Ao Eduardo Tengan e aos professores Jaro, Arnaldo e Makar-Lmanov pela dsponbldade, pelas déas e sugestões. Ao Marcelo que, como dz o Vtor, é o nosso consultor para assuntos topológcos. Ao Lchtman pela atenção, colaboração e pelas déas que ajudaram a compor o Capítulo 6 deste trabalho. A mnha famíla pelo ncentvo, apoo, segurança e dedcação, sempre. Ao meu mardo, Marcos, que fo promovdo a mardo durante o doutorado, por todo o seu amor e compreensão, pelo apoo e pelas broncas, desde a graduação. Aos amgos do IME pelo companhersmo, pelos almoços e por agüentarem as mnhas reclamações.

4

5 Resumo Sejam D um anel com dvsão, K um subanel com dvsão de D e X um conjunto. O D-anel lvre sobre K em X, D K X = D K X, possu um corpo unversal de frações denomnado corpo K lvre e denotado por D K <(X)>. Neste trabalho fazemos uma nvestgação acerca de condções que, quando satsfetas por um anel com dvsão, sejam sufcentes para garantr a exstênca de um subanel somorfo a algum corpo lvre não-comutatvo, e também descrevemos famílas de anés com dvsão que satsfazem as condções encontradas. Os anés com dvsão que provamos conter um corpo lvre são, em sua maora, completamentos de corpos de frações de domínos noetheranos com topologa defnda por uma valorzação. Palavras-chave: anel, anel com dvsão, corpo lvre, valorzação.

6 v

7 Abstract Let D be a dvson rng, K a subfeld of D and X a set. The D-free rng over K on X, D K X = D K X, has an unversal feld of fractons called a free feld and denoted by D K <(X)>. K In ths work we look nto condtons whch, when satsfed by a dvson rng, are suffcent to guarantee the exstence of a subrng somorphc to some non-commutatve free feld, and we also descrbe famles of dvson rngs whch satsfy the condtons that were found. The majorty of the dvson rngs that we proved to contan a free feld are completons of felds of fractons of Noetheran domans wth topology defned by a valuaton. Keywords: rng, dvson rng, free feld, valuaton. v

8 v

9 Sumáro Lsta de Símbolos x Introdução 1 1 Noções Prelmnares Corpos lvres Anés clásscos de frações e domínos de Ore Valorzações e completamentos de anés com dvsão Grupos nlpotentes, fntamente gerados, lvres de torção Anés de grupo e séres de Malcev-Neumann Extensões de Ore e séres de Laurent skew Álgebras de Le e envolventes Corpos lvres em anés com dvsão valorzados O Teorema de Chba Anés com dvsão arbtráros Corpos lvres e especalzações Séres de Malcev-Neumann Uma valorzação de K((G)) v

10 v SUMÁRIO 3.2 Corpos lvres em K((G)) Corpos lvres em K((G, σ)) Séres de Laurent Séres de Laurent skew O completamento do corpo de Weyl O completamento do corpo das matrzes quântcas Uma classe de anés com valorzação t-ádca O completamento de um anel com dvsão gerado por um anel com valorzação t-ádca O completamento do corpo de Le Alguns anés com dvsão que não contêm corpos lvres Um resultado geral O corpo de Weyl O corpo de frações de KG Consderações Fnas 77 Referêncas Bblográfcas 79 Índce Remssvo 82

11 Lsta de Símbolos Vamos fxar algumas notações que serão bastante utlzadas no decorrer da tese. Sejam R um anel, S R um subconjunto, M um R-módulo, K D anés com dvsão, X um conjunto e m, n nteros postvos. N O conjunto dos números naturas (nclundo o 0). Z O anel dos números nteros. Q O corpo dos números raconas. R O corpo dos números reas. Usado para nclusão. Usado para nclusão estrta. R O conjunto dos elementos não-nulos do anel R. Z(R) O centro do anel R. Cen R (S) O centralzador de S em R. S O deal de R gerado por S. J(R) O radcal de Jacobson de R. Aut(R) O grupo dos automorfsmos do anel R. Id M, 1 M O homomorfsmo dentdade do R-módulo M. M m n (R), m R n O anel das matrzes m n sobre R. I n A matrz dentdade de tamanho n n. M(R) O anel de matrzes sobre R de tamanho adequado ao contexto. I, 1 A matrz dentdade de tamanho adequando ao contexto. D K X O D-anel lvre sobre X, centralzando K. D K <(X)> O corpo lvre. car(d) A característca do anel com dvsão D. x

12 x LISTA DE SÍMBOLOS

13 Introdução O nteresse na compreensão da estrutura de anés com dvsão tem já uma razoavelmente longa hstóra, mas apenas recentemente resultados mas profundos têm surgdo na lteratura. Uma das prncpas conjecturas na área data do fnal dos anos 70 e fo proposta por Lchtman em [21]: Seja D um anel com dvsão não-comutatvo. Então o grupo multplcatvo de D contém um grupo lvre não-cíclco. Essa conjectura fo verfcada em algumas classes de anés com dvsão; em especal, Gonçalves [11, 12] mostrou ser a conjectura verdadera para anés com dvsão de dmensão fnta sobre seus centros. Mas recentemente, Chba [2] demonstrou que a conjectura é válda para anés com dvsão de centro não-enumerável. Outros trabalhos dretamente relaconados com esse problema são [10, 13, 22 24, 32, 39]. Um problema análogo fo proposto por Makar-Lmanov em [31]: Seja D um anel com dvsão de dmensão nfnta e fntamente gerado sobre seu centro k. Então D contém uma subálgebra lvre de posto 2 sobre k. Álgebras lvres foram construídas em alguns anés com dvsão conhecdos ([26, 29, 30, 33]), mas nenhum método geral fo anda encontrado. Nos anos 90, nsprado por trabalhos de Gonçalves e Shrvan [42, 43], Makar-Lmanov propôs uma conjectura que engloba as duas acma: Seja D um anel com dvsão de dmensão nfnta e fntamente gerado sobre seu centro k. Então D contém, como subálgebra, a álgebra de grupo do grupo lvre de posto 2 sobre k. Sejam D um anel com dvsão, K um subanel com dvsão de D e X um conjunto. O D-anel lvre sobre K em X, D K X, possu um corpo unversal de frações denomnado corpo lvre e denotado por D K <(X)>. Recentemente, Chba [3] fo capaz de exbr anés com dvsão contendo corpos lvres. Se um anel com dvsão contém um corpo lvre então ele contém a álgebra de grupo de um grupo lvre ([20]) e, portanto, contém uma álgebra lvre e um grupo lvre. O trabalho de Chba [3] pode ser consderado, assm, como uma contrbução no sentdo de lumnar a nvestgação acerca da exstênca 1

14 2 INTRODUÇÃO de objetos lvres em anés com dvsão. Por outro lado, Lchtman mostrou que o corpo unversal de frações da prmera álgebra de Weyl, apesar de conter uma subálgebra lvre, não contém um corpo lvre. Neste trabalho, procuramos encontrar condções sufcentes para garantr a exstênca de um subanel somorfo a um corpo lvre em um anel com dvsão não-comutatvo de dmensão nfnta e também descrever famílas de anés com dvsão que satsfaçam tas condções, preferencalmente, buscando nclur os exemplos já encontrados por Chba. Os anés com dvsão que provamos conter um corpo lvre são, em sua maora, completamentos de corpos de frações de domínos noetheranos com topologa defnda por uma valorzação. No Capítulo 1 ntroduzremos detalhadamente as defnções de corpo lvre e corpo unversal de frações, e apresentaremos váras propredades relaconadas a esses concetos. Também nesse capítulo serão apresentados város outros concetos e resultados que serão bastante utlzados no decorrer da tese. Embora alguns desses resultados possam ser bastante conhecdos pelo letor, eles serão ntroduzdos com o ntuto de tornar o trabalho o mas completo possível. No Capítulo 2 provaremos o Teorema 2.2.4, o qual é uma espéce de generalzação do Coroláro 1 de [3] para corpos arbtráros, uma vez que tal resultado fo provado em [3] para corpos enumeráves. Também neste capítulo provaremos um teorema que permte puxar corpos lvres por meo de uma especalzação cujo contradomíno contenha um corpo lvre. No Capítulo 3 aplcaremos o Teorema para provar a exstênca de corpos lvres em um anel com dvsão de séres de Malcev-Neumann de um grupo nlpotente, fntamente gerado, lvre de torção, não-abelano. No Capítulo 4 aplcaremos o Teorema para encontrar condções sufcentes para garantr a exstênca de corpos lvres em famílas de corpos de séres de Laurent skew. Dentre esses corpos de séres de Laurent estão o completamento do corpo de frações da prmera álgebra de Weyl em característca zero e o completamento do corpo das matrzes quântcas 2 2 (com topologa defnda por uma valorzação). No Capítulo 5 provaremos uma condção sufcente para garantr a exstênca de um corpo lvre em um anel com dvsão construído por Lchtman em [25]. Também nesse capítulo provaremos a exstênca de um corpo lvre no completamento de um corpo de frações da envolvente unversal de uma álgebra de Le em característca zero.

15 INTRODUÇÃO 3 Fnalmente, no Capítulo 6, apresentaremos dos exemplos de anés com dvsão que não contêm corpos lvres sobre um determnado corpo, embora contenham uma álgebra lvre sobre esse mesmo corpo. Tas exemplos nos foram apresentados por Lchtman e aqu serão detalhados. No decorrer da tese todos os anés serão assocatvos, não necessaramente comutatvos (salvo menção contrára) e com undade preservada por homomorfsmos, herdada por subanés e que age como a dentdade nos módulos. Um elemento a de um anel R será chamado dvsor do zero à esquerda se exstr b 0 em R tal que ab = 0. Dvzores do zero à dreta são defndos de manera smétrca. Um elemento que não for um dvsor do zero (nem à esquerda nem à dreta) será chamado regular. Um anel tal que todos os seus elementos não-nulos forem regulares será chamado domíno. Um anel cujos elementos não-nulos forem todos nversíves será chamado corpo ou anel com dvsão. Para um corpo qualquer D, o subcorpo de D gerado por 1 será chamado corpo prmo. Por fm, um conjunto X será dto enumerável se exstr uma correspondênca bjetora entre X e Z +, onde Z + é o conjunto dos números nteros postvos.

16 4 INTRODUC A O

17 Capítulo 1 Noções Prelmnares Incaremos nossos estudos ntroduzndo alguns concetos que serão útes nos capítulos que seguem. Dentre esses concetos destacamos a defnção de corpo lvre, que será apresentada já na Seção 1.1. Nossos resultados provarão a exstênca de corpos lvres em determnados anés com dvsão que, em sua maora, serão obtdos como completamento de corpos de frações de domínos de Ore. Tal completamento está relaconado com a topologa defnda por uma métrca nduzda por uma valorzação. Para sso apresentaremos nas Seções 1.2 e 1.3 as defnções de domínos de Ore e valorzações e algumas de suas propredades. Destre essas propredades destacamos que toda valorzação defnda num domíno de Ore pode ser estendda de manera únca a seu corpo de frações. Alguns domínos de Ore que serão consderados são anés de grupo de um grupo nlpotente, fntamente gerado, lvre de torção. Tal grupo é ordenado e por sso o corpo de frações de seu anel de grupo pode ser merso num corpo de séres de Malcev-Neumann. Tas defnções e resultados serão apresentados nas Seções 1.4 e 1.5. Outros domínos de Ore que também serão consderados são algumas extensões de Ore ou anés de polnômos skew que, em certos casos, podem ser mersos num corpo de séres de Laurent, como veremos na Seção 1.6. Embora não seja necessaramente um domíno de Ore, a envolvente unversal assocatva de uma álgebra de Le também possu um corpo de frações, cujo completamento contém corpo lvre, como será mostrado. As defnções de álgebra de Le e envolvente unversal serão apresentadas na Seção 1.7. Nem todos os resultados enuncados neste capítulo serão ctados no decorrer do texto. Sua nclusão tem o objetvo de mnmzar a consulta a outros trabalhos. 1.1 Corpos lvres Nesta seção apresentaremos dentre outras cosas a defnção de corpo lvre, conceto fundamental 5

18 6 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES neste trabalho. Todos os concetos e resultados ctados nesta seção podem ser encontrados em [5], [6] e [8]. Seja R um anel. Por um R-anel entendemos um anel L com um homomorfsmo R L. Para R fxado, os R-anés formam uma categora onde os morfsmos são os homomorfsmos de anés L L tas que o dagrama R L L seja comutatvo. Um R-anel que é um corpo é chamado R-corpo. Um R-corpo é chamado épco se ele for gerado como corpo pela magem de R. Um R-corpo épco K tal que o homomorfsmo R K é njetor, é dto um corpo de frações de R. O únco homomorfsmo de R-anés possível entre dos R-corpos épcos é um somorfsmo. Pos qualquer homomorfsmo entre dos corpos deve ser njetor e, neste caso, a magem será um corpo contendo a magem de R, portanto temos uma sobrejeção. Por esse motvo, é necessáro consderar aplcações mas geras. Defne-se um homomorfsmo local entre R-corpos K, L como um homomorfsmo de R-anés f : K 0 L de um R-subanel K 0 de K em L tal que todo elemento de K 0 que não pertence a Ker(f) tem nverso em K 0. Segue da defnção que K 0 é um anel local com deal maxmal Ker(f) e, portanto, K 0 / Ker(f) é um corpo somorfo a Im(f) L. Como Im(f) é um subcorpo de L contendo a magem de R em L, então se L for um R-corpo épco, Im(f) = L. Portanto, todo homomorfsmo local em um R-corpo épco é sobrejetor. Dos homomorfsmos locas de um R-corpo K em um R-corpo L são consderados equvalentes se eles concdem sobre um R-subanel K 0 de K e a restrção comum a K 0 é também um homomorfsmo local. Esta relação é de fato uma relação de equvalênca. Agora, uma especalzação entre dos R-corpos K e L é defnda como uma classe de equvalênca de homomorfsmos locas de K em L. Freqüentemente escreveremos f : K L para denotar uma especalzação de K em L, fcando subentenddo que exste um R-subanel K 0 de K e um homomorfsmo local f : K 0 L. Dremos nesse caso que f : K L é uma especalzação com domíno K 0. Os R-corpos e especalzações formam uma categora denotada por F R. Vejamos como composção de duas especalzações é defnda. Dadas duas especalzações f : K L, g : L M, sejam K 0, L 0 os domínos de f e g, respectvamente, e consdere K 1 = {x K 0 : f(x) L 0 }, f 1 = f K1. Então K 1 é um R-subanel de K, gf 1 : K 1 M é um homomorfsmo local e portanto defne uma

19 1.1. CORPOS LIVRES 7 especalzação de K em M. Seja E R a subcategora plena de F R cujos objetos são os R-corpos épcos. Um objeto ncal em E R é chamado um R-corpo unversal. Explctamente, um R-corpo unversal é um R-corpo épco U tal que para todo R-corpo épco K exste uma únca especalzação U K. Claramente um R-corpo unversal, se exste, é únco a menos de somorfsmo. Suponha que R tenha um R-corpo unversal U. Então R tem um corpo de frações se e somente se U é seu corpo de frações; de fato, se U é corpo de frações de R então R tem um corpo de frações. Por outro lado, se R tem um corpo de frações K então exste uma únca especalzação f : U K. Seja U 0 o domíno de f e sejam λ U : R U e λ K : R K os homomorfsmos canôncos. Então o trângulo λ U R U 0 f λ K é comutatvo. Como λ K é njetor, λ U é njetor. Assm U é um corpo de frações de R. Neste caso, U é dto o corpo unversal de frações de R. A exstênca de R-corpos épcos está ntrnscamente relaconada com determnados conjuntos de matrzes sobre R, como veremos a segur. Defnção Sejam R e S anés e seja Σ um conjunto de matrzes sobre R (de tamanhos arbtráros). Um homomorfsmo f : R S é dto Σ-nversor se para toda matrz A em Σ, f(a) for uma matrz nversível sobre S, onde f(a) denota a matrz sobre S obtda de A por aplcação de f a cada uma de suas entradas. K É fundamental observar que para todo conjunto Σ de matrzes sempre exste um homomorfsmo Σ-nversor unversal: por este termo entendemos um homomorfsmo λ : R R Σ que é Σ-nversor e tal que todo homomorfsmo Σ-nversor f pode ser fatorado de manera únca por λ, ou seja, dado f : R S tal que f(σ) consste de matrzes nversíves, exste um únco homomorfsmo f : R Σ S tal que o dagrama R f S f λ R Σ

20 8 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES comute. O anel R Σ é determnado a menos de sormorfsmo por essas condções e é dto o anel Σ- nversor unversal ou também uma localzação unversal de R. Tal anel sempre exste (para quasquer escolhas de R e Σ) e duas construções dstntas podem ser encontradas em [6, pg. 390] e [8, pg. 162]. Temos então o segunte resultado: Teorema ( [6], Teorema 7.2.1). Seja R um anel arbtráro e Σ um conjunto qualquer de matrzes sobre R. Então exste uma localzação unversal R Σ, únca a menos de somorfsmo, com um homomorfsmo Σ-nversor unversal λ : R R Σ. Além dsso, λ é njetora se e somente se R pode ser merso num anel sobre o qual todas as matrzes de Σ são nversíves. Defnção Seja R um anel. Um conjunto ( Σ de ) matrzes sobre R é dto multplcatvo superor A C se 1 Σ e sempre que A, B Σ, então Σ para toda matrz C de tamanho aproprado. Conjuntos multplcatvos nferores são defndos analogamente (com C no canto nferor). 0 B Se Σ é multplcatvo nferor e toda matrz de Σ anda pertence a Σ após qualquer permutação de lnhas e colunas, então Σ é dto multplcatvo. (Claramente um conjunto multplcatvo é também multplcatvo nferor.) O próxmo teorema mostra como qualquer R-corpo épco K pode ser descrto em termos do conjunto das matrzes sobre R que são nversíves sobre K. Teorema ([6], Teorema 7.2.2). Seja R um anel. Então () se Σ é um conjunto de matrzes tal que a localzação unversal R Σ é um anel local, então o corpo de resíduos de R Σ é um R-corpo épco e () se K é um R-corpo épco e Σ é o conjunto de todas as matrzes sobre R cujas magens são nversíves sobre K, então Σ é multplcatvo e R Σ é um anel local com corpo de resíduos somorfo a K. R. Vejamos agora como toda especalzação também pode ser descrta em termos de matrzes sobre

21 1.1. CORPOS LIVRES 9 Teorema ([6], Teorema 7.2.4). Sejam R um anel qualquer, K 1, K 2 R-corpos épcos quasquer, Σ o conjunto de todas as matrzes sobre R que são nversíves sobre K e R a localzação unversal R Σ, = 1, 2. Então são equvalentes: (a) exste uma especalzação K 1 K 2, (b) Σ 1 Σ 2, (c) exste um homomorfsmo de R anés R 2 R 1. Se exste uma especalzação de K 1 em K 2 e uma de K 2 em K 1, então K 1 = K2. Uma especalzação de R-corpos é dta própra se ela não for um somorfsmo. Segue do teorema anteror que Coroláro ([6], Coroláro 7.2.5). Se um R-corpo épco K for uma localzação unversal, então K não pode ser obtdo por uma especalzação própra de qualquer outro R-corpo. Em partcular, se R tem um R-corpo unversal U, então U é o únco R-corpo épco que pode ser uma localzação unversal. Dentre todas as matrzes sobre um anel R as mas mportantes neste trabalho são as matrzes plenas: Defnção Sejam R um anel e A m R n, onde m R n denota o conjunto das matrzes m n sobre R. A matrz A é dta plena à esquerda se para quasquer P m R r, Q r R n, A = P Q mplcar r m. Matrzes plenas à dreta são defndas de modo smlar e uma matrz plena à esquerda e à dreta é chamada de matrz plena. Segue da defnção acma que uma matrz é plena se e somente se ela for quadrada, dgamos n n, e não puder ser escrta como produto de uma matrz n r por uma matrz r n, com r < n. Defnção Seja R um anel e A m R n. O posto nterno de A, denotado por ρ(a), é o menor ntero r tal que A = BC, com B m R r, C r R n. Observe que se A m R n então A é plena à esquerda se e somente se ρ(a) = m; A é plena à dreta se e somente se ρ(a) = n. Segue que as matrzes plenas sobre R são exatamente as matrzes

22 10 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES n n (n 1) de posto nterno n. Quando R é um anel com dvsão então as matrzes plenas sobre R consttuem exatamente o conjunto das matrzes nversíves. (Ver [6, pg. 160].) Defnção Um domíno de Sylvester é um anel não-nulo R tal que para todo n, P Q = 0, com P r R n, Q n R s, mplcar ρ(p ) + ρ(q) n. Nosso nteresse agora é apresentar a classe dos anés que têm um corpo unversal de frações sobre o qual toda matrz plena pode ser nvertda. Um homomorfsmo de anés é chamado de honesto se ele leva matrzes plenas em matrzes plenas. Em partcular, um homomorfsmo em um corpo K é honesto se ele nverte todas as matrzes plenas. O conjunto de todas as matrzes plenas sobre um anel R será denotado por Φ = Φ(R), e um homomorfsmo de anés é dto plenamente nversor se ele for Φ-nversor. Observe que todo homomorfsmo plenamente nversor f : R S em um anel não-nulo S deve ser njetvo, uma vez que todo elemento não-nulo de R é pleno, como uma matrz 1 1, e então sua magem por f é um elemento nversível de S. Teorema (cf. [6], Teorema e [8], Teorema 4.5.8). Para todo anel R as seguntes condções são equvalentes: (a) R Φ é um corpo; (b) R tem um homomorfsmo que preserva posto nterno em um corpo; (c) R é um domíno de Sylvester. Além dsso, R Φ é o corpo unversal de frações de R. Este resultado nos mostra que os domínos de Sylvester formam precsamente a classe de todos os anés que têm corpo unversal de frações sobre o qual toda matrz plena pode ser nvertda. (Ver [6, pg. 417].) Seja k um corpo comutatvo. Uma k-álgebra lvre é descrta faclmente por sua propredade unversal: dado um conjunto X exste uma k-álgebra A = k X e uma função : X A tal que toda função θ : X B em uma k-álgebra B pode ser fatorada uncamente por, ou seja, exste

23 1.1. CORPOS LIVRES 11 um únco homomorfsmo de k-álgebras θ : A B tal que o dagrama X A θ θ B comuta. A menos de somorfsmo, esta álgebra está unvocamente determnada pela cardnaldade de X. Seus elementos podem ser escrtos de manera únca como combnações lneares sobre k de produtos da forma x 1 x 2 x n com x X, n 0, nclundo o produto vazo que é o elemento undade de A. (Ver [6, pg. 59].) Seja K um corpo não-necessaramente comutatvo. Podemos defnr o K-anel lvre K X sobre um conjunto X pela segunte propredade unversal: K X é gerado por X como um K-anel e toda função f : X R em um K-anel R tal que f(x)a = af(x), para todo a K e todo x X, pode ser estendda a um únco homomorfsmo de K-anés f : K X R. Este K-anel é únco a menos de somorfsmo e seus elementos podem ser escrtos de manera únca na forma a 0 + a 1 n x 1 x 2 x n, com a 0, a 1 n K, x j X, n 1. (Ver [5, pg. 111].) Se K for comutatvo K X nada mas é que a K-álgebra lvre em X. Seja D um corpo com subcorpo K e consdere o co-produto D K K X. (Para qualquer anel R o co-produto na categora de R-anés de uma famíla de R-anés (R λ ) sempre exste, é denotado por R λ e é chamado co-produto sobre R. Ver [5, pg. 94] e [8, pg. 205].) Esse co-produto nada mas é R que o D-anel gerado por X com relações ax = xa, para x X e a K. (Ver [6, pg. 61].) Ele é denotado por D K X e é chamado D-anel lvre sobre K em X. Segue da defnção de co-produto que D K X tem a segunte propredade unversal: Proposção Seja R um D-anel com homomorfsmo canônco µ : D R. Se f : X R é uma função tal que f(x)µ(a) = µ(a)f(x), para todo a K e todo x X, então exste um únco homomorfsmo de D-anés f : D K X R tal que f(x) = f(x), para todo x X. Observe que quando D = K temos D K X = K K K X = K X, o K-anel lvre em X. Teorema Seja D um anel com dvsão com subcorpo K, e seja X um conjunto. Então

24 12 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES o D-anel lvre D K X é um domíno de Sylvester. (Mas precsamente, D K X é um fr. Ver [6, pg. 114].) Segue dos dos últmos teoremas que D K X tem um corpo unversal de frações sobre o qual toda matrz plena é nversível. Esse corpo unversal de frações é chamado corpo lvre e é denotado por D K <(X)>. Quando D = K ele é denotado por K<(X)>. Vejamos alguns resultados mportantes sobre os corpos lvres. Proposção ([5], Coroláro pg. 114). Sejam K D E corpos arbtráros e seja X um conjunto. Então exste uma nclusão natural D K <(X)> E K <(X)>. Proposção Seja D um corpo com um subcorpo K e seja D(t) o corpo das funções raconas sobre uma ndetermnada central t. Então exste uma nclusão natural D K <(X)> D(t) K(t) <(X)>. Demonstração: A demonstração é análoga à da Proposção de [8]. Teorema ([8], Teorema ). Sejam E D anés com dvsão e seja X um conjunto. Então o subcorpo de D<(X)> gerado por X sobre E é naturalmente somorfo a E<(X)>. Teorema ([8], Teorema 6.4.6). Seja E um corpo com um subcorpo central C, seja D um subcorpo de E e seja k = D C. Então para qualquer conjunto X exste uma nclusão natural D k <(X)> E C <(X)>, se e somente se D e C forem lnearmente dsjuntos em E sobre k (ou seja, se e somente se o homomorfsmo natural D k C E for njetor). Observação Sejam R e S domínos de Sylvester e denotemos por U(R), U(S) seus corpos unversas de frações. É mportante observar que R S não mplca U(R) U(S). Na verdade sso acontece se e somente se a nclusão R S for honesta. (Ver Teorema )

25 1.2. ANÉIS CLÁSSICOS DE FRAÇÕES E DOMÍNIOS DE ORE Anés clásscos de frações e domínos de Ore Na seção anteror ntroduzmos o conceto de corpo de frações de um anel R. Sabemos que todo domíno comutatvo possu um corpo de frações, que é únco a menos de somorfsmo. No entanto, quando a hpótese de comutatvdade não é exgda, este resultado está longe de ser verdadero. Exstem domínos que não podem ser mersos em nenhum anel com dvsão (como por exemplo, a construção de Malcev, que pode ser vsta em [19, pg ]) e portanto não possuem corpos de frações. Por outro lado exstem domínos que possuem dos corpos de frações não-somorfos, como veremos no Capítulo 6, e portanto possuem mas de um corpo de frações. No entanto, com algumas hpóteses adconas, é possível encontrar uma classe de domínos que possuem corpos de frações, úncos a menos de somorfsmo e cujos elementos possuem uma forma normal. Defnção Um subconjunto S de um anel R é dto ser multplcatvo se 1 S, 0 S e ab S, para quasquer a, b S. Defnção Seja R um anel e seja S R um conjunto mulplcatvo. Um anel R é dto ser uma localzação à dreta de R em S ou um anel de frações à dreta de R com respeto a S se exstr um homomorfsmo de anés ϕ : R R tal que: (a) ϕ é S-nversor, ou seja, ϕ(s) é nversível, para todo s S; (b) todo elemento de R tem a forma ϕ(a)ϕ(s) 1, para algum a R e algum s S; (c) Ker(ϕ) = {r R : rs = 0 para algum s S}. Teorema ([19], Teorema ). Seja R um anel e seja S um subconjunto de R. Então R possu um anel de frações à dreta com respeto a S, denotado por RS 1, se e somente se as seguntes condções forem satsfetas: (1) S é multplcatvo. (2) Para quasquer a R, s S, as sr. (3) Para quasquer a R, s S, sa = 0 mplcar at = 0 para algum t S. Neste caso, ϕ : R RS 1 é dado por ϕ(a) = a 1 1 e todo elemento de RS 1 pode ser escrto na forma ϕ(a)ϕ(s) 1 = as 1, para algum a R e algum s S.

26 14 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES Um subconjunto S de um anel R que satsfaz a condção (2) do teorema acma é dto um conjunto de Ore à dreta. Se S satsfaz a condção (3) ele é dto reversível à dreta e se ele satsfaz as três condções do teorema ele é dto um conjunto denomnador à dreta. Coroláro ( [19], pg. 301). Sejam a 1 s 1 1, a 2s 1 2,..., a ns 1 n RS 1 elementos arbtráros. Então exstem b 1, b 2,..., b n R e s S tas que a s 1 = b s 1, para todo = 1,..., n. (Expressamos este resultado dzendo que qualquer conjunto fnto de elementos de RS 1 pode ser colocado num denomnador comum.) Coroláro ([19], Coroláro ). Seja S um conjunto denomnador à dreta em R. Então ϕ : R RS 1 é um homomorfsmo S-nversor unversal, ou seja, para todo homomorfsmo de anés ψ : R R que é S-nversor exste um únco homomorfsmo de anés f : RS 1 R tal que ψ = fϕ. De forma análoga também temos as noções de conjunto de Ore à esquerda, conjunto reversível à esquerda e de conjunto denomnador à esquerda. Além dsso o Teorema e o Coroláro têm suas respectvas versões à esquerda. Segue do Coroláro e da sua versão à esquerda o segunte resultado: Coroláro ([19], Teorema ). Se ambos RS 1 e S 1 R exstem então RS 1 = S 1 R. Seja S R um conjunto multplcatvo. Se S for central em R então, claramente, S é um conjunto denomnador à dreta e à esquerda. Se S for um conjunto de elementos regulares de R então S é reversível à dreta e à esquerda e, neste caso, ϕ : R RS 1 é njetora. Se S consstr de todos os elementos regulares de R, dzemos R é um anel de Ore à dreta quando S for um conjunto de Ore à dreta. Pelo Teorema 1.2.3, sso ocorre se e somente se RS 1 exstr. Neste caso dzemos que RS 1 é o anel clássco de frações à dreta de R. Os análogos à esquerda dessas noções são defndos smlarmente. Se R for um anel de Ore à dreta e à esquerda dzemos que R é um anel de Ore. Por exemplo, todo anel comutatvo é um anel de Ore, pelas consderações acma. Seja R um anel e seja S = R, o conjunto dos elementos não-nulos de R. Neste caso a condção (2) do Teorema pode ser escrta da segunte forma equvalente: ar br 0, para quasquer a, b R. Esta condção é chamada de condção de Ore à dreta sobre R. Portanto temos

27 1.3. VALORIZAÇÕES E COMPLETAMENTOS DE ANÉIS COM DIVISÃO 15 Coroláro ([8], Coroláro 1.3.3). Seja R um domíno. Então R é um anel de Ore à dreta (resp. esquerda) se e somente se R satsfaz a condção de Ore à dreta (resp. esquerda). Neste caso, R é dto um domíno de Ore à dreta (resp. esquerda), e o anel clássco de frações RR 1 (resp. R 1 R) é um corpo, chamado corpo clássco de frações à dreta (resp. esquerda) de R e é, obvamente, um corpo de frações de R. Proposção ([8], Proposção 1.3.4). O corpo de frações de um domíno de Ore à dreta é unco a menos de somorfsmo. Proposção ([8], Proposção 1.3.6). Todo domíno noetherano à dreta é um domíno de Ore à dreta. Defnção Seja R um domíno. Um deal à dreta (resp. esquerda) I de R é dto prncpal se ele for gerado por um únco elemento, ou seja, se I = ar (resp. Ra), para algum a R. Se todos os deas à dreta (resp. esquerda) de R forem prncpas R é dto um domíno de deas prncpas à dreta (resp. esquerda). Uma vez que todo domíno de deas prncpas à dreta é um domíno noetherano à dreta ([18, (1.18) pg. 20]) temos Coroláro ([8], Coroloáro 1.3.7). Todo domíno de deas prncpas à dreta é um domíno de Ore à dreta e, portanto, tem um (únco) corpo de frações. Por exemplo, se D é um anel com dvsão e z é uma ndetermnada central então o anel de polnômos D[z] é um domíno de deas prncpas à dreta e à esquerda e, portanto, é um domíno de Ore com corpo clássco de frações denotado por D(z) e chamado corpo das funções raconas sobre D. 1.3 Valorzações e completamentos de anés com dvsão Nesta seção, apresentaremos a defnção de valorzação e algumas de suas propredades. Mostraremos também de que forma determnadas valorzações podem nduzr métrcas em anés com dvsão, tornando-os assm, anés com dvsão topológcos. Defnção Seja (G, +) um grupo, não necessaramente abelano. Dzemos que G é ordenado se G possur uma relação de ordem total tal que x y, x y x + x y + y, para quasquer x, x, y, y G.

28 16 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES Seja (G, +) um grupo ordenado. Denotemos por 0 o elemento neutro de G. Aumentemos G por um símbolo, sujeto às regras: + a = a + = + =, a <, para todo a G. Então (G { }, +) é um monóde. Defnção Uma valorzação sobre um anel R com valores em um grupo ordenado G é qualquer aplcação ν : R G { } satsfazendo as seguntes condções: (V.1) ν(xy) = ν(x) + ν(y), para todos x, y R; (V.2) ν(x + y) mn{ν(x), ν(y)}, para todos x, y R; (V.3) ν(1) = 0 e ν(0) =. Aplcando a defnção obtemos que ν( 1) = 0 e portanto ν( x) = ν(x), para todo x R. Segue faclmente por ndução que ν ( n =1 x ) mn{ν(x ) : 1 n}. Além dsso, se somente um índce k é tal que ν(x k ) = mn{ν(x ) : 1 n} então vale a gualdade acma. O conjunto N = {x R : ν(x) = } é um deal própro de R, por (V.3). Se N = 0, ν é dta própra; por exemplo, sobre um corpo toda valorzação é própra, uma vez que 0 é o únco deal própro. Daqu em dante, todas as valorzações consderadas serão própras, salvo menção contrára. Exemplo (1) Seja R um anel com um elemento central e regular t tal que t n R = 0 e R/tR é um domíno. Se defnmos ν t (x) = sup{n : x t n R} então ν t é uma valorzação de R, chamada valorzação t-ádca. Por exemplo, se R é um domíno e se R[z] é o anel de polnômos na ndetermnada central z sobre R, então podemos consderar em R[z] a valorzação z-ádca. (2) Seja R um anel com uma valorzação ν e consdere o anel de polnômos R[z]. Se defnmos ν ( a t ) = mn{ν(a ) + }, então ν é uma valorzação de R[z] que estende ν.

29 1.3. VALORIZAÇÕES E COMPLETAMENTOS DE ANÉIS COM DIVISÃO 17 Proposção ([8], Proposção 9.1.1). Seja R um domíno de Ore à dreta com corpo de frações K. Então toda valorzação própra ν de R tem uma únca extensão a uma valorzação ω de K, a saber, ω(ab 1 ) = ν(a) ν(b), para todos a, b R, b 0. Vamos agora consderar uma valorzação ν sobre um corpo D. Seja D = D {0} o grupo multplcatvo de D. Segue de (V.1) que ν D é um homomorfsmo de grupos. Seja V = {x D : ν(x) 0}. Então V é um subanel de D chamado anel de valorzação de ν. Se x V, x 0, então 0 = ν(1) = ν(xx 1 ) = ν(x) + ν(x 1 ) ν(x 1 ) e portanto ν(x 1 ) 0. E, como ν : D G é um homomorfsmo de grupos, ν(x 1 ) = ν(x). Então x 1 V se e só se ν(x) = 0. Logo o deal de V defndo por M = {x D : ν(x) > 0} é o conjunto dos elementos não nversíves de V e portanto V é um anel local. O anel V/M é um anel com dvsão chamado corpo de resíduos de ν. A magem ν(d ) sob ν do grupo multplcatvo D é um subgrupo de G chamado grupo de valores de ν. Uma valorzação ν sobre D é chamada abelana se o grupo de valores ν(d ) for abelano e é chamada dscreta se o grupo ordenado ν(d ) for somorfo ao grupo adtvo dos nteros. Suponhamos que G seja um subgrupo ordenado do grupo adtvo dos números reas. podemos defnr uma métrca sobre D escolhendo uma constante real c (0, 1) e defnndo Então d(x, y) = c ν(x y). Isso torna D um anel com dvsão topológco e, como todo espaço métrco, podemos construr o completamento D de D com relação à topologa defnda pela métrca acma. É bem conhecdo que D é um anel com dvsão com uma valorzação ˆν : D G { }, onde G = ν(d ), tal que D e ˆν são extensões de D e ν, respectvamente. (Ver [14], Cap. V, Seção 4 ou [41], Cap. 2.) Chamamos D de completamento de D com relação à topologa defnda por ν. Exemplo Seja D um anel com dvsão e consdere o corpo das funções raconas D(z) na ndetermnada central z. D(z) nada mas é que o corpo de frações do domíno de Ore D[z]. Se ω é a valorzação de D(z) que estende a valorzação z-ádca de D[z], então ω é uma valorzação dscreta e o completamento de D(z) com relação à topologa defnda por ω é o corpo das séres de Laurent D((z)). A métrca em D((z)) é a dada pela valorzação ω(f) = sup{n : f z n D[[z]]}, para todo f D((z)),

30 18 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES que é uma extensão de ω, onde D[[z]] é o anel das séres de potênca em z. 1.4 Grupos nlpotentes, fntamente gerados, lvres de torção Dentre os grupos nlpotentes, uma classe se destaca pela exstênca de uma forma normal para os elementos. Esta classe é a consttuída pelos grupos nlpotentes, fntamente gerados, lvres de torção. A forma normal dos elementos de um grupo G deste tpo servrá para defnrmos uma valorzação em anés de grupo gerados por G, como veremos num capítulo posteror. Recordemos prmeramente a defnção de grupos nlpotentes. Defnção Um grupo G é chamado nlpotente se ele contém uma sére de subgrupos {1} = G 0 G 1 G n = G tal que cada subgrupo G 1 é normal em G e cada grupo quocente G /G 1 está contdo no centro de G/G 1, 1 n. Uma sére de subgrupos de G com essa propredade é dta uma sére central de G. A segur, apresentaremos alguns resultados sobre grupos nlpotentes que podem ser encontrados, por exemplo, na Seção 1.5 de [37]. Lema Subgrupos e grupos quocentes de grupos nlpotentes são nlpotentes. Dados dos elementos a, b de um grupo G, o comutador de a e b é o elemento (a, b) := a 1 b 1 ab. O subgrupo dervado G = (G, G) de G é o subgrupo gerado por todos os comutadores (x, y), x, y G. Obvamente G é abelano se e somente se G = {1}. Denotaremos o centro de G por Z(G). Vejamos as relações entre nlpotênca e comutadores. Prmero, defna duas séres de subgrupos, ndutvamente. Por um lado, sejam γ 1 (G) = G, γ 2 (G) = G e γ (G) = (γ 1 (G), G), para todo 2. Por outro lado, sejam Z 0 (G) = {1}, Z 1 (G) = Z(G) e Z (G) como o únco subgrupo de G tal que Z (G)/Z 1 (G) = Z(G/Z 1 (G)), para todo 1. O grupo Z (G) é chamado o -ésmo centro de G. Defnção As seqüêncas de subgrupos {1} = Z 0 (G) Z 1 (G) Z n (G)

31 1.4. GRUPOS NILPOTENTES, FINITAMENTE GERADOS, LIVRES DE TORÇÃO 19 G = γ 1 (G) γ 2 (G) γ n (G) são chamadas sére central superor e sére central nferor de G, respectvamente. Claramente, essas séres são séres centras. seguntes razões: Elas são chamadas superor e nferor pelas Lema Seja {1} = A 0 A 1 A n uma sére central ascendente arbtrára. Então A n Z n (G), para todo n. Lema Seja G = A 0 A 1 A n uma sére central descendente arbtrára. Então γ n (G) A n 1, para todo n. Segue dos lemas acma que um grupo G é nlpotente se e somente se exstr c 0 tal que γ c+1 (G) = {1} (se e somente se Z c (G) = G). O menor ntero c tal que γ c+1 (G) = {1} é chamado classe de nlpotênca de G (e é também o menor ntero c tal que Z c (G) = G). Proposção Todo subgrupo de um grupo nlpotente fntamente gerado é fntamente gerado. Proposção Seja G um grupo nlpotente lvre de torção com sére central superor {1} = Z 0 (G) Z 1 (G) Z n (G) = G. Então cada quocente Z +1 (G)/Z (G) é lvre de torção. Se, além dsso, G é fntamente gerado então G possu pelo menos uma sére central G = G 1 G 2 G r+1 = {1} tal que todos os quocentes G j /G j+1 são grupos cíclcos nfntos. Uma sére central desse tpo será chamada F-sére. Demonstração: Para a demonstração da prmera parte veja o Lema de [37]. Para a segunda parte, uma vez que G é fntamente gerado, segue que Z +1 (G)/Z (G) é fntamente gerado e lvre de torção. Logo Z +1 (G)/Z (G) pode ser escrto como um produto dreto de grupos cíclcos nfntos.

32 20 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES Segue daí que a sére central superor pode ser refnada a uma sére central com quocentes cíclcos nfntos (ver Coroláro de [37]). Seja G um grupo nlpotente, fntamente gerado e lvre de torção, e seja G = F 1 F 2 F 3 F r F r+1 = {1} (1.1) uma F-sére do grupo G, ou seja, (1.1) é uma sére central de G tal que F /F +1, ( = 1,..., r) é um grupo cíclco nfnto. Seja f um representante em G de um gerador de F /F +1, ou seja, F /F +1 = f F +1, o grupo gerado por f F +1. Então todo elemento de G é escrto de manera únca na forma g = f α 1 1 f α 2 2 f αr r, (1.2) com α 1, α 2,..., α r Z, chamada forma normal de g. De fato, seja g G. Se g F r+1 então g = 1. Se g F r \ F r+1 então g 1. Logo exste um únco α Z, α 0, tal que g = fr α. Se g F r 1 \ F r então gf r 1 F r f r 1 F r. Logo exste um únco β Z, β 0, tal que gf r = f β r 1 F r o que mplca f β r 1 g F r. Então exste g r F r tal que f β r 1 g = g r e assm g = f β r 1 g r. Mas, como g r F r, exste um únco α r Z tal que g r = f αr r. Segue que g = f β r 1 f αr r. Prossegundo deste modo obtemos que todo elemento g G é escrto na forma (1.2). Suponhamos que g = f β 1 1 f β 2 2 f r βr, com β Z. Então f α 1 β 1 1 f α 2 2 fr αr = f β 2 2 f r βr e portanto f α 1 β 1 1 = (f β 2 2 f r βr )(f α 2 2 fr αr ) 1 F 2. Logo f α 1 β 1 1 F 2 = 1 F 2 o que mplca α 1 β 1 = 0, uma vez que F 1 /F 2 é lvre de torção. Logo α 1 = β 1 e assm f α 2 2 fr αr = f β 2 2 f r βr. Temos então f α 2 β 2 2 f α 3 3 fr αr = f β 3 3 f r βr e portanto f α 2 β 2 2 = (f β 3 3 f r βr )(f α 3 3 fr αr ) 1 F 3. Assm, f α 2 β 2 2 F 3 = 1 F 3 e, portanto, α 2 = β 2. Prossegundo de manera análoga obtemos que α = β, para todo = 1,..., r. Portanto todo elemento g G é escrto de manera únca na forma (1.2). Como (1.1) é uma sére central então (F, G) F +1, = 1,..., r, onde (F, G) é o subgrupo gerado por todos os comutadores da forma (f, g) com f F e g G. Assm, (F, F j ) F +1, (F, F j ) = (F j, F ) F j+1 e portanto (F, F j ) F k, onde k > max{, j}. Logo f α f α j j = f α j j f α f γ k k f γ k+1 k+1 f r γr, (1.3) para algum k > max{, j},, j = 1,..., r, uma vez que (f α, f α j j ) (F, F j ) F k, k > max{, j} e todo elemento de F k é escrto de manera únca na forma f γ k k f γ k+1 k+1 f r γr (pos F k é nlpotente, fntamente gerado, lvre de torção e F k F k+1 F r F r+1 = {1} é uma F-sére do grupo

33 1.5. ANÉIS DE GRUPO E SÉRIES DE MALCEV-NEUMANN 21 F k ). Em partcular, f α fr αr = fr αr f α para todo e, portanto, F r = f r Z(G), o centro de G. Observe que G pode ser ordenado da segunte manera: se g = f α 1 1 f α 2 2 fr αr, h = f β 1 1 f β 2 2 f r βr então g < h se exstr s, 1 s r, tal que α 1 = β 1,..., α s 1 = β s 1 e α s < β s. Esta é a ordem lexcográfca, que é uma relação de ordem total. Segue de (1.3) que se g < h então gk < hk, kg < kh para todo k G, o que mplca que se g 1 < h 1 e g 2 < h 2 então g 1 h 1 < g 2 h 2. Logo a relação é compatível com a multplcação de G e portanto (G, ) é um grupo ordenado. As defnções e os resultados que foram apresentados nesta seção podem ser encontrados, por exemplo, em [16] e [37]. 1.5 Anés de grupo e séres de Malcev-Neumann Seja G um grupo e consdere o anel de grupo KG sobre um corpo K não necessaramente comutatvo. Este é um espaço vetoral sobre K com base G e multplcação nduzda pela multplcação de G. Em certos casos, esse anel pode ser merso em um anel com dvsão. Um desses casos é quando G é um grupo ordenado, por exemplo, quando G é nlpotente, fntamente gerado, lvre de torção. Isso segurá dos resultados mas geras apresentados a segur e que podem ser encontrados em [18]. Recordemos que um subconjunto S de um conjunto totalmente ordenado T é dto bem-ordenado se todo subconjunto não-vazo de T possur um elemento mínmo. Lema ([18], Lema 14.17). Sejam S, T subconjuntos bem-ordenados de um conjunto totalmente ordenado (G, <). Então S T é bem-ordenado. Se (G, <) é um grupo ordenado, então U := S T = {st : s S, t T } é também bem-ordenado. Além dsso, para cada u U exste somente um número fnto de pares ordenados (s, t) (s S, t T ) tal que u = st. Seja G um grupo ordenado, com uma ordem, seja R um anel e seja Aut(R) o grupo dos automorfsmos de R. Fxe um homomorfsmo de grupos σ : G Aut(R) e denote por σ g a magem de g G por σ. Defne-se R((G, σ)) como sendo o conjunto de todas as séres formas (mas não necessaramente fntas) a = a g g, a g R, g G

34 22 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES com supp(a) := {g G : a g 0} bem-ordenado. O conjunto supp(a) é chamado suporte de a. Em R((G, σ)) nós somamos e multplcamos os elementos de acordo com as regras: g G a g g + g G b g g = g G ( ) a g g b h h g G h G (a g + b g )g, = ( ) ag σ g (b h ) l, l G onde a últma soma é tomada sobre todos os pares (g, h) tal que gh = l. Uma vez que podemos restrngr g e h respectvamente a supp(a), supp(b), e esses suportes são subconjuntos bem-ordenados de G, a últma soma acma é fnta pelo Lema Além dsso, uma vez que supp(a + b) supp(a) supp(b), supp(ab) supp(a) supp(b), então supp(a + b) e supp(ab) são ambos bem-ordenados, pelo Lema Portanto a adção e a multplcação estão bem-defndas em R((G, σ)). É possível checar que, com essas operações, R((G, σ)) é um anel. O subanel de R((G, σ)) consstndo de todas as somas fntas a g g (ou seja, somas de suporte fnto), é chamado anel de grupo skew e é denotado por R(G, σ). Se σ for o homomorfsmo dentdade usaremos as notações: R((G, Id R )) = R((G)) e R(G, Id R ) = RG. Neste caso, o subanel RG consstndo das somas fntas nada mas é que o anel de grupo usual. Teorema Assuma que R é um anel com dvsão e sejam G e σ como acma. Então R((G, σ)) é também um anel com dvsão, chamado corpo das séres de Malcev-Neumann skew, se σ Id R e corpo das séres de Malcev-Neumann, se σ = Id R. Demonstração: Ver Teorema de [18]. O anel R((G, σ)) depende, claramente, da relação de ordem consderada em G. Mas precsamente, para cada relação de ordem defnda em G exste um anel R((G, σ)). 1.6 Extensões de Ore e séres de Laurent skew Nesta seção, apresentaremos a defnção de extensão de Ore e algumas propredades deste anel.

35 1.6. EXTENSÕES DE ORE E SÉRIES DE LAURENT SKEW 23 Em partcular, mostraremos que, em certos casos, esse anés são domínos de Ore e que seu corpo de frações pode ser merso num corpo maor, cujos elementos são séres de Laurent. Todos os resultados apresentados nesta seção podem ser encontrados em [8] e [9]. Seja A um anel e α um endomorfsmo de A. Uma função δ : A A é chamada α-dervação de A se δ(a + b) = δ(a) + δ(b), δ(ab) = δ(a)α(b) + aδ(b), para todos a, b A. Proposção ( [8], Proposção 2.1.1). Sejam A um anel, α um endomorfsmo e δ uma α- dervação de A e seja x uma ndetermnada. Seja R o anel gerado por x e A, contendo A como subanel e com relações ax = xα(a) + δ(a), para todo a A, ou seja, R = A[x]/ ax xα(a) δ(a). Então () cada elemento não-nulo f R pode ser escrto uncamente como f = n =0 x a, para algum ntero não-negatvo n e elementos a A, com a n 0, () R é um domíno se A for um domíno e α for njetor, () se A for um corpo então R é um domíno de deas prncpas à dreta. Além dsso, se α for um automorfsmo, R é também um domíno de deas prncpas à esquerda. O anel R da proposção anteror é chamado extensão de Ore ou anel de polnômos skew em x sobre A assocado com α, δ, e é denotado por A[x; α, δ]. O ntero n do tem () acma é chamado o grau de f, abrevado deg(f), e o elemento a n é chamado coefcente domnante de f. Se f tem coefcente domnante gual a 1, f é chamado mônco. O elemento zero de R é defndo para ter grau e coefcente domnante 0. Quando δ = 0 escrevemos A[x; α] no lugar de A[x; α, 0]. Se além dsso α = 1, obtemos o anel de polnômos na ndetermnada central x sobre A, denotado por A[x]. O anel A[x; 1, δ] é também chamado anel de polnômos dferencáves ou anel de operadores dferencas e é denotado por A[x; δ]. O anel A[x; α, δ] satsfaz a segunte propredade unversal: Proposção Sejam A e S anés, α : A A um endomorfsmo e δ : A A uma α- dervação. Se ψ : A S é um homomorfsmo de anés e u S tem a propredade que ψ(a)u = uψ(α(a)) + ψ(δ(a)),

36 24 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES para todo a A, então exste um únco homomorfsmo de anés χ : A[x; α, δ] S tal que χ(x) = u e que faz o dagrama comutar, onde : A A[x; α, δ] é a nclusão. A A[x; α, δ] χ S ψ Demonstração: Basta defnr χ : A[x; α, δ] S por χ( x a ) = u ψ(a ). É fácl ver que se A for um domíno com um endomorfsmo njetor α e uma α-dervação δ então a função deg em A[x; α, δ] satsfaz () deg(f g) max{deg(f), deg(g)}, () deg(fg) = deg(f) + deg(g). Como todo domíno de deas prncpas à dreta é um domíno de Ore à dreta (pelo Coroláro ) então, para um corpo K, K[x; α, δ] tem um corpo clássco de frações que será denotado por K(x; α, δ) e chamado corpo das funções raconas skew. A proposção a segur mostra exatamente sob quas condções o anel de polnômos skew sobre um corpo é um domíno de deas prncpas à esquerda. Proposção ([8], Proposção 2.1.6). Seja K um corpo com um endomorfsmo α e uma α- dervação δ, e seja R = K[x; α, δ]. Então as seguntes condções são equvalentes: (a) α é um automorfsmo, (b) R é prncpal à esquerda, (c) R é Ore à esquerda. Sejam K um corpo, α um automorfsmo de K e δ uma α-dervação de K. Então as seguntes propredades são satsfetas pelo anel de polnômos skew K[x; α, δ]. Proposção (Regra de Lebnz, [9], pg. 246). Para todo ntero n 0 e para quasquer elementos a, b, c K temos:

37 1.6. EXTENSÕES DE ORE E SÉRIES DE LAURENT SKEW 25 () δ n (ab) = n =0 δ (a)g(, n )(b) () cx n = n =0 x g(, n )(c), onde g(, j) : K K é a soma de todas as palavras dstntas formadas com letras α e j letras δ. Coroláro ([9], pg. 248). Se αδ = δα e 0 n, () g(, n ) = ( ) n α δ n () δ n (ab) = n =0 ( n ) δ (a)α δ n (b) () cx n = n =0 ( n ) x α δ n (c). Como α é um automorfsmo é possível escrever os elementos de K[x; α, δ] como polnômos em x com coefcentes à esquerda. Mas precsamente, é possível mostrar por ndução que, para todo a K e todo ntero n 0, x n a = n ( 1) n g (, n )(a)x, (1.4) =0 onde g (, j) : K K é a soma de todas as palavras dstntas formadas com letras α 1 e j letras δα 1. Vamos consderar agora δ = 0. Neste caso podemos defnr o anel formado pelas séres de potêncas =0 x a com multplcação nduzda por ax = xα(a). Como α é um automorfsmo, potêncas negatvas de α estão defndas. Podemos então consderar o anel K((x; α)) das séres de Laurent skew; elas são séres da forma r x a, onde r é um ntero não-negatvo, com multplcação dada pela regra: ax n = x n α n (a), n Z. Observe que toda sére não-nula pode ser escrta na forma x r c(1 =1 x a ) e esta tem nverso [ n=0 ( =1 x a ) n ]c 1 x r. A soma n=0 ( =1 x a ) n está bem defnda, ou seja, é um elemento de K((x; α)), uma vez que as potêncas de x que aparecem em ( =1 x a ) n são maores ou guas a n. Logo [ n=0 ( =1 x a ) n ]c 1 x r é um elemento de K((x; α)) e, portanto, K((x; α)) é um corpo. Como K((x; α)) K[x; α] então K((x; α)) K(x; α). Quando δ 0 não é possível defnr um anel formado pelas séres de potêncas =0 x a com multplcação nduzda por ax = xα(a)+δ(a), uma vez que na multplcação b =0 x a = =0 bx a,

38 26 CAPÍTULO 1. NOÇÕES PRELIMINARES b K, aparecem nfntos termos ndependentes, por exemplo. Para superar este problema é usual ntroduzr uma outra varável, y = x 1. Segue de ax = xα(a) + δ(a) que ya = α(a)y + yδ(a)y. Aplcando repetdamente esta fórmula obtemos ya = α(a)y + αδ(a)y 2 + yδ 2 (a)y 2. (1.5) = α(a)y + αδ(a)y 2 + αδ 2 (a)y αδ n 1 (a)y n + yδ n (a)y n. Se δ é localmente nlpotente, ou seja, cada elemento de K é anulado por alguma potênca de δ, então segue de (1.5) que ya pode ser escrto como um polnômo em y com coefcentes à esquerda. Mas, para qualquer δ, podemos tomar o lmte quando n em (1.5) e obter ya = α(a)y + αδ(a)y 2 + αδ 2 (a)y 3 + αδ 3 (a)y 4 + = αδ (a)y +1. (1.6) =0 Denotemos por K[[y; α, δ]] o conjunto de todas as séres de potênca da forma =0 a y e defna em K[[y; α, δ]] uma multplcação nduzda por (1.6). Observe que desta vez a multplcação está bem defnda uma vez que na expansão de y n a em potêncas de y com coefcentes à esquerda, a menor potênca de y que aparece é y n. Logo K[[y; α, δ]] é um anel. Temos então o segunte teorema: Teorema ([8], Teorema 2.3.1). Seja K um anel com dvsão com automorfsmo α e α-dervação δ, e consdere o anel R = K y : ya = α(a)y + yδ(a)y, para todo a K. Então R K[[y; α, δ]], que é um domíno. Além dsso, o conjunto {1, y, y 2,...} é um conjunto de Ore à esquerda em K[[y; α, δ]] cuja localzação nos dá um corpo K((y; α, δ)) consstndo de todas as séres de Laurent skew =r a y, r Z. Observação Como α é um automorfsmo, os elementos de K((y; α, δ)) também podem ser